Асимптотичні властивості оцінок функції інтенсивності пуассонівських процесів та полів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Асимптотичні властивості оцінок функції інтенсивності пуассонівських процесів та полів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Інтерес до питання оцінювання параметрів пуассонівських процесів і полів зумовлений численними застосуваннями в теорії обробки сигналів, теорії кодування, а також у геофізиці, оптиці, біостатистиці, метеорології, геології, екології. Параметричній оцінці функції інтенсивності пуассонівських процесів і полів присвячено багато робіт, наприклад, таких авторів, як P.A. Lewis, D.R. Cox, V. Isham, D.A. Vere - Jones, T. Ozaki, P.J. Diggle, A.F. Karr, Y. Ogata, K. Katsura, N.A. Cressie, B.D. Ripley, X. Zheng, Ю.А. Кутоянц і Ю.М. Ліньков.

У статті А.Я. Дороговцева і О.Г. Кукуша застосовувався непараметричний підхід до оцінювання функції інтенсивності пуассонівського процесу. У книзі Ю.А. Кутоянца (1998) підведено підсумок результатів по параметричних і непараметричних оцінках, побудованих за спостереженнями пуассонівських процесів. У зв'язку з розвитком теорії оцінювання параметрів усе більший інтерес представляють оцінки параметрів точкових полів. Теорія точкових полів, зокрема полів Пуассона, описана, наприклад, у книзі Д. та Г. Стоянів, а також у роботах D.J. Daley and D.A. Vere - Jones, B.D. Ripley, D.R. Brillinger, O. Kallenberg, J.F. Kingman, R.D. Reiss. Автори Р. Хелмерс, Р. Зітікіс, W. Mangku, M. Bebbington у своїх роботах розглядали оцінку максимальної вірогідності періодичної функції інтенсивності пуассонівського поля. Р. Хелмерс і Р.Зітікіс (1999) розглядали непараметричні оцінки для функціі інтенсивності пуассонівського поля, при цьому оцінювалась функція інтенсивності у фіксованій точці.

Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичних властивостей непараметричної оцінки функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля. При цьому вимагається періодичність цієї функції. Оцінка побудована за спостереженнями поля на областях, що розширюються. Також розглянута задача оцінювання функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля в непараметричній і параметричній постановках. Можливі застосування отриманих результатів в екології.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика роботи пов'язана з дослідженнями, проведеними на кафедрі математичного аналізу КНУ ім. Тараса Шевченка в рамках програми INTAS, Project 2000, №16.

Мета і задачі дослідження. Побудувати непараметричну оцінку максимальної вірогідності (ОМВ) функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля і вивчити її асимптотичні властивості. Вивчити асимптотичну поведінку параметричних і непараметричних ОМВ маркованого пуассонівського поля.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі розглядається нова непараметрична оцінка функції інтенсивності пуассонівського поля, яка отримана максимізацією функціонала на компактній нескінченновимірній параметричній множині. Уперше отримані наступні результати:

- достатні умови конзистентності непараметричної оцінки функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля;

- достатні умови асимптотичної нормальності гладких функціоналів від оцінки і швидкість середньоквадратичної збіжності оцінки;

- оцінка швидкості збіжності у рівномірній нормі для ОМВ компенсатора пуассонівського поля;

-достатні умови конзистентності та швидкість середньоквадратичної збіжності непараметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля;

- достатні умови конзистентності й асимптотичної нормальності параметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертації результати носять теоретичний характер. Вони можуть застосовуватися при обробці експериментальних даних в екології, астрономії, фізиці, тому що пуассонівські поля є математичною моделлю багатьох явищ у цих галузях.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач і визначення напрямків діяльності належать науковому керівнику, доведення отриманих результатів належать здобувачу. Одна з робіт, що містять основні результати, а саме [1], написана в співавторстві з О.Г. Кукушем. У даній роботі здобувачем досліджені асимптотичні властивості функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля, науковому керівнику належить тільки постановка задачі. Інші роботи опубліковані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на:

- VIII міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (м. Київ, 2000 р.),

- міжнародній конференції «Stochastic Analysis and its Applications» (м. Львів, 2001 р.),

- міжнародній конференції FM 2001 «Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics» (м. Київ, 2001 р.),

- X міжнародній науковій конференції імені акад. М. Кравчука (м. Київ, 2004 р.),

- міжнародній конференції FM 2004 «Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics» (м. Київ, 2004 р.),

- науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Донецького національного університету (м. Донецьк, 2002-2004 р.),

- науковому семінарі кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України «КПІ» (м. Київ, 2004 р.),

- спільному семінарі «Асимптотичні методи статистики» кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики і кафедри математичного аналізу Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2004 р.),

- науковому семінарі відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механики НАН України (м. Донецьк, 2004 р.),

- науковому семінарі відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (м. Київ, 2004 р.),

- науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2004 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано у трьох статтях [1] - [3] та тезах трьох конференцій [4] - [6].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, основної частини у двох розділах, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 127 сторінок. Список використаних джерел містить 45 найменувань і займає 5 сторінок.

