Деякі лінійні та нелінійні еквівалентні перетворення гауссівських мір у гільбертовому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Фоміна Тамара Олександрівна

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ДЕЯКІ ЛІНІЙНІ ТА НЕЛІНІЙНІ ЕКВІВАЛЕНТНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГАУССІВСЬКИХ МІР У ГІЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Донецьк - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ліньков Юрій Миколайович , Інституті прикладної математики і механіки НАН України завідувач відділу теорії ймовірностей і математичної статистики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Кнопов Павло Соломонович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова, завідувач відділу математичних методів дослідження операцій;

доктор фізико-математичних наук, професор Бондарєв Борис Володимирович, Донецький Національний університет, завідувач кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики.

Провідна установа: Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра математичного аналізу і теорії ймовірностей.

Захист відбудеться 29.06.2005р. о 14 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

С дисертацією можна ознайомиться у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 26.05.2005р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О.С.Чані.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Тематика дисертаційної роботи є однією з найактуальніших тем у теорії випадкових процесів - абсолютна неперервність та еквівалентність мір, породжених випадковими процесами або випадковими полями, а також обчислення відповідних щільностей Радона-Никодима.

Щільності Радона-Никодима використовувалися багатьма авторами як основний інструмент при розв'язанні конкретних практичних задач науки і техніки. Наприклад, У. Гренадером для виявлення корисного сигналу на фоні випадкових шумів, М.Кацом для зображення в явному вигляді розв'язку крайових задач математичної фізики у вигляді континуальних інтегралів, Р.Ш. Ліпцером, А.М. Ширяєвим, Б.І. Григеліонісом, А.Д. Шаташвілі, Ю.А. Далецьким, Г.А. Сохадзе, В.В. Бакланом та іншими для одержання оптимальних оцінок в задачах екстраполяції, фільтрації та керування випадковими процесами і полями.

Дисертація присвячена вивченню класу випадкових процесів, побудованих лінійними та нелінійними перетвореннями гауссівських процесів. Основна увага приділена дослідженню умов абсолютної неперервності та еквівалентності мір, відповідних цим процесам, і знаходження формул для щільностей однієї міри відносно другої. Поставлена задача розв'язується для випадкових полів, які є розв'язками крайових задач для еліптичних диференціальних рівнянь у евклідовому просторі з гауссівським полем у правій частині, а також для розв'язання еволюційних диференціальних рівнянь із гауссівськими збуреннями у гільбертовому просторі.

Зазначений клас процесів виникає при проходженні гауссівських процесів через нелінійні пристрої, наприклад, при проходженні радіошумів через радіотехнічні пристрої.

Вивчення перетворень випадкових процесів було розпочато американським математиком Р. Камероном та його учнями, які досліджували лінійні та нелінійні перетворення вінерівського процесу. Їх роботи були присвячені формулам “заміни змінної” в інтегралі по мірі Вінера. Іншими словами вони обчислювали щільність міри, яка відповідала процесу, отриманому із вінерівського процесу за допомогою деякого перетворення міри.

Важливість одержаних ними результатів стала зрозумілою після того, як М. Кацу вдалося записати за допомогою інтегралів по вінерівській мірі, розв'язання деяких діференціальних рівнянь з частинними похідними. У подальшому інтегрування по вінерівськой мірі одержало широке розповсюдження для розв'язання багатьох задач математичного аналізу. З роботами в цьому напрямку можна ознайомиться в оглядах І.М. Гельфанда і А.М. Яглома, Ю.Л. Далецького.

Вперше розглянута Р. Камероном задача про обчислення щільності мір, відповідних випадковим процесам, стала вельми актуальною. Інтерес до цієї задачі пояснюється наступним: якщо для двох випадкових процесів відомо, що відповідні ним міри еквівалентні, то:

1) всі властивості, які виконуються с вірогідністю 1 для одного процесу, будуть виконані з вірогідністю 1 і для другого процесу;

2) якщо відома щільність однієї міри відносно другої, то можна обчислити середні значення функціоналів від процесу за допомогою середніх значень функціоналів другого процесу (зокрема, можна виразити скінченомірний розподіл одного процесу через відповідні розподіли другого процесу);

3) знаючи щільність, можна розв'язувати статистичну задачу про вибір між двома простими статистичними гіпотезами.

