Дифузiйнi процеси з мембранами в гiльбертовому просторi

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАЇНИ

IНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЗАЙЦЕВА Людмила Леонтiївна

УДК 519.21

Дифузiйнi процеси з мембранами в гiльбертовому просторi

01.01.05 теорiя ймовiрностей i математична статистика

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Iнститутi математики НАН України.

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України ПОРТЕНКО Микола Iванович, Iнститут математики НАН України, завідувач відділу теорії випадкових процесів;

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор, КОПИТКО Богдан Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук ДЕНИСЬЄВСЬКИЙ Микола Олексійович, Киівський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Національний технічний університет України "КПІ", МОН України, м.Київ.

Захист відбудеться "28" грудня 2004р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий "10" листопада 2004р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

дифузiйний вектор гiперплощина матриця

Актуальнiсть теми. Клас узагальнених дифузiйних процесiв був видiлений Портенком М.I. в 1974 роцi. Цей клас процесiв, для яких локальнi характеристики (тобто вектор переносу та матриця дифузiї) iснують в розумiннi узагальнених функцiй, служить математичною моделлю природних фiзичних явищ, якi не вкладаються в теорiю звичайних дифузiйних процесiв. Одним прикладом такого явища може бути процес дифузiї з частковим або повним вiдбиттям вiд деякої поверхнi (надалi ми будемо використовувати термiн напiвпрозора мембрана, як i Портенко М.I.). Другий приклад виникає при дослiдженнi явища переносу тепла у середовищi, яке складається з двох речовин з рiзними характеристиками: тепло- та температуропровідностi. Рiвняння в частинних похiдних, яке виникає при описi такого явища, є точно рiвнянням Колмогорова для деякого узагальненого дифузiйного процесу.

Є декiлька рiзних пiдходiв до побудови узагальнених дифузiйних процесiв. При першому з них, аналiтичному, шуканi процеси отримуються внаслiдок розв'язання початково-крайової задачi параболiчного типу для рiвняння в частинних похiдних iз загальними крайовими умовами Вентцеля О.Д.: знос, дифузiя на границi вiдповiдно до змiнних коефiцiєнтiв, з можливою затримкою на границi, розв'язанню цих задач були присвяченi роботи Портенка М.I., Копитка Б.I. та їх учнiв. В деяких окремих випадках отриманi процеси вдається охарактеризувати як розв'язок мартингальної проблеми, тобто що траєкторiї процесу задовольняють стохастичне диференцiальне рiвняння в слабкому розумiннi. Деякi класи узагальнених дифузiйних процесiв Кулiнiчу Г.Л., Портенку М.I. та iн. також вдавалося отримати як слабку границю послiдовностi дифузiйних процесiв.

З iншого боку, розвивався ймовiрнiсний метод, тобто побудова узагальнених дифузiйних процесiв як сильних розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Першими роботами в цьому напрямку були статтi Уолша Дж.Б., Хариссона Дж.М. i Шеппа Л.А., в яких будувався процес косого броунівського руху - один з класичних прикладiв узагальнених дифузiйних процесiв. Бiльш складнi одновимiрнi рiвняння (з узагальненим переносом рiзного вигляду) розглядались в роботах Ле Голля Дж.-Ф., Енгельберта Г.Ю. i Шмiдта В., Фландолi Ф., Руссо Ф. i Вольфа Дж., Кулика О.М., Барлоу М. Бьорджi К., Каспi Г. i Мандельбаума А. та iнших. Істотна особливiсть цiєї ситуацiї полягає в тому, що в рiвняння входить локальний час вiд невiдомого (шуканого процесу), фактично, це рiвняння для пари процесiв, другий з яких є функцiоналом спецiального вигляду вiд першого.

В багатовимiрнiй ситуацiї ймовiрнiсний пiдхiд був розроблений Танакою Г. для процесiв з повним вiдбиттям, для яких розглядається рiвняння в досить загальнiй ситуацiї. Тут побудова розв'язку рiвняння значно спрощується, оскiльки завдяки властивостям процесу вдається легко отримати оцiнку на Lp-вiдстань мiж двома розв'язками рiвняння. Для процесiв з частковим вiдбиттям, якi побудованi в дисертацiйнiй роботi, такої оцiнки не iснує, тому в дисертацiї запропоновано метод, який спирається на аналог теореми порiвняння для процесiв косого броунівського руху та дозволяє отримати оцiнки вiдстані за ймовiрнiстю мiж двома розв'язками.

Вказанi вище ймовiрнiснi i аналiтичнi методи побудови узагальнених дифузiйних процесiв істотно залежать вiд розмiрностi простору. Так, в ймовiрнiсному методi iстотно використовуються (одновимiрнi) варiанти теореми про потраєкторну єдинiсть розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. В аналiтичному методi така залежнiсть менш критична, але i там розмiрнiсть простору входить в оцiнки, які дозволяють гарантувати iснування та єдинiсть розв'язку. В зв'язку з цим виникає задача розвитку методiв побудови узагальнених дифузiйних процесiв, iнварiантних вiдносно розмiрностi фазового простору, що, зокрема, дозволить будувати узагальненi дифузiйнi процеси в гiльбертових просторах. Зазначимо, що в нескiнченновимiрнiй ситуацiї виникають новi особливостi, наприклад, вiдсутнiсть аналога мiри Лебега, що змушує робити деякi модифiкацiї методу i, навiть, самого означення узагальненого дифузiйного процесу. В роботi Портенка М.I. та Спiвака Г.Л. при побудовi узагальнених дифузiйних процесiв з мембраною на гiперплощинi в гiльбертовому просторi в частинному випадку часткового вiдбиття в напрямку конормалi метод побудови вимагав додаткової умови на зв'язок кореляцiйного оператора процесу i гiперплощини.

