Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Чисельний аналіз варіаційних задач міграції домішок в нестисливих потоках із домінуючою конвекцією

Козаревська Юлія Степанівна

Львів - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Шинкаренко Георгій Андрійович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри інформаційних систем

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Барняк Михайло Якимович, Інститут математики НАН України, м. Київ

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Чапля Євген Ярославович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, директор Центру математичного моделювання

Провідна установа

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-Б).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Протягом останніх десятиріч в теорії та практиці методу скінченних елементів (МСЕ) досягнуто значних результатів, що зробило його одним із найбільш популярних для розв'язування багатьох задач фізики та механіки суцільного середовища. При розв'язуванні крайових задач із самоспряженими еліптичними операторами схеми МСЕ характеризуються задовільною точністю та дозволяють відшуковувати найкращі в сенсі енергетичної норми наближення до точного розв'язку.

Проте в задачах з несамоспряженими операторами, які є типовими для гідродинаміки, схеми МСЕ, побудовані на основі класичного методу Гальоркіна, часто демонструють втрату стійкості й точності наближених розв'язків. Така ситуація, зокрема, може виникати у задачах міграції домішок, які характеризуються суттєво різними швидкостями перебігу дифузії, конвекції та хімічних реакцій. Задачі цього класу знаходять важливі застосування при вирішенні проблем охорони довкілля, прогнозування погоди і змін клімату, фільтрації підземних вод тощо. Це відображено у працях І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, В.С. Дейнеки, А.А. Самарського, П.Н. Вабіщевича, Я.Г. Савули, Є.Я. Чаплі, Г.І. Марчука, В.М. Зубова, М.З. Згуровського, В.К. Хруща, Н.М. Бєляєва.

При великих числах Пекле і Фур'є процеси міграції домішок описуються диференціальними рівняннями з малим параметром при старших похідних, коли рівняння параболічного чи еліптичного типу другого порядку перетворюються на гіперболічні рівняння першого порядку або ж алгебраїчні рівняння. При певному наборі крайових умов та інтенсивностях розподілених джерел такі задачі міграції домішок стають сингулярно збуреними, а їхні розв'язки містять примежові та внутрішні шари. Чисельні розв'язки цих задач, отримані при застосуванні класичних схем МСЕ, характеризуються втратою стійкості і найчастіше навіть якісно не відтворюють точного розв'язку. Спроби ж покращення апроксимацій за рахунок рівномірного згущення сіток приводять до необхідності розв'язування систем дискретних рівнянь занадто великих порядків.

Протягом останнього двадцятип'ятиліття для підвищення стійкості МСЕ маємо важливі досягнення, започатковані працями T.J.R. Hughes, A.N. Brooks зі стабілізованих та працями I. Babuska, W.C. Rheinboldt з адаптивних версій цього методу. Тепер завдяки працям F. Brezzi, J. Wang, L.P. Franca, C. Johnson, K. Morton, E. Onate, J. Douglas, O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu, J.T. Oden, R. Verfыrth, R. Rannacher та інших ця тематика розвинулася в магістральні напрямки теоретичних та прикладних досліджень МСЕ.

Перший з них полягає у дозованому збуренні дискретизованих варіаційних рівнянь в такий спосіб, щоб забезпечити належну стійкість апроксимацій МСЕ зі збереженням очікуваних порядків їхньої збіжності. Серед схем цього класу найбільш відомими є SUPG, GLS, схема Дугласа-Вонга та інші.

Інший спосіб достатньо доброго наближення до розв'язків із примежовими та внутрішніми шарами класичними схемами МСЕ є належне згущення сіток в околі цих шарів (h-адаптивні МСЕ) або підвищення порядків поліноміальних базисних функцій на скінченних елементах зі згаданих шарів (p-адаптивні МСЕ). Як свідчать результати досліджень останніх років, успіх застосувань схем цього класу залежить від надійності апостеріорних оцінювачів похибок МСЕ

