Топологічна динаміка: мінімальність, ентропія та хаос

Умова в теоремі 4.15, що f не є мінімальним, є істотною при доведенні. Можливо, що теорема справедлива і без цієї умови.

Заключний, п'ятий розділ дисертації містить 2 підрозділи і цілком присвячений топологічній ентропії - одному з центральних об'єктів теорії динамічних систем. Зокрема, вивчаються топологічна ентропія для неавтономних динамічних систем та розглядаються аксіоматичні означення топологічній ентропії для відображень відрізка.

У першому підрозділі дається означення та досліджується топологічна ентропія h(f_{1,?}) неавтономної динамічної системи, що задається послідовністю f_{1,?} = {f_n}_{n=1}^{?} неперервних відображень компактного топологічного простору X в себе. Ми даємо означення та розширюємо його для визначення ентропії h(f_{1,?};Y) відносно довільної (необов'язково компактної чи інваріантної) підмножини Y простору X . Потім розглядаємо еквівалентне означення ентропії для неавтономної системи на просторі, що є ще і метричним.

Після дослідження основних властивостей ентропії, вводимо нові поняття, які є важливими при вивченні неавтономних динамічних систем. Наприклад, асимптотичну топологічну ентропію h*(f_{1,?}) , як границю \lim_{n ?} h(f_{n,?}) , де f_{n,?} - частина f_n, f_{n+1}, … послідовності f_{1,?} (ми показуємо, що така границя завжди існує). Далі, коли f_{1,?} є послідовністю одностайно неперервних самовідображень на X і Y c X визначаємо нову величину H(f_{1,?};Y) . Ми називаємо її топологічна sup-ентропія послідовності f_{1,?} на множині Y . Це поняття використовується при доведенні аналогу теореми Бовена для розширень неавтономних динамічних систем.

Спочатку ми знайшли досить цікаву і на перший погляд неочікувану властивість топологічної ентропії автономної динамічної системи.

Теорема 5.1. Для неперервних відображень f, g з компактного топологічного простору X в себе значення топологічної ентропії h(g?f) та h(f?g) співпадають.

Добре відомий факт, що топологічна ентропія будь-якого гомеоморфізму відрізка чи кола дорівнює нулю, поширюється на будь-які послідовності монотонних неперервних відображень відрізка чи кола.

Теорема 5.3. Нехай f_{1,?} - послідовність (необов'язково строго) монотонних відображень з C(X,X) , де X=I чи S . Тоді топологічна ентропія h(f_{1,?}) дорівнює нулю.

Досліджуються інші важливі властивості топологічної ентропії неавтономних динамічних систем, такі, як, наприклад, півнеперевність.

У другому підрозділі ми вивчаємо властивості топологічної ентропії неавтономних кусково-монотонних динамічних систем на відрізку прямої та їх застосування до трикутних відображень.

Нехай X_{1,?} = (X_i)_{i=1}^? - послідовність компактних метричних просторів і f_{1,?} = (f_i)_{i=1}^? - послідовність неперервних відображень, де f_i є відображенням з X_i до X_{i+1} .

Топологічна ентропія h(f_{1,?}) неавтономної динамічної системи (X_{1,?}; f_{1,?}) вивчалась нами у попередньому підрозділі за припущення, що всі простори X_i співпадають. Тут ми узагальнюємо ці означення для послідовності просторів X_{1,?}. Але все ж головним результатом цього підрозділу слід вважати доведення та застосування до трикутних відображень аналогу такої добре відомої теореми.

Теорема Мішюревіча-Шлєнка. Якщо f - кусково-монотонне неперервне самові-дображення відрізка прямої і c_n позначає число кусків монотонності f^n , то h(f)=\lim_{n ?} 1/n log c_n.

Будемо розглядати динамічну систему (I_{1,?};f_{1,?}) , де I_i, i=1,2, ... , - замкнені відрізки прямої. Більше того, припустимо, що всі f_i - кусково-монотонні. Під цим розуміємо існування такого скінченого розбиття I_i інтервалами, що f_i - монотонне (не обов'язково строго) на кожному елементі цього розбиття. Тоді f_i^n = f_{i+(n-1)}? …? f_{i+1}? f_i - також кусково-монотонне. Інтервалом монотонності кусково-монотонного відображення є будь-який максимальний (по відношенню до включення) інтервал, на якому відображення монотонне. Позначимо число інтервалів монотонності f_1^n через c_{1,n}. Ми хочемо знайти умови, при яких формулаh(f_{1,?})=\limsup_{n ?} 1/n log c_{1,n} (5.11) має місце.

