Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

інститут МАТЕМАТИКИ НАН України

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Методи дослідження диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями

01.01.02 - диференціальні рівняння

Ферук Віктор Анатолійович

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛУЧКА Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович

Кам'янець-Подільський державний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь та геометрії;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ПОЛІЩУК Олена Борисівна,

Національний технічний університет України “КПІ”,

доцент кафедри математичної фізики.

Провідна установа :

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова,

кафедра математичного забезпечення комп'ютерних систем.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Широкий спектр прикладних досліджень у різних галузях науки та техніки ґрунтується сьогодні на побудові та вивченні математичних моделей. Найбільш поширеними серед них є різноманітні задачі для диференціальних, різницевих і функціонально-диференціальних рівнянь та їх систем.

У минулому столітті інтерес до вивчення таких задач значно зріс. Зокрема, у монографіях Л.Е. Есгольца, С.Б. Норкіна, А.Д. Мишкіса, Р. Беллмана, К. Кука закладено основи теорії функціонально-диференціальних рівнянь та їх систем. Дослідження питань аналітичної і якісної теорії диференціально-функціональних рівнянь проводились у роботах Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, Д.І. Мартинюка, О.М. Шарковського, Г.П. Пелюха, Д.Г. Коренівського, О.А. Бойчука.

Окремий клас задач для функціонально-диференціальних та різницевих рівнянь становлять крайові задачі з параметрами. Розробці теорії та методів розв'язання таких задач присвячені роботи А.М. Самойленка, М.Й. Ронто, А.Ю. Лучки, Ю.В. Теплінського та багатьох інших математиків.

В останні десятиліття розроблено методику дослідження диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем з обмеженнями і запропоновано ефективні наближені методи знаходження їх розв'язків. В цьому напрямку варто відмітити праці А.Ю. Лучки, О.Б. Поліщук, Т.А. Кучерук, Ю.О. Захарійченка. Проте, незважаючи на значну кількість публікацій у цьому напрямку, в літературі відсутні праці, присвячені дослідженню функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями. Такі задачі представляють як теоретичний, так і прикладний інтерес, а тому встановлення умов сумісності та розробка наближених методів їх розв'язання є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках держбюджетної теми № 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є встановлення умов сумісності систем диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями; розробка методів побудови наближених розв'язків таких задач та їх обґрунтування.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Встановлено умови сумісності систем лінійних та квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями.

2. Обґрунтовано застосування до лінійної системи нових варіантів ітераційного та проекційно-ітеративного методів.

3. Запропоновано нові варіанти ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів знаходження наближених розв'язків квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями.

4. Отримано умови збіжності та оцінки похибки розглядуваних методів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичних характер. Отримані в ній результати розширюють область застосування проекційно-ітеративних методів та збагачують теорію функціонально-диференціальних рівнянь. Розроблені обчислювальні алгоритми можуть бути використані для знаходження розв'язків конкретних математичних моделей, які зустрічаються у біології, економіці, медицині та інших галузях науки.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належать науковому керівнику та співавтору праць А.Ю. Лучці. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

1. Міжнародній конференції "Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання" (м. Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002 р.);

2. Міжнародній конференції "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 26-30 серпня 2003 р.);

3. Третій Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (м. Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003 р.);

4. Десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.П. Кравчука (м. Київ, 13-15 травня 2004 р.);

5. Міжнародній математичній конференції імені В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р.);

6. семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (м. Київ, 17 березня 2003 р. та 15 листопада 2004 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 8 роботах. З них 3 статті - у спеціалізованих фахових журналах, 5 - тези доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 130 найменувань. Обсяг дисертації становить 126 сторінок друкованого тексту. На чотирьох сторінках розміщено чотири таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, наведено стислу анотацію отриманих результатів.

У першому розділі дається огляд наукових праць, проблематика яких тісно пов'язана із дослідженнями, проведеними у дисертаційній роботі.

У другому розділі дисертації досліджується питання розв'язуваності системи лінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями і дається обґрунтування застосування до таких задач ітераційного та проекційно-ітеративного методів.

Розглядається задача

(1)

(2)

(3)

в якій - стале запізнення, , та - матриці розмірності , , відповідно, елементи яких сумовні з квадратом на відрізку , і та , де і - простори вектор-функцій, компоненти яких сумовні з квадратом на відрізку і неперервні на відрізку відповідно, а , .