В цьому зв'язку побудова стабілізованих і h-адаптивних схем МСЕ для розв'язування сингулярно збурених задач міграції домішок є актуальною і важливою задачею числового моделювання в проблемах охорони довкілля, механіки рідин та газів тощо.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації виконано в рамках держбюджетних науково-дослідних тем кафедри інформаційних систем та кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка: “Математичне та програмне забезпечення чисельного моделювання еволюційної взаємодії фізико-механічних полів” (1996-1998 рр., № держ. реєстрації 0196U001917); “Математичне та програмне забезпечення геоінформаційних і кадастрових систем” (1997-1999 рр., № держ. реєстрації 0197U018071); “Математичне моделювання та інформаційні технології у проблемно-орієнтованих системах” (2000-2002 рр., № держ. реєстрації 0100U001426); “Адаптивні та стабілізовані апроксимації методу скінченних елементів для еволюційних проблем механіки, біофізики та охорони довкілля” (2003-2005 рр., № держ. реєстрації 0103U001926); “Чисельне розв'язування еволюційних задач та самоузгоджених задач теорії потенціалу за допомогою інтегральних рівнянь” (2003 -2004 рр., № держ. реєстрації 0103U001933).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова високоточних стабілізованих та h-адаптивних схем МСЕ для розв'язування сингулярно збурених крайових задач міграції домішок в нестисливих середовищах. В роботі розв'язуються такі основні задачі:

- аналіз властивостей білінійних форм варіаційної задачі міграції домішок, які описують механізми дифузії, перенесення і біохімічного розпаду домішки в нестисливому середовищі, зокрема, залежності сталих неперервності та еліптичності від вихідних даних задачі;

- аналіз чутливості розв'язків варіаційних задач міграції домішок та їх апроксимацій МСЕ до збурень швидкості конвекції, коефіцієнта дифузії та коефіцієнта біохімічного розпаду, зокрема, встановлення зв'язку збурень розв'язків з критеріями подібності Пекле та Фур'є;

- побудова та аналіз стабілізованої схеми локалізованих найменших квадратів (ЛНК), яка передбачає збурення вихідної варіаційної задачі збалансованим штрафування нев'язки її диференціального рівняння над кожним скінченним елементом триангуляції;

- побудова апостеріорних оцінювачів точкових та інтегральних характеристик похибок МСЕ та стратегії адаптування триангуляцій в околі примежових та внутрішніх шарів, здатних забезпечити побудову апроксимацій МСЕ з наперед заданою точністю;

- програмна реалізація алгоритмів розроблених схем МСЕ та виконання обчислювальних експериментів для перевірки теоретичних результатів і порівняння з відомими розв'язками модельних задач;

Об'єктом дослідження є стаціонарні задачі міграції домішок в нестисливих середовищах.

Предметом дослідження є чисельне розв'язування крайових задач міграції домішок з домінуючою конвекцією.

Методи дослідження. Крайові задачі міграції домішок проаналізовано у варіаційному формулюванні методами теорії гільбертових просторів, а їхню дискретизацію проведено за допомогою класичних, стабілізованих та h-адаптивних схем МСЕ.

Наукова новизна результатів праці полягає в наступному:

- знайдено апріорні оцінки енергетичних норм збурень розв'язків варіаційних задач міграції домішок в термінах критеріїв Пекле та Фур'є;

- із використанням локалізованих (на скінченних елементах) найменших квадратів нев'язок для сингулярно збурених задач міграції домішок з великими числами Пекле побудовано стабілізовану схему МСЕ;

- побудовано апостеріорні оцінювачі точкових та інтегральних характеристик похибки і на їх основі розроблено алгоритм h-адаптивного згущення скінченно-елементних сіток, який ґрунтується на засадах мінімізації нев'язки вихідного рівняння та рівномірного розподілу енергетичної норми похибки апроксимації між скінченними елементами.

Практичне значення одержаних результатів Побудовано і обґрунтовано чисельні схеми, які дозволяють отримувати високоточні апроксимації одно- і двовимірних крайових задач міграції домішок, зокрема, сингулярно збурених задач з переважаючою конвекцією, що характеризуються числами Пекле порядку до 10⁵. Розроблено пакети програм, які реалізують запропоновані алгоритми для розв'язування модельних двовимірних прикладних задач міграції домішок.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується використанням сучасних положень обчислювальної математики, математичної фізики та механіки суцільного середовища, строгістю доведення теорем, узгодженням результатів чисельних експериментів з відомими розв'язками.