Для дисертації особливу важливість представляє аспект, зазначенний у пунктах 1) і 2). Оскільки вивчаються перетворення випадкових процесів, то основною задачею тут є вираз характеристик перетвореного процесу через характеристики вихідного.

Вихідний процес є гауссовим і його розподіл повністю визначається середнім значенням і кореляційнною функціею. У перетвореного ж процесу доводиться визначати всі скінченомірні розподіли. Ефективно це можна зробити, лише знаючи щільність міри, відповідної перетворенному процесу, відносно відомої міри.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації зв'язана з науковими дослідженнями відділу теорії імовірностей і математичної статистики ІПММ НАН України. Робота виконувалася в рамках теми “Граничні теореми для випадкових процесів і їхнє застосування до задач статистики процесів і стохастичних диференціальних рівнянь” (шифр теми 1.1.4.5, номер теми за планом ІПММ - 5).

Мета дослідження. Одержати достатні умови абсолютної безперервності й еквівалентності мір, що відповідають випадковим процесам, отриманим при лінійних і нелінійних перетвореннях гауссівських процесів у наступних задачах:

- у крайових задачах Діріхле для лінійних і нелінійних еліптичних диференціальних рівнянь у ;

- для лінійних і нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі;

- для нелінійних перетворень гауссівських мір.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації одержали подальший розвиток теоретико-ймовірнісні методи рішення питань абсолютної безперервності й еквівалентності мір, породжених двома випадковими процесами, один із яких отриманий у результаті перетворення іншого. Вперше, на відміну від загальних теорем з умовами, що важко перевіряються, для конкретних класів випадкових процесів, що є рішеннями різних диференціальних рівнянь з гауссівським збурюванням, отримані достатні умови абсолютної безперервності міри обуреного рішення щодо міри збурювання. Формули, отримані для відповідних щільностей, пишуться в явному вигляді в термінах коефіцієнтів розглянутих рівнянь.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для перебування щільностей мір, що відповідають випадковим процесам, що виникають при рішенні практичних задач науки і техніки.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих роботах [1-14] співавтори брали участь в обговоренні й інтерпретації отриманих результатів. Формулювання і докази всіх теорем дисертації належать здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на п'ятьох міжнародних конференціях:

1) Донецький колоквіум “Імовірність і статистика”, присвячений 80-річчю І.І. Гіхмана, Донецьк, Україна, 24-28 травня 1998 р.;

2) III українсько-скандинавська міжнародна конференція по теорії імовірностей і математичній статистиці, Київ, Україна, 8-12 червня 1999 р.;

3) міжнародна конференція “Стохастичний аналіз і його застосування”, Львів, Україна, 10-17 червня 2001 р.;

4) міжнародна конференція, присвячена 90-річчю Б.В. Гнеденко, Київ, Україна, 3-7 червня 2002 р.;

5) міжнародна конференція “Функціональні методи в теорії апроксимації, теорії операторів, стохастичного аналізу і статистики II”, присвячена пам'яті А.Я. Дороговцева, Київ, Україна, 1-5 жовтня 2004 р.,

і обговорювалися на наукових семінарах відділу теорії імовірностей і математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України і кафедри вищої математики і математичних методів в економіці Донецького Державного університету економіки і торгівлі.

Публікації. Основні матеріали дисертації опубліковані в наукових статтях [1-9], і тезах конференцій [10-14].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота викладена на 154 сторінках і містить вступ, основну частину з трьох глав, висновки і список використовуваної літератури, що нараховує 198 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертаційна робота складається із вступу і трьох розділів. В першому розділі дається огляд літератури, і приводяться необхідні зведення з різних розділів математики, що використовуються при дослідженні задач і одержання основних результатів. У другому розділі розглядаються лінійні перетворення гауссівських мір, які индуковані рішеннями лінійних диференціальних рівнянь у -мірному евклідовому просторі і рішеннями лінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі .

Нехай - фіксований ймовірнісний простір з повною мірою, - мірний евклидів простір. Для відкритої зв'язної області через позначимо достатньо гладку межу, для визначеності вважаючи , через - простір дійсних функцій, що інтегруються зі своїм квадратом по мірі Лебега в області . У розглянемо дві крайові задачі Діріхле для двох еліптичних диференціальних рівнянь:

,

, ;

,

, ,

де - диференціальні оператори, порядку , менше і , а коефіцієнти рівнянь такі, що забезпечують існування й одиничність розв'язків; є гауссівським випадковим полем у з нульовим середнім і кореляційною функцією , що задовольняє умові:

.

Позначимо через інтегральний оператор у просторі , породжений функцією Гріна однорідної задачі

,

, ,

Де .

Теорема 2.1.1 Якщо число є регулярним для операторів у , і норма операторів задовольняє умові , ; то міри і , породжені випадковими полями і відповідно, еквівалентні і щільність має вигляд

,

де , символ позначає розширений стохастичний інтеграл, а - символ регуляризованого детермінанта, , і - кореляційні оператори випадкових полів і відповідно.

У другому параграфі другого розділу вивчається аналогічна задача для двох гауссівських мір, индукованих рішеннями лінійних еволюційних рівнянь у гільбертовому просторі.

Нехай у гільбертовому просторі задані два лінійних еволюційних диференціальних рівняння:

,

,

, ,

для яких будемо припускати наступне:

а) оператори є сімейством лінійних необмежених операторів із щільної, незалежної від областю визначення ,

б) операторне сімейство є виробляючим для еволюційного сімейства обмежених операторів при , що діють у сильно неперервна залежних від і і задовольняючій умові:

,

в) оператори , є, взагалі кажучи, сімейством необмежених операторів з тією же областю визначення , що й оператори , але такі, щоб оператори

,

при кожному були б обмеженими операторами в і

, ,

г) - гауссівський випадковий процес, визначений на відрізку зі значеннями з і з нульовим математичним сподіванням , а його кореляційна операторна функція задовольняє умові:

.

Теорема 2.2.1 Якщо число є регулярною крапкою, інтегральних в операторів :

, ,

і

, ,

то міри і , породжені випадковими процесами і відповідно, еквівалентні і щільність має вигляд:

,

де символ позначає розширений стохастичний інтеграл, - символ регуляризованого детермінанта, - простір функцій, визначених на відрізку зі значеннями з і, що інтегруються зі своїм квадратом по нормі , - інтегральний оператор, породжений ядром , і - кореляційні оператори гауссівських елементів і у відповідно.

Третій розділ складається з трьох параграфів. У першому параграфі в мірному евклідовому просторі розглядаються крайові задачі Діріхле і Неймана для еліптичних диференціальних рівнянь з нелінійним доданком. У другому параграфі в гільбертовому просторі розглядаються нелінійні еволюційні диференціальні рівняння, що містять сімейство необмежених лінійних операторів. У третьому параграфі в абстрактному гільбертовому просторі розглядається нелінійне перетворення утримуюче “випадковий” параметр. Там же як теоретичні приклади розглядаються конкретні нелінійні перетворення і нелінійні диференціальні рівняння з випадковим параметром у гільбертовому просторі.

В усіх трьох параграфах рівняння і перетворення обурюються гауссівськими випадковими процесами або полями або елементами в гільбертовому просторі. Встановлюються достатні умови для еквівалентності мір, породжених рішеннями розглянутих рівнянь, і в явному вигляді обчислюються відповідної щільності Радона-Никодима в термінах коефіцієнтів самих диференціальних рівнянь або перетворень.

Для відкритої зв'язної області через позначимо досить гладку її межу, припускаючи . Позначимо - простір дійсних функцій, що інтегруються зі своїм квадратом по мірі Лебега в області . Нехай - сильний еліптичний оператор вигляду

,

де , , і - диференціальний оператор, порядку менше .

Функції такі, що для будь-яких дійсних чисел виконується нерівність

,

де - фіксоване число.

Розглянемо задачу Діріхле і Неймана

,

, ;

і лінеаризовану до неї задачу

,

, ;

де : безперервна по обох перемінним функція, що має обмежену в сильну частинну похідну , а - гауссівське випадкове поле з нульовим середнім і кореляційною функцією , що задовольняє нерівності .

Нехай - функція Гріна для лінеарізованої задачі. Тоді

із середнім значенням нуль і кореляційна функція

.