Знайдено три можливих наборів таких умов. У теоремі 5.9 припущення є найслабкішими і просто формулюються. Насправді ж їх непросто перевірити. Потім ми підсилюємо їх в слабкіших теоремах 5.10 та 5.11, умовами, які часто просто перевірити. Оскільки доведення узагальнення теореми 4.4. використовує теорему 5.9, то цю теорему можемо вважати головним результатом цього підрозділу.

В автономному випадку компактність простору відіграє ключову роль в теорії. Щоб не втратити це, потрібно встановити деякі обмеження на поведінку послідовності просторів. Динамічна система (I_{1,?};f_{1,?}) називається обмеженою, якщо довжини відрізків є рівномірно обмеженими зверху. Щоб сформулювати теорему 5.9 нам потрібні наступні означення. Нехай (I_{1,?};f_{1,?}) - динамічна система. Будемо говорити, що вона має властивість Маркова, якщо існує д > 0 та деяка послідовність C_{1,?} скінченних підмножин C_i c I_i така, що для довільного i ? 1 - (a) кінці I_i належать до C_i ; (b) або f_i є монотонним на всьому відрізку I_i , або ж довжина будь-якої компоненти I_i \ C_i не менша д ; (c) для будь-якої компоненти J з I_i \ C_i відображення f_i є монотонним на J ; (d) f_i( C_i) c C_{i+1} .

Теорема 5.9. Якщо (I_{1,?};f_{1,?}) - динамічна система Маркова, то (5.11) має місце.

Як деяке застосування теореми 5.9 знайдено один досить широкий клас трикутних відображень квадрата, що мають тип 2? та додатну топологічну ентропію. Існування таких відображень було встановлено автором (див. теорему 4.4), але в наступній теоремі ми даємо більш коротке доведення, що базується на теоремі 5.9. Пізніше F. Balibrea, F. Esquembre та A. Linero побудували приклад такого відображення у класі C^r для будь-якого скінченного r . Ми презентуємо більш загальну конструкцію, що належить до великого підкласу трикутних відображень типу 2? , в класі C^r і з додатною ентропією. Потім узагальнюємо цей результат, показуючи існування таких відображень навіть у класі C? .

Теорема 5.14. Існує трикутне відображення у класі C? відображень квадрата в себе типу 2? з додатною топологічною ентропією.

Будь-яке трикутне відображення F , яке розглядається при доведенні теореми 5.14, яке будемо розглядати, має властивість limsup_{n?}1/ n log card Fix(F^n)=0, де Fix(F^n) - множина нерухомих точок F^n . Більше того, в цьому випадку немає гомоклінічних точок чи підкови будь-якого вигляду. Це певний контраст до C^0 -відображень відрізка та двовимірних дифеоморфізмів класу C^{1+е} , де limsup_{n ?}1/n log card Fix(F^n) ? h(F), і якщо h(F) > 0 , то деяка ітерація F має гомоклінічні точки та підкови.

У третьому підрозділі ми даємо аксіоматичні означення топологічної ентропії на відрізку. Ідея дати аксіоматичне означення для ентропії належить В.А. Рохліну, який дав аксіоматичне означення метричної ентропії автоморфізму на просторі Лебега. Пізніше результат Рохліна був узагальнений B. Kami\'nski для Z^d -акції при довільному d ? 2 . Деяке аксіоматичне означення топологічної ентропії для ендоморфізмів на компактних групах знайшов L.N. Stojanov. Для повноти треба нагадати, що існує також багато праць з аксіоматичної характеризації різноманітних ентропій в контексті теорії інформації.

Наведемо два відносно близьких аксіоматичних означення топологічної ентропії та аксіоматичну характеризацію топологічного хаосу. Ми сподіваємось, що аксіоматичні означення допоможуть більше зрозуміти роль топологічної ентропії у топологічній динаміці (хоча б на відрізку).