Особистий внесок здобувача. У працях, написаних із співавторами, автору належить розробка алгоритмів, створення програм та виконання чисельних експериментів, а також: оцінка констант еліптичності та неперервності білінійних форм, оцінка похибки класичної схеми Гальоркіна та схема ЛНК у статті [5]; апріорні оцінки чутливості та їх обґрунтування в [6]; апостеріорні оцінки та алгоритм адаптування сіток в [7]; участь у формулюванні задачі в праці [1]; у [2-4, 9, 12, 14] - розробка чисельної схеми; у [10] - формулювання задач, що описують процеси міграції домішок.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: школі-семінарі “Прикладні проблеми математики та інформатики” (м. Рівне, 1996); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми теорії фільтрації” (м. Рівне, 1998); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми математики” (м. Чернівці, 1998); Всеукраїнській науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів в наукових дослідженнях” (м. Львів, 1998); Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2000-2003); міжнародній конференції “Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики” (м. Львів, 2004); наукових семінарах кафедри інформаційних систем та кафедри обчислювальної математики Львівського національного університету імені Івана Франка (1998-2004).

В цілому дисертаційна робота обговорювалася на міжкафедральному науковому семінарі факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України та загальноінститутському науковому семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 16 праць, з них 8 у фахових виданнях з Переліку ВАК України [1-8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна праця складається зі вступу, п'яти розділів, висновку та списку використаних джерел, що охоплює 111 найменувань і займає 10 сторінок. Праця вміщує 9 таблиць і 55 рисунків. Повний обсяг дисертації - 134 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету та задачі дослідження, сформульовано наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів, наведено кількість публікацій за темою дисертації і виділено особистий внесок здобувача, а також уміщено короткий огляд роботи за розділами.

В розділі 1 зроблено огляд літератури, пов'язаної з темою дисертації, викладено основні результати, досягнуті в області розв'язування задач міграції домішок за допомогою схем МСЕ, розглянуто характерні прикладні застосування цих задач. Далі здійснено огляд чисельних методів розв'язування сингулярно збурених задач міграції домішок. Тут також уміщено математичну постановку наступної крайової задачі міграції домішок: де - обмежена зв'язна область точок евклідового простору з Ліпшицевою границею ; та - задані концентрація і потік домішки; - вектор швидкостей руху часток середовища, який задовольняє умову нестисливості

- інтенсивність джерел притоку (відтоку) домішки, розподілених в області ; - коефіцієнт бiохiмiчного розпаду домішки; - матриця заданих коефiцiєнтiв дифузії зі звичайними властивостями симетрії та додатної визначеності

Скрізь передбачається, що дані задачі задовольняють такі включення

Відзначено, що в різноманітних застосуваннях, пов'язаних з явищами дифузії, конвекції і біохімічних реакцій, знайшли використання так звані критерії подібності фізичних процесів, а саме, число Пекле, які надають природну міру збуреності рівнянь крайової задачі та визначають особливості структури її сингулярності.

За припущення, що і , сформульовано відповідну варіаційну задачу вигляду

Розділ 2 присвячений аналізу сингулярно збуреної варіаційної задачі міграції домішок. За припущень - встановлено властивість білінійної форми задачі , сформульовану у вигляді леми про еквівалентність норм.

Лема 1. Білінійна форма варіаційної задачі породжує норму, яка еквівалентна нормі , і при цьому

Оцінка показує, що енергетична норма, породжена білінійною формою задачі є еквівалентною нормі в просторі з константою, що залежить від критеріїв подібності та числа обумовленості матриці коефіцієнтів дифузії і вказує, коли можна очікувати сингулярної збуреності задачі.

У зв'язку з цим виконано аналіз чутливості розв'язків задачі до збурень її даних, зокрема, одержано апріорні оцінки впливу конвективних збурень.

Теорема 1. Нехай дані варіаційної задачі задовольняють припущення і - її розв'язок. Тоді мають місце наступні твердження.

(і) Знайдеться єдиний розподіл домішки такий, що за будь-якого вибору відповідний розв'язок задачі лишається обмеженим в нормі простору і

Відносне відхилення розв'язку задачі із деяким фіксованим від знайденого розподілу характеризується оцінкою

Наступний результат співставляє норми збурень розв'язку в абстрактних просторах та з критерієм подібності Пекле.