В дисертацiйнiй роботi деякi скiнченновимiрнi пiдходи були перенесенi на випадок гiльбертового простору i, як наслiдок, отримано широкий клас нескiнченновимiрних аналогiв узагальнених дифузiйних процесiв як за допомогою аналiтичного, так i ймовiрнiсного методiв без додаткових умов на параметри.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Iнститутi математики НАН України у вiддiлi теорiї випадкових процесiв згiдно iз загальним планом дослiдження у рамках науково-дослiдної роботи "Методи дослiдження локальної та асимптотичної поведiнки систем, якi не описуються класичними стохастичними рiвняннями". Номер державної реєстрацiї 0101 U 00109.

Також частина дисертацiйної роботи виконана у рамках проекту "Некласична теорiя дифузiйних процесiв" Державного фонду фундаментальних дослiджень, номер державної реєстрацiї 01.07/00103.

Мета i задачі дослiдження. Побудова узагальнених дифузiйних процесiв в скiнченновимiрному евклiдовому просторi у формi, яка є iнварiантною вiдносно розмiрностi простору, i подальше перенесення цiєї конструкцiї на випадок довiльного сепарабельного гiльбертового простору.

В роботi розглядається два пiдходи до побудови таких процесiв. Перший пiдхiд, аналiтичний, полягає в розв'язаннi початково-крайової задачi для рiвняння в частинних похiдних параболiчного типу та подання розв'язку у виглядi, що має аналог і в нескiнченновимiрному гiльбертовому просторi.

Другий пiдхiд, ймовiрнiсний, полягає в побудовi узагальнених дифузiйних процесiв як сильних розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Цей метод iз деякими модифiкацiями переноситься на нескiченновимiрний випадок.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, якi визначають наукову новизну i виносяться на захист такi:

1. Знайдено явний вигляд густини ймовiрностi переходу узагальненого дифузiйного процесу у випадку часткового вiдбиття в довiльному напрямку вiд гiперплощини та наявностi дифузiї на границi у формi, яка є iнварiантною вiдносно числа вимiрiв простору, та вказано стохастичне диференцiальне рiвняння, яке задовольняє в слабкому розумiннi вказаний процес.

2. Знайдений спiльний розподiл багатовимiрного косого броунівського руху i його локального часу на гiперплощинi.

3. Доведено теорему iснування та єдиностi розв'язку стохастичних диференцiальних рiвнянь, що вiдповiдають процесам, для яких узагальненi коефiцiєнти переносу та дифузiї мiстять дельта-функцiю, зосереджену на гiперплощинi.

4. Доведено теорему порiвняння для процесiв косого броунівського руху та теорему про неперервну залежнiсть вiд початкових умов сильного розв'язку стохастичного диференцiального рiвняння iз узагальненими коефiцiєнтами.

5. Доведено марковську властивiсть сильного розв'язку стохастичного диференцiального рiвняння з узагальненими коефiцiєнтами переносу i дифузiї та показано, що даний розв'язок є узагальненим дифузiйним процесом iз заданими узагальненими коефiцiєнтами.

6. Наведено модифiкацiю означення узагальненого дифузiйного процесу, що поширює це означення на процеси, якi мають своїм фазовим простором довiльний сепарабельний гiльбертiв простiр.

7. В сепарабельному гiльбертовому просторi побудовано дифузiйний процес з частковим вiдбиттям в довiльному напрямку вiд гiперплощини i дифузiєю вздовж границi. Наведено мартингальну характеризацiю побудованого процесу.

8. Розроблений метод побудови узагальнених дифузiйних процесiв в гiльбертовому просторi як сильних розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiйна робота носить теоретичний характер. Результати роботи можна застосовувати для подальшого дослiдження структури i властивостей узагальнених дифузiйних процесiв в нескiнченновимiрному фазовому просторi. Результати, пов'язанi з ймовiрнiсним пiдходом, можуть бути застосованi при побудовi загальної теорiї стохастичних диференцiальних рiвнянь з вимiрними коефiцiєнтами.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослiдження та постановка задач належать науковому керiвниковi Портенку М.I. Доведення всiх результатiв дисертацiї проведено автором особисто.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались i обговорювались на засiданнях семiнару вiддiлу теорiї випадкових процесiв (керiвник: член-кор. НАН України Портенко М.I.), а також на конференцiях:

1. Третiй Українсько-Скандинавськiй конференцiї з теорiї ймовiрностей i математичної статистики (Київ, 8-12 червня, 1999р.);

2. Восьмiй Мiжнароднiй науковiй конференцiї iм. акад. М.Кравчука (Київ, 11-14 травня, 2000р.);

3. Мiжнароднiй конференцiї "Стохастичний аналiз та його застосування" (Львiв, 10-17 червня, 2001р.);

4. Мiжнароднiй конференцiї iменi Гнєденка Б.В. (Київ, 3-7 червня, 2002р.);

5. Восьмiй Вiльнюськiй конференцiї з теорiї ймовiрностей i математичної статистики (Вiльнюс, 23-29 червня 2002р.);

6. Мiжнароднiй конференцiї "Колмогоров i сучасна математика" (Москва, 16-21 червня 2003р.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiкованi у роботах [1-4] i у тезах конференцiй, згадуваних вище [5-10].