Покладемо і відповідно власні функції і власні числа кореляційної функції . Визначимо

, .

Теорема 3.1.1 Якщо для нелінійної функції виконуються умови

,

,

,

то міри й еквівалентні і відповідної щільності Радона-Никодима мають вигляд:

,

.

Тут функція має вигляд

і зв'язана з функцією рівністю

,

а перетворення переводить функцію

у ,

.

Величини і виписуються через власні числа й і ядра , операторів , відповідно

,

,

при цьому

,

.

Теореми 2.1.1 і 3.1.1 дозволяють обчислити щільність мір, що відповідають двом процесам, отриманим при нелінійних перетвореннях гауссівського поля.

Розглянемо тепер в області три еліптичних диференціальних оператори:

,

,

,

і дві крайові задачі

,

, ;

і

,

, .

Поставимо їм у відповідність дві лінеаризовані задачі

,

, ;

і

,

, .

Теорема 3.1.6 Нехай для розглянутих двох пар крайових задач виконуються умови теорем 2.1.1 і 3.1.1. Тоді міри і , породжені рішеннями і , еквівалентні і їхня щільність Радона-Никодима обчислюється за формулою

,

де щільності , , .

В другому параграфі вирішується аналогічна задача для мір, индукованих рішеннями нелінійних еволюційних рівнянь.

Розглянемо в гільбертовому просторі нелінійне еволюційне диференціальне рівняння:

,

, ,

для якого будемо припускати наступне:

а) оператори є сімейством лінійних, взагалі кажучи, необмежених операторів із щільної, незалежної від областю визначення ;

б) операторне сімейство є виробляючими операторами еволюційного сімейства обмежених операторів при , що діють у сильно неперервна залежних від і і задовольняючій умові:

;

в) сімейство лінійних операторів є, взагалі кажучи, необмеженими операторами з тієї ж щільної, незалежної від областю визначення , і таким, що оператори

при кожнім є обмеженими операторами, а інтегральний в оператор , породжений ядром , є оператором Гільберта-Шмідта, тобто

;

г) число -1 не належить спектрові оператора .

- гауссівський випадковий процес, визначений на відрізку зі значеннями з з нульовим математичним сподіванням , а його кореляційна операторна функція , задовольняє умові:

.

Нелінійна функція визначена на приймає свої значення з , є функцією, що інтегрується, зі своїм квадратом по нормі для всіх і діференційовна по . При цьому похідна для усіх є оператором Гільберта-Шмідта, що діє в.

Поставимо йому у відповідність лінійне диференціальне рівняння

,

, .

Позначимо через і власні функції і власні числа оператора і визначимо , , де - ядро інтегрального оператора в , а - ядро інтегрального оператора в , що задовольняє співвідношенню . Знаходяться умови, при яких функція і її похідна існують і приводяться їхні явні вираження в термінах коефіцієнтів рівнянь.

Теорема 3.2.1 Якщо нелінійна функція задовольняє умовам

,

,

,

то ймовірнісні міри і , породжені рішеннями і відповідно, еквівалентні і щільність Радона-Никодима має вигляд

.

Тут гауссівський рівняння безперервність диференціальний

{ , ,

- власні числа оператора

- ядро оператора .

Використовуючи ідею теореми 3.1.6, доведена аналогічна теорема про еквівалентності мір, породжених рішеннями двох нелінійних еволюційних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі , і виписані відповідної щільності в термінах коефіцієнтів вихідних рівнянь.

У третьому параграфі третього розділу вирішується задача про абсолютну безперервність гауссової міри при нелінійному перетворенні, що містить “випадковий” параметр.

Нехай Н - сепарабельний, дійсний гільбертов простір зі скалярним добутком , і нормою , . Нехай - -алгебра борелівських підмножин простору Н, - гауссова міра на ньому з нульовим середнім і ядерним кореляційним оператором . Нехай, далі, - деякий фіксований ймовірнісний простір. Розглянемо добуток і вимірну функцію , визначену на цьому просторі зі значеннями в. Визначимо міру в за допомогою співвідношення

, .

Нехай такий лінійний оператор, для якого справедливе рівність . Уведемо простір зі скалярним добутком , і нормою , . - сепарабельний, гільбертов простір, має одиничну кореляцію в. Розглянемо нелінійне перетворення вигляду

.

