Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

01.01.02 - Диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Умови підпорядкованості для систем мінімальних та максимальних диференціальних операторів у просторах L^p ()

Лиманський Дмитро Володимирович

Донецьк - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Донецькому національному університеті.

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, Донецький національний університет МОН України, доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Волевич Леонід Романович,Інститут прикладної математики РАН ім. М.В. Кєлдиша, головний науковий співробітник

Кандидат фізико-математичних наук, доцент Марковський Анатолій Іванович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними, м. Київ.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк , вул. Р. Люксембург, 74.

Вчений секретар cпеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У дисертації розглядаються задачі про опис просторів та мінімальних (максимальних) диференціальних операторів , підпорядкованих фіксованій системі інших мінімальних (максимальних) диференціальних операторів у просторах , де , -- область у .

Систематичне вивчення просторів підпорядкованих операторів було започатковано у 50-ті рр. докторською дисертацією Л. Хьормандера, хоча вивчення оцінок "типу підпорядкованості" почалося ще раніше. Одержання таких оцінок важливе у зв'язку з розвитком теорії просторів Соболєва (теореми вкладення), а також актуальними задачами теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Обидві задачі (як для мінімальних, так і для максимальних операторів) були вичерпно розв'язані Л. Хьормандером у випадку , простору (для обмеженої області ) і системи операторів зі сталими коефіцієнтами. Поширення результатів Хьормандера на випадок системи () мінімальних операторів було здійснено А.І. Марковським та М.М. Маламудом.

1. Мінімальні оператори. При простори описані в деяких випадках Ільїним, Боманом, Смітом, Михайловим, Казаряном та іншими.

Одним з найбільш важливих напрямків у теорії мінімальних диференціальних операторів є одержання умов коерцітивності системи диференціальних поліномів у просторах Соболєва при . Початок досліджень стосовно проблеми коерцітивності було покладено фундаментальною роботою Ароншайна, а його результати одержали подальший розвиток у роботах Агмона, Шехтера, Хьормандера, Нечаса, Фігуейредо. Критерії коерцітивності системи у просторах векторів-функцій при для довільних областей було знайдено, зокрема, С.Г. Міхліним. Методи одержання оцінок у при ґрунтуються на застосуванні теореми Міхліна -- Лізоркіна про мультиплікатори у випадку сталих коефіцієнтів.

Перехід до дослідження умов коерцітивності в та потребує інших, ніж для , методів. Зокрема, ефективні достатні умови для мультиплікаторів у та отримано Бєсовим, Лізоркіним, а також Бєлінським, Двейріним та Маламудом. Випадкам та окремо присвячено низку робіт. Так, з результатів Мітягіна і Юдовича (для ) та Орнстейна (для ) випливає, що система операторів для не підпорядковує, на відміну від випадку простору при , оператор мішаного диференціювання . Ці результати для розвинуто де Леу та Міркілом -- для випадку сталих коефіцієнтів та М.М. Маламудом -- для анізотропного випадку операторів зі змінними коефіцієнтами. Оцінку для росту мішаної похідної отримано В.І. Юдовичем і узагальнено О.В. Бєсовим та М.М. Маламудом для анізотропного випадку та диференціальних операторів, що не є диференціальними мономами. Відзначимо, що оцінки в просторах знаходять застосування у теорії потенціалу.

Виявилося, що отриманий М.М. Маламудом критерій коерцітивності системи у просторі , на відміну від випадку , не пов'язаний із поняттям - квазіеліптичності системи . Тому залишалося відкритим питання про характеристику - квазіеліптичної системи у термінах її "сили" відносно рівномірної норми. Задля цієї мети у дисертації вводиться поняття слабкої коерцітивності системи у просторі , , яке природним чином узагальнює поняття коерцітивності.

