Чисельне розв’язування просторових стаціонарних самоузгоджених задач електронної оптики на основі методу інтегральних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

УДК 517:519.642:537

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Чисельне розв'язування просторових стаціонарних самоузгоджених задач електронної оптики на основі методу інтегральних рівнянь

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Романенко Анатолій Віталійович

Львів 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник заряджений алгоритм інтегральний

кандидат фізико-математичних наук, доцент Остудін Борис Анатолійович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри обчислювальної математики

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, доцент Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики

доктор фізико-математичних наук, професор Саврук Михайло Петрович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділу механіки композиційних матеріалів

Провідна установа

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, відділ математичного моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ

Захист відбудеться “10” лютого 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-Б).

Автореферат розісланий “4” січня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Стрімкий розвиток обчислювальної техніки сприяє всебічному вивченню проблеми формування, фокусування і транспортування пучків заряджених частинок з великим просторовим зарядом, яка не втрачає своєї актуальності вже понад п'ятдесят років.

Проектування багатьох потужних фізичних приладів, зокрема, прискорювачів, інжекторів для термоядерних установок, апаратів для електронного зварювання, плавлення, нанесення високоякісних покриттів, різноманітних електронно-іонних оптичних систем, приладів НВЧ тощо потребує чисельного розрахунку великострумних пучків заряджених частинок.

Дослідженням у цій галузі присвячені праці Богуславського С.А., Овчарова В.Т., Вайнштейна Л.А., Ільїна В.П., Рудакова Л.І., Рухадзе А.А., Волкова Б.І., Свєшнікова А.Г., Сємашка Н.Н., Головіна Г.Т., Бублика Б.М., Гаращенка Ф.Г., Кириченка М.Ф., Кураєва А.А., Сирового В.А., Монастирського М.А., Тарасова В.А., Муравйова А.Г., Філіпичева Д.С., Захарова Є.В., Сафронова С.І., Тарасова Р.П., Людкевича Й.В., Гордійчука В.І., Чухлєбова А.М., Терешка В.М. та інших.

Складна геометрія поля, притаманна реальним пристроям, практично унеможливлює розв'язання самоузгоджених задач електронної оптики аналітичними методами, а розімкненість заряджених поверхонь звужує коло чисельних методів, які б адекватно описували фізику явища.

Метод граничних інтегральних рівнянь, володіючи безсумнівними перевагами проекційно-сіткових схем, що використовують кусково-визначені апроксимації шуканих розв'язків, набуває особливого значення, коли йдеться про задачі у необмежених областях, зокрема, за наявності розімкнених границь.

Вплив просторового заряду пучка виявляється у нелінійності задачі, що накладає відбиток на стійкість її розв'язків.

Розробка ефективних алгоритмів розв'язування просторових самоузгоджених задач та їхнє теоретичне обґрунтування залишаються відкритими питаннями прикладної математики та інформатики, теорії і практики фізики пучків заряджених частинок тощо.

У дисертаційній роботі вирішується наукове завдання - чисельне моделювання руху великострумного пучка заряджених частинок у самоузгодженому електричному полі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Праця виконана в рамках держбюджетних науково-дослідних тем кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка “Розробка нових підходів та методів чисельного розв'язування задач математичного аналізу, алгебри, диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики” (2000-2002 рр., номер держреєстрації 0100U001425) та “Чисельне розв'язування еволюційних задач та самоузгоджених задач теорії потенціалу за допомогою інтегральних рівнянь” (2003-2004 рр., номер держреєстрації 0103U001933).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є математичне моделювання руху пучка заряджених частинок, обмеженого власним просторовим зарядом. Для досягнення цієї мети треба виконати таке:

1) визначити змістовне (фізичне) і математичне формулювання самоузгодженої задачі;

2) на основі методу інтегральних рівнянь побудувати чисельний алгоритм її розв'язування;

3) засобами функціонального аналізу теоретично обґрунтувати алгоритм (дослідити розв'язність сформульованої задачі, побудувати наближену схему, з'ясувати умови її збіжності, визначити оцінку похибки);

4) перевірити дієвість методики шляхом обчислювальних експериментів і порівнянням одержаних результатів з відомими теоретичними чи експериментальними.