Теорема 3.3.1 Нехай перетворення задовольняє наступним умовам:

1) При кожнім фіксованому відображення взаємно однозначно і неперервно. Якщо , то

;

2) При кожнім фіксованому функції і діференційовні уздовж постійних напрямків простору і регуляризовані детермінанти і є обмеженими по сукупності перемінних. Тоді міри й еквівалентні ( ~) і щільність Радона-Никодима має вигляд

,

де - абстрактний аналог розширеного стохастичного інтеграла.

Наприкінці третього розділу розібрані два приклади, що ілюструють результати, доведені в теоремах 3.3.1 і 3.3.2.

ВИСНОВКИ

У процесі дослідження отримані наступні основні результати:

· знайдено достатні умови еквівалентності мір, що відповідають рішенням двох крайових задач Діріхле лінійних і нелінійних, обурених гауссовим полем;

· знайдено достатні умови еквівалентності мір, породжених рішеннями двох еволюційних рівнянь лінійних і нелінійних у гільбертовом просторі з гауссовим збурюванням;

· отримано формули щільностей мір у термінах коефіцієнтів вихідних рівнянь;

· вирішено задачу про абсолютну безперервність гауссової міри при нелінійному перетворенні, що містить “випадковий” параметр.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Фомина Т.А. О плотностях вероятностных мер в гильбертовом пространстве при их нелинейных преобразованиях, содержащих “случайный параметр”.// Доповіді НАН України. -2003. №12. -с.34-37.

2. Фомина Т.А. Об эквивалентности двух гауссовых мер порожденных решениями эллиптических дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве .// Доповіді НАН України. -2004. №1. -с.32-37.

3. Фомина Т.А. Об эквивалентности двух гауссовых мер порожденных решениями линейных эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве .// Доповіді НАН України. -2004. №2. -с.37-42.

4. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности мер при некоторых линейных и нелинейных эволюционных преобразованиях гауссовских процессов в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Прикладна статистика. Актуарна та фiнансова математика. Донецьк -2000. №2. -с.105-119.

5. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Некоторые необходимые и достаточные условия, обеспечивающие эквивалентность двух гауссовских мер, индуцируемых решениями дифференциальных уравнений в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Прикладна статистика. Актуарна та фiнансова математика. Донецьк -2002. №1. -с.61-80.

6. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. О мерах, порожденных уравнениями со случайными коэффициентами.// Прикладна статистика. Актуарна та фiнансова математика. Донецьк -2002. №2. -с.61-80.

7. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности двух гауссовских мер в евклидовом и гильбертовом пространствах. Случайные операторы и стохастические уравнения.// Utrecht, the Netherlands, Tokyo, Japan. -2003. vol.11, no.4. -p.351-371.

8. Фомина Т.А., Сохадзе Г.А., Шаташвили А.Д. Некоторые достаточные условия, эквивалентности мер, индуцируемых решениями уравнений со случайными коэффициентами.// Utrecht, the Netherlands, Tokyo, Japan. -2003. vol.12, no.3. -p.267-275.

9. Фомина Т.А., Чкония Т.Г., Шаташвили А.Д. Некоторые замечания об абсолютной непрерывности распределений решений различных краевых задач.// Теория случайных процессов. -1998. вып.4(20). №1,2. -с.95-104.

10. Фомина Т.А., Чкония Т.Г., Шаташвили А.Д. Абсолютная непрерывность распределений решений разных краевых задач.// Тезисы докладов, Донецкий коллоквиум “Вероятность и статистика”, присвячений 80-річчю І.І. Гіхмана, Донецьк, Україна, 24-28 травня 1998 г.-c.39-40..

11. Tamara A. Fomina, Albert D. Shatashvili. Densities of the measures generated by the solutions of the evolutional differential equations in Hilbert space.// Тезисы докладов, III украинско-скандинавская международная конференция по теории вероятностей и математической статистике, Київ, Україна, 8-12 червня 1999 г.-c.43.

12. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Об эквивалентности двух гауссовских мер, индуцируемых решениями линейных дифференциальных уравнений в евклидовом и гильбертовом пространствах.// Тезисы докладов, Международная конференция “Стохастический анализ и его применения”, Львів, Україна, 10-17 червня 2001 г.-с.70-71.

