Коливання функцій і диференційно-різницеві властивості сингулярних інтегралів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова

УДК 517.5

КОЛИВАННЯ ФУНКЦІЙ І ДИФЕРЕНЦІЙНО-РІЗНИЦЕВІ ВЛАСТИВОСТІ СИНГУЛЯРНИХ ІНТЕГРАЛІВ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Леончик Євген Юрійович

Одеса - 2004

Анотація

Леончик Є. Ю. Коливання функцій і диференційно-різницеві властивості сингулярних інтегралів. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.01.01 математичний аналіз. Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2004.

В дисертації досліджуються оцінки середніх інтегральних коливань істотно обмежених функцій, властивості просторів, що визначаються в термінах середніх і нижніх інтегральних коливань; вивчається локальна гладкість сингулярних інтегралів та властивості деяких максимальних функцій.

Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. Для цього було знайдені необхідна та достатня умови справедливості узагальненої нерівності М. П. Корнєйчука. Також отримано точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.

Знайдено точні за порядком оцінки сингулярних інтегралів для випадків непарного і сумовного ядер в термінах максимальної функції Кальдерона, які уточнюють деякі відомі раніше аналогічні оцінки. Також отримано оцінку рівновимірного переставлення в термінах однієї максимальної функції, яка тісно зв'язана з умовою Макенхаупта. Досліджується поведінка в околі точки розриву максимальних функцій Харді-Літтлвуда та Феффермана-Стейна.

Ключові слова: Середні та нижні інтегральні коливання, максимальні функції, сингулярні інтеграли.

Abstract

Leonchik E. Ju. Oscillations of functions and differential-difference properties of singular integrals. Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Odessa I. I. Mechnikov National University, Odessa, 2004.

In the thesis we consider the estimations of mean oscillations of essentially bounded functions, properties of spaces which difiniend in terms of mean and low oscillations and the local smoothness of singular integrals and properties of some maximal functions.

The exact estimations for the mean oscillations of the essentially and weakly bounded functions are obtained. For that the necessary and sufficient conditions for Korneychuk inequality were found. Тhe exact estimation of the norm of equimeasurable rearrangement in space of functions with the bounded low oscillation is obtained also.

The exact order estimations of singular integrals are found in case of the odd and summable kernels in terms of Calderon maximal function. They make some already known similar estimations more precise. Estimation of Hardy-Littlewood maximal function is obtained also. Particularly, it implyies one known Muckenhoupt lemma. The behaviour of Hardy-Littlewood and Fefferman-Stein maximal functions are investigated in a point of discontinuity.

Key words: Mean and low oscillations, maximal functions, singular integrals.

Аннотация

Леончик Е. Ю. Колебания функций и дифференциально-разностные свойства сингулярных интегралов. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 математический анализ. Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, Одесса, 2004.

В диссертации исследуются оценки средних интегральных колебаний функций, свойства пространств, определяемых в терминах средних и нижних колебаний; изучается локальная гладкость сингулярных интегралов и свойства некоторых максимальных функций.

В первой главе получены точные оценки средних интегральных колебаний существенно и слабо ограниченных функций. В многомерном случае эти оценки доказаны благодаря применению равноизмеримых перестановок. При доказательстве также использовалось неравенство Н. П. Корнейчука. Найдены необходимое и достаточное условия для справедливости этого неравенства. Далее, в терминах равноизмеримых перестановок получено условие, гарантирующее исчезающее среднее колебание функции, а также необходимое и достаточное условие ограниченности нижнего колебания. Найдена точная оценка нормы равноизмеримой перестановки в пространстве функций с ограниченным нижним колебанием.

Во второй главе изучается локальная гладкость сингулярных интегралов вида свертки. Частными случаями такого вида интегралов являются сопряженная функция, преобразование Гильберта, дробные производные и интегралы. Получены точные по порядку оценки для случаев нечетного и суммируемого ядер в терминах максимальной функции Кальдерона, которые уточняют некоторые известные ранее аналогичные оценки. Также рассматривается специальная максимальная функция, связанная с одним условием Макенхаупта и измеряющая локальную гладкость. Используя эту функцию, найдена оценка равноизмеримой перестановки, из которой, в частности, вытекает известная лемма Макенхаупта о повышении порядка суммируемости. При доказательстве важную роль играли различные леммы о покрытии. Далее, исследуется поведение в окрестности точки разрыва некоторых максимальных функций. Как оказывается оно не может быть произвольным. Максимальная функция Харди-Литтлвуда не имеет точек разрыва I-го рода и в любой окрестности точки разрыва найдутся также значения этой функции, сравнимые с ее значением в самой точке разрыва. Построены примеры, показывающие окончательность результатов, из которых, в частности, следует, что свойство Дарбу для максимальной функции, вообще говоря, не выполнено. Аналогичные результаты получены и для максимальной функции Феффермана-Стейна.