Об'єктом дослідження є процес генерування і транспортування великострумного пучка заряджених частинок. Предметом дослідження є розрахунок пучка заряджених частинок у самоузгодженому електричному полі.

Методи дослідження. У роботі застосовано методи математичного аналізу, математичної фізики, чисельні методи, методи теорії фізики пучків заряджених частинок та методи комп'ютерного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному.

1. Створено математичну модель, яка відповідає розімкненим кусково-гладким ідеально провідним зарядженим поверхням.

2. Розроблено чисельний алгоритм розв'язування самоузгодженої задачі, який дає змогу обчислювати високоградієнтні поля.

3. На основі теорії колективно-компактних операторів досліджено наближену схему розв'язування інтегрального рівняння в областях з осьовою симетрією.

4. Побудовано та теоретично обґрунтовано наближену схему розв'язування двовимірного інтегрального рівняння у суттєво просторовому випадку.

5. З'ясовано умови збіжності наближеного розв'язку самоузгодженої задачі в цілому.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень можна використати в процесі проектування пристроїв на основі великострумних пучків заряджених частинок, поширити на випадок нестаціонарних самоузгоджених задач, задач з урахуванням зовнішнього магнітного поля системи, власного магнітного поля пучка тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1-6] Остудіну Б.А. належать формулювання задач та участь в аналізі одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювалися на шістьох наукових конференціях: VII, VIII, IX та X Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2000-2003), Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001), Міжнародній конференції “Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2002).

У повному обсязі дисертація доповідалася на наукових семінарах “Обчислювальні методи електродинаміки” у Московському державному університеті ім. М.В. Ломоносова під керівництвом проф. Свєшнікова А.Г. та проф. Ільїнського А.С., “Моделювання та оптимізація систем з неповними даними” у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка під керівництвом проф. Гаращенка Ф.Г. та проф. Наконечного О.Г., на семінарі відділу чисельних методів математичної фізики ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом проф. Войтовича М.М. та загальноінститутському науковому семінарі ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України Кіта Г.С.

Публікації. За результатами дисертації опубліковано п'ять статей [1-4, 6] у наукових фахових виданнях з Переліку ВАК України, дві статті [5, 7] у закордонних фахових виданнях та шість тез і матеріалів конференцій. Робота [7] написана без співавторів.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури, містить 15 таблиць та 13 рисунків. Загальний обсяг роботи складає 106 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить 132 найменування.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено мету і задачі дослідження, сформульовано наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, наведено кількість публікацій за темою роботи, виділено особистий внесок здобувача тощо.

У першому розділі “Формування великострумних пучків заряджених частинок” окреслено стан проблеми та шляхи її вирішення в літературі, сформульовано самоузгоджену задачу, наведено загальну схему її розв'язування.

Розглянемо сукупність кусково-гладких ідеально провідних розімкнених обмежених поверхонь електродів у , на яких задані значення потенціалу. Нехай . З поверхні емітера, потенціал якого приймемо рівним нулю, у міжелектродний простір вилітають заряджені частинки.

Процес формування нерелятивістського пучка за відсутності зовнішнього магнітного поля в усталеному режимі за обмеження струму власним просторовим зарядом пучка зводиться до розв'язування стаціонарної самоузгодженої задачі

, (рівняння поля), (1)

, (закон дії сили Лоренца), (2)

, (закон збереження заряду), (3)

щодо невідомих скалярного електричного потенціалу , густини розподілу просторового заряду , густини струму , напруженості електричного поля , радіуса-вектора та швидкості заряджених частинок маси і заряду ; діелектрична стала.

Рівняння (1)-(3) доповнюють граничні та початкові умови

(емітер), (4)

. (5)

Припускаємо, що частинки “стартують” з деякої відстані від емітера, на якій справджується закон Чайлда-Ленгмюра, з нульовою початковою швидкістю. Такі умови відповідають необмеженій емісійній здатності емітера. Інші ефекти (енергетичний розподіл потоку, термоемісія, вторинна емісія, гальмування тощо) не розглядаємо.

Зазначимо також, що стаціонарність задачі (1)-(5) означає незмінність електричного поля в часі, а самоузгодженість відображає залежність густини , яка визначається характером руху пучка частинок, від поля (нелінійність задачі).

Перехід від фізичної моделі до математичної здійснимо шляхом введення відповідних безрозмірних величин, в яких і записуватимемо всі наступні рівняння.