Наслідок 1. Нехай виконано умови теореми 1. Тоді відносне збурення концентрації домішки та її градієнта допускає наступні оцінки в нормах, які не залежать від коефіцієнтів задачі,

Подібним способом за допомогою критеріїв подібності Фур'є та Струхаля проаналізовано зміну розв'язків задачі при збуренні її коефіцієнта біохімічного розпаду за допущення, що умови конвективного та дифузійного перенесення домішки залишаються сталими.

Теорема 2. Нехай - розв'язок задачі і - розв'язок цієї ж задачі з коефіцієнтом біохімічного розпаду . Тоді будуть вірними наступні оцінки відносних відхилень цих розв'язків:

Наслідок 2. Нехай - розв'язок варіаційної задачі і - розв'язок цієї задачі з і . Тоді

Одержані вище оцінки свідчать, що у випадку сингулярної збуреності задача має малий запас стійкості, що дає підстави очікувати певних труднощів при її чисельному розв'язуванні.

Розділ 3 присвячений аналізу класичної схеми дискретизації Гальоркіна в застосуванні до розв'язування задач міграції домішок. Зокрема, з огляду на цю схему, варіаційну задачу міграції домішок записано у вигляді декомпозиції. сингулярний домішка нестисливий триангуляція

Друге рівняння декомпонованої задачі дозволило побудувати апріорні оцінки похибки апроксимацій Гальоркіна, які демонструють точні значення констант неперервності та їх зв'язок із критеріями подібності.

Теорема 3. Нехай - розв'язок варіаційної задачі міграції домішок і - його апроксимація Гальоркіна. Тоді мають місце наступні оцінки похибки такого наближення

Наслідок 3. За умов теореми 3 має місце оцінка

З нерівності видно, що при великих числах подібності або числі обумовленості матриці коефіцієнтів дифузії похибка може бути досить великою, незважаючи на добрий вибір простору апроксимацій.

Було також доведено наслідок про оцінки швидкості збіжності апроксимацій МСЕ.

Наслідок 4. Нехай послідовність просторів апроксимацій володіє наступною властивістю повноти

Тоді послідовність апроксимацій МСЕ збігається відносно норми до розв'язку задачі і при цьому має місце оцінка

Співвідношення показує, що швидкість збіжності апроксимацій МСЕ залежить від сіткових чисел Пекле та Cтрухаля , а тому навіть досить вдалий вибір простору апроксимацій не дозволяє отримати належної точності розв'язку сингулярно збуреної задачі.

У цьому ж розділі описано обчислювальні аспекти розв'язування задач міграції домішок за допомогою апроксимацій МСЕ з кубічними поліномами Ерміта на трикутних скінченних елементах. За результатами аналізу числових розв'язків одновимірних та двовимірних задач зроблено висновок, що підвищення порядків апроксимацій недостатньо розширює можливості класичної схеми МСЕ для сингулярно збурених задач, оскільки дозволяє знаходити задовільні наближення розв'язків на триангуляціях, які характеризуються сітковими числами Пекле не більше десяти.

В розділі 4 побудовано сумісну стабілізовану схему ЛНК, основна ідея якої полягає у заміні варіаційної задачі збуреною задачею:

Регуляризуючий доданок призначений для збалансованої мінімізації квадрату нев'язки на кожному скінченному елементі за допомогою параметрів регуляризації , які визначаються наступним чином:

Шляхом обчислювального експерименту встановлено оптимальні значення сталої : для лінійних апроксимацій - , для квадратичних апроксимацій - , для кубічних апроксимацій - .

Наведено результати чисельних експериментів, які демонструють успішну роботу схеми для одновимірних та двовимірних сингулярно збурених задач міграції домішок. Демонструє деякі результати чисельного розв'язування одновимірної сингулярно збуреної задачі з числом Пекле Pe = 10000.