Задачу (1)-(3) вважатимемо сумісною, якщо існує така вектор-функція , яка майже скрізь задовольняє систему рівнянь (1), умову (2) та обмеження (3). Якщо ж цього немає, задача - несумісна.

У підрозділі 2.1 встановлено умови сумісності поставленої задачі. Для цього, припустивши, що , переходимо від розгляду задачі (1)-(3) до розгляду еквівалентної їй крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь порядку

(4)

(5)

з обмеженнями

(6)

де матриці , , , вектор-функції , та вектор мають вигляд

, (7)

, , , (8)

, (9)

, (10)

де

, , (11)

, , , (12)

(13)

і , , , а та - нульова та одинична матриці в .

У пункті 2.1.3 вводиться у розгляд допоміжна задача:

(14)

(15)

(16)

в якій неперервні при -матриці та , матриці та із сумовними з квадратом на елементами розмірності та відповідно і вектор-функція є заданими, а вектор-функцію та вектор потрібно визначити.

Тут і в подальшому вважаємо, що стовпці матриці і рядки матриці лінійно незалежні, а .

Допоміжна задача (14)-(16) зводиться до рівносильної крайової задачі з обмеженнями вигляду

(17)

(18)

(19)

в якій матриці , , , вектор-функції , та вектори мають вигляд (7)-(13), а матриці , , та вектор-функція зображаються співвідношеннями

, (20)

, , (21)

, (22)

де

, , (23)

, , , (24)

(25)

Будується матриця

(26)

де матриці та , розмірностей та відповідно, мають вигляд

а -матриця визначається із задачі

(27)

Лема 2.2. Якщо , то існують вектор-функції , та матриці , розмірності , такі, що єдиний розв'язок задачі (17)-(19) зображається формулами

 (28)

і мають місце рівності

, , ,

,

, ,

У пункті 2.1.4 встановлено умову сумісності задачі (1)-(3).

Врахувавши представлення

(29)

та формули (29), (28), отримаємо систему інтегральних рівнянь

(30)

де

Теорема 2.1. Якщо матриця , яка визначається формулою (26), - невироджена, то задача (1)-(3) сумісна тоді і тільки тоді, коли виконується умова

(31)

де - розв'язок системи інтегральних рівнянь (30).

Важливий частинний випадок допоміжної задачі (14)-(16), коли , тобто коли умови (16) відсутні, розглянуто у пункті 2.1.5.

У підрозділі 2.2 розглянуто питання застосування до задачі (1)-(3) проекційно-ітеративного методу, суть якого полягає в тому, що, наближення визначаються із допоміжної задачі

(32)

(33)

(34)

де

(35)

матриці , , та такі ж, як і в задачі (14)-(16), а матриці і мають вигляд: , .

Початкове наближення визначаємо із задачі (32)-(34) при та заданій вектор-функції .

У пункті 2.2.2 встановлено умови збіжності методу (32)-(35).

Теорема 2.3. Якщо спектральний радіус оператора

,

і виконується співвідношення

(36)

то існує єдиний розв'язок задачі (1)-(3) і послідовність , побудована за методом (32)-(35), збігається до цього розв'язку.

Cистема інтегральних рівнянь (30) зводиться до системи

(37)

де

,

а - спряжена матриця.

Вважатимемо, що для довільної вектор-функції справджуються нерівності

(38)

Теорема 2.4. Якщо в нерівності (38) і задача (1)-(3) сумісна, то вона має єдиний розв'язок і справедливі оцінки похибки:

де та - точний та наближений, отриманий за методом послідовних наближень, розв'язки системи рівнянь (37), а - наближений розв'язок задачі (1)-(3), знайдений за методом (32)-(35).

У пункті 2.2.3 запропоновано зручну обчислювальну схему методу (32)-(35).

В підрозділі 2.3 розглянуто застосування до задачі (1)-(3) ітераційного методу, що є частинним випадком проекційно-ітеративного методу (32)-(35), коли відсутні обмеження (34).

Зокрема, у пункті 2.3.1 розкрито суть методу, а у пункті 2.3.2 розглянуто питання його обґрунтування та проілюстровано застосування згаданих наближених методів до конкретної задачі.

