Математичні моделі теорії сильно неоднорідних середовищ

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Математичні моделі теорії сильно неоднорідних середовищ пов'язані із сингулярно збуреними крайовими задачами для диференціальних операторів. Активне вивчення таких задач в останні десятиліття спричинене розвитком нових технологій, появою нових матеріалів, зокрема, композитних. Коливні системи, що складаються з матеріалів із суттєво різними фізичними характеристиками, часто володіють властивостями, які не притаманні жодній із компонент. При вивченні таких матеріалів виникають нові задачі, а їх дослідження вимагає застосування доволі складного математичного апарату. Тому дослідження конкретних математичних моделей, що описують властивості неоднорідних матеріалів, є актуальною проблематикою як із теоретичного погляду, так і з погляду застосувань.

Історично тематика дисертації пов'язана з теорією диференціальних рівнянь з негладкими коефіцієнтами та коефіцієнтами, які є узагальненими функціями. У минулому столітті крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого та четвертого порядків, що описували коливання струн та стержнів із точковими масами, вивчалися у роботах А.Н. Крилова, М.Г. Крейна, Ф.Р. Гантмахера, І.С. Каца. Поведінка розв'язків задач для рівнянь із частинними похідними в областях із складною структурою досліджувалася В.О. Марченком, Є.Я. Хрусловим, І.В. Скрипником. Сингулярно збурені задачі для диференціальних операторів з частинними похідними та споріднені проблеми вивчали С. Альбеверіо, В.Д. Кошманенко.

У 1980-х рр. в роботах Е. Санчез-Паленсії та О.А. Олєйнік були запропоновані нові математичні моделі коливних систем із локальними збуреннями характеристик середовища. У класичних моделях із приєднаними та зосередженими масами (зарядами, ємностями і т.п.) та сингулярними потенціалами особливості середовища описувалися за допомогою -функцій або специфічних умов спряження на підмножинах нульової міри. Нові моделі враховують як повну міру області збурення, так і різний степінь концентрації особливостей. Відповідні крайові задачі залежать від двох параметрів: малого параметра та дійсного параметра концентрації m. Саме за допомогою таких моделей вдалося довести існування т.з. локальних (низькочастотних) та глобальних (високочастотних) власних коливань, гіпотезу про існування яких висунув E. Sanchez-Palencia. Проблеми локальних та глобальних коливань для одновимірних систем (струна, стержень) вивчалися С.А. Назаровим, О.А. Олєйнік, Ю.Д. Головатим, спектральні властивості мембрани та тривимірного середовища із збуренням маси в околі скінченної дискретної множини досліджували C. Leal, J. Sanchez-Hubert. Моделі із збуренням густини в околі нескінченної як періодичної так і неперіодичної множини точок досліджувалися методами теорії усереднення в роботах M. Lobo, E. Perez, Г.А. Чечкіна. Перші результати для випадку збурення густини в околі многовиду більшої розмірності отримав H. Tchatat. Спектральні задачі в густих з'єднаннях із концентрованими масами досліджували Т.А. Мельник, С.А. Назаров. Поняття "жорстка задача" введене J.L. Lions стосувалося крайових задач для диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких значно відрізняються в різних частинах області задання. Такі моделі володіють двома типами коливань: низькочастотними та високочастотними. Асимптотичні дослідження низькочастотних коливань проводили Г.П. Панасенко, G. Geymonat, E. Sanchez-Palencia, W.M. Greenlee. Вивчення високочастотних коливань розпочали P. Gibert, E. Sanchez-Palencia, перші повні асимптотики з використанням ВКБ-методу отримали Ю.Д. Головатий, Н.О. Бабич.

Проте, у цій тематиці залишається багато відкритих питань, оскільки характер асимптотик та методика дослідження суттєво залежать від співвідношення таких параметрів моделі як порядок диференціального оператора, вимірність простору, вимірність та геометрія області збурення. Предметом дослідження у дисертаційній роботі є моделі коливних систем зі збуреннями окремих фізичних характеристик (густина, жорсткість) в околі одновимірних многовидів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження асимптотичних властивостей власних значень та власних функцій сингулярно збурених крайових задач для диференціальних операторів 4-го порядку, що передбачає вирішення таких задач:

- побудувати асимптотику спектру крайової задачі для бігармонічного оператора у двовимірній обмеженій області із сингулярним коефіцієнтом коло спектрального параметра, яка моделює коливну систему із тонким важким включенням;

- побудувати асимптотику спектру крайової задачі для диференціального оператора з частинними похідними четвертого порядку із сингулярним коефіцієнтом при старших похідних, яка моделює коливну систему із тонким жорстким включенням;

- вивчити вплив локальних точкових збурень густини на спектр крайової задачі Неймана для бігармонічного оператора.

1. Історія та сучасний стан теорії сингулярних збурень

Подано огляд літератури та стисло сформульовано основні результати дисертації.