Структура дисертацiї. Дисертацiя складається iз вступу, п'яти роздiлiв, висновкiв i списку використаних джерел та мiстить 128 сторiнки друкованого тексту.

Список використаних джерел мiстить 59 найменувань

Основна частина

У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми, сформульовано мету i задачi дослiдження, наукова новизна i практичне значення одержаних результатiв. Перший роздiл присвячений огляду лiтератури за темою. Другий роздiл мiстить деякi базовi означення, теоретичнi вiдомостi i допомiжнi результати, використані у дисертаційній роботі, з теорiї марковських процесiв, теорiї W-функцiоналiв, узагальнених дифузiйних процесiв, стохастичних диференцiальних рiвнянь з узагальненими коефiцiєнтами, а також результат про дезiнтеграцiю гауссової мiри в гiльбертовому просторi.

Третiй роздiл присвячений аналiтичному пiдходу до побудови узагальнених дифузiйних процесiв в скiнченновимiрному просторi.

Нехай d заданий орт, S={xd: (x,)=0}. Тодi для заданих параметрiв q[-1,1], S, L+(S) (простiр лiнiйних симетричних невiд'ємновизначених операторiв на S) потрiбно знайти функцiю u(t,x,)=Tt(x), t>0, xd, B(d), яка задовольняє такі умови:

в усiх точках неперервностi функцiї ;

тут вектор конормалi до S.

За допомогою перетворення Фур'є по xS=S x (S це оператор ортогонального проектування на S) i перетворення Лапласа по t ця задача зводиться до розв'язання лiнiйного рiвняння другого порядку зi сталими коефiцiєнтами. Пiсля виконання обернених перетворень отриманий у явному виглядi розв'язок:

де ядро G(t,x,y), t>0, x,yd дорiвнює:

(1)

Тут GS( ,t,x,y) при кожному y i це густина гауссової мiри на гiперплощинi S з середнiм i таким кореляцiйним оператором: tBS+, де 2=(B,), b=SB, BS=B-B, B x= -2(x,B)B, для кожного xd,

(2)

де 1() узагальнена функцiя, яка визначається спiввiдношенням:

Отриманий розв'язок охарактеризований за допомогою наступних двох теорем i наслiдку.

Теоpема 3.1.1. В просторi d iснує неперервний однорiдний процес Маркова ({x(t)},{Mt},Px) з густиною ймовiрностi переходу, яка визначається формулою (1). Побудований процес є узагальненим дифузiйним, вектор переносу i матриця дифузiї цього процесу дорiвнюють (qB+)S(x) i B+S(x) вiдповiдно, де S() узагальнена функцiя, яка визначається спiввiдношенням

.

Теорема 3.1.2. Нехай ({x(t)},{Mt},Px) неперервний однорiдний процес Маркова, побудований в теоремi 3.1.1. Тодi iснує неперервний квадратично iнтегровний мартингал (t) вiдносно потоку -алгебр {Mt}t0, мiри Px з характеристикою tB+t такий, що (0)=0, та x(t)=x(0)+ (qB+)t+(t), t0, де t локальний час процесу {x(t)} на гiперплощинi S.

Наслiдок 3.1.1. Нехай rt=inf{s0: st}, . Тодi iснують:

1) вiнерiв процес w(t)=B-1/2y(t) iз значеннями в d, узгоджений з потоком -алгебр , де

2) вiнерiв процес (t)=y1(rt) iз значеннями в S, узгоджений з потоком -алгебр , де

такi, що при кожному t0 виконується рiвнiсть:

x(t)=x(0)+(qB+)t+B1/2w(t)+1/2(t).

Крiм того, спiльна характеристика мартингалiв {w(t)}, {y1(t)} дорiвнює 0: <w,y1>t=0 при кожному t0.

Основним результатом пiдроздiлу 3.2 є теорема про спiльний розподiл багатовимiрного косого броунівського руху i його локального часу на заданiй гiперплощинi.

Нехай {(t)} багатовимiрний косий броунiвський рух, тобто процес з густиною ймовiрностi переходу (1) у випадку =0, =0.

Теоpема 3.2.1. Спiльний розподiл (t) i t, де t локальний час процесу {(t)} на гiперплощинi S, дорiвнює

де G1(,t,xd,yd) визначається спiввiдношенням (2), GS(t,x,y) при кожному y це густина гауссової мiри на гiперплощинi S з середнiм та з кореляцiйним оператором tBS.

Далi наводяться приклади застосуванння даного результату.

В четвертому роздiлi дифузiйнi процеси, для яких узагальненi коефiцiєнти переносу та дифузiї мiстять дельта-функцiю, зосереджену на гiперплощинi, побудованi як сильний розв'язок стохастичних диференцiальних рiвнянь.