У 1964 р. де Леу та Міркіл довели критерій слабкої коерцітивності для диференціального полінома () у ізотропному () соболєвському просторі при . Ними же наведено приклад, що належить Мальгранжу, слабко коерцітивного, але не еліптичного оператора у . Теорема де Леу і Миркила -- єдиний відомий критерій слабкої коерцітивності у . Для випадків (як ізотропного, так і анізотропного) системи операторів () зі змінними коефіцієнтами М.М. Маламудом отримані лише достатні умови слабкої коерцітивності при . Необхідність цих умов (а, значить, і критерії слабкої коерцітивности у та ) для зазначених випадків не розглядалася.

Застосовані де Леу та Міркілом методи, що засновані на використанні перетворення Фур'є, непридатні для випадку операторів зі змінними коефіцієнтами. Для таких операторів критеріїв слабкої коерцітивності у просторах та поки що не знайдено.

Застосування - оцінок до дослідження гладкості розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними розглянуто Л.Р. Волевичем та С.Г. Гіндікіним.

2. Максимальні оператори. Критерії коерцітивності, у тому числі для операторів зі змінними коефіцієнтами, отримано О.В. Бєсовим та К. Смітом. У напрямку максимальних операторів відомі також роботи Л. Хьормандера, Ю.М. Березанського, В.П. Ільїна, Г.Г. Казаряна, Є. Горіна.

Окремою задачею є дослідження умов на систему диференціальних поліномів , за яких вимірність простору є мінімально можливою, тобто дорівнює . У низці випадків ця задача зводиться до чисто алгебраїчної задачі про підпорядкованість поліномів (символів) замість самих операторів і потребує застосування методів алгебраїчної геометрії та топології.

У 1988 р. М.М. Маламудом доведено теорему, що дає достатні умови алгебраїчного характеру справедливості рівності для системи диференціальних поліномів з алгебраїчно незалежними символами . Він також вказав два приклади конкретних систем операторів без мішаних похідних, що задовольняють отриманим умовам і для котрих, отже, вимірність простору є мінімальною.

Відзначимо, що перевірка однієї з умов теореми М.М. Маламуда -- умови незвідності загального шару відображення -- у конкретних випадках є дуже нетривіальною. Для перевірки цієї умови у двох згаданих прикладах використовувались елементи теорії Галуа на ріманових поверхнях. М.М. Маламуд також сформулював гіпотезу щодо справедливості рівності для системи диференціальних поліномів без мішаних похідних із простою додатковою умовою на лінійну оболонку поліномів . Дослідження справедливості цієї гіпотези не проводилося.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках тем 0102U004240 “Теорія функцій та операторів” та 0101U005712 “Нелінійні, еліптичні та параболічні задачі”, які виконуються згідно з планами науково-дослідних робіт відповідно кафедри математичного аналізу та теорії функцій і кафедри диференціальних рівнянь Донецького національного університету.

Мета і задачі дослідження

Одержання умов, за яких еліптичність ( - квазіеліптичність, ) системи мінімальних диференціальних поліномів є необхідною і достатньою умовою слабкої коерцітивності цієї системи в ізотропному (анізотропному) соболєвських просторах .

Побудова прикладів слабко коерцітивних, але не еліптичних (не -квазіеліптичних) систем.

Перевірка справедливості гіпотези М.М. Маламуда та одержання достатніх умов, за яких простір операторів, підпорядкованих системі максимальних диференціальних поліномів у просторах , де , -- обмежена область у , має мінімально можливу вимірність.

Побудова прикладів таких систем, для яких .

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі одержані такі основні нові результати:

Введено поняття слабкої коерцітивності системи мінімальних диференціальних операторів в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва .

Отримано критерії слабкої коерцітивності для системи в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва , тобто необхідні і достатні умови, за яких слабка коерцітивність системи еквівалентна її еліптичності (- квазіеліптичності).

Описано нові конкретні види мультиплікаторів у просторі .

За допомогою отриманих нових мультиплікаторів описано широкі класи слабко коерцітивних, але не еліптичних (не -квазіеліптичних) систем мінімальних операторів в ізотропному (анізотропному) просторі Соболєва .