Самоузгоджену задачу (1)-(5) розв'яжемо методом послідовних наближень за просторовим зарядом, який змоделюємо методом трубок струму.

Для цього поверхню емітера розділимо на декілька секцій за припущення, що траєкторії частинок, емітованих однією секцією, подібні й утворюють трубку зі сталим струмом , . Це дає змогу ототожнити з нею центральну траєкторію трубки , тобто

,

причому ,

де - густина струму за законом Чайлда-Ленгмюра, - площа p-секції емітера, а - потенціал у точці, розташованій на відстані від емітера.

Міжелектродний простір розіб'ємо на елементарних комірок , . Всередині k-комірки є елемент, який моделює просторовий заряд . Частину заряду , яку вносить р-промінь, обчислимо за формулою , де час перебування частинок р-променя у k-комірці. Загальний заряд одержимо, виконавши відповідне сумування за всіма траєкторіями, які проходять через k-комірку.

Припустимо, що заряд у k-комірці можна перетворити на розподілену густину об'ємного заряду , тобто густина є кусково-сталою фінітною функцією, яка перетворюється в нуль на електродах (окрім емітера).

Визначені залежності між фізичними величинами дають змогу записати задачу (1)-(5) у вигляді системи з розділеними рівняннями щодо номера ітерації :

знайти і ,, такі що

(6)

(7)

, (8)

(9)

Тут - простір Соболєва з вагою :

(10)

де відкрита куля радіусом з центром у точці (в силу обмеженості електродів для деякого виконується включення ), і нормою

.

Зазначимо, що саме в (10) міститься умова регулярності розв'язку задачі (6)-(7) на нескінченності.

Отже, самоузгоджена задача розпадається на задачу Діріхле для рівняння Пуассона та задачу Коші. Задачу Діріхле (6)-(7) розв'яжемо методом інтегральних рівнянь. Опускаючи залежність від , подамо її розв'язок у вигляді

(11)

де перший інтеграл виражає потенціал поверхневих зарядів, розподілених з густиною , а другий потенціал об'ємних зарядів, розподілених з густиною , відстань між точками та .

Тоді, використавши апроксимацію в (11), знайдемо потенціал, за значеннями якого проінтегруємо рівняння руху (8) за умов (9). Далі, на підставі одержаних траєкторій та струмів кожної трубки, визначимо новий розподіл заряду . Ітераційний процес продовжуватимемо доти, доки сусідні наближення струмів (залежні від поточного значення потенціалу) не збіжуться з заданою точністю .

У другому розділі “Визначення потенціалу самоузгодженого поля”, спираючися на відомий підхід до граничних задач для рівнянь еліптичного типу з умовами, заданими на розімкнених поверхнях (Вендланд В., Костабель М., Стефан Є., Сіао Г. та Сибіль Ю.М.), розв'язано інтегральне рівняння, еквівалентне узагальненій зовнішній задачі Діріхле для рівняння Пуассона. Окремо розглянуто осесиметричне поле та поле просторових конфігурацій. У першому випадку, враховуючи добре розроблений апарат чисельного розв'язування інтегрального рівняння першого роду зі слабкою особливістю в ядрі (Воронін В.В., Габдулхаєв Б.Г., Дмітрієв В.І., Захаров Є.В., Золотаревський В.А., Ільїнський А.С., Кресс Р., Смагін С.І., Саврук М.П., Хапко Р.С., Цецохо В.А), інтегральне рівняння розглянуто у модифікованих просторах Гьольдера, що в силу відповідних теорем вкладання не суперечить узагальненому формулюванню задачі Діріхле. Виділення логарифмічної особливості в ядрі рівняння в явному вигляді дало змогу звести його до рівняння другого роду і використати відомий підхід до аналізу наближеної схеми методу квадратур, побудованого за формулою Ерміта (Гаусса-Чебишова), яка враховує сингулярну поведінку шуканого розв'язку на контурі поверхні. Збіжність наближеної схеми на функціях просторів Соболєва з'ясовано за теорією колективно-компактних операторів. У другому випадку на основі чисельно-аналітичного підходу та загальної теорії абстрактних наближених схем побудовано й теоретично обґрунтовано наближену схему методу колокації розв'язування відповідного двовимірного інтегрального рівняння у функціональних просторах слідів, з'ясовано умови збіжності наближеного розв'язку задачі Діріхле.