Перше ніж запропонувати основні результати цього підрозділу, нагадаємо базисні властивості топологічної ентропії для відображень відрізка. Вони будуть претендентами для аксіом наших означень.

Спочатку нагадаємо, що топологічна ентропія як функція C(I) [0, +?] півнеперервна знизу.

Якщо f,g є C(I) , то будемо говорити, що g отримане з f за допомогою наливання води, якщо існує відкрита множина G c I (у відносній топології) така, що g є сталою на кожній компоненті G і g(x)= f(x) для будь-якої xє I \ G. Позначимо це через g є PW(f) . Якщо gє PW (f), то відомо, що h(g) ? h(f). Відзначимо, що на відміну від півнеперервності знизу h(.), факт, що h(g) ? h(f), коли g є PW(f) , є справедливим навіть для довільних компактних метричних просторів.

Нехай P - скінченна підмножина I . Відображення f є C(I) будемо називати P -монотонним (відповідно P -лінійним ), якщо воно є постійним на [0,min P] і [max P,1] , та f є (не обов'язково строго) монотонним (відповідно, афінним) на замиканні довільної зв'язної компоненти з I \ P . Також, множина P c I називається слабко f -інваріантною, якщо f(P) c P .

Нехай f,g є C(I) . Нагадаємо g є фактором f чи, що рівнозначно, f є півспряженим до g , якщо існує фактор відображення ц є C(I) (тобто, сюр'єкція така, що ц ? f = g ? ц ). В цьому випадку, звичайно, h(g) ? h(f) . Якщо, крім того, ц є неспадною, то будемо говорити, що g є строгим фактором f . Клас строгих факторів відображення f будемо позначати через SF(f) .

Кусково-лінійні відображення такі, що абсолютне значення їх нахилів є постійним, відіграють важливу роль в теорії топологічної ентропії на відрізку. Для л > 0 позначимо CS_ л := {f є C(I): f є кусково-лінійним з нахилом л чи - л }. Нагадаємо відомі факти: якщо f є CS_{ л } , то h(f) = max{0, log л} , і h(ф)=log 2. Також, якщо f є кусково-монотонним, то існує g є CS_{exp(h(f))} ? SF(f) (і очевидно, h(g) = h(f) ).

Тепер ми можемо сформулювати перший з основних результатів цього підрозділу.

Теорема 5.15. Нехай Ax : C(I) [0, + ?] задовольняє такі властивості:

(LSC) Ax - півнеперервна знизу.

(PW) Ax(g) ? Ax(f) завжди, коли g є PW(f).

(SF) Ax(g) ? Ax(f) завжди, коли g є SF(f).

(CSF) Якщо f є P -лінійним відображенням, де P є слабко f -інваріантною множиною і Ax(f) > 0 , то f має кусково-лінійний (необов'язково строгий) фактор g є CS_л для деякого л такого, що Ax(f) = Ax(g) .

(? LOG) Ax(f) ? log л завжди, коли f є CS_ л є P -лінійним відображенням, де P є слабко f -інваріантною і л ? 1 .

(? LOG) Ax(f) ? log л завжди, коли f є Cal CS_л є P -лінійним відображенням, де P є деякою періодичною орбітою для f і л > 1 .

Тоді Ax ? h , і тільки h є відображенням, що має наведені вище властивості.

Природно виникає питання, а чи не є деякі з аксіом надмірними. Ми показуємо, що кожна з аксіом (LSC), (SF), (? LOG) та (? LOG) є необхідною в тому сенсі, що коли будь-яку з них вилучити, теорема не буде мати місця. Ми також висловлюємо гіпотезу, що (PW) і (CSF) так само необхідні.

Існує також можливість замінити дві аксіоми (? LOG) та (? LOG) деякою комбінацією інших аксіом з тим ефектом, що число аксіом буде більшим, але Ax та h в аксіомах будуть (неявно) співставлені на меншій множині відображень, ніж в попередній теоремі (див. теорему 5.16).