Перший пiдроздiл даного роздiлу присвячений побудовi рiвняння, фiльтрацiї, з якою узгоджуються всi мартингали, якi входять в рiвняння, i доведенню теореми про iснування та єдинiсть розв'язку стохастичного диференцiального рiвняння.

Нехай задано два незалежних вiнерових процеси {w(t)} i {(t)} iз значеннями в d та S вiдповiдно i нехай {w(t)} породжує фiльтрацiю ={w(u):0 u t}.

Для заданого числа q[-1,1], вимiрної функцiї :SS, оператора :SL+(S) i заданої точки x0d дослiджується стохастичне рiвняння в d такого вигляду:

(3)

для t0, де ()=1/2(). Зауважимо, що рiвняння будується в два етапи. Спочатку ми будуємо пару процесiв {(x(t),t)}, тут {t} це локальний час процесу {x(t)} в точцi 0, причому, скориставшись результатом Хариссона Дж.М. та Шеппа Л.А., це можна зробити таким чином, щоб процеси {x(t)} та {t} були узгодженi з {}. Пiсля цього (3) розглядається як рiвняння на невiдомий процес {x(t)}.

Для того, щоб розглядати (3) як рiвняння типу Iто, необхiдно мати фiльтрацiю, вiдносно якої процеси {t},{w(t)},{(t)} були б семiмартингалами. Для кожного t0 розглянемо -алгебру де

тут BS -алгебра борелевих пiдмножин S. Те, що {Mt} це шукана фiльтрацiя, буде випливати з таких трьох лем.

Лема 4.1.1. {Mt} фiльтрацiя.

Лема 4.1.2. Випадковий процес {(t)} є квадратично iнтегровним мартингалом вiдносно фiльтрацiї {Mt} з характеристикою {t}.

Лема 4.1.3. Процес {w(t)} є вiнеровим процесом вiдносно фiльтрацiї {Mt}.

В наступнiй теоремi сформульованi достатнi умови iснування та єдиностi розв'язку рiвняння (3).

Теорема 4.1.1. Нехай iснує константа K>0 така, що виконуються нерiвностi:

Тодi розв'язок рiвняння (3) iснує i єдиний.

В другому пiдроздiлi дослiджуються властивостi побудованого процесу. Перш нiж переходити до доведення марковської властивостi {x(t)}, необхiдно довести, що iснує вимiрна (по початковiй точцi) модифiкацiя даного процесу. Для цього достатньо показати стохастичну неперервнiсть {x(t)}. Тут слiд зауважити, що стандартна технiка не може бути застосована в нашiй ситуацiї, оскiльки для оцiнки вiдстанi мiж двома розв'язками рiвняння (3), якi стартують з рiзних точок простору, фактично, потрiбно оцiнювати вiдстань мiж локальними часами двох процесiв косого броунівського руху, якi побудованi за одним i тим самим вiнеровим процесом, але стартують з рiзних точок прямої. Для розв'язання даної задачi ми використовуємо такий результат.

Теорема 4.2.1. (теорема порiвняння для процесiв косого броунівського руху). Для заданих чисел q1,q2 (-1,1) побудуємо пару процесiв косого броунівського руху:

де , заданi початковi точки, локальнi часи в 0 процесiв x1(t), x2(t) вiдповiдно.

Припустимо, що виконуються умови:

Тодi x1(t) x2(t) для кожного t0 з ймовiрнiстю 1.

Твердження теореми буде випливати з наступної леми, в якiй пара процесiв косого броунівського руху {x1(t)}, {x2(t)} одночасно наближаються дифузiйними процесами, для яких теорема порiвняння вiдома.

Лема 4.2.3. Розглянемо послiдовнiсть стохастичних рiвнянь в 2:

тут {wn(t)} послiдовнiсть вiнерових процесiв, x, i=1,2, де кожна з функцiй ai: задовольняє наступнi умови: 1) , 2)|ai(x)-ai(y)|<Ki|x-y|, x,y, з деякими константами Ki>0. Тодi

де кожна з двох компонент граничної точки це процес косого броунівського руху, побудований за одним вiнеровим процесом {w(t)}, а симетричний локальний час в 0 процесу {xi(t)}, qi=thAi

де , i=1,2.

Наслiдок 4.2.2. Нехай x(t)=x+q+w(t), y(t)=y+q+w(t), q(-1,0)(0,1), t0. Тодi справедливi такi нерiвностi:

де функцiя It(x)=E.

Зауваження 4.2.2. Твердження, аналогiчне наслiдку 4.2.2, справедливе i для випадку |q|=0: E|-|216|x-y|2+|x-y|.

Отриманi оцiнки дозволяють довести результат про неперервну залежнiсть розв'язку рiвняння (3) вiд початкових умов.

Теорема 4.2.2. Розглянемо послiдовнiсть процесiв {xn(t)}, n1, кожний з яких є розв'язком рiвняння (3) з початковим значенням xnd. Нехай xn x при n+, де xd. Тодi для кожного t0 виконується: xn(t)x(t) (за ймовiрнiстю), коли n+, де {x(t)} розв'язок рiвняння (3) з початковим значенням x.