Ключевые слова: Средние и нижние интегральные колебания, максимальные функции, сингулярные интегралы.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеському національному університеті ім. І. І. Мечникова Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Кореновський Анатолій Олександрович, Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, доцент кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Заболоцький Микола Васильович, Львівський національний університет ім. І. Франка, заступник декана механікоматематичного факультету;

кандидат фізико-математичних наук Дзюбенко Герман Анатолійович, вчений секретар Міжнародного математичного центру НАН України.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, кафедра математичного аналізу, Міністерство освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “ 16 ” квітня 2004 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при Одеському національному університеті ім. І. І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного університету за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий 11 березня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О. Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Початок активних досліджень класів функцій, які визначаються в термінах середніх інтегральних коливань, було покладено у роботі Ф. Джона і Л. Ніренберга (On function of bounded mean oscillation // Comm. Pure Appl. Math. 1961. Vol. 14. P. 415-426). В цій роботі встановлена важлива властивість функцій з обмеженим середнім коливанням (BMO Bounded Mean Oscіllatіon) експоненціальну швидкість спадання функції розподілу. Надалі багатьма математиками були введені різні класи, які визначаються за допомогою середніх коливань. Так, С. Кампанато, Н. Мейерс і С. Спанне розглядали класи функцій, середні коливання яких спадають с заданою швидкістю, а Д. Сарасон клас функцій зі зникаючим середнім коливанням (VMO Vanishing Mean Oscіllatіon). Вивченню таких класів присвячена велика кількість робіт, а простір BMO відіграє важливу роль в сучасному аналізі. В першу чергу завдяки тому, що він є спряженим до простору (Fefferman C., Stein E. M. spaces of several variables // Acta Math. 1972. V. 129. P. 137-193). Пізніше Р. Койфман і Р. Рохберг (Another characterization of BMO // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 79. P. 249-254) розглядали клас функцій з обмеженим нижнім інтегральним коливанням (BLO Bounded Low Oscіllatіon). Активне дослідження класів BMO, , VMO, BLO продовжується і понині багатьма авторами.

Сингулярні інтегральні оператори представляють один з найважливіших об'єктів аналізу. Перетворення Гільберта, спряжена функція, дробові інтеграли і похідні окремі випадки сингулярних інтегралів. Вивчення гладкості спряженої функції було започатковано ще в роботі І. І. Привалова (Sur les fonctions conjuguйes // Bull. Soc. Math. 1916. № 44. P. 100-103). Надалі оцінки рівномірного модуля неперервності спряженої функції вивчались в роботах А. Зигмунда, І. М. Стейна, Н. К. Барі, С. Б. Стєчкіна та ін. При дослідженні ортогональних рядів та в багатьох інших питаннях застосовується дробовий інтеграл Вейля (Bemerkungen zum begriff des Differential quotienten gebrochener ordnung // Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zыrich. 1917. Bd. 62, № 1_2. S. 296-302) та узагальнений дробовий інтеграл, який поряд зі степеневою містить ще й логаріфмичну особливість. Властивості таких інтегралів описані в фундаментальній монографії С. Г. Самко, А. О. Кілбаса, О. І. Маричева (Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука, 1987. 688 с.). В роботах К. І. Осколкова були розпочаті дослідження кількісної характеристики неперервності спряженої функції, продовжені потім В. І. Колядою, А. О. Кореновським та ін. для других типів сингулярних інтегралів. В данній роботі одержані оцінки локальної гладкості сингулярних інтегралів більш загального вигляду порівнянно з тим, що розглядалися раніше.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі математичного аналізу Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова в рамках науково-дослідної роботи за темою № 229 (2001-2005 р.) "Теорія наближення функцій і теорія сингулярних операторів із зсувом" наказ ОНУ № 55018 від 26.03.01, а також є складовою частиною досліджень, що виконуються за проектом Державного Фонду Фундаментальних Досліджень, грант Ф7/329-2001.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження - середні та нижні інтегральні коливання функцій; класи BMO, VMO, BLO, що визначені в термінах таких коливань; сингулярні інтеграли та максимальні функції.