Для системи максимальних диференціальних поліномів без мішаних похідних отримано конкретні достатні умови, що перевіряються легко, для справедливості рівності , тобто для мінімально можливої вимірності простору підпорядкованих операторів.

Вперше досліджено питання про справедливість гіпотези М.М. Маламуда для системи максимальних операторів без мішаних похідних. Саме, знайдено приклад системи операторів, який показує, що для випадку гіпотеза не є вірною. Крім того, отримано значне просування у доведенні гіпотези за додаткових обмежень.

Описано нові приклади систем максимальних диференціальних операторів, для яких виконується рівність .

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер, а її методи можуть бути застосовані у загальній теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, у теорії просторів Соболєва, а також у теорії сингулярних інтегральних операторів.

Особистий внесок здобувача. Результати другого розділу опубліковані у роботах [1]-[2]. Результати третього розділу опубліковані у роботах [3]-[6]. Теореми 2.44 та 2.46 розділу 2 були доведені разом з М.М. Маламудом, а теорему 3.49 розділу 3 -- разом з В.В. Лиманським. Решта результатів другого та третього розділів одержані здобувачем особисто. Науковому керівникові М.М. Маламуду належить також постановка всіх задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати дисертації доповідались на Міжнародній Алгебраїчній конференції, присвяченій пам'яті проф. Л.М. Глускіна, Слов'янськ, 1997; на Міжнародних Конференціях молодих учених механіко-математичного факультету МДУ, Москва, 2001-2004 рр.; на Міжнародній конференції-симпозіумі “Workshop for Students and PhD Students”, Cracow, 2003; на Міжнародній конференції імені академіка М.В. Кравчука, Київ, 2004; на Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах з спектральних та еволюційних задач (КРОМШ), 1998-2004 рр.; на Міжнародній конференції “Operator Theory”, Timisoara, 2004.

В цілому результати дисертації доповідались на семінарі з нелінійного аналізу Інституту прикладної математики і механіки НАН України (кер. акад. НАНУ І.В. Скрипник), на київському семінарі відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України (кер. член-кор. НАНУ М.Л. Горбачук), на московському міському семінарі з спектральної теорії операторів (кер. проф. А.Г. Костюченко, проф. А.А. Шкаліков), а також неодноразово на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (кер. доц. М.М. Маламуд).

Частково результати дисертації було оформлено у вигляді наукової роботи, яка отримала Премію Національної академії наук України на конкурсі за кращу наукову роботу серед молодих учених, секція математики, 2003 (рішення Президії НАНУ від 24.02.2003).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 6 працях у фахових виданнях України, включених у перелік ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі списку позначень та умовних скорочень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертації -- 124 сторінки. Список використаних джерел займає 7 сторінок та включає 67 найменувань. Дисертація має один додаток обсягом 3 сторінки.

слабкий коерцітивність диференціальний еліптичність

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Усі теореми та формули в авторефераті наводяться під тими номерами, які вони мають у тексті дисертації.

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, а також апробація результатів роботи.

У першому розділі подається стислий огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації. Так, у підрозділах 1.1 та 1.2 перелічені основні результати робіт щодо двох основних напрямків дослідження -- умов підпорядкованості для систем відповідно мінімальних та максимальних диференціальних операторів. В цих підрозділах також сформульовано базові означення та твердження, на яких базуються доведення основних результатів наступних розділів.

із сталими , що не залежать від вибору .

Для обмеженої області та оцінка (1.1) еквівалентна нерівності

Цей результат при належить Л. Хьормандеру Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных: Пер. с англ. - М.:Мир, 1969. - 252 с., а його узагальнення на випадок -- А.І. Марковському та М.М. Маламуду.

Простори також описано у низці випадків, коли та -- диференціальні мономи, тобто коли оцінка (1.1) має вигляд Умову наявності у рівності (1.4) доданка можна замінити умовою .