В наступнiй теоремi доводиться марковська властивiсть процесу {x(t)}, побудованого в теоремi 4.1.1. Нехай Y=C([0,+),d)C([0,+),d-1). Процес {x(t)} можна розглядати як функцiонал, вимiрний по кожнiй змiннiй, вiд вiнерових процесiв w, i стартової точки x0: x=(w,,x0), де :Yd C([0,+),d).

Надалi будемо вважати, що =Y.

Теорема 4.3.1. Нехай {x(t)} процес, побудований в теоремi 4.1.1 як розв'язок рiвняння (3). Тодi процес ({x(t)},{Mt},Px), де Px=P1(,,x), є процесом Маркова.

Зауважимо, що даний результат має одну характерну відмінність у порівнянні з класичними теоремами про марковську властивiсть розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь, керованих процесом з незалежними приростами. А саме, розподiл приростiв процесу {t} залежить вiд минулого.

В наступнiй теоремi доводиться, що розв'язок рiвняння (3) є узагальненим дифузiйним процесом, також знаходяться його локальнi характеристики.

Теорема 4.3.2. Процес {x(t)}, побудований в теоремi 4.1.1 є узагальненим дифузiйним процесом, його вектор переносу i матриця дифузiї дорiвнюють (q +(x))S(x) та I+(x)S(x) вiдповiдно, I тотожний оператор на d.

П'ятий роздiл присвячений побудовi узагальнених дифузiйних процесiв в сепарабельному гiльбертовому просторi. Спочатку необхiдно модифiкувати означення узагальнених дифузiйних процесiв для того, щоб поширити його на процеси, якi мають своїм фазовим простором довiльний сепарабельний гiльбертiв простiр, та враховує аналiтичнi особливостi, пов'язанi, зокрема, з вiдсутнiстю у таких просторах аналога мiри Лебега.

Нехай X сепарабельний гiльбертiв простiр, BX -алгебра борелевих пiдмножин X, позначимо через U сiм'ю невироджених гауссових мiр на (X,BX), через L(X) множину лiнiйних симетричних ядерних операторiв на X, через Cb(X) простiр неперервних обмежених функцiй.

Означення 5.1.1. Процес Маркова ({x(t)},{Mt},Px) у фазовому просторi (X,BX) називається узагальненим дифузiйним процесом, якщо:

1) iснує >0 таке, що для довiльної мiри U, для всiх Cb(X) виконується:

2) iснує функцiонал A:Cb(X)UX, лiнiйний по першiй змiннiй, такий, що для довiльної мiри U, для всiх Cb(X), X виконується:

3) iснує функцiонал B:Cb(X)UL+(X), лiнiйний по першiй змiннiй, такий, що для довiльної мiри U, для всiх Cb(X), X виконується:

Вектор A(,) називається узагальненим вектором переносу, матриця B(,) називається узагальненою матрицею дифузiї.

Зауважимо, що якщо деякий процес ({x(t)},{Mt},Px) в (d,) задовольняє дане означення, то вiн задовольняє і класичне означення, причому узагальненi дифузiйнi характеристики будуть пов'язанi такими спiввiдношеннями: A(,)= A(p), B(,)=B(p), де p() густина мiри .

В першому пiдроздiлi п'ятого роздiлу узагальненi дифузiйнi процеси в X побудовані за допомогою такого пiдходу: розглянуто перехiдну ймовiрнiсть, аналогiчну (1), а потiм показано, що їй вiдповiдає марковський процес в X з вiдповiдними локальними характеристиками.

Нехай S гiперплощина, яка ортогональна до заданого орта , через L позначимо одновимiрний пiдпростiр X, породжений .

Для заданих q[-1,1], S, L+(S) (простiр лiнiйних симетричних невiд'ємно визначених ядерних операторiв на S) на множинах вигляду =LS, LBL, SBS розглянемо функцiю P(t,x,), t>0, xX, означену таким чином:

(4)

тут

де G1(,,,) визначається рiвнiстю (2), k(,x,y)=xS+b+, (k(,x,y),S) гауссова мiра на S (при кожному y,) з середнiм k(,x,y) i кореляцiйним оператором tBS+.

Теоpема 5.1.1. В просторi X iснує неперервний однорiдний процес Маркова ({x(t)},{Mt},Px) з ймовiрнiстю переходу P(t,x,), яка визначається (4).

В наступних двох теоремах i наслiдку дається характеризацiя побудованого процесу.

Теорема 5.1.2. Нехай ({x(t)},{Mt},Px) процес Маркова, побудований в теоремi 5.1.1. Тодi вiн є узагальненим дифузiйним процесом в розумiннi означення 5.1.1, його узагальненi дифузiйнi коефiцiєнти дорiвнюють: A(,)=(qB+), B(,)=B+, тут S() поверхнева мiра на S, яка вiдповiдає гауссовiй мiрi ().

Теорема 5.1.3. Нехай ({x(t)},{Mt},Px) процес Маркова, побудований в теоремi 5.1.1. Тодi iснує неперервний квадратично iнтегровний мартингал (t) відносно потоку -алгебр {Mt} i мiри Px, такий, що (0)=0, характеристика <>t=tB+t та x(t)=x(0)+(qB+)t+(t), t0, де t локальний час в 0 процесу {x(t)}.