Предмет дослідження дисертаційної роботи полягає в наступному:

знаходження точних оцінок середніх інтегральних коливань істотно обмежених функцій;

встановлення необхідних та достатніх умов належності функції до класів BLO, VMO та ін.;

одержання точних оцінок локальної гладкості деяких сингулярних інтегралів;

вивчення різницевих властивостей деяких максимальних функцій.

Методи дослідження. Всюди в роботі використовуються методи теорії функцій дійсної змінної, а саме гармонічного аналізу, теорії сингулярних та максимальних операторів, теорії наближення.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

встановлені точні оцінки середніх інтегральних коливань через норму істотно обмеженої функції;

в термінах рівновимірних переставлень отримані необхідні та достатні умови належності функції до класів VMO, BLO, і C;

знайдені точні за порядком оцінки локальної гладкості сингулярних інтегралів типу згортки;

встановлено співвідношення між гладкістю функції і максимальною функцією, яка пов'язана з умовою Макенхаупта ;

досліджена поведінка максимальних функцій Харді-Літтлвуда і Феффермана-Стейна у точках розриву.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для подальших досліджень властивостей сингулярних інтегралів, максимальних функцій, просторів, що визначаються в термінах середніх і нижніх коливань. Результати дисертації також можуть знайти застосування в гармонічному аналізі, теорії операторів, при дослідженні властивостей розв'язків диференціальних рівнянь, в теорії наближення та ін. інтеграл сингулярний різницевий коливання

Апробація результатів дисертації. Представлені результати неодноразово доповідались на семінарі з теорії функцій кафедри математичного аналізу Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова, на науковій конференції, присвяченій 200-річчю з дня народження М. В. Остроградського (26-27 вересня 2001 р., Полтава), на Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ), на Міжнародній науковій конференції "Functional Analysis and its Applications" (28-31 травня 2002 р., Львів) і на конференції молодих вчених в Московському державному університеті ім. М. В. Ломоносова (31 березня 5 квітня 2003 р., Москва).

Публікації. Основні результати роботи опубліковані в чотирьох статтях [14] і в трьох матеріалах і тезах наукових конференцій [57].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, двох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 51 найменування. Повний обсяг складає 108 сторінок.

Хочу висловити глибоку подяку своєму науковому керівнику А. О. Кореновському за постановку задач, постійну увагу до роботи, плідні обговорення, цінні поради та зауваження.

ОСНОВНий ЗМІСТ роботи

У вступі описані суть і стан наукових проблем, що розглядаються в дисертації, їх актуальність, наведено порівняння одержаних результатів з відомими раніше.

У розділі 1 встановлені оцінки середніх інтегральних коливань істотно обмежених функцій. Для цього досліджуються необхідні і достатні умови для справедливості узагальненої нерівності М. П. Корнєйчука, що, можливо, мають і самостійний інтерес. Також вивчаються деякі властивості просторів, що визначені в термінах середніх і нижніх коливань функції.

У розділі 2 знайдені поточкові оцінки локальної гладкості сингулярних інтегралів типу згортки та вивчаються властивості деяких максимальних функцій.

Нехай невід'ємна функція не спадає на і неперервна справа в точці нуль. Говорять, що , якщо функція сумовна на I. Рядом авторів досліджувалось питання про знаходження точної оцінки зверху "норми" різниці функції f і деякої сталої c(f). Найбільш повно це питання вивчене за наступним додатковим припущенням на функцію

, (1)

Вперше така нерівність з'явилася в роботі М. П. Корнєйчука (Об одной экстремальной задаче // Вопросы теории аппроксимации функций. К.: АН УССР, Институт математики. 1980. С. 106-113) . Вони є новими і підсилюють відомі раніше.

Теорема 1.1. Нехай фіксоване число . Якщо функція опукла вгору при деякому , то справедлива нерівність (1). У випадку q>2p2 існує така функція , що опукла вгору, і знайдуться такі , для яких нерівність (1) не виконується.

Теорема 1.2. Нехай фіксоване число і для функції виконується умова (1). Тоді абсолютно неперервна на будь-якому відрізку [a;b] і справедлива нерівність

, ,

причому сталу , взагалі кажучи, зменшити не можна.

Теорема 1.3. Нехай функція опукла вниз. Тоді для будь-якої функції справедлива нерівність

, (2)

причому для кожного знайдеться така функція f₀, що і (2) перетворюється на рівність.