, (1.3)

Результати стосовно цього випадку містяться у роботах Н.С. Бахвалова, С.М. Нікольського, К.К. Головкіна. В.П. Ільїним Ильин В.П. Об условиях справедливости неравенств между -нормами частных производных функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. - 1968. - Т. 96. - С. 205-242. встановлено необхідні та достатні умови на вектор , за яких при , області та довільній скінченній множині справджується оцінка (1.3). Ці умови полягають у належності вектора до опуклої оболонки множини . Ільїн також розглядає нерівність (1.3) в областях , що задовольняють певні умови. У випадку критерій існування нерівності (1.3) для довільної множини , схожий на критерій Ільїна, отримано Боманом Boman J. Supremum norms for partial derivatives of functions of several real variables // Illinois J. Math. - 1972. - Vol. 16. - №2. - P. 203-216..

Теорему 1.6 у ізотропному випадку скалярних операторів зі сталими коефіцієнтами довели де Леу та Міркіл, використовуючи техніку перетворення Фур'є. Частинний випадок теореми 1.6 повторено П.Е. Соболевським Соболевский П.Е. Эллиптические и параболические операторы в // ДАН СССР. - 1988. - Т. 298. - №4. - С. 815-819. (, і еліптичні та двобічна оцінка замість однобічної). З теореми 1.6 випливає опис простору для квазіеліптичної системи, тобто охарактеризовано “силу” -квазіеліптичної системи у просторі . Зокрема, з'ясовано, що умови -квазіеліптичності системи недостатньо для її коерцітивності у рівномірній нормі. Тому доцільно узагальнити поняття коерцітивності та ввести наступне

Означення 1.7. Систему диференціальних операторів вигляду (1.4) називатимемо слабко коерцітивною у просторі , якщо оцінка (1.8) справджується при .

М.М. Маламуд Маламуд М.М. Оценки для систем минимальных и максимальных дифференциальных операторов в // Труды ММО. - 1995. - Т. 56. - С. 206-261. довів, що у випадку є вірним більш слабкий результат: - квазіеліптична система вигляду (1.4) є слабко коерцітивною у соболєвському просторі .

Де Леу та Міркіл отримали наступний критерій слабкої коерцітивності одного диференціального полінома () у ізотропному соболєвському просторі .

Теорема 1.9. De Leeuw K., Mirkil H. A priori estimates for differential operators in norm // Illinois J. Math. - 1964. - Vol. 8. - №3. - P. 112-124. При еліптичність диференціального полінома еквівалентна його слабкій коерцітивності у ізотропному соболєвському просторі .

зі сталими , що не залежать від вибору .

Простори описано у низці випадків. Так, Л. Хьормандер Там же. довів, що при (та ) оцінка (1.14) еквівалентна або рівності , , або умовам , , де , , , -- поліноми від однієї змінної, .

Критерій коерцітивності у просторах Соболєва , , системи вигляду

, , (1.16)

тобто критерій максимально можливої вимірності просторів , отримано О.В. Бєсовим Бесов О.В. О коэрцитивности в анизотропном пространстве С.Л. Соболева // Матем. сб. - 1967. - Т. 73 (115). - №4. - С. 585-599. для досить “хороших” областей . Саме, необхідною та достатньою умовою коерцітивності системи (1.16) у просторі є умова при . В.П. Ільїним Там же простори описано для низки областей у випадку, коли та -- диференціальні мономи.

М.М. Маламудом отримано достатні умови алгебраїчного характеру на систему , за яких вимірність простору є мінімально можливою, тобто справджується рівність

(1.17)

Теорема 1.11 Там же.. Нехай -- обмежена область у , -- диференціальні поліноми з символами . Якщо: а) символи є алгебраїчно незалежними; б) загальний шар відображення є незвідним (тобто алгебраїчні многовиди є незвідними при м.в. ), то оцінка (1.14) еквівалентна рівності

ВИСНОВКИ

У дисертації розглянуто задачу про опис просторів (відповідно ) мінімальних (відповідно максимальних) диференціальних операторів, підпорядкованих фіксованій системі інших мінімальних (відповідно максимальних) операторів у просторах де , -- область в .