У випадку осьової симетрії поля, використовуючи параметричне подання зарядженої поверхні у циліндричній системі координат, одержимо одновимірне інтегральне рівняння з логарифмічною особливістю в ядрі, яку виділено в явному вигляді:

Аналіз наближеної схеми проведемо, використовуючи відомий підхід (Хатсон В., Пім Дж.), що ґрунтується на теорії колективно-компактних операторів. З цією метою подамо (12) у вигляді операторного рівняння другого роду

Теорема 1. Нехай. Покладемо. Тоді за досить великих, і для справджуються оцінки

Ця теорема стверджує, що за досить великих система лінійних алгебричних рівнянь

Теорема 2 (оцінка похибки). Нехай. Тоді відхилення наближеного розв'язку рівняння (15) від розв'язку рівняння (13) задовольняє нерівність (16), в якій

У випадку поля просторових конфігурацій, створеного однією зарядженою поверхнею S, розглянемо простір

Узагальнена зовнішня задача Діріхле для рівняння Пуассона еквівалентна інтегральному рівнянню першого роду з додатно визначеним оператором, тобто розв'язок задачі Діріхле має вигляд (11), де розв'язок рівняння (17). Навпаки, якщо є розв'язком рівняння (17), то функція u, задана виразом (11), є розв'язком задачі Діріхле.

Розв'язність цієї задачі та еквівалентність диференціального формулювання інтегральному з'ясовані Сибілем Ю.М.

Додатна визначеність оператора дає змогу використати загальну теорію абстрактних наближених схем (Обен Ж.П., Треногін В.А., Поліщук О.Д.). За теоремою Банаха, відповідний обернений оператор обмежений і справджуються нерівності

Інтегральне рівняння (17) розв'язано за методом колокації за кусково-сталої апроксимації. Вибір саме такої апроксимації зумовлений метою дисертаційного дослідження щодо самоузгодженої задачі. Апроксимації вищих порядків для граничної задачі для рівняння Лапласа розглянуто окремо в роботах Остудіна Б.А. та Гарасима Я.С.

Використовуючи оператори звуження і продовження побудовано відповідну наближену схему, яку досліджено на основі властивості оптимальності згаданих операторів, стверджено збіжність апроксимацій простору та стійкість наближеного оператора (матриці відповідної системи лінійних алгебричних рівнянь).

Теорема 3 (збіжність наближеної схеми). Наближений розв'язок рівняння (17), одержаний за методом колокації, за апроксимації невідомої густини розподілу поверхневих зарядів лінійною комбінацією кусково-сталих “функцій”, збігається до його точного розв'язку, і справджується оцінка похибки

Зауваження. Відомо (Богуславский С.А., Вайнштейн Л.А., Овчаров В.Т., Kirstein P.T., Kino G.S., Muller R., Morrison J.A., Lewis J.A.), що густина розподілу поверхневого заряду стрімко зростає поблизу краю зарядженої поверхні. Це пов'язано з наявністю потенціального бар'єра, розмір якого в радіальному напрямі практично співпадає з розміром поверхні. З математичного боку, густина розподілу поверхневого заряду є необмеженою на краю поверхні. Проте функція є неперервною, адже визначена на відкритій множині, і точки колокації на межу не потрапляють. Тому оператори звуження та продовження є обмеженими, і відповідний градієнт існуватиме.

Наближений розв'язок задачі Діріхле подамо у вигляді дискретне значення густини поверхневого заряду в точках колокації, дискретне значення просторового заряду в -комірці, кількість просторових комірок. Вважаємо елементи плоскими чотирикутниками, а паралелепіпедами, тому відповідні інтеграли в та обчислюємо аналітично.

Теорема 4 (збіжність наближеного розв'язку задачі Діріхле). Наближений розв'язок рівняння Пуассона за будь-якої правої частини, одержаний на основі розв'язку еквівалентного інтегрального рівняння, збігається до точного розв'язку в нормі простору, і для будь-якого справджується оцінка

Наведені вище результати щодо розв'язування одно- та двовимірного інтегральних рівнянь у дисертації узагальнено на випадок декількох заряджених поверхонь.