2. Модель коливань закріпленої на межі пластини, густина якої збурена в околі одновимірного многовиду

Нехай - обмежена область в з гладкою межею , а - гладка замкнена крива без самоперетинів, яка лежить в . Через позначимо -окіл кривої . Вважається, що для . Нехай в області задано функцію:

де p i є гладкими і додатними в областях та відповідно, . Досліджується асимптоттична поведінка при власних значень та власних функцій задачі:

(1)

(2)

де - бігармонічний оператор, - вектор зовнішньої нормалі на . Нехай - локальні координати в , де n є орієнтованою відстанню до кривої вздовж нормалі, а - натуральний параметр кривої . Позначимо , де d - довжина , а також , . Вважаємо, що , де q - гладка додатна функція в P. Оскільки на функція зазнає розриву, то на власну функцію накладаємо умови:

(3)

Власні значення задачі (1)-(3) є неперервними обмеженими функціями параметра , a із відповідних власних функцій можна сфоpмувати оpтоноpмовану базу пpостоpу Соболєва . Поведінка власних значень при суттєво залежить від параметра m. А саме, є сім різних випадків: m<1, m=1, 1<m<3, m=3, 3<m<4, m=4, m>4.

Розглянуто випадки m<1 та m=1, коли вплив зосередженої маси на коливання системи є незначним. Нехай - власний підпростір, що відповідає власному значенню , а , де сумування поширюється на такі , які прямують до при .

Теорема 1. Нехай m<1, а - s-те власне значення задачі:

(4)

Для кожного натурального s виконується оцінка:

Якщо є власним значенням задачі (4) кратності r, то для малих підпростір є r-вимірний і , де - розхил між підпросторами.

Теорема 2. Нехай m=1, а - s-те власне значення задачі:

 (5)

Для кожного натурального s справджується оцінка . Якщо - кратне власне значення задачі (5), то .

При m>1 задача (1)-(3) стає сингулярно збуреною. Зокрема, для таких значень m спектр задачі розпадається на зліченні підмножини власних значень з різною поведінкою при . Вивчено серію нескінченно малих власних значень задачі порядку .

Теорема 3. Нехай m>1. Для кожного натурального s величина має скінченну границю , яка є власним значенням задачі:

(6)

Крім того, , де . Якщо є кратним власним значенням задачі (6), то , де для таких , що .

Для простих власних значень побудовані повні асимптотичні розвинення власних значень та власних функцій, отримано оцінки залишкових членів. Відповідні власні коливання є асимптотично близькі до коливань важкого включення у невагомій пластині .

При існують також власні значення, які не прямують до нуля при .

Теорема 4. Нехай , - власне значення, а - відповідна нормована власна функція задачі (1)-(3).

(i) Якщо і слабко в при , то і є власним значенням та власною функцією задачі:

(7)

Якщо - власне значення задачі (7), то існує власне значення задачі (1)-(3), для якого , де

Нехай - просте власне значення задачі (7) з власною функцією . Повні асимптотики шукаються у вигляді:

(8)

(9)

(10)

Скористаємося розвиненням оператора в околі кривої : , де, зокрема, , , а k - кривина кривої .

Висновки

крайовий асимптотика бігармонічний сингулярний

Дисертація присвячена вивченню спектральних властивостей сингулярно збурених коливних систем. Збурення породжується суттєвою відмінністю однієї з фізичних характеристик компонент таких систем. У таких системах виникають нові, раніше не досліджувані явища, як ефекти низькочастотних та високочастотних коливань, нестандартні граничні задачі.

У дисертації розглянуто три різні задачі на власні значення теорії сильно неоднорідних середовищ: задачі для диференціального оператора четвертого порядку із збуренням коефіцієнтів в околі одновимірного многовиду (збурення густини системи при подібних пружних властивостях, збурення пружності системи при однаковому за порядком розподілі маси), задача для бігармонічного оператора із локальним збуренням в околі точки.

Основні результати роботи такі:

· проведене повне дослідження асимптотичної поведінки спектру коливної системи четвертого порядку із тонким важким включенням; у випадку сильного сингулярного збурення m>4 побудована асимптотика локальних власних коливань;

· проведене повне дослідження асимптотичної поведінки спектру коливної системи четвертого порядку із тонким жорстким або м'яким включенням, коли малий параметр присутній коло старших похідних диференціального оператора на області, яка є -околом кривої;

· вивчені спектральні властивості незакріпленої пластини із концентрованою в околі точки масою; у ситуації сильного сингулярного збурення доведено існування явища локальних власних коливань.

Література

1. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про асимптотику власних значень пластини з локальним збуренням коефіцієнта жорсткості // Вісник Львівського ун-ту. Cер. мех.-матем. - 2000. - Вип. 58. - C. 118-128.

2. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Пpо ефект локальних власних коливань для незакpіпленої композитної пластини // Матеріали VII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 1998. - С. 115.

3. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про локальні власні коливання Е. Санчез-Паленсії для пластини із збуренням густини в околі одновимірного многовиду // Вісник Львівського ун-ту. Cер. мех.-матем. - 1998. - Вип. 51. - C. 134-141.

4. Лавренюк А.С. Про власні коливання пластини із збуренням жорсткості в околі 1-вимірного многовида // Тези доповідей Міжнародної конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння". - Одеса. - 2000. - С. 166-167.

5. Лавренюк А.С. Про спектральну задачу для сингулярно збуреного диференціального рівняння четвертого порядку // Матеріали VIII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ. - 2000. - С. 119.

6. Лавренюк А.С. Про ВКБ-асимптотику глобальних коливань пластини із збуреною в околі одновимірного многовиду густиною // Нелин. гр. задачи. - Сб. науч. трудов. - Вып. 11. - 2001. - С. 105-111.

7. Лавренюк А.С. Сингулярно збурена спектральна задача Неймана для бігармонічного оператора // Матеріали Міжнародної наукової конференції "Сучасні проблеми математики". - Чернівці. - 1998. - С. 44-47.

Размещено на Allbest.ru