Основний зміст роботи

компенсатор конзистентність пуассонівський

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну отриманих результатів, стисло викладені отримані результати.

У першому розділі розглядається неоднорідне пуассонівське поле з періодичною функцією інтенсивності. У підрозділі 1.1 визначена модель спостережень поля та побудована ОМВ функції інтенсивності.

Означення 1.1. Точковою мірою на борелевій множині назвемо міру на борелевій - алгебрі, що має представлення.

Нехай - повний імовірнісний простір. Далі усі випадкові процеси та поля вважаються заданими на цьому просторі. У просторі розглядається - алгебра. Це найменша -алгебра, відносно якої усі відображення вимірні, де - довільна борелева підмножина А.

Означення 1.2. Точковим процесом на А назвемо - вимірне відображення

Таким чином, при кожному є випадковою точковою мірою. Значення цієї міри на позначатимемо через.

Означення 1.3. Нехай - це -скінченна міра на. Точковий процес назвемо (неоднорідним) пуассонівським полем з мірою інтенсивності, якщо:

а) при всіх з, значення має пуассонівський розподіл з параметром

б) для кожного і кожного набору борелевих підмножин А, що попарно не перетинаються, значення є незалежними випадковими величинами.

Означення 1.4. Якщо міра інтенсивності пуассонівського поля абсолютно неперервна відносно міри Лебега (тут міра Лебега звужена на), то похідна Радона - Никодима називається функцією інтенсивності пуассонівського поля.

Введемо наступні умови.

(і) - пуассонівське випадкове поле з невідомою функцією інтенсивності.

(іі) Для фіксованих додатних чисел

Ця умова є аналогом періодичності функції інтенсивності пуассонівського процесу. Позначимо.

(ііі) Функція у внутрішніх точках бруса збігається з функцією, причому належить K - заданій компактній у просторі множині, яка складається з невід'ємних функцій.

Тут і надалі - рівномірна норма у просторі неперервних функцій на. Покладемо та.

(іv) Виконується нерівність (тут і надалі використосовується інтеграл Лебега).

(v) В задано зростаючу послідовність обмежених борелевих множин, причому має додатну міру Лебега.

Виявляється, що для побудови ОМВ за спостереженнями подій поля на множині достатньо розглянути функціонал

Тут задовольняє умову (іі) і збігається з у внутрішніх точках множини. В (1) і надалі позначає міру Лебега множини.

Доводиться, що для кожного та існує випадковий елемент із значеннями в такий, що

Тут - деяка подія повної імовірності, тобто.

Означення 1.5. Назвемо розподілений у випадковий елемент оцінкою максимальної вірогідності (ОМВ) функції інтенсивності пуассонівського поля В, якщо задовольняє (2), де.

У підрозділі 1.2 розглянуті достатні умови строгої конзистентності оцінки. Нам знадобляться наступні позначення:

Введемо обмеження на область спостережень.

Це в точності означає, що прямують до нескінченності за Ван Говом.

Теорема 1.2. Нехай виконані умови (i) - (vi). Тоді з імовірністю 1

Наслідок 1.1. Нехай - деякий банахів простір, неперервно вкладений у простір.

2) для функцій з виконана умова (iv).

Тоді при виконанні умов (i) - (iii), (v) - (vi)

У підрозділі 1.3 вивчені умови швидкості середньоквадратичної збіжності оцінки. Введемо додаткові умови.

(vii) Множина складена з невід'ємних функцій та компактна в просторі.

(viii) При кожному виконана нерівність

Теорема 1.3. Нехай виконані умови (i) - (viii). Тоді

Тут позначає послідовність випадкових величин, що прямують до 0 за імовірністю.

Введемо наступну умову.

Умова (ix) виконується, наприклад, якщо і - це відкрита куля

Наслідок 1.3. Нехай виконані умови теореми 1.3, а також умова (ix). Тоді

У підрозділі 1.4 доведено асимптотичну нормальність гладких функціоналів від оцінки. Наступні умови забезпечують додаткову гладкість функції .