У третьому розділі “Розрахунок траєкторій заряджених частинок”, спираючися на чисельно-аналітичний підхід та враховуючи особливості в ядрах відповідних інтегралів, апроксимовано компоненти вектора напруженості просторового та осесиметричного електричного поля. Систему рівнянь руху другого порядку зведено до системи диференціальних рівнянь першого порядку, яку розв'язано методом типу предиктор-коректор Адамса-Башфорта-Мултона четвертого порядку. Також з'ясовано умови збіжності наближеного розв'язку відповідної задачі Коші до точного.

Зазначимо, що функція є неперервною, коефіцієнти в (21) обчислюємо аналітично. Це дає змогу, не зважаючи на узагальнене трактування рівності (8), ефективним чином використати для розв'язування задачі Коші (8)-(9) багатокроковий метод типу предиктор-коректор.

Теорема збіжності наближеного розв'язку вимагає гладкість четвертого порядку вектор-функції. Вона буде такою, якщо у виразах відповідних похідних проводити сумування за всіма просторовими комірками, окрім тієї, в яку потрапляє точка спостереження. В іншому разі, гарантувати швидкість четвертого порядку збіжності наближеного розв'язку не можна. Тоді задачу Коші треба розв'язувати будь-яким методом першого порядку, зокрема, методом Ейлера, адже існує єдиний розв'язок задачі, оскільки функція неперервна і задовольняє умову Ліпшиця за х .

У четвертому розділі “Моделювання руху пучка, обмеженого просторовим зарядом” визначено початкові дані для трубок струму, густини струмів та об'ємних зарядів. На основі нижньої релаксації за густиною струму побудовано ітераційний алгоритм розв'язування самоузгодженої задачі, в якому використано прискорення збіжності за Начамкіним-Хенкоком. У підсумку з'ясовано умови збіжності наближеного розв'язку самоузгодженої задачі в цілому.

Теорема 5 (про збіжність наближеної схеми самоузгодженої задачі). Якщо

Зауваження. Умова (22) означає, що розв'язки задачі (8)-(9), тобто розподіл траєкторій збігається до точного, адже кожна траєкторія є трубкою струму, а тому вносить просторовий заряд, чим і визначає.

Доведена теорема стверджує, що в разі вдалого врахування впливу просторового заряду, наближений розв'язок самоузгодженої задачі прямуватиме до точного. Це означає відсутність запирання трубок струму у процесі моделювання руху пучка заряджених частинок, на що безпосередньо впливає вдалий вибір відстані для розрахунку траєкторій, параметрів релаксації та дискретизації заряджених поверхонь і міжелектродного простору.

У п'ятому розділі “Обчислювальні експерименти. Аналіз розрахунків великострумних пучків” проведено низку обчислювальних експериментів, які дали змогу порівняти одержані результати з відомими теоретичними і даними фізичних вимірювань.

Окремо розглянуто системи, які володіють осьовою симетрією. Насамперед визначено розподіли потенціалів імерсійної та одиночної лінз (максимамальна відносна похибка (МВП) обчислень не перевищує 3%).

Розраховано плоскопаралельний діод з необмеженою емісійною здатністю катода, для якого відомий аналітичний розв'язок (ітераційний процес для двадцяти трубок струму збігається за 10 ітерацій (табл. 1), МВП осьового значення потенціалу складає близько 3%, МВП густини струму не перевищує 1.5%, якщо знехтувати впливом просторового заряду, то похибка складатиме 270%).

У табл. 1 відповідно до номера ітерації наведено значення параметра прискорення збіжності за Начамкіним-Хенкоком, падіння потенціалу у двадцятій трубці (густина в ній максимальна) щодо лапласівського, відносну похибку струму в цій трубці та середнє значення густини струму на кожній ітерації. Аналітичне значення густини струму становить .

Розраховано електронно-оптичну систему, що складалася з катода, модулятора (електрода керування), прискорювального, фокусувального електродів та анода (рис. 1, ітераційний процес для двадцяти трубок струму збігається за 30 ітерацій; результат відповідає фізичному змісту задачі, який полягає у відхиленні заряджених частинок модулятором та їхньому фокусуванні).

Розраховані значення первеансу (1.6788410-6 АВ-3/2) та кросовера (мінімального перерізу, ,) пучка цілком відповідають експериментальним характеристикам гармати Пірса. Властивості сформованого пучка описує фазова характеристика, побудована в поперечному фазовому просторі з координатами ( - радіальна координата траєкторії-трубки струму; - її нахил до осі гармати).