У третьому розділі досліджуються умови сумісності і методи розв'язання систем квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями

(39)

(40)

(41)

в якій , запізнення - , матриці , та , вектор-функції , і вектор такі ж, як і в лінійному випадку, а вектор-функція задає оператор .

Задача (39)-(41) зводиться до крайової задачі для системи диференціальних рівнянь з обмеженнями

(42)

(43)

в якій вектор-функції і , матриці , , , вектор мають вигляд (7)-(13), а нелінійність - вигляд

,

де

, .

Пункт 3.1.3 присвячено встановленню умов сумісності задачі (39)-(41). Для цього розглядається допоміжна задача з параметрами

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

Задача (44)-(48) зводиться до задачі

 (49)

(50)

(51)

(52)

Лема 3.2. Якщо матриця (26) невироджена, то існує єдиний розв'язок задачі (49)-(51), що зображається формулами

, (53)

,

в яких - це єдиний розв'язок крайової задачі (52) і

, ,

, ,

,

де та - прямокутні матриці розмірностей та відповідно, такі, що .

Лема 3.3. Якщо матриця (26) невироджена та існує єдиний розв'язок крайової задачі (52), який визначається формулою

в якій - єдиний розв'язок задачі

, ,

причому , то правильні для вектор-функції (53) зображення

та властивості

,

де

, ,

,

матриця визначається із задачі (27), матриця має вигляд (29) та

.

У пункті 3.1.4 встановлено умови сумісності задачі (39)-(41).

Дослідження задачі (39)-(41) зводиться до дослідження інтегрального рівняння без обмежень

(54)

де

Теорема 3.1. Задача (39)-(41) сумісна тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок інтегрального рівняння (54) і справджуються умови

(55)

де вектор-функція є розв'язком задачі (52) та

У підрозділі 3.2 запропоновано модифікований варіант проекційно-ітеративного методу, суть якого полягає в тому, що послідовні наближення до шуканого розв'язку задачі (39)-(41) визначаємо із задачі

(56)

(57)

в якій параметр знаходимо таким, щоб справджувались умови

(58)

(59)

де вектор-функція - це розв'язок задачі

(60)

(61)

в якій

(62)

Початкове наближення визначаємо із задачі (56)-(61) при та заданій вектор-функції .

У пункті 3.2.2 встановлено умови збіжності методу (56)-(62).

Для цього система інтегральних рівнянь (54) зводиться до системи

(63)

(64)

де

Метод (56)-(62) зводиться до методу послідовних наближень

 (65)

(66)

Теорема 3.3. Якщо виконується умова

(67)

то існує єдиний розв'язок системи рівнянь (63), (64) і послідовності, побудовані за формулами (65), (66), збігаються до цього розв'язку, тобто

Тут та норми операторів

відповідно, а та - константи Ліпшиця операторів

Теорема 3.4. Якщо виконується умова (67) та співвідношення

то існує єдиний розв'язок задачі (39)-(41) і послідовність , побудована за методом (56)-(62), збігається до цього розв'язку.

У пункті 3.2.3 запропоновано зручну обчислювальну схему методу (56)-(62) та проілюстровано її застосування до конкретної задачі.

ВИСНОВКИ

1. Встановлено умови сумісності систем лінійних та квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями.

2. Обґрунтовано застосування до лінійної системи нових варіантів ітераційного та проекційно-ітеративного методів.

3. Запропоновано нові варіанти ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів знаходження наближених розв'язків квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями.

4. Отримано умови збіжності та оцінки похибки розглядуваних методів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лучка А.Ю., Ферук В.А. Проекційно-ітеративний метод для систем диференціальних рівнянь із загаюванням та обмеженнями // Нелінійні коливання. - 2003. - Т. 6, №2. - С. 206-232.

2. Ферук В.А. Ітераційний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями // Нелінійні коливання. - 2003. - Т. 6, №3. - С. 428-436.

3. Лучка А.Ю., Ферук В.А. Модифікований проекційно-ітеративний метод для систем квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженням // Нелінійні коливання. - 2004. - Т. 7, №2. - С. 188-207.

4. Ферук В.А. Умова сумісності крайової задачі для системи диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями // Тези доп. Міжнар. наук. конф. "Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання" присвяченої пам'яті професора Д.І. Мартинюка. - Кам'янець-Подільський: Кам'янець-Подільський держ. педагогічний ун-т., 22-24 травня 2002 р.- С. 166.