Всі отримані результати є новими й істотно підсилюють уже відомі твердження, а саме:

1. У випадку мінімальних операторів отримано критерії слабкої коерцітивності системи диференціальних поліномів з - однорідними головними частинами в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва . Ці критерії полягають в еліптичності (відповідно - квазіеліптичності) системи і деяких додаткових обмеженнях на систему поліномів . В ізотропному випадку теорема, що отримана, узагальнює відомий результат де Леу і Міркіла та збігається з ним при . В анізотропному випадку знайдені умови дають наступний наслідок: при та мінімальних обмеженнях на слабка коерцітивність оператора еквівалентна його -квазіеліптичності. Також в ізотропному (анізотропному) випадках указано широкі класи слабко коерцітивних, але не еліптичних (не -квазіеліптичних) систем операторів у . Ці приклади показують, що знайдені формулювання критеріїв слабкої коерцітивності є точними.

2. У випадку максимальних диференціальних операторів знайдено достатні умови на лінійну оболонку системи диференціальних поліномів без мішаних похідних, за яких . Тут підпорядкованість операторів розглядається в просторах , де , -- обмежена область у , . Ці достатні умови узагальнюють умови гіпотези М.М. Маламуда і збігаються з ними при . Для випадку зазначено приклад системи операторів у , , для якої умови гіпотези справджуються, але вимірність простору не є мінімальною. Таким чином, доведено, що гіпотеза М. М. Маламуда є вірною, якщо , та є хибною, якщо . Крім того, знайдені достатні умови проілюстровано на прикладах широких класів систем диференціальних поліномів без мішаних похідних. Отримані результати узагальнюють приклади систем, описаних М.М. Маламудом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лиманский Д.В., Маламуд М.М. О слабой коэрцитивности систем дифференциальных операторов в и // Доклады Академии наук. - 2004. - Т. 397. - №4. - С. 453-458.

2. Лиманский Д.В. Об условиях подчинённости для систем минимальных дифференциальных операторов в пространстве // Математические заметки. - 2004. - Т. 75. - №6. - С. 841-848.

3. Limansky D.V. On estimates for a system of maximal differential polynomials without mixed derivatives // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2003. - Vol.9 .- №1. - P. 59-79.

4. Лиманский Д.В. Оценки для систем максимальных дифференциальных полиномов без смешанных производных // Математические заметки. - 2002. - Т. 72. - №3. - С. 474-477.

5. Limansky V.V., Limansky D.V. On dimension of a system of maximal differential operators without mixed derivatives // Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. Серия "Математика. Механика. Информатика и Кибернетика". - 2002. - Т 15(54). - №1. - С. 142-147.

6. Лиманский Д.В. О двух системах дифференциальных полиномов без смешанных производных // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. -2002. - Т. 7. - С. 108-114.

АНОТАЦІЇ

Лиманський Д.В. Умови підпорядкованості для систем мінімальних та максимальних диференціальних операторів у просторах - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - Диференціальні рівняння. -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2004 р.

У дисертації отримано критерії слабкої коерцітивності для системи мінімальних диференціальних операторів в ізотропному (анізотропному) просторах Соболєва . Указано широкі класи слабко коерцітивних, але не еліптичних (відповідно не квазіеліптичних) у систем. Також знайдено достатні умови на систему максимальних диференціальних операторів без мішаних похідних у просторах , де , -- обмежена область, при виконанні яких розмірність простору мінімально можлива, і вказано широкі класи таких систем. (Тут позначає простір диференціальних поліномів, підпорядкованих системі .)

Ключові слова: підпорядкованість, слабка коерцітивність, диференціальний оператор, еліптична система, квазіеліптична система, простір Соболєва.

Лиманский Д.В. Условия подчиненности для систем минимальных и максимальных дифференциальных операторов в пространствах - Рукопись

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - Дифференциальные уравнения. -- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2004 г.