Кількісну оцінку ступеня впорядкованості електронного потоку та якості його формування засвідчує середньоквадратичний емітанс, обчислений на основі радіальних координат та нахилів усіх траєкторій-трубок струму, і складає. Зазначимо, що середньоквадратичний емітанс ламінарного пучка, якому відповідає лінійна фазова характеристика, дорівнює нулю. Фазова характеристика в площині кросовера пучка разом із одержаним значенням емітансу свідчать про цілком прийнятний рівень ламінарності потоку електронів.

Відповідно до номера ітерації наведено значення параметра прискорення збіжності за Начамкіним-Хенкоком, падіння потенціалу в трубці струму з максимальною густиною щодо лапласівського потенціалу, який дорівнює , відносна похибка струму в цій трубці та середнє значення густини струму на кожній ітерації. За збільшення кількості трубок струму до ста відбувається незначне зростання показників. Кількість ітерацій збільшується до дванадцяти. Значення густини струму зростає до .

Окремо розглянуто плоскопаралельний діод за суттєво просторового формулювання самоузгодженої задачі. Ітераційний процес збігається за 8 ітерацій, МВП одержаного значення потенціалу на осі не перевищує 9%, а густини струму - 5%. Ці результати одержані на основі 3200 точок колокації, 8000 просторових комірок, 840 трубок струму.

Відповідно до номера ітерації наведено характеристики -трубки струму (падіння потенціалу, поточний потенціал, значення параметра прискорення збіжності за Начамкіним-Хенкоком, відносну похибку струму), відносну похибку потенціалу на осі () та густину струму.

Також чисельно-аналітичний підхід для розв'язування відповідного двовимірного інтегрального рівняння узагальнено на випадок циліндричних заряджених поверхонь (МВП розподілу потенціалу замкненого циліндра не перевищує 1%).

На відміну від задач з енергетичним розподілом потоку і потенціальною ямою поблизу катода, задач з гальмуванням чи вторинною емісією, в задачах з необмеженою емісійною здатністю емітера характер залежності густини розподілу просторового заряду від потенціалу суттєво відрізняється, що наочно ілюструє випадок плоскопаралельного діода, в якому , оскільки густина струму за законом Чайлда-Ленгмюра, що “згладжує” загальний нелінійний характер впливу на.

Використовуючи середнє арифметичне та середнє квадратичне наближення розрахованих потенціалу та густини просторового заряду за всіма комірками: визначено показники у залежності для всіх розглянутих задач. Так, у плоскопаралельному діоді одержаний результат (осьова симетрія: 0.80896, 0.98867; суттєвий простір: 0.90968, 0.97477) повністю відповідає апріорному припущенню. Характер залежності у п'ятиелектродній системі відповідає ( , якщо сумування проводити тільки серед комірок з ненульовим зарядом). Суттєву нелінійність досліджуваних величин ілюструє задача про формування плазмової межі, де 0.07812, . Для гармати Пірса одержані значення склали , , та , , якщо сумування проводити тільки серед комірок з ненульовим зарядом.

Висновки

У дисертації на основі методу граничних інтегральних рівнянь проведено чисельне моделювання руху нерелятивістського великострумного пучка заряджених частинок, обмеженого власним просторовим зарядом, в усталеному режимі за відсутності зовнішнього магнітного поля.

Основні результати роботи є наступними.

1. Запропоновано математичну модель, яка відповідає розімкненим кусково-гладким ідеально провідним зарядженим поверхням і не потребує штучного замикання області.

2. Розроблено чисельний алгоритм розв'язування самоузгодженої задачі, який дає змогу обчислювати високоградієнтні поля.

3. Побудовано та теоретично обґрунтовано наближені схеми розв'язування сингулярних одно- та двовимірного інтегральних рівнянь. Використання чисельно-аналітичного підходу дало змогу спростити розрахунок потенціалу самоузгодженого поля та його градієнта, гарантуючи при цьому належну точність обчислень.

4. З'ясовано умови збіжності наближеного розв'язку самоузгодженої задачі в цілому. Ними є таке узгодження вхідних параметрів для розрахунку руху пучка заряджених частинок, яке унеможливлює запирання окремих трубок струму.

5. Дієвість методики перевірено шляхом обчислювальних експериментів і порівнянням одержаних результатів з відомими теоретичними чи експериментальними. Зокрема, розраховано плоскопаралельний діод з необмеженою емісійною здатністю катода, змодельовано рух пучка заряджених частинок у самоузгодженому полі електронно-іонної оптичної системи джерела високовольтного жевріючого розряду та в гарматі Пірса сферичного типу. Визначено характер нелінійної залежності густини розподілу просторового заряду від потенціалу.

Одержані результати можна використати в процесі проектування пристроїв на основі великострумних пучків заряджених частинок, для розв'язування нестаціонарних самоузгоджених задач, задач з урахуванням зовнішнього магнітного поля системи, власного магнітного поля пучка тощо.

Список опублікованих праць

Остудін Б., Романенко А. Застосування методу квадратур до інтегрального рівняння у стаціонарних осесиметричних самоузгоджених задачах електронної оптики // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформатика. - 2000. - № 2. - С.5967.

Остудін Б., Романенко А. Розрахунок руху пучка заряджених частинок в електростатичному полі з урахуванням просторового заряду // Теоретична електротехніка. 2002. № 56. С. 87-103.

Остудін Б., Романенко А. Формування плазмової межі у самоузгодженому полі електронно-іонної оптичної системи високовольтного тліючого розряду // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформатика. - 2002. - № 4. - С. 144152.

Остудін Б., Романенко А. Про збіжність методу квадратур для інтегрального рівняння у стаціонарних осесиметричних самоузгоджених задачах електронної оптики // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформатика. - 2003. - № 7. - С. 65-74.

Остудин Б., Романенко А. Расчет сильноточного нерелятивистского пучка заряженных частиц в самосогласованном поле // Радиотехника и электроника. - 2004. - Т. 49, № 3. - С. 354-364.

Остудін Б., Романенко А. Математичне моделювання руху великострумного пучка заряджених частинок у самоузгодженому 3D-полі // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2004. - Т. 47, № 2. - С. 151-162.

Romanenko A. On numerical modeling of a space-charge limited beam in the self-consistent field // Pakistan Journal of Information and Technology. - 2002. - Vol. 1, No. 3. - P. 218-227.

Анотація

Романенко А.В. Чисельне розв'язування просторових стаціонарних самоузгоджених задач електронної оптики на основі методу інтегральних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

У дисертації застосовано метод інтегральних рівнянь з метою чисельного моделювання руху нерелятивістського пучка заряджених частинок у самоузгодженому електричному полі. Запропоновано математичну модель, яка відповідає розімкненим кусково-гладким ідеально провідним зарядженим поверхням, розроблено та теоретично обґрунтовано чисельний алгоритм розв'язування самоузгодженої задачі, що дає змогу обчислювати високоградієнтні поля. Задачу розв'язано методом послідовних наближень за просторовим зарядом, який змодельовано методом трубок струму. Скалярний електричний потенціал, який є розв'язком задачі Діріхле для рівняння Пуассона, визначено у вигляді різниці потенціалів простого шару та об'ємного на основі розв'язку еквівалентного інтегрального рівняння. Окремо розглянуто поле просторових конфігурацій та осесиметричне поле: побудовані й теоретично обґрунтовані наближені схеми розв'язування відповідних одно- і двовимірного інтегральних рівнянь. Рух заряджених частинок змодельовано методом типу предиктор-коректор. Дієвість методики перевірено шляхом обчислювальних експериментів і порівнянням результатів з відомими теоретичними чи експериментальними.

Ключові слова: великострумний пучок заряджених частинок; самоузгоджена задача; метод інтегральних рівнянь; рівняння Пуассона; метод колокації

Аннотация

Романенко А.В. Численное решение пространственных стационарных самосогласованных задач электронной оптики на основе метода интегральных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичческих наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.

В диссертации применен метод интегральных уравнений с целью численного моделирования движения нерелятивистского пучка заряженных частиц в самосогласованном электрическом поле.

Предложена математическая модель, которая соответствует разомкнутым кусочно-гладким идеально проводящим заряженным поверхностям, разработан и теоретически обоснован численный алгоритм решения самосогласованной задачи, позволяющий рассчитывать высокоградиентные поля. Задача решена путем последовательных приближений по пространственному заряду, который смоделирован методом трубок тока. Скалярный электрический потенциал, будучи решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона, найден в виде разности потенциалов простого слоя и объемного на основе решения эквивалентного интегрального уравнения.

Отдельно рассмотрены поле пространственных конфигураций и осесимметричное поле: построены и теоретически обоснованы приближенные схемы решения соответствующих одно- и двумерного интегральных уравнений. Движение заряженных частиц смоделировано методом типа предиктор-корректор. Эффективность методики подтверждена путем вычислительных экспериментов и сравнением полученных результатов с известными теоретическими или экспериментальными.

Ключевые слова: сильноточный пучок заряженных частиц; самосогласованная задача; метод интегральных уравнений; уравнение Пуассона; метод коллокации

Abstract

Romanenko A.V. Numerical approach to solve spatial stationary self-consistent problem of electronic optics based on the integral equation method. - Manuscript.

Thesis for an attainment of academic degree in Physical and Mathematical Sciences by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2004.

The thesis is devoted to application of the integral equation method to simulate numerically the motion of non-relativistic heavy-current space-charged beam in stationary condition without external magnetic field.

The mathematical model corresponding to open sectionally smooth perfectly conducting charged surfaces has been produced. An algorithm, being able to estimate high-gradient fields, to solve self-consistent problem has been developed and substantiated.

This problem has been solved by means of successive approximations with respect to the space charge, being simulated by the current-tube method. Scalar electric potential, being defined as a solution of external generalized Dirichlet problem for the Poisson equation, has been determined in the mode of difference between simple layer potential and volume potential based on solution of an equivalent integral equation of the first kind. The field of spatial configuration and axisymmetrical field have been considered separately. The approximate schemes to solve corresponding one- and two-dimensional singular integral equations have been built and substantiated.

The system of ordinary differential equations simulating the motion of charged particles has been integrated using a method resembling the Adams-Bashfort-Moulton predictor-corrector algorithm.

The iteration procedure applied to solve the self-consistent problem involves the lower current-density relaxation and the Nachamkin-Hancock convergence acceleration. In the upshot the convergence criterion of whole self-consistent problem has been proved. Obtained theorem confirms that only correct account of space-charge influence leads to exact solution. This means the absence of current tubes being cut off during the simulation. The happy choice of relaxation parameters and digitazaiton of charged surfaces and interelectrode space affect it directly.

The efficiency of the technique has been corroborated by numerical experiments and comparison of obtained results with the known theoretical or experimental.

The plane parallel diode with unlimited emissive cathode capability, having an analytical solution, has been calculated. The iterative procedure for 20 current tubes converges in 10 iterations. The highest possible relative error (HPRE) of axial potential equals about 3%. The HPRE of current density is less than 1.5%. Having not taken into account space-charge influence, HPRE of potential rises up to 270%.

The space-charged flow associated with the formation of a plasma boundary in the self-consistent field of the electron-ion optical system of high-voltage glowing discharge has been modeled. The iteration process for 20 current tubes converges in 11 iterations. Obtained result agrees well with experiment, which is confirmed by the ion- and electron-beam distributions and the plasma-boundary flexure towards the anode.

The motion of the electron beam in a spherical Pierce gun has been computed for 20 current tubes. The iteration process converges in 9 iterations. The perveance and beam-crossover region have been calculated. The phase beam characteristics have been built. Based on a root-mean-square emittance the quantitative estimation of the flow degree orderliness and formation beam quality have been determined. The order dependence of the distribution space-charged density from the potential has been specified. Obtained results agree well with the gun characteristics.

The plane parallel diode with ulimited emissive cathode capability has been calculated in the essential space case. The iterative procedure converges in 8 iterations. The HPRE of axial potential equals about 9%. The HPRE of current density is less than 5%. These results have been obtained based on 3200 collocation points, 8000 spatial cells, modeling space charge, and 840 current tubes.

Numeric-analytical approach to solve corresponding two-dimensional integral equation has been generalized in the case of cylindrical charged surfaces. The HPRE of potential distribution computed in the closed cylinder equals about 1%.

Key words: heavy-current charged particle beam; self-consistent problem; the integral equation method; the Poisson equation; the collocation method.

Размещено на Allbest.ru

...