В розділі 5 розглядається інший підхід до розв'язування задач міграції домішок, який ґрунтується на h-адаптивній версії МСЕ. Зокрема, ставиться загальна задача адаптування

З метою її розв'язання на основі декомпонованої задачі здійснено аналіз похибки апроксимації Гальоркіна , наближення якої відшукували як розв'язок наступної варіаційної задачі

Тут функціонал джерел похибки визначався лишками згідно з правилом

Базис простору , в якому шукаємо наближене значення похибки (апостеріорний оцінювач похибки), побудовано із бабл-функцій , які характеризуються властивостями: де - центр ваги скінченного елемента , на якому апроксимація МСЕ вибирається із простору поліномів .

Наступна теорема й наслідок дозволяють побудувати розв'язок задачі на базі бабл-функцій - та сконструювати апостеріорні оцінки похибки.

Теорема 4. Нехай базис простору апроксимацій похибок формують бабл-функції з властивостями.

Тоді розв'язок варіаційної задачі допускає подання у формі

Наслідок 5. Визначимо норму і нехай набір сталих такий, що для кожного

Припустимо також, що умови теореми 4 виконано.

Тоді для апроксимації похибки розв'язку задачі будуть істинними наступні апостеріорні оцінки

Детальніші апостеріорні оцінки похибки дає наступний наслідок.

Наслідок 6. Нехай виконано умови теореми 4. Тоді для апроксимації похибки розв'язку задачі будуть істинними наступні апостеріорні оцінки

Оцінки, отримані в теоремі 4 та її наслідках, дозволяють не лише визначити похибку апроксимації МСЕ, а й знайти її розподіл між скінченними елементами. Запропонований спосіб знаходження розподілу похибки не вимагає розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь, оскільки базис простору є ортогональною системою.

Спираючись на отримані апостеріорні оцінки похибки, побудовано алгоритм ітераційного уточнення наближеного розв'язку та адаптування скінченноелементної сітки. Алгоритм ґрунтується на принципі рівномірного розподілення норми похибки між елементами триангуляції і дозволяє знаходити наближений розв'язок задачі із наперед заданою точністю.

Результати проведених чисельних експериментів демонструють успішну роботу h-адаптивної схеми МСЕ для одновимірних та двовимірних сингулярно збурених задач міграції домішок. Зокрема, містить наближений розв'язок задачі, який цілком відтворює точний, та адаптовану скінченноелементну сітку, на якій він отриманий. Найінтенсивніше згущення сітки спостерігаємо в околі примежових шарів.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - дослідженню варіаційної задачі міграції домішок, побудові апостеріорних оцінювачів похибки, створенню стабілізованих та h-адаптивних схем МСЕ для задач з домінуючою конвекцією.

У роботі отримано такі основні результати.

1. Для варіаційних задач міграції домішок, що описуються еліптичними рівняннями конвекції-дифузії-реакції, знайдено апріорні оцінки сталих неперервності та еліптичності її білінійних форм в термінах критеріїв подібності Пекле і Фур'є або Струхаля. На цих засадах побудовано апріорні оцінки похибок апроксимацій класичних схем Гальоркіна і методу скінченних елементів, а також проаналізовано чутливість розв'язків вихідних і дискретизованих задач до збурень їхніх коефіцієнтів.

2. За допомогою збалансованого штрафування нев'язки вихідного рівняння на кожному скінченному елементі для розв'язування сингулярно збурених задач міграції домішок побудовано сумісну стабілізовану схему ЛНК з використанням кусково лінійних, квадратичних або кубічних базисних функцій МСЕ та здійснено порівняння розв'язків із розв'язками, отриманими за відомою схемою Дугласа-Ванга.

3. Побудовано зручні оцінювачі точкових та інтегральних характеристик похибки і розроблено на їх основі алгоритм h-адаптивного згущення скінченноелементної сітки, який ґрунтується на принципах мінімізації нев'язки вихідного рівняння або рівномірності розподілу енергетичної норми наближеного розв'язку по скінченних елементах.

4. Розроблено комплекс програм, що реалізує побудовані числові схеми, та здійснено аналіз кусково лінійних, квадратичних і кубічних апроксимацій МСЕ низки модельних одно- і двовимірних задач міграції домішок. Результати чисельних експериментів підтвердили ефективність запропонованих схем розв'язування крайових задач міграції домішок, в тому числі і сингулярно збурених.