Наслiдок 5.1.1. Нехай ({x(t)},{Mt},Px) процес Маркова, побудований в теоремi 5.1.1, rt, визначаються в наслiдку 3.1.33. Тодi iснують:

1) гауссiв процес B(t)=y(t) iз значеннями в X, узгоджений з потоком -алгебр {Mt}, де

2) гауссiв процес (t)=y1(rt) iз значеннями в S, узгоджений з потоком -алгебр {}, де

такi, що при кожному t 0 виконується наступна рiвнiсть:

Крiм того, спiльна характеристика мартингалiв {B(t)}, {y1(t)} дорiвнює 0: <B,y1>t=0, при кожному t0.

В наступному пiдроздiлi ми переносимо ймовiрнiсний пiдхiд до побудови узагальнених дифузiйних процесiв, який був розвинений в четвертому роздiлi, на нескiченновимiрний випадок.

Для заданого числа q[-1,1] i додатно визначеного лiнiйного симетричного ядерного оператора B на X розглянемо процес ({x(t)},{Mt},Px), побудований в теоремi 5.1.2. при =0, =0. Процес {x(t)} неперервний однорiдний процес Маркова, його траєкторiї задовольняють таке стохастичне рiвняння: x(t)=x0+qBt+B(t), тут x0X початкове значення. Важливо, що {t} залежить лише вiд значень {x(t)}.

Нехай ймовiрнiсний простiр (,F,P) (на якому побудований процес {x(t)}) достатньо великий для того, щоб на ньому iснував ще один гауссiв процес {(t)} iз значеннями в S з середнiм 0 i кореляцiйним оператором t такий, що (0)=0, процес (t) не залежить вiд фiльтрацiї {Mt}.

Нехай Ft=Mt де

Зауважимо, що аналогiчно лемам 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, справедливо, що {Ft} фiльтрацiя, процес {(t)} є неперервним квадратично iнтегровним мартингалом вiдносно {Ft} з характеристикою t, а процес {B(t)} залишається неперервним квадратично iнтегровним мартингалом з характеристикою tB вiдносно цiєї фiльтрацiї.

Для заданих борелевих функцiй :SS i :SL+(S) розглянемо при кожному t0 таке стохастичне рiвняння:

 (5)

тут ()=1/2(), xS(t)=S x(t), де S оператор ортогонального проектування на гiперплощину S.

Теорема 5.2.1. Нехай iснує константа K>0 така, що виконуються наступнi нерiвностi:

Тодi розв'язок рiвняння (5) iснує i єдиний.

Охарактеризуємо побудований процес. З наступної теореми буде випливати iснування вимiрної (по початковiй точцi) модифiкацiї процесу.

Теорема 5.3.1. Нехай задана послiдовнiсть процесiв {xn(t)}, n1, кожний з яких є розв'язком рiвняння (5) з початковим значенням xnX. Нехай також xnx при n+, де xX. Тодi для кожного t0: xn(t)x(t), коли n+, де {x(t)} розв'язок рiвняння 5.2.1 з початковим значенням x.

В наступнiй теоремi доводиться, що процес, побудований в теоремi 5.2.1 є марковським.

Нехай Y=C([0,+),X)C([0,+),S). Процес, який є розв'язком рiвняння (5), можна розглядати як функцiонал, вимiрний по кожнiй змiннiй, вiд гауссових процесiв B, i початкової точки x0: x=(B,,x0), де :YXC([0,+),X). Надалi вважаємо, що =Y.

Теорема 5.3.2. Нехай {x(t)} процес, побудований в теоремi 5.2.1 як розв'язок рiвняння (5). Тодi процес ({x(t)},{Mt},Px), де Px=P1(,,x), є процесом Маркова.

В наступнiй теоремi показано, що побудований процес буде узагальненим дифузiйним процесом в розумiннi означення 5.1.1 i знайдено його узагальненi дифузiйнi характеристики.

Теорема 5.3.3. Процес {x(t)}, побудований в теоремi 5.2.1, є узагальненим дифузiйним процесом в розумiннi означення 5.1.1 i має наступнi узагальненi дифузiйнi характеристики:

тут

Висновки

Дисертацiйна робота присвячена побудовi узагальнених дифузiйних процесiв в евклiдових просторах та дослiдженню їх властивостей. Розвиненi аналiтичнi i ймовiрнiснi методи, які дозволяють будувати такi процеси у формi, iнварiантнiй вiдносно розмiрностi простору. За допомогою вказаних методiв клас узагальнених дифузiйних процесiв поширений на випадок нескiченновимiрного фазового простору. Отриманi такi результати:

1. Дифузiйний процес, вектор переносу i матриця дифузiї якого iснують в розумiннi узагальнених функцiй, побудований як розв'язок початково-крайової задачi для рiвняння в частинних похiдних параболiчного типу у формi, iнварiантнiй вiдносно розмiрностi простору. Також вказано стохастичне диференцiальне рiвняння, яке задовольняють траєкторiї побудованого процесу в слабкому розумiннi.

2. Знайдено спiльний розподiл багатовимiрного косого броунівського руху i його локального часу на гiперплощинi та наведенi приклади застосування отриманого результату.