13. Tamara A. Fomina, Albert D. Shatashvili. Some remarks on the equivalence of measures under nonlinear mapping of Gaussian measures in abstract Hilbert space.// Тезисы докладов, Международная конференция, посвященная 90-летию Б.В. Гнеденко, Київ, Україна, 3-7 червня 2002 г.-с.220.

14. Фомина Т.А., Шаташвили А.Д. Плотности Радона-Никодима для мер, порожденных решениями нелинейных краевых задач в пространстве .// Тезисы докладов, Международная конференция “Функциональные методы в теории аппроксимации, теории операторов, стохастического анализа и статистики II”, посвященная памяти А.Я. Дороговцева, Київ, Україна, 1-5 жовтня 2004 г.-с.126-127.

АНОТАЦІЇ

Фоміна Т.А. Деякі лінійні та нелінійні еквівалентні перетворення гауссівських мір у гільбертовому просторі. - Рукопис.

У дисертації розглядаються різні класи перетворень гауссівської міри у функціональних просторах, і досліджується питання про абсолютну безперервність перетвореної міри щодо вихідної. Перетворені міри породжуються рішеннями різних класів лінійних і нелінійних диференціальних і еволюційних рівнянь, що мають гауссівське джерело. Окремим методом вирішена задача про абсолютну безперервність гауссівської міри при нелінійному перетворенні, що містить “випадковий” параметр. До основних результатів дисертаційної роботи відносяться наступні:

· знайдено достатні умови еквівалентності мір, що відповідають рішенням двох крайових задач Діріхле лінійних і нелінійних, обурених гауссовим полем;

· знайдено достатні умови еквівалентності мір, породжених рішеннями двох еволюційних рівнянь лінійних і нелінійних у гільбертовом просторі з гауссовим збурюванням;

· отримано формули щільностей мір у термінах коефіцієнтів вихідних рівнянь;

· вирішено задачу про абсолютну безперервність гауссової міри при нелінійному перетворенні, що містить “випадковий” параметр.

Ключові слова: розширений стохастичний інтеграл, -кореляційне перетворення, регуляризований детермінант, еволюційний оператор, оператор Гільберта-Шмідта.

Фомина Т.А. Некоторые линейные и нелинейные эквивалентные преобразования гауссовских мер в гильбертовом пространстве. - Рукопись.

В диссертации рассматриваются различные классы преобразований гауссовской меры в функциональных пространствах, и исследуется вопрос об абсолютной непрерывности преобразованной меры относительно исходной. Преобразованные меры порождаются решениями различных классов линейных и нелинейных дифференциальных и эволюционных уравнений, имеющих гауссовский источник. Отдельным методом решена задача об абсолютной непрерывности гауссовской меры при нелинейном преобразовании, содержащем “случайный” параметр. К основным результатам диссертационной работы относятся следующие:

· найдены достаточные условия эквивалентности мер, соответствующих решениям двух краевых задач Дирихле, возмущенных гауссовым полем;

· найдены достаточные условия эквивалентности мер, порожденных решениями двух эволюционных уравнений в гильбертовом пространстве с гауссовым возмущением;

· получены формулы плотностей мер в терминах коэффициентов исходных уравнений;

· решена задача об абсолютной непрерывности гауссовой меры при нелинейном преобразовании, содержащим “случайный” параметр.

Ключевые слова: расширенный стохастический интеграл, -корреляционное преобразование, регуляризованный детерминант, эволюционный оператор, оператор Гильберта-Шмидта.

Fomina T.A. Some linear and nonlinear equivalence transformations of Gaussian measures in Hilbert space. - Manuscript.

In thesis are considered some classes of the transformations of Gaussian measure in functional spaces and researched a question of absolute continuity of transformed measure with reference to origin one. Transformed measures are generated by the solutions of different classes of linear and nonlinear differential and evolutional equations with Gaussian noise. The problem of absolute continuity of Gaussian measure under nonlinear transformation contained a random parameter are solved by separate method.

Key words: expanded stochastic integral, -correlative transformation, regularized determinant, evolutional operation, Hilbert-Schmidt operation.

Размещено на Allbest.ru

...