В диссертации получены критерии слабой коэрцитивности для системы минимальных дифференциальных операторов в изотропном (анизотропном) пространствах Соболева . Указаны широкие классы слабо коэрцитивных, но не эллиптических (соответственно не квазиэллиптических) в систем. Также найдены достаточные условия на систему максимальных дифференциальных операторов без смешанных производных в пространствах , где , -- ограниченная область, при выполнении которых размерность пространства минимально возможная, и указаны широкие классы таких систем. (Здесь обозначает пространство дифференциальных полиномов, подчиненных системе .)

Ключевые слова: подчиненность, слабая коэрцитивность, дифференциальный оператор, эллиптическая система, квазиэллиптическая система, пространство Соболева.

Limansky D.V. Subordinated conditions for systems of minimal and maximal differential operators in the spaces . - Manuscript

Thesis for obtaining the candidate degree in physics and mathematics, speciality 01.01.02 - Differential equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2004.

The dissertation is devoted to the problem of description the spaces and of respectively minimal and maximal differential operators with constant coefficients subordinated to other minimal (respectively maximal) differential operators in the spaces .

Firstly, in the dissertation we consider the characterization of elliptic and - quasielliptic, , systems of minimal differential polynomials in the terms of a priori estimates with respect to - norm. It is known that coercivity conditions of a system in the Sobolev space , in contrast to the spaces , , are not connected with the - quasiellipticity condition. To this end, a concept of weak coercivity of a system in the spaces , is introduced in the dissertation. This concept naturally generalizes the classical coercivity concept and gives an opportunity to state the - results.

It is known from results of M.M. Malamud that, in particular, -quasielliptic system is weakly coercive in . We obtain the inverse statement, i.e., that a weakly coercive in system of differential polynomials is -quasielliptic under some additional restrictions on the polynomials , in both isotropic and anisotropic cases. In the case of isotropic Sobolev space , the theorem proved presents the generalization of de Leeuw and Mirkil result and coincides with it for . Thus we obtain weak coercivity criteria for systems of differential polynomials in the isotropic and anisotropic Sobolev space .

We also obtain results on necessary conditions for a differential polynomial to be -quasielliptic in the anisotropic Sobolev space . We consider separately the cases , and , . In the last case, the anisotropic analogue of de Leeuw and Mirkil result is obtained.

Besides, we obtain new kinds of multipliers in the space . Using these multipliers we desribe wide classes of weakly coercive but nonelliptic (nonquasielliptic) systems in the isotropic (anisotropic) Sobolev space . In this way we show the exactness of the found weak coercivity results. By means of multiplier's technique we also give a new proof of M. M. Malamud's result on weak coercivity of a - quasielliptic system in .

Secondly, we consider the problem of finding sufficient conditions on a system of maximal differential polynomials for the space to have minimal possible dimension. M.M. Malamud has obtained the conditions of algebraic nature under which and has formulated the hypothesis on the validity of this equality in the case of polynomials of some special type. He also described two examples of systems for which the hypothesis is valid.

We find sufficient conditions on a system of maximal differential polynomials without mixed derivatives which yield . These conditions require some additional restrictions on the linear span of polynomials comparing with the conjecture. This result generalizes the hypothesis and coincides with it for . So, we prove the validity of the hypothesis in the case of two operators.

Moreover, we construct an example of a system of operators with , acting in such that polynomials satisfy the conditions of the hypothesis but . This example shows that the hypothesis is no longer true if .

Using the sufficient conditions obtained we give new examples of systems of differential polynomials without mixed derivatives such that . These examples generalize the corresponding examples indicated by M.M. Malamud.

We use different methods of Fourier analysis, theory of differential operators with constant coefficients, as well as methods of commutative algebra, algebraic geometry and topology. The obtained results have theoretical significance and can be applied in the general theory of partial differential equations and singular integral operator theory.

Key words: subordination, weak coercivity, differential operator, elliptic system, quasielliptic system, Sobolev space.

Размещено на Allbest.ru