Теорема 1.4. Нехай виконані умови (i) - (viii), (x) - (xii) та наступна умова

Тоді при кожному розподіл величини слабко збігається до нормального закону з середнім значенням 0 та дисперсією.

У підрозділі 1.5 отримана оцінка швидкості збіжності у рівномірній нормі для ОМВ компенсатора пуассонівського поля.

Теорема 1.5. Нехай виконані умови (i) - (xii). Тоді при

Наближене обчислення ОМВ можливе за допомогою проектування компакта на скінченновимірний підпростір. У підрозділі 1.6 запропоновано приклад зведення до скінченновимірної оптимізаціонної задачі при Нехай простір Соболєва періодичних функцій, які мають узагальнені частинні похідні четвертого порядку, що інтегровані у квадраті. Розглядається параметрична множина наступного вигляду:

У другому розділі вивчається асимптотична поведінка непараметричної і параметричної оцінок функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля.

У підрозділах 2.1 та 2.2 побудовано непараметричну ОМВ функції інтенсивності, наведено достатні умови конзистентності та знайдено швидкість середньоквадратичної збіжності даної оцінки.

Нехай H - сепарабельний дійсний нескінченновимірний гільбертів простір.

Означення 2.1. Точковою мірою на борелевій множині назвемо міру на борелевій - алгебрі, що має представлення

Означення 2.2. Неоднорідне пуассонівське поле на множині називається неоднорідним маркованим пуассонівським полем.

Припустимо, що на зростаючих множинах, ми спостерігаємо точки пуассонівського поля заданого на Тут - борелева множина в H з непорожньою внутрішністю, - обмежена борелева множина в з, причому має нескінченну міру Лебега.

В підрозділах 2.3 та 2.4 вивчено умови конзистентності та асимптотичної нормальності параметричної ОМВ функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля.

Скалярний добуток, є гауссовою випадковою величиною з розподілом, яка задана на ймовірнісному просторі.

Теорема 2.3. Нехай виконані умови (iі)- (iv), (vi), (xvii) - (xxi). Тоді з імовірністю 1

Для того, щоб забезпечити асимптотичну нормальність оцінки, нам знадобляться наступні умови.

Висновки

Побудовано нову непараметричну оцінку функції інтенсивності пуассонівського поля шляхом максимізації функціоналу на компактній нескінченновимірній параметричній множині, вивчено асимптотичні властивості побудованої оцінки.

Уперше отримані достатні умови конзистентності та швидкість середньоквадратичної збіжності непараметричної оцінки функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля.

Уперше отримані достатні умови асимптотичної нормальності гладких функціоналів від непараметричної оцінки функції інтенсивності неоднорідного пуассонівського поля.

Уперше виписано оцінку швидкості збіжності у рівномірній нормі для оцінки максимальної вірогідності компенсатора неоднорідного пуассонівського поля.

Наведено схему наближеного обчислення оцінки максимальної вірогідності шляхом зведення до скінченновимірної задачі.

Уперше отримані достатні умови конзистентності та швидкість сереньоквадратичної збіжності непараметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля.

Уперше отримані достатні умови конзистентності та асимптотичної нормальності параметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля.

Список опублікованих праць

1. Кукуш О.Г., Степанищева А.О., Асимптотичні властивості непараметричної оцінки інтенсивності неоднорідного пуассонового поля // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2001. - Вип. 65. - C. 97-109.

2. Степанищева А.О. Асимптотичні властивості оцінки функції інтенсивності маркірованого пуассонового поля // Вісник Донецького університету. Серія А. Природничі науки. - 2003. - №1. - С. 33 - 41.

3. Степанищева А.О. Асимптотичні властивості параметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля // Вісник Київського університету. Серія: фізико - математичні науки. - 2004. - Вип. №3. - С. 70 - 81.

4. Stepanischeva A.O. On the estimator of intensity measure of a nonhomogeneous marked Poisson field // FM 2001. Conference «Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics» October 19 - 22, 2001. - Kyiv, Ukraine. 2001. - P. 76 - 77.

5. Степанищева А.О. Асимптотичні властивості параметричної оцінки функції інтенсивності маркованого пуассонівського поля // Матеріали XX міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. 13 - 15 травня 2004. - Київ, 2004 - С. 640.

6. Stepanischeva A.O. The asymptotic properties of the estimator of intensity measure of a nonhomogeneous Poisson field // FM 2004. Conference «Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II» October 1 - 5, 2004. - Kyiv, Ukraine, 2004. - P. 118.

Размещено на Allbest.ru