Якщо, крім того, функція задовольняє нерівність (1) при p=2, то (2) набуває більш простого вигляду.

Теорема 1.4. Нехай , . Тоді для будь-якої справедлива нерівність

,

де , причому знайдеться обмежена функція f, для якої остання нерівність перетворюється на рівність.

Теорема 1.5. Для будь-якої справедлива нерівність

,

причому знайдеться обмежена функція f, для якої ця нерівність перетворюється на рівність.

Використовуючи незростаюче, рівновимірне з |f| переставлення, результати теорем 1.31.5, що отримані для функції однієї змінної, перенесені на багатовимірний випадок.

Теорема 1.6. Нехай невід'ємна функція . Тоді справедлива нерівність

,

причому знайдеться слабко обмежена функція, для якої ця нерівність перетворюється на рівність.

М. Франчіозі (A condition implying boundedness and VMO for a function f // Studia math. 1997. Vol. 123, № 2. P. 109-116) показано, що належність функції f до простору випливає з умови

.(3)

Наступна теорема уточнює умову (3).

Теорема 1.8. Нехай невід'ємна, локально сумовна на функція така, що

.

Тоді для будь-якої функції умова

справедлива в тому, і тільки в тому випадку, коли .

Теорема 1.11. Нехай функція вимірна на

і

.

Тоді для невід'ємної функції нерівність



справедлива в тому, і тільки в тому випадку, коли .

I. Клемес (A mean oscillation inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 93, № 3. P. 497-500) встановив, що для невід'ємної функції однієї змінної справедлива нерівність

(4)

Без обмеження на знак f ця нерівність була отримана А. О. Кореновським. Доведення нерівності (4) основане на застосуванні одного з варіантів леми Ф. Рісса "про сонце, що сходить", яка має місце тільки для функцій однієї змінної. В багатовимірному випадку питання про точну оцінку виду (4) залишається відкритим. Наступна теорема містить аналог нерівності (4) для BLO норми функції.

Теорема 1.12. Нехай невід'ємна функція . Тоді справедлива нерівність

(5)

Побудовано приклад, який показує, що умова на знак f в теоремі 1.12 істотна. Нерівність (5), зокрема означає, що рівновимірне переставлення невід'ємної функції з BLO також має обмежене нижнє коливання. Обернене твердження, взагалі кажучи, неправильне.

Результати розділу 1 опубліковані в статтях [1], [2].

В розділі 2 вивчається локальна гладкість згортки. Окремими випадками інтегралу виду (6) є спряжена функція, перетворення Гільберта, дробові похідні та інтеграли. Вивчення гладкості спряженої функції було започатковано ще в роботах І. І. Привалова. В загальному випадку оцінка модуля неперервності має такий вигляд (див., наприклад, Зигмунд А. Тригонометрические ряды, Т. 1. М.: Мир, 1965. 615 с.).

К. І. Осколковим (О C свойстве Лузина для сопряженной функции // Труды МИАН СССР. 1983. Т. 164. С. 124-141) вивчалась кількісна характеризація неперервності в термінах модуля C неперервності. В. І. Коляда (Теоремы вложения и метрические свойства функций: Дис… докт. физ.-мат. наук: 01.01.01. Одесса, 1986. 282 с.) для оцінки такого модуля неперервності запропонував використовувати максимальну функцію Кальдерона. Максимальні функції такого виду при степеневій були вперше розглянуті А. П. Кальдероном і надалі вивчалися в ряді робіт різними авторами.

Теорема 2.1. Нехай непарна і модуль неперервності такі, що

.

Тоді для будь-якої функції при майже всіх має місце нерівність

,

Де

, ,(9)

а стала c залежить лише від і .

Теорема 2.2. Нехай сумовна і . Тоді для будь-якої функції при майже всіх справедлива нерівність

,

де

, ,(10)

а стала c' залежить лише від і .

Теорема 2.3. Нехай , . Тоді

, ,

Де

, ,

а стала c залежить лише від .

Далі, розглядається ще одна максимальна функція, що вимірює локальну гладкість

, .

Теорема 2.4. Нехай функція f сумовна на кубі і . Тоді для будь-якого справедлива нерівність

,

де стала C залежить лише від d.

Теорема 2.5. Нехай така, що

.

Тоді будь-яка f, що належить до , еквівалентна деякій функції з , де

, .