3. Розглянуто стохастичнi диференцiальнi рiвняння, що вiдповiдають процесам, узагальненi коефiцiєнти як переносу, так i дифузiї яких мiстять дельта-функцiю, зосереджену на заданiй гiперплощинi. Доведено, що при належному виборi стохастичного базису такi рiвняння мають єдиний сильний розв'язок.

4. Доведено теорему порiвняння для процесiв косого броунівського руху та теорему про неперервну залежнiсть вiд початкових умов сильного розв'язку стохастичного диференцiального рiвняння iз узагальненими коефiцiєнтами.

5. Доведено марковську властивiсть побудованого сильного розв'язку та показано, що даний розв'язок є узагальненим дифузiйним процесом iз заданими узагальненими коефiцiєнтами.

6. Наведено модифiкацiю означення узагальненого дифузiйного процесу, яка дозволяє поширити це означення на процеси, якi мають своїм фазовим простором довiльний сепарабельний гiльбертiв простiр, та враховує аналiтичнi особливостi, пов'язанi, зокрема, iз вiдсутнiстю у таких просторах аналога мiри Лебега. Також наведено зв'язок модифiкованого означення iз стандартним у скiченновимiрному випадку.

7. Наведено у явному виглядi перехiдну ймовiрнiсть узагальненого дифузiйного процесу в гiльбертовому просторi, що описує дифузiю iз постiйним частковим вiдбиттям вiд гiперплощини та дифузiєю вздовж гiперплощини, без обмежень на зв'язок оператора просторової дифузiї та гiперплощини.

8. Розвинено метод побудови узагальнених дифузiйних процесiв в гiльбертовому просторi як сильних розв'язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь.

Список опублiкованих праць здобувача за темою дисертацiї

1. Zaitseva L.L. On a multidimensional Brownian motion with partly reflecting membrane on a hyperplane // Theory of Stochastic Processes. 1999. 5(21), N 3-4. P.258-262.

2. Зайцева Л.Л. Броунiвський рух у гiльбертовому просторi з напiвпрозорою мембраною на гiперплощинi // Укр. мат. журнал. 2001. 53, N 7. С.887-891.

3. Зайцева Л.Л. Броунiвський рух в гiльбертовому просторi з дифузiєю вздовж напiвпрозорої мембрани на гiперплощинi // Теор. ймовiрност. та матем. статист. 2000. Вип. 62. С.19-26.

4. Zaitseva L.L. On a probabilistic approach to the construction of the generalized diffusion processes // Theory of Stochastic Processes. 2000. 6(22), N 1-2. P.141-146.

Тези мiжнародних конференцiй

5. Zaitseva L.L. Wiener process in a Hilbert space with partly reflecting membrane on a hyperplane // Abstr. The Third Ukr.-Scand. Conference in Probab. Theory and Math. Statistics (June 8-12, 1999, Kyiv, Ukraine). Kyiv.: 1999. P.164.

6. Зайцева Л.Л. Вiнерiвський процес в гiльбертовому просторi з мембраною на гiперплощинi // VIII мiжнародна конференцiя iм. акад. М.Кравчука, Київ, 11-14 травня 2000 року. Матерiали конф. К.: 2000. С.431

7. Zaitseva L.L. On a Wiener process with partly reflecting membrane on a hyperplane as the solution to a stochastic differential equation // The International Conference "Stochastic Analysis and its Applicatiions", Lviv, Ukraine, June 10-17, 2001. Abstracts of comm. Lviv.: 2001 P.88.

8. Zaitseva L.L. Wiener process with two partly reflecting membranes // International Gnedenko conference, Kyiv, June 3-7, 2002. Abstracts. Kyiv.: 2002. P.241.

9. Zaitseva L.L. Diffusion process with membrane on a hyperplane in a Hilbert space // 8th Vilnius Conference on Probab. Theory and Math. Statistics, June 23-29, 2002. Abstracts of comm. Vilnius.: TEV, 2002. P.349.

10. Zaitseva L.L. Generalized diffusion process as a solution to a stochastic differential equation // Межд. конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 16-21 июня 2003 г. Тезисы докладов. M.: Мех.-мат. факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2003. С.602.

Aнотацiї

Зайцева Л.Л. Дифузiйнi процеси з мембранами в гiльбертовому просторi. Рукопис. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.05 теорiя ймовiрностей i математична статистика. Iнститут математики НАН України, Київ, 2004.

У дисертацiйнiй роботi побудовано широкий клас узагальнених дифузiйних процесiв в скiченновимiрному евклiдовому просторi у формi, яка є iнварiантною вiдносно розмiрностi фазового простору, з подальшим продовженням цiєї конструкцiї на випадок довiльного сепарабельного гiльбертового простору.

Розглянуто два пiдходи до побудови таких процесiв: аналiтичний i ймовiрнісний.

За допомогою аналiтичного пiдходу перехiдну ймовiрнiсть дифузiйного процесу, вектор переносу i матриця дифузiї якого iснують в розумiннi узагальнених функцiй, побудовано як розв'язок початково-крайової задачi для рiвняння в частинних похiдних параболiчного типу та подано у формi, що має аналог в гiльбертовому просторi. Також вказано стохастичне диференцiальне рiвняння, для якого побудований процес буде слабким розв'язком.