5. Ферук В.А. Ітераційний метод для систем диференціальних рівнянь із запізненням нейтрального типу та обмеженнями // Тези доп. Міжнар. наук. конф. "Шості Боголюбовські читання". - Чернівці: Чернівецький нац. ун-т ім. Ю. Федьковича, 26-30 серпня 2003 р.- С. 228.

6. Ферук В.А. Ітераційний метод для систем диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями // Тези доп. Всеукр. наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу". - Івано-Франківськ: Прикарпатський ун-т ім. В. Стефаника, 9-12 вересня 2003 р.- С. 107.

7. Ферук В.А. Один варіант проекційно-ітеративного методу для систем функціонально-диференціальних рівнянь із обмеженнями // Тези доп. Десятої Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.П. Кравчука. - Київ.: Нац. техн. ун-т України “КПІ”, 13-15 травня 2004 р.- С. 262.

8. Ферук В.А. Проекційно-ітеративний метод для систем нелінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями // Міжнар. наук. конф. ім. В.Я. Скоробогатька. - Дрогобич: Дрогобицький держ. педагогічний ун-т ім. І. Франка, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р.- С. 214.

АНОТАЦІЇ

Ферук В.А. “Методи дослідження диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями”. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

В дисертації розглядається початкова задача для системи диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями. Розроблено методику дослідження поставленої задачі, яка ґрунтується на зведенні її до відповідної системи інтегральних рівнянь без запізнення та обмежень. Встановлено умови сумісності даної задачі у випадках систем лінійних та квазілінійних рівнянь. Запропоновано нові варіанти ітераційного та проекційно-ітеративного методів відшукання наближених розв'язків системи лінійних диференціальних рівнянь із запізненням та обмеженнями. Для системи квазілінійних рівнянь побудовано нові варіанти ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів. Встановлено умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів. Розроблено зручні обчислювальні схеми. диференціальне рівняння запізнення обмеження

Ключові слова: система диференціальних рівнянь, запізнення, обмеження, інтегральне рівняння, ітераційний метод, проекційно-ітеративний метод, оцінки похибки.

Feruk V.A. Methods of the Investigation of Differential Equations with Delay and Restrictions. - Manuscript.

The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2004.

In the thesis the initial problem for the system of differential equations with delay and restrictions is considered. The investigation technique is developed of the problem based on bringing it to the defined system of integral equations without delay and restrictions. The consistency conditions of the problem are obtained in cases of systems of linear and quasilinear equations. New variants of iterative and projective-iterated methods of the determination of approached solutions of systems of linear differential equations with delay and restrictions are offered. For the system of quasilinear equations new variants of iterative and modified projective-iterated methods are constructed. The conditions of convergence and estimation of an error of the proposed methods are obtained. The effective computing circuits are developed.

Key words: the system of differential equations, delay, restriction, integral equation, iterative method, projective-iteration method, estimates of error.

Ферук В.А. “Методы исследования дифференциальных уравнений с запаздыванием и ограничениями”. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

На современном этапе развития естествознания и техники все больший интерес вызывают математические задачи, с помощью которых описываются разнообразные процессы в экономике, биологии, физике и других отраслях науки.

Одним из классов математических моделей являются задачи, на решения которых накладываются дополнительные ограничения. В связи с этим возникает вопрос нахождения условий совместности таких задач и разработки приближенных методов построения решений.

В диссертации рассматривается начальная задача для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и ограничениями. Разработана методика исследования сформулированной задачи, которая базируется на приведении ее к определенной системе интегральных уравнений без запаздывания и ограничений. Получены условия совместности поставленной задачи в случае систем линейных и квазилинейных уравнений. Предложены новые варианты итерационного и проекционно-итеративного методов нахождения приближенных решений систем линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием и ограничениями. Для системы квазилинейных уравнений построены новые варианты итерационного и модифицированного проекционно-итеративного методов. Получены условия сходимости и оценки погрешности рассматриваемых методов. Разработаны эффективные вычислительные схемы.

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, запаздывание, ограничение, интегральное уравнение, итерационный метод, проекционно-итеративный метод, оценки погрешности.

Размещено на Allbest.ru

...