Вище максимальна функція Харді-Літтлвуда Mf використовувалась для вивчення локальної гладкості згортки та інтегральних властивостей функції f. В даній роботі досліджуються також властивості самої Mf. Очевидно, що для неперервної функції f максимальна функція Mf також неперервна. Інтерес представляє поведінка максимальної функції в околі точки розриву. Як виявляється, вона не може бути довільною. Зокрема, як показано в роботі, максимальна функція Харді-Літтлвуда не може мати точок розриву I-го роду.

Неважко побудувати приклад функції f, для якої Mf має точку розриву ІІ-го роду. Два таких приклади наведені в даній роботі. Також відзначається, що значення максимальної функції в околі точки розриву можуть сильно відрізнятися від значення Mf у самій точці розриву. З іншого боку, нами показано, що в будь-якому околі точки розриву знайдуться також значення максимальної функції, які порівнянні з її значенням у самій точці розриву. В зв'язку з цим поводження максимальної функції на інтервалі I ми описуємо в термінах наступної величини

, .

Теорема 2.7. Нехай . Тоді для будь-якої точки справедлива нерівність .

Більш того, для побудовано така f, що залежить від r, для якої в деякій точці x₀. Ця функція є характеристичною функцією деякої множини. Також побудований приклад такої необмеженої f, що . Наведені приклади, зокрема, показують, що максимальна функція Харді-Літтлвуда не зобов'язана мати властивість Дарбу.

Аналогічні результати також отримані для максимальної функції Феффермана-Стейна, яка визначається рівністю .

Теорема 2.8. Для будь-якої точки справедлива нерівність

,

причому, сталу 1, взагалі кажучи, не можна збільшити, а сталу 4 зменшити.

Результати розділу 2 опубліковані у статтях [3], [4].

ВИСНОВКИ

Перший розділ дисертаційної роботи присвячений вивченню властивостей середніх і нижніх коливань, а також дослідженню класів функцій, які визначаються в термінах таких коливань. Отримано точні оцінки середніх інтегральних коливань істотно і слабко обмежених функцій. У багатовимірному випадку ці оцінки доведені завдяки застосуванню рівновимірних переставлень. При доведенні використовувалась нерівність М. П. Корнєйчука. Також знайдені необхідна та достатня умови для справедливості цієї нерівності. Далі, у термінах рівновимірних переставлень отримана умова, що гарантує зникаюче середнє коливання функції, та необхідна і достатня умова обмеженості нижнього коливання. Знайдено точну оцінку норми рівновимірного переставлення в просторі функцій з обмеженим нижнім коливанням.

У другому розділі вивчається локальна гладкість згортки. Отримано точні за порядком оцінки для випадків непарного і сумовного ядер в термінах максимальної функції Кальдерона, які уточнюють деякі відомі раніше аналогічні оцінки. Також розглянута одна спеціальна максимальна функція, яка вимірює локальну гладкість. Отримано оцінку рівновимірного переставлення в термінах цієї максимальної функції, з якої, зокрема, випливає одна відома лема Макенхаупта. Досліджується поведінка в околі точки розриву максимальних функцій Харді-Літтлвуда і Феффермана-Стейна. Побудовано приклади, що показують остаточність результатів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ за темою дисертації

1. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, № 11. C. 1580-1585.

2. Leonchik E. Some conditions implying BLO, VMO, boundedness and continuity // Matematychni Studii. 2003. Vol. 20, № 1. P. 27-32.

3. Леончик Е. Ю. Об оценке локальной гладкости сингулярных интегралов // Известия ВУЗов. Матем. 2003. Т. 490, № 3. С. 20-30.

4. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Вiсник Одеськ. держ. ун-ту. 2000. Т. 5, вип. 3, фiз.-мат. науки. С. 12-17.

5. Леончик Е. Ю. О поведении максимальной функции Харди-Литтлвуда в точке разрыва // Abstracts of conference "Functional Methods in Approximation Theory, Stochastic Analysis and Statistics". Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko Uneversity. 2001. P. 41-42.

6. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Матерiали IX Мiжнародної наукової конференцiї iм. академiка М. Кравчука. Київ: Iнститут математики НАН України. 2002. С. 316.

7. Леончик Е. Ю. Об одном неравенстве из теории приближения // Book of abstracts of International Conference dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach "Functional Analysis and its Applications". Lviv: Lviv Ivan Franko National University. 2002. P. 226.

Размещено на Allbest.ru

...