Отримані в дисертаційній роботі апріорні та апостеріорні оцінки і побудовані чисельні схеми можуть бути використані при створенні алгоритмів розв'язування сингулярно збурених задач в різних галузях, а розроблене програмне забезпечення - для розв'язування прикладних задач міграції домішок.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Шинкаренко Г.А., Козаревська Ю.С. Скінченноелементні апроксимації Ерміта для одновимірних задач міграції домішок // Волин. матем. вісник - 1996. - №2. - С. 12-14.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А., Шинкаренко О.Г. Регуляризація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок: метод найменших квадратів // Волин. матем. вісник. - 1997. - №4. - С. 67-70.

Козаревська Ю.С., Кондратюк Я.В., Іщук Ю.В., Піскозуб О.Й, Шинкаренко Г.А. Адаптивна стабілізація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1998. - №50. - С. 127-130.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А. Регуляризація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок: cтабілізуюча схема Дугласа-Ванга // Волин. матем. вісник. - 1998. - №5. - С. 66-70.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А., Шинкаренко О.Г. Регуляризація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати // Вісник. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1999. - №52. - С.59-71.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А. Аналіз критеріїв подібності та чутливості розв'язків задач мігрування субстанції до збурень її коефіцієнтів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2000. - №3. - С. 116-125.

Шинкаренко Г.А., Козаревська Ю.С. Регуляризація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок: h-адаптивний метод скінченних елементів. Частина 1 // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2001. - №5. - С. 153-164.

Козаревська Ю.С. Регуляризація чисельних розв'язків варіаційних задач міграції домішок: h-адаптивний метод скінченних елементів. Частина 2 // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2003. - №7. - С. 175-185.

Вірт І., Козаревська Ю. Чисельне моделювання кінетики фотопровідності в неоднорідних напівпровідниках // Теор. електротехн. - 2000. №55. - С. 140-148.

Козаревська Ю.С., Кузик О.М., Шинкаренко Г.А. Чисельне дослідження процесів міграції домішок та оптимальне розміщення джерел пасивних домішок у нестисливому середовищі / Львів. ун-т. -Львів, 1998. 28с. - Деп. в ДНТБ України 13.04.98 №187 Ук 98.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А. Чисельне розв'язування задач міграції домішок з великими числами Пекле // Тези Міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". - Ч. 1. - Київ: Ін-т матем. НАН України. - 1998. - С. 269-271.

Козаревська Ю.С., Шинкаренко Г.А., Шинкаренко О.Г. Регуляризація осцилюючих апроксимацій методу скінченних елементів для задач міграції домішок // Тези Міжнар. конф. “Modelling and investigation of System Stability. Systems Simulation”. - Kиїв. - 1997. - С. 59.

Шинкаренко Г.А., Козаревська Ю.С. Метод локалізованих найменших квадратів розв'язування нестаціонарних задач з переважаючою конвекцією // Тези 7_ї Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикл. матем. інформ.” - Львів. - 2000. - С. 89-90.

Шинкаренко Г.А., Козаревська Ю.С. Оцінювачі апостеріорних похибок та h-адаптивний метод скінченних елементів для задач мігрування субстанції // Тези 8-ї Всеукр. наук. конф. “Суч. пробл. прикл. матем. інформ.” - Львів. - 2001. - С. 66-67.

Козаревська Ю.С. Застосування h-адаптивної схеми МСЕ до розв'язування нестаціонарних задач мігрування // Тези 10-ї Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикл. матем. інформ.” - Львів. - 2003. - С. 73.

Ю.С. Козаревська, Г.А. Шинкаренко Аналіз h-адаптивної схеми методу скінченних елементів для стаціонарних задач мігрування // Тези Міжнар. конф. “Проблеми чис. аналізу і прикл. матем.” - Львів. - 2004. - С. 32.