За допомогою ймовiрнiсного пiдходу процес, узагальненi коефiцiєнти переносу i дифузiї якого мiстять дельта-функцiю, зосереджену на заданiй гiпеплощинi, побудовано як сильний розв'язок стохастичного диференцiального рiвняння.

Цей метод iз певними вдосконаленнями переноситься i на нескiнченновимiрний випадок.

Ключовi слова: узагальнений дифузiйний процес, задача про склеювання дифузiйних процесiв, локальний час, косий броунiвський рух, стохастичне диференцiальне рiвняння з сингулярними коефiцiєнтами.

Zaitseva L.L. Diffusion processes with membranes in Hilbert space. Manuscript. Ph.D. Thesis, Probability Theory and Mathematical Statistics 01.01.05. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The wide class of generalized diffusion processes in finite-dimensional Euclidean space is constructed in the form that is invariant of the dimension of the phase space. This construction is extended to the arbitrary separable Hilbert space. We consider two approaches to construction of such processes: analytical and probabilistic.

Using analytical approach we construct transition probability of diffusion process with generalized drift vector and diffusion matrix as the solution of initial-boundary problem for partial differential equation of parabolic type in such a way that this result has analogue in Hilbert space. Also we find stochastic differential equation such that constructed process is the weak solution to this equation.

Using probabilistic approach we construct stochastic process, which drift vector and diffusion matrix include delta-function concentrated on the given hyperplane, as the strong solution to the stochastic differential equation. This approach with some improvements also takes place in infinite-dimensional case.

Key words: generalized diffusion process, the pasting problem for diffusion processes, local time, skew Brownian motion, stochastic differential equation with singular coefficients.

Зайцева Л.Л. Диффузионые процессы с мембранами в гильбертовом пространстве.} Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика. Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

В диссертационной работе построен широкий класс обобщенных диффузионных процессов в конечномерном евклидовом пространстве в форме, которая инвариантна относительно размерности фазового пространства, с дальнейшим продолжением данной конструкции на случай произвольного сепарабельного гильбертового пространства. Рассматриваются два подхода к построению таких процессов: аналитический и вероятностный.

Работа состоит из введения, пяти глав, выводов и списка использованных литературных источников. Во вступлении приводятся цель и постановка задач работы, а также освещаются актуальность темы, научная новизна и практическое значение полученных результатов. В первой главе дается обзор литературы по теме. Вторая глава содержит некоторые базовые определения, теоретические сведения и вспомогательные результаты.

Третья глава посвящена аналитическим методам построения обобщенных диффузионных процессов в конечномерном фазовом пространстве. Процесс, имеющий вектор переноса AS() и матрицу диффузии B+S() (S() дельта-функция, сосредоточенная на гиперплоскости S) с постоянными A, B, построен как решение начально-краевой задачи для уравнения в частных производных параболического типа. Полученный процесс охарактеризован как решение мартингальной проблемы. Также найдено совместное распределение многомерного косого броуновского движения и его локального времени на гиперплоскости и приведены примеры использования данного результата.

В четвертой главе обобщенные диффузионные процессы с вектором переноса (q+())S() и матрицей диффузии I+()S(), где единичный вектор нормали к S, а q[-1,1] постоянно, построены как сильное решение стохастического дифференциального уравнения. Показано, что при подходящем выборе стохастического базиса решение соответствующего уравнения существует и единственно. Доказана теорема сравнения для процессов косого броуновского движения, этот результат используется для доказательства существования измеримой (по начальной точке) модификации построенного процесса. Показано, что процесс, являющийся сильным решением стохастического дифференциального уравнения с указанными обобщенными коэфициентами, есть марковским, более того, обобщенным диффузионным с вектором переноса и матрицей диффузии, равными (q+())S() и I+()S() соответственно.

В пятой главе методы построения обобщенных диффузионных процессов, которые были разработаны в предыдущих двух главах, переносятся на случай произвольного сепарабельного гильбертового пространства. В начале главы приводится модификация определения обобщенного диффузионного процесса, которая позволяет расширить данное определение на случай сепарабельного гильбертового пространства и учитывает аналитические особенности, связанные, в частности, с отсутствием в таких пространствах аналога меры Лебега. Указывается также связь модифицированного определения со стандартным в конечномерном пространстве. Рассмотрена переходная вероятность, аналогичная полученной в третьей главе, и доказано, что ей соответствует некоторый процесс Маркова с непрерывными траекториями. Показано, что полученный процесс является обобщенным диффузионным процессом в смысле нового определения, кроме того, приведена характеризация процесса в терминах соответствующей проблемы мартингала. Вероятностный метод построения обобщенных диффузионных процессов также переносится на случай бесконечномерного фазового пространства. Для уравнения, аналогичного построенному в четвертой главе, доказана теорема существования и единственности сильного решения. Показано, что полученный процесс имеет измеримую (по начальной точке) модификацию и является процессом Маркова. Доказано, что построенный процесс удовлетворяет модифицированному определению обобщенного диффузионного процесса и найдены его обобщенные коэффициенты переноса и диффузии. Ключевые слова: обобщенный диффузионный процесс, задача о склеивании диффузионных процессов, локальное время, косое броуновское движение, стохастическое дифференциальное уравнение с сингулярными коэффициентами.

Размещено на Allbest.ur

...