Як ми бачили раніше, існує багато підходів до означень хаосу. Нагадаємо, що поняття топологічної ентропії інколи використовується для означення хаосу. Тобто деякі автори (в тому числі і ми) називають f топологічно хаотичним коли h(f) > 0 . Разом з пошуком аксіоматичного означення топологічної ентропії, нас цікавить і питання пошуку аксіоматичної характеризації топологічного хаосу у згаданому вище сенсі. Будемо говорити, що аксіоматична ентропія характеризує хаос, якщо Ax(f) > 0 є еквівалентним до h(f) > 0.

В цьому контексті є природним знайти, які саме аксіоми є необхідними для аксіоматичної ентропії, щоб охарактеризувати хаос (без необхідного співпадіння з топологічною ентропією). Відповідь на це запитання дає такий результат.

Нагадаємо деякі означення та властивості відображень відрізка. Нехай t є N U 2? } і f є C(I) такі, що Pe(f)=S(t) (див. означення в другому розділі). Тоді говорять, що f є відображенням типу t. Топологічна ентропія має такі властивості: (1) h(f^n) = n h(f) завжди, коли n - невід'ємне ціле число і f - неперервне самовідобра-ження компактного топологічного простору; (2) Для відображення f є C(I) топологічна ентропія h(f) > 0 тоді і тільки тоді, коли f є відображенням типу › 2?.

Теорема 5.16. Нехай { \Ax : \CI \mapsto \Rpc } задовольняє наступні властивості:

(LSC) Ax - півнеперервна знизу.

(ITER) Ax(f^n)=n Ax(f) для n ? 0 .

(T _1 ) Ax(f) = 0 завжди, коли f є відображенням типу 1 .

(T _3) Ax(f) >0 завжди, коли f є відображенням типу 3 .

Тоді Ax характеризує хаос.

Висновки

У дисертаційній роботі закладено основи нових напрямків та розв'язано ряд актуальних проблем теорії (дискретних) динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на компактних просторах.

При дослідженні неперервних відображень компактних хаусдорфових просторів встановлено існування тісного зв'язку між їх мінімальністю, оберненістю та відкритістю. Зокрема показано, що мінімальне відображення є майже відкритим, а відкритим воно може бути лише коли є гомеоморфізмом. Доведено, що будь-яке мінімальне відображення на компактному метричному просторі є майже взаємно однозначним відображенням і його ``істотною'' частиною є мінімальний гомеоморфізм.

Введено поняття мінімального простору - простору, який допускає існування мінімального відображення (гомеоморфізму). Проведено дослідження питання, які саме простори є мінімальними по відношенню до гомеоморфізмів та неперервних необернених відображень. При розгляді цього питання розв'язана відома проблема Ауслендера - встановлено існування необернених мінімальних відображень на торах розмірності n? 2. Доведено існування компактних хаусдорфових просторів, які допускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних гомеоморфізмів (більше того, мають властивість нерухомої точки для довільного гомеоморфізму).

Для довільних динамічних систем на метричних компактних просторах, досліджено концепцію хаосу Лі-Йорка, яка вивчалась раніше здебільшого тільки для одновимірної динаміки. Зокрема, введено та вивчено новий клас динамічних систем, що певною мірою близький за властивостями до дистальних - майже дистальні динамічні системи (системи, що не мають так званих пар точок Лі-Йорка). Показано, що системи з додатною топологічною ентропією є хаотичними в сенсі Лі-Йорка.

Знайдено ряд еквівалентних означень чутливої залежності від початкових умов. Введено нову концепцію хаотичних систем, що поєднує в собі ідеї чутливості та хаосу в сенсі Лі-Йорка - чутливість Лі-Йорка. Проведено аналіз властивостей таких систем у порівнянні з іншими. Зокрема, доведено, що слабко змішані системи є чутливими за Лі-Йорком.

Доведено, що для довільної слабко змішаної динамічної системи проксимальна клітка будь-якої точки фазового простору скрізь щільна (резидуальна) у ньому. Таким чином, узагальнено відомі результати H.B.Keynes, J.B. Robertson та Benjamin Weiss.

Побудовано основи теорії трикутних неперервних відображень (квадрата в себе). Знайдено істотну відмінність в динаміці таких відображень від неперервних відображень відрізка. Показано, що на відміну від відображень відрізка, існують трикутні C?-гладкі відