Математичне моделювання нелінійних збурень процесів типу "фільтрація-конвекція-дифузія" з післядією

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЗБУРЕНЬ ПРОЦЕСІВ ТИПУ “ФІЛЬТРАЦІЯ-КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ” З ПІСЛЯДІЄЮ

Спеціальність: Математичне моделювання та обчислювальні методи

Бомба Андрій Ярославович

Київ, 2005 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При моделюванні еко-енергосистем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у схильних до деформації середовищах за умов оптимізації відповідних параметрів виникає необхідність врахування: зворотного впливу (взаємовпливу) визначальних факторів процесу (наприклад, градієнтів напору, величини струму, різного роду концентрацій “забруднюючих” середовище речовин ін.) на характеристики середовища (коефіцієнт провідності, коефіцієнт конвективної дифузії, опір і т. д.), впливу додаткових компонент на процес (наприклад, вплив явищ дифузії на конвективно-фільтраційних фонах), впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу на нього додаткових (як внутрішніх, так і примежових) джерел на характер течії.

При дослідженні, зокрема, процесів фільтрації (наприклад, у навколодренному середовищі) досить актуальне на сьогоднішній день врахування явища втрати фільтраційної міцності ґрунтів внаслідок перевищення діючими градієнтами допустимого критичного їх значення для даного ґрунту, що може супроводжуватись суттєвими змінами питомої витрати та значно вплинути на роботу всієї дренажної системи, навіть вивести меліоративну систему з ладу. При моделюванні ж такого роду процесів, де важливим моментом є розв'язання крайових задач теорії фільтрації з урахуванням суфозії, взаємовпливу градієнтів напору, фільтраційних характеристик середовища та ін., дослідники, як правило, пропонують нові за суттю постановки задачі, які відрізняються від попередніх напрацювань. Реалізація відповідних моделей на практиці часто виявляється надто ускладненою, у цьому криється причина їх низької поширеності. На відміну від такого підходу, автором дисертаційної роботи запропоновано нову методологію побудови моделей вказаних процесів шляхом збурення вихідних фільтраційних фонів, що дозволяє не відкидати, а ефективно використовувати усі попередні досягнення та напрацювання. Реалізація такого загального ідейного підходу, зокрема, приводить до постановки відповідних нових нелінійних крайових задач з післядією, задач про стабілізацію середовища, задач фільтрації у випадку формування збурених зон змінним коефіцієнтом фільтрації із врахуванням нерівномірного заповнення пористого простору та ін.

При розв'язанні такого типу задач для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, виникає проблема однозначності нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення за умов збурення, зокрема, проблема виявлення так званих “ключових” задач на знаходження тих значень потенціалу керування, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, перетоків тощо). Зазначимо також, що на сьогоднішній день не вирішеною лишається актуальна проблема обернення просторових нелінійних крайових задач теорії потенціальних та квазіпотенціальних полів, а саме відшукування спеціальних типів просторових аналогів конформних і квазіконформних відображень зв'язаних з моделюванням фільтраційних процесів, що важливо при дослідженні більш складних процесів (наприклад, поширення забруднень на таких фільтраційних фонах).

Вирішення проблеми “обернення” крайових задач на конформні та квазіконформні відображення створює основу для розширення меж застосування розробленої автором методики розв'язання типових крайових задач для сингулярно збурених параболічних та еліптичних рівнянь, суттєвого його розвинення (побудови пограншарових поправок стосовно нових типів областей комплексного потенціалу із змінною у часі ділянкою границі області) з метою вирішення не менш важливих й актуальних проблем моделювання процесів конвективної дифузії (міграції забруднень) на фільтраційних фонах, деформацій граничних (вільних) поверхонь (русел) турбулентним водним потоком, розробки ефективних методів розв'язання збурених нелінійних задач для параболічних рівнянь дифузії у випадку, коли їх коефіцієнти залежать не тільки від шуканої функції, але й від положення вільних ділянок границі області. Робота виконувалась у відповідності із планами держбюджетних науково-дослідних робіт на теми: “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (№державної реєстрації 0100U004897), “Чисельно-асимптотичні методи в задачах екології” (Державний фонд фундаментальних досліджень ДКНТ України, проект №1/778 від 4.05.92 та №11.3/91), а також пов'язана із науково-дослідними роботами: “Математичні моделі нелінійних стаціонарних і нестаціонарних фільтраційних і гідравлічних процесів, проблеми взаємозв'язку та врахування локальних неоднорідностей” (№І-34 на підставі рішення експертної комісії НУВГП від 10 січня 1995 р., протокол №4 до наказу ректора від 12 січня 1995 р. за №6), “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів у ґрунтових греблях із врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища” (№2-62, НУВГП, 17.05.03).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методології моделювання, дослідження та оптимізації параметрів нелінійно-збурених систем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у деформівних середовищах за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища та врахування впливу зміни вільної границі, додаткових джерел та явищ на основний процес.

Для її досягнення визначені наступні завдання дослідження:

1. Розробити новий підхід до моделювання фільтраційних процесів із урахуванням взаємовпливу більших за критичні градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації та розв'язання відповідних нелінійних крайових задач із післядією. На основі модифікації закону Дарсі побудувати локально нелінійні моделі процесів фільтрації у зернистих середовищах, де при великих градієнтах напору мають місце суфозійні деформації, та розвинути методи розв'язання відповідних крайових задач про стабілізацію середовища. В рамках моделей, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, розробити алгоритми для знаходження значення фільтраційної витрати. Встановити співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та відповідного середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку і конструктивних характеристик гідроспоруд. Виходячи з проблем оптимізації конструктивних параметрів в залежності від характеристик ґрунту та гідродинамічної дії фільтраційного потоку, розробити критеріальні моделі формування зон збурення середовища (за рахунок процесів типу суфозії, кольматажу і ін.) з урахуванням нерівномірного заповнення порового простору та зворотного впливу;

2. Розробити методологію числового розрахунку потенціальних і квазіпотенціальних течій у деформівних середовищах, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу на основі розв'язання відповідних нелінійних задач на конформні і квазіконформні відображення;

3. Розробити методику нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення (на основі модифікації методу Р-трансформацій та інших методів) в областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії. З метою системного вивчення такого класу задач проаналізувати та описати всі можливі випадки формування течії залежно від значень потенціалу збурення (керування) і виділити типи задач (“ключових”) на знаходження тих його значень, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, втоків, перетоків тощо). Відповідну методику системного дослідження перенести на випадки тризв'язних областей із потенціалом керування на одному із внутрішніх контурів;

4. Розробити числово-асимптотичну методику: розв'язування нелінійних сингулярно збурених задач - математичних моделей типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, зокрема, методику побудови відповідних асимптотичних поправок в околах ліній розділу течії, асимптотичного розвинення розв'язків періодичних задач стосовно багатозв'язних областей, сингулярно збурених задач із запізненням та аналогічних задач для інтегро-диференціальних рівнянь при врахуванні різного роду взаємовпливу. На основі розв'язання крайових задач на обернені конформні та квазіконформні відображення розробити методику системного підходу до побудови асимптотичних розвинень розв'язків сингулярно збурених задач типу “конвекція-дифузія” на відповідних фільтраційних фонах за умов керування;

5. Побудувати просторові аналоги крайових задач на конформні відображення. На цій основі отримати розв'язки сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” для просторового криволінійного паралелепіпеда;

6. Розробити підхід до моделювання та дослідження процесів “руйнування” окремих ділянок границь областей (деформації дна, вимивання частинок, руйнування свердловин, дрен та ін.), а також методику наближення розв'язків мішаних сингулярно збурених нелінійних задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними ділянками меж, де коефіцієнт, що характеризує проникнення частинок в рідину, залежить від змінної в часі ділянки границі області.

Об'єкт дослідження - різнокомпонентні нелінійні процеси типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” в середовищах схильних до деформації. Предмет дослідження - математичні моделі нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища, впливу додаткових компонент на процес, впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу додаткових джерел на характер течії.

Методи дослідження - при моделюванні процесів, що досліджуються використовуються ідеї методу послідовних наближень, асимптотичні методи, методи теорії функцій комплексної змінної (конформних і квазіконформних відображень) в комбінації із різними чисельно-аналітичними методами (зокрема методом Р-трансформацій). При переході від “незбурених” задач до “збурених” (нелінійних) ставилась вимога: класичні форми законів, що описують дані процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.) залишити початково прийнятими, та, не починаючи “спочатку”, отримані “незбурені” розв'язки доповнювати різними поправками, при моделюванні та дослідженні процесів із післядією (при врахуванні зворотнього впливу) кожне з послідовних наближень розв'язків відповідних нелінійних задач повинно відображати певний “часовий” стан до стабілізації процесу.

Наукова новизна одержаних результатів. Проведені теоретичні дослідження дозволили отримати такі нові результати:

1. Розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу визначальних факторів процесу та характеристик деформівного середовища. На основі модифікації закону Дарсі, як узагальнення апробованих та експериментально підтверджених базових моделей взаємовпливу градієнту напору та характеристик середовища для осесиметричної фільтрації створені нові локально-нелінійні моделі та підходи до розв'язання задач про стабілізацію процесів типу “фільтрація-суфозія” із встановленням відповідних зон збурення в одно та багатозв'язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями;

2. Створена нова ефективна методологія чисельного наближення розв'язків нелінійних задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображення в чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, а також у двозв'язних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями, з використанням ідеї їх обернення, яка поширена на випадки неоднорідних, шаруватих, анізотропних середовищ та задачі в областях з вільними межами та особливостями;

3. В результаті виконаного системного аналізу (евристичного опису з наступним логічним обґрунтуванням) всіх можливих випадків формування течії в залежності від заданих значень потенціалу керування на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області, а також на одному з внутрішніх контурів тризв'язної області, розв'язана проблема неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення та розроблена процедура автоматизованого вибору відповідного випадку. На цій основі запропоновано постановки та методику розв'язання крайових задач на конформні відображення при невідомому значенні потенціалу на ділянці збурення однієї із граничних ліній течії за відомою схемою формування течії як задачі на керування;

4. Вперше побудовано асимптотичні розвинення розв'язків нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” у криволінійних областях, зокрема для многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, з урахуванням запізнення та інших форм взаємовпливу характеристик середовища (коефіцієнтів фільтрації та дифузії) та процесу;

5. Запропоновано методологію побудови асимптотики розв'язків сингулярно збурених задач в чотирикутних криволінійних областях за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії та відповідних періодичних задач для тризв'язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями, до якої уведено нового типу пограншарові поправки вздовж ліній розділу течії, а регулярна частина конструюється нестандартно в залежності від шуканого значення потенціалу керування;

6. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, вперше одержано асимптотичний розклад розв'язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображені більш як у 60 наукових працях, з них 31 - у фахових виданнях за напрямком досліджень (з них 6 написані без співавторів).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми, сформульована мета і задачі досліджень.

Також наукова новизна отриманих результатів та їх практичне значення.

У першому розділі описано стан досліджень та виконаний огляд літератури з проблем моделювання процесів фільтрації, конвективної дифузії, асимптотичних методів розв'язання сингулярно-збурених крайових задач. Відзначено, що одним з перших питання про закон руху рідин в пористих середовищах поставив та експериментально дослідив французький інженер А.Дарсі. Основні положення теорії фільтрації розробляли такі видатні вчені, як Ж. Дюпюї, М.Є. Жуковський, П.Я. Полубаринова-Кочина, А.М. Костяков, В.І. Аравін і С.М. Нумеров, Н.Н. Веригін, С.Ф. Авер'янов, Н.М. Гeрсеванов, М.Г. Бернардинер, Р. Коллінз, М.М. Павловський, Р.Р. Чугаєв, П.Ф. Фільчаков, І.І. Ляшко, В.І. Лаврик, А.Я. Глущенко, В.В. Скопецький, В.С. Дейнека, В.Н. Монахов, В.Г. Голубєв, Н.Д. Якімов та інші. Нелінійні залежності між швидкістю фільтрації та градієнтом напору для крупнозернистих ґрунтів в залежності від пористості, розміру частинок та інших факторів вперше запропоновані А.Ф. Форхгеймером, ідеї якого стосовно нелінійних процесів фільтрації (що не описуються за допомогою закону Дарсі) зазнали суттєвого розвитку у роботах С.А. Християновича та його учнів. Праці С.В. Ізбаша, А.М. Патрашева, М.І. Хрисанова, В.С. Козлова, С.В. Ковальчука, О.Я. Олійника, О.М. Костякова, Д.М. Мінца, М.Т. Ефендієва, А.П. Вавілова, А.І. Мурашка поклали початок для грунтовного вивчення і дослідження суфозійних явищ та кольматужу. Нелінійні залежності градієнтів напору та швидкості фільтрації розглядались А.П. Власюком, П.М. Мартинюком та В.М. Булавацьким при моделюванні процесів фільтраційної консолідації ґрунтів з урахуванням впливу концентрації сольового розчину.

На основі результатів експериментальних лабораторних досліджень, проведених під керівництвом М.М. Хлапука в Національному університеті водного господарства і природокористування (м. Рівне) зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності ґрунтів (яка пов'язана зі зміною коефіцієнта фільтрації) в навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту. З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів напору та коефіцієнта фільтрації нами (сумісно з Хлапуком М.М. і Сидорчуком Б.П.) запропоновано підхід до розв'язання відповідних осесиметричних нелінійних крайових модельних задач, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, одержано аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати та встановлено співвідношення між характеристиками деформованого середовища та середовища, що деформується, в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних характеристик дренажу, визначені критерії формування різними способами деформованих зон, наведено рекомендації для розрахунку витрати до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища тощо.

Теоретичні дослідження актуальних проблем моделювання (головним чином одновимірних) різного роду процесів масопереносу (конвекція, дифузія, масообмін типу сорбція-десорбція, тощо) на згаданих вище фільтраційних і довільних інших ідеальних та квазіідеальних фонах були зроблені, зокрема, у роботах І.Г. Богуського, А.Н. Патрашева, С.Н. Нумерова, Н.Н. Веригіна, В.Н. Ніколаєвського, Д.Ф. Шульгіна, Б.С. Шержукова, інших. Використання ідеї переходу у рівнянні конвективної дифузії до координат області комплексного потенціалу разом із аналітичними або числово-аналітичними методами дало змогу В.І. Лаврику та його учням отримати точні або наближені аналітичні розв'язки типових двовимірних задач масопереносу при плоско-вертикальній і плановій, усталеній або квазіусталеній фільтрації, що виникають при дослідженні процесів забруднення або засолення ґрунтових вод. Розробці методів чисельного та чисельно-аналітичного розв'язання одновимірних і двовимірних задач волого- і солепереносу, розповсюдження забруднень та суміжних задач геогідродинаміки присвячені роботи І.І. Ляшка, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, В.С. Дейнеки, В.М. Булавацького, Я.Й. Бурака, Є.Я. Чаплі, О.Ю. Чернухи, Я.Г. Савули, Г.А. Шинкаренка та ін.

Розроблений метод асимптотичного наближення розв'язків сингулярно збурених задач масопереносу при плановій фільтрацї підземних вод у випадку переважання конвективних складових процесу над дифузійними в криволінійних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії є ефективним в зв'язку з можливістю розщеплення складної математичної моделі вихідного процесу на послідовність розв'язання простіших задач. Зазначимо, що асимптотичні методи зародились у 18 ст. і широко застосовувались у працях Лагранжа, Лапласа, Лавер'є, Ньютона, Лідштедта, Гільдена та інших. Відомий метод усереднення був розроблений Н.М. Криловим, М.Н. Боголюбовим, Ю.А. Митропольським. Для диференціальних рівнянь із частинними похідними асимптотику розв'язків досліджували В. Штернберг, В. Вазов, Н. Левінсон, М.В. Келдиш, О.А. Олійник, С.М. Каменомостська, Є.П. Жидков, Д. Аронсон, Є.К. Ісакова, М.І. Вішик, Л. Люстернік, М. Джавадов, Л. Бобісуд, Су Юй-чен, Я.А. Ройтберг, Н.С. Бахвалов, Р.I. Мурадов, Л.Чезарі i багато інших. Інтенсивний розвиток теорії сингулярних збурень започаткований відомими роботами А.Н. Тихонова, С.А. Ломова, А.М. Ільїна, Д. Аронсона, Дж. Коул та ін.

Ефективний асимптотичний метод розв'язку сингулярно збурених задач запропонований М.І. Вішиком і Л.А. Люстерником, значущою особливістю якого є ідейна простота, “охоплення” основних і другорядних явищ (складових частин процесу) та чутливе реагування на них, застосування до широкого кола задач. В основі цього методу лежать дві ідеї: регулярного перетворення, яка йде ще від Прандтля, а також ідея пограншарових поправок. Модифікуючи цей метод (шляхом введення примежових функцій та розробки спеціальної процедури згладження), В.Ф. Бутузов і А.Б. Васильєва, А.В. Нєстєров отримали асимптотику розв'язків сингулярно збурених задач типу “реакція-дифузія-перенесення” для типових канонічних областей. У випадку недостатньої узгодженості граничних умов А.П. Власюком побудовані відповідні реброві та кутові функції. Н.О. Нікіфорович поширила запропоновану методику на випадки дослідження процесів масопереносу з урахуванням масообміну. Запропоновані підходи розвинено С.В. Барановським при побудові асимптотичних наближень розв'язків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях із вільними межами, які виникають при математичному моделюванні та дослідженні процесів розмиву дна русел.

При визначенні ж власних завдань дослідження в роботі наголошено на наявність складної структури взаємозалежностей різних факторів, що визначають процеси у системах типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, які не враховувались у традиційних (класичних) моделях таких систем. Врахування ж різних взаємовпливів, а також різних додаткових факторів, що вносяться до базової моделі з метою глибшого вивчення процесу, часто приводить дослідників до необхідності побудови громіздких, але малоефективних (з точки зору чисельної реалізації і практичного використання) математичних моделей. Проте у багатьох практично важливих випадках при дослідженні таких процесів вдається побудувати узагальнюючу ідеологію математичного моделювання систем типу “фільтрація-конвекція-дифузія” та методологію розв'язання відповідних нелінійних задач з використанням ідей збурень (де врахування нових факторів, явищ здійснюється шляхом збурення добре вивчених класичною теорією вихідних фонів, а не в результаті розв'язання відповідних нових громіздких модельних задач). У роботі нами розглядаються відповідні процеси у середовищах - областях, обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії (зокрема, вільними кривими), які можуть піддаватися деформаціям (зокрема, фільтраційним) залежно від певних характеристик процесу, що, в свою чергу, зумовлює характер перебігу процесу, тобто є підстави говорити про взаємовплив характеристик середовища та процесу. Крім цього, досліджувані середовища, їх границі можуть містити окремі “ділянки-джерела”, що зумовлюють зміну структури деякої вихідної (базової) течії (зокрема, їх можна розглядати і як джерела забруднень), або ділянки границі, які змінюють свою форму у часі в залежності від розвитку процесу в середовищі (ділянки “розмивання”). Фільтраційна течія розглядається нами ще і як певний фон для конвективного перенесення розчинних речовин (забруднення) з урахуванням малих дифузійних явищ. Згадані вище процеси в анізотропних, неоднорідних, схильних до деформації середовищах вивчатимемо на основі нелінійних диференціальних рівнянь:

Задачу для такого типу рівнянь з запізненням зведено до послідовності “відокремлених” (відповідно “конвективно-дифузійних” та “фільтраційних”) задач без запізнення, що дозволяє відповідні “компоненти” процесу в певному сенсі вивчати автономно, концентруючи увагу переважно на конкретних видах “взаємовпливів”.

Відзначено, що розроблені математичні модельні залежності коефіцієнта фільтрації, а також метод послідовних наближень, запропонований для розв'язання нелінійних задач із післядією, які виникають при моделюванні процесів фільтрації у деформованих середовищах, дозволяють розвивати дані процеси і в часі. При переході від “незбурених” задач до “збурених” ставиться вимога, щоб класичні форми законів, що описують ці процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.), залишити початково прийнятими та, відмовляючись розв'язувати останні “з нуля”, отримані “незбурені” розв'язки доповнювати різними поправками. Більш того, моделюючи та досліджуючи процеси з післядією (з врахуванням зворотнього впливу), вимагаємо, щоб кожне з послідовних наближень розв'язків відповідних нелінійних задач відображало певний “часовий” стан (етап) до стабілізації процесу.

У другому розділі представлені: підходи до моделювання нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” в деформівних середовищах (на прик-ладах осесиметричних задач), постановки обернених задач про конформні відображення криволінійних чотирикутників на прямокутники та многочленні наближення їх розв'язків, методи чисельного розв'язання обернених неліній-них крайових задач на конформні та квазіконформні відображення, асимптотичний метод розв'язання сингулярно збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” в неоднорідному анізотропному середовищі.

Третій розділ присвячено розвитку запропонованої нами методології квазіконформних відображень стосовно моделювання взаємовпливу градієнтів напору (потенціалу) та характеристик середовища для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями. Ефективність нелінійних обернень крайових задач на квазіконформні відображення при моделюванні впливу градієнтів напору на процес фільтрації в роботі демонструється на прикладі однозв'язної криволінійної області (пласт, що піддається деформації). Відповідну їй обернену задачу на квазіконформне відображення області на при невідомій витраті отримано у вигляді:

При цьому відповідні рівняння другого порядку (аналоги рівнянь Лапласа) для знаходження функцій з огляду на залежності коефіцієнта від кожної із них є взаємозв'язаними:

В основу розробленого нами методу знаходження розв'язку відповідної різницевої задачі (отриманої за схемами типу “хрест” або “ящик” з масовими операторами) в загальному випадку покладено ідею “почергового заморожування” параметра квазіконформності та граничних і внутрішніх вузлів сітки. А саме, задавши початкові наближення координат граничних вузлів і початкові наближення координат внутрішніх вузлів, знаходимо початкове наближення невідомої величини як зважено (відносно) усередненого відношення величин сторін елементарних в чотирикутників. Використовуючи дане наближення, проводимо уточнення координат внутрішніх вузлів шляхом обчислення координат вузлів на основі вираження їх значень через відповідні значення координат сусідніх вузлів з різницевих аналогів рівнянь. Далі “підправляємо” координати граничних вузлів, виходячи з умов ортогональності сіткової області та знову обчислюємо нові наближення величин і т. д.

Умовами закінчення процесу є стабілізація значень координат граничних вузлів та витрати в процесі ітерації, мінімізація величини відхилення відношення діагоналей від одиниці, інше (при цьому процес може бути закінчений при виконанні однієї із зазначених умов, з можливістю виділення тих ділянок області, де не виконуються інші умови). Якщо ж потрібно збільшити ступінь точності наближеного розв'язку, то збільшуємо кількість і вузлів розбиття сіткової області та розв'язуємо різницеву задачу заново (оптимальність співвідношення між і досягається, наприклад, шляхом оптимізації функціоналів типу Рімана з урахуванням заміни конформної сітки на відповідну квазіконформну). На основі описаної вище методики проведені численні експерименти з розв'язання тестових та прикладних задач і деякі з одержаних результатів представлені в дисертаційній роботі. Зокрема, розроблена методика застосована для дослідження процесу фільтрації з урахуванням суфозійних деформацій середовища з використанням моделі, в якій коефіцієнт фільтрації середовища приймався сталим у випадку, коли градієнт напору є меншим від деякого його критичного для даного ґрунту значення, і рівним у протилежному випадку:

Четвертий розділ присвячений проблемі системного дослідження процесів типу “фільтрація-конвекція” у випадках, коли на деякій ділянці однієї із граничних ліній течії фізичної чотирикутної області поміщено джерело збурення вихідної течії. Оскільки в таких модельних задачах області комплексного потенціалу, що відповідають різним значенням потенціалу збурення, можуть відрізнятися не тільки невідомими параметрами, але і формою, то разом із побудовою алгоритмів наближеного розв'язку відповідної нелінійної оберненої задачі в кожному з конкретних випадків формування течії у фізичній області необхідно розв'язати і проблему її вибору з множини можливих конфігурацій. З цією метою у роботі на основі евристичних міркувань з наступним логічним обґрунтуванням встановлено 23 можливих випадки формування течії при різних скінчених значеннях, визначено відповідні їм області комплексного потенціалу та розроблено алгоритм їх вибору.

Зазначимо, що особливий інтерес тут представляють випадки, які визначаються єдиним значенням (названі нами “ключовими” або “оптимізаційними”). При цьому у роботі відповідні постановки модельних задач вперше формулюються не тільки з врахуванням їх фізичного і геометричного змістів, але і з точки зору оптимізації певних функціоналів (перетоків виду, де - визначені ділянки границі області) відносно як параметра керування, а також наведені приклади розв'язання різних типів конкретних “ключових” та “проміжних” задач (розроблені відповідні обчислювальні алгоритми).

В якості ілюстрації, наведено результати розв'язку модельної задачі знаходження найменшого (оптимізаційного) зі значень керуючого потенціалу, при якому відсутній перетік від ділянки збурення MN до ділянки DC виходу течії з даної області, значень "а-а-а" перетоків відповідно від ділянки входу течії АВ до MN і до DC з побудовою динамічної сітки.

Особливістю постановок задач конвективного переносу для таких фільтраційних схем є неявна визначеність ділянок, на яких задаються граничні умови, а саме - ділянок-витоків.

П'ятий розділ присвячено моделюванню і дослідженню плоских та просторових процесів розповсюдження розчинних речовин (наприклад, забруднень) на побудованих і вивчених фільтраційних (квазіідеальних) фонах у випадках переважання їх конвективних складових над дифузійними та розробці чисельно-асимптотичних методів побудови розв'язків відповідних нелінійних сингулярно збурених задач за умов взаємовпливу різних характеристик середовища та процесу. На початку розглядаються дві автономні сингулярно збурені задачі:

а) конвективної дифузії при нелінійній фільтрації (за умов взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта провідності середовища);

б) нелінійної конвективної дифузії (з післядією). Першу з них в області зведено до задачі:

Методом характеристик розв'язок “конвективної” задачі одержано у вигляді:

На основі розробленого методу асимптотичного наближення розв'язку нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними межами, у роботі представлено підхід до моделювання і дослідження процесів деформації русла водним потоком на ділянках планового русла. нелінійний рівняння математичний

При цьому запропонована математична модель процесу деформації незв'язного піщаного русла, в якій відрив та вертикальний підйом частинок ґрунту під впливом водного потоку розглядається як їх дифузія (що характеризується деяким “фіктивним” коефіцієнтом) в області із змінною в часі ділянкою границі (поверхнею дна).

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розв'язана науково-технічна проблема розробки ефективного методологічного та математичного апарату моделювання, дослідження нелінійно-збурених систем типу “фільтрація-конвекція-масообмін-дифузія” в середовищах схильних до деформацій за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу і характеристик середовища, врахування впливу зміни вільної границі “провідного” середовища на течію, додаткових джерел та явищ на основний процес. Зокрема:

1. Розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища і процесу, зокрема, урахуванням взаємовпливу більших за критичні значення градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації. На основі модифікації закону Дарсі створені нові локально-нелінійні базові моделі та підходи до розв'язання відповідних задач про стабілізацію процесів типу “фільтрація-суфозія” та характеристик середовищ, що деформуються;

2. Розроблена нова ефективна методологія чисельного наближення розв'язків нелінійних задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображення в чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, а також у двозв'язних областях обмежених еквіпотенціальними лініями з використанням ідеї їх обернення, що дозволяє на отриманому в результаті побудованої динамічної сітки конвективному фоні ефективно досліджувати розвиток та взаємовплив інших явищ (типу “масообміну”, “конвективної дифузії” і т. п.);

3. Апробовані й експериментально підтверджені базові моделі взаємовпливу градієнту напору та характеристик середовища для осесиметричної фільтрації (при роботі дрен як у режимах осушення, так і зволоження) узагальнено на випадки довільних двозв'язних неоднорідних, анізотропних середовищ, обмежених еквіпотенціальними лініями. Розроблений метод перенесено на випадки задач з особливостями, спеціальних типів задач у шаруватих середовищах, в областях з вільними межами та інших нелінійних задач;

4. За результатами теоретичних досліджень та числових експериментів розроблено методику прогнозування ділянок деформацій (збурення) середовищ (наприклад, ділянки вимивання та осідання суфозійних частинок) та методику розрахунку зміни інтегральних характеристик течії (витрат) внаслідок таких деформацій. На цій основі пояснено та обґрунтовано невідповідність проектних характеристик дренажних систем, отриманих згідно з прийнятими на даний час стандартами, в галузі фільтраційних розрахунків, результатам їх практичної експлуатації;

5. В результаті вперше зробленого евристичного опису та наступного логічного обґрунтування всіх можливих випадків формування течії в залежності від заданих значень додаткового потенціалу на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області розв'язана проблема неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення з використанням розробленої процедури автоматизованого вибору відповідного випадку. На цій основі вперше запропоновано постановки крайових задач на конформні відображення при невідомому значенні додаткового потенціалу на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії за відомою структурною схемою формування течії як задач на оптимізацію та керування. Розроблено метод розв'язання такого роду задач, що дає можливість будувати динамічну сітку, знаходити лінії розділу течії та обчислювати різного роду відповідні перетоки (втоки, витоки), який апробовано для окремих проміжних та ключових випадків, зокрема, при умові відсутності стоку з ділянки збурення. Відповідну методику постановки та чисельного наближення розв'язку перенесено на випадки нових крайових задач на конформні відображення із потенціалом керування у тризв'язних, обмежених еквіпотенціальними лініями, областях;

6. Побудовано та обґрунтовано підвищеної точності асимптотичні розвинення розв'язків сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, вперше побудовано асимптотичні розвинення розв'язків нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, зокрема для многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, з урахуванням запізнення та інших форм взаємовпливу характеристик середовища (коефіцієнтів фільтрації та дифузії) та процесу, запропоновано підхід до розв'язання сингулярно збурених задач за умов наявності ліній розділу течії в областях з потенціалами збурення. На цій основі отримано розв'язки ряду модельних задач: у чотирикутних криволінійних областях із потенціалом керування на ділянці збурення однієї із ліній течії, у тризв'язних областях;

7. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, одержано асимптотичний розклад розв'язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії в криволінійному паралелепіпеді;

8. З огляду на проблеми опису деформацій русла турбулентним потоком на основі розробленої загальної методології збурень розроблено підхід до побудови чисельно асимптотичних наближень розв'язків відповідних нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь типу “конвекція-дифузія” в областях з вільною ділянкою границі;

9. Розроблені методи, підходи та алгоритми постановок та розв'язання модельних задач адаптовано, апробовано та використано для вирішення окремих інженерно-технічних проблем, зокрема, при моделюванні масопереносу в зоні прихвату колони труб, що дозволило уточнити причини виникнення та технологію ліквідації прихвату, а також при моделюванні роботи гідравлічного аератора із змінним масообміном кисню.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бомба А.Я. Нелинейные обращения краевых задач на конформные отображения с управлением в граничных условиях // Проблемы управления и информатики. - 2004. - №4. - С. 80-90.

2. Бомба А.Я. О решении одного класса нелинейных обратных краевых задач на конформные отображения с управлением // Компьютерная математика. - 2003. - №2. - С. 97-104.

3. Бомба А.Я. Просторові сингулярно збурені крайові задачі типу “конвекція-дифузія” // Волинський математичний вісник. Серія прикладна математика. - 2003. - Вип. 1. - С. 27-35.

4. Бомба А.Я. Чисельно-асимптотичне наближення розв'язків сингулярно-збурених нелінійних крайових задач типу “фільтрація-дифузія” за умов взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта фільтрації // Волинський математичний вісник. - 2002. - Вип. 9. - С. 12-21.

5. Бомба А.Я. Про метод сумарних зображень розв'язання нелінійних крайових задач на конформні відображення в шаруватих середовищах // Волинський математичний вісник. - 2000. - Вип. 7. - С. 17-21.

6. Бомба А.Я. Про розв'язок одного класу нелінійних крайових задач для рівнянь дивергентного типу із розривними коефіцієнтами // В кн.: Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування: Збірник наукових праць. - Київ: Інститут математики НАН України. - 1996. - С. 49-52.

7. Бомба А.Я. Асимптотический метод решения одного класса сингулярно возмущенных пространственных задач конвективной диффузии при фильтрации со свободной поверхностью // В кн.: Теория гидродинамических моделей. - Свердловск, 1988. - С. 76-79.

8. Бомба А.Я. Асимптотический метод решения одной пространственной задачи массопереноса // В кн.: Некоторые модели движения сплошной среды и их приложения. - М.: Наука, 1988. - С. 115-120.

9. Бомба А.Я., Гутіна Ж.С., Каштан С.С., Хлапук М.М. Моделювання нелінійних фільтраційно-суфозійних процесів в ґрунтових греблях // Вісник Укр. нац. ун-ту водн. госп. та природокорист: Збірн. наук. праць. - Вип. 23 (27). - Рівне: НУВГП. - 2004. - С. 105-112.

10. Бомба А.Я., Каштан С.С. Моделювання зворотного впливу градієнтів потенціалу на процес фільтрації // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - 2004. - Т. 9, число 1. - С. 123-129.

11. Бомба А.Я., Каштан С.С., Скопецкий В.В. Нелинейные обратные краевые задачи на конформные отображения с управляющим потенциалом // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - №1. - С. 71-79.

12. Бомба А.Я., Пригорницкий Д.А., Присяжнюк И.М. Решение задач типа “конвекция-фильтрация” в многосвязных областях // Компьютерная математика. - 2004. - №1. - С. 152-159.

13. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Крайові задачі на конформні відображення для тризв'язних областей з потенціалом керування // Доповіді НАН України. - 2004. - №4. - С. 57-63.

14. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О. Нелiнiйнi модельні крайовi задачi на квазiконформнi вiдображення для тризв'язних анізотропних середовищ // Журнал обчисл. та прикл. матем. - 2004. - №2 (91). - С. 19-24.

15. Бомба А.Я., Пригорницький Д.О., Скопецький В.В. Чисельне розв'язання нелінійних модельних крайових задач на квазіконформні відображення з післядією // Доповіді НАН України. - 2004. - №3. - С. 62-68.

16. Бомба А.Я., Скопецький В.В., Присяжнюк И.М. Сингулярно возмущенные задачи типа “конвекция-диффузия” в многоcвязных областях // Компьютерная математика. - 2004. - №2. - С. 99-104.

Размещено на Allbest.ru