АНОТАЦІЯ

Козаревська Ю. С. Чисельний аналіз варіаційних задач міграції домішок в нестисливих потоках із домінуючою конвекцією. - Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню сингулярно збурених варіаційних задач міграції домішок в нестисливому середовищі та побудові схем методу скінченних елементів для їхнього розв'язування. Побудовано оцінки констант неперервності та еліптичності білінійних форм варіаційної задачі в термінах норм фізичних характеристик даних задачі та здійснено аналіз чутливості розв'язків до збурень даних варіаційної задачі в термінах критеріїв подібності. Знайдено апріорні оцінки похибки розв'язків дискретизованих задач, побудованих на базі класичних схем Гальоркіна та методу скінченних елементів. На основі принципу мінімізації нев'язки рівняння на кожному скінченному елементі розроблена стабілізована схема локалізованих найменших квадратів. Запропоновано апостеріорні оцінювачі похибок апроксимації методу скінченних елементів. На їх основі сконструйовано h-адаптивну схему, яка ґрунтується на рівномірному розподіленні похибки між скінченними елементами триангуляції. Ефективність запропонованих схем продемонстровано прикладами розв'язування сингулярно збурених крайових задач міграції домішок.

Ключові слова: задача міграції домішок, домінуюча конвекція, критерії подібності, стабілізована схема, h-адаптивна схема, МСЕ, сингулярно збурена задача.



АННОТАЦИЯ

Козаревская Ю.С. Численный анализ вариационных задач миграции примесей в несжимаемых потоках с преобладающей конвекцией. - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - Математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.

Диссертация посвящена исследованию сингулярно возмущенных вариационных задач миграции примесей в несжимаемой среде и построению схем метода конечных элементов для их решения. Построены оценки констант непрерывности и эллиптичности билинейных форм вариационной задачи в терминах норм физических характеристик данных задачи. Опираясь на критерии подобия, произведен анализ чувствительности решений к данным вариационной задачи. Найдены априорные оценки погрешности решений дискретизованых задач, построенных на основании классических схем Галеркина и метода конечных элементов. На основании принципа минимизации невязки уравнения на каждом конечном элементе разработана стабилизационная схема локализованных наименьших квадратов. Найдены апостериорные оцениватели погрешностей аппроксимации метода конечных элементов. На их основании сконструирована h-адаптивная схема, базирующаяся на равномерном распределении погрешности по конечным элементам триангуляции. Эффективность предложенных численных схем продемонстрирована численными решениями сингулярно возмущенных краевых задач миграции примесей.

Ключевые слова: задача миграции примесей, доминирующая конвекция, критерии подобия, стабилизационная схема h-адаптивная схема, МКЭ, сингулярно возмущенная задача.



ABSTRACT

Kozarevska Y.S. Numerical analysis of impurity migration variational problems in incompressible streams with predominant convection. -The manuscript

Thesis for attaining of candidate degree of Physical and Mathematical Sciences on the speciality 01.05.02 - Mathematical modelling and computational methods. - Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics named after Ya.S. Pidstrigatch, National Academy of Sciences of Ukraine, L'viv, 2004.

The thesis deals with the research of singularly perturbed variational problems of impurity migration in the incompressible environment as well as with the construction of finite element methods for their solution.

The estimates of bilinear forms continuity and ellipticity constants in terms of the appropriate norms of the data physical characteristics have been constructed. In view of Peclet, Fourier and Struchal similarity criteria, well known hydrodynamics, the analysis of the sensitivity of variational problem solutions to the perturbations of convection and to the perturbations of biochemical decay factor have been carried out. A priory estimates show, that relative deviations of the solutions of singularly perturbed problems do not exceed a combination of the mentioned criteria. Priory error estimates of discretized problems solutions constructed on the basis of classical Galerkin scheme and on the basis of finite element method have been found in a similar way.

On the basis of the principle of equation residual minimization on each finite element the stabilized scheme of localized least squares has been developed. The scheme allows finding the solutions of singularly perturbed problems with Peclet numbers of the order up to 10⁵.

Posteriori estimates of the point and the integral errors characteristics of finite element method approximation which efficiency of calculations is caused by the choice of the orthogonal bubble-functions basis of the approximations space have been offered. On this basis the h-adaptive FEM has been designed. The scheme allows obtaining the approximate problem solutions with beforehand guaranteed accuracy and regular error distributing on the finite elements of the appropriate triangulation.

Successful functioning of the suggested numerical schemes with piecewise linear, piecewise quadratic and piecewise cubic FEM approximations has been shown on the numerous examples of the solutions of one-dimensional and two-dimensional singularly perturbed impurity migration problems.

Keywords: impurity migration problem, predominant convection, similarity criteria, finite element method, stabilized FEM, h-adaptive FEM, singular perturbed problem.

Размещено на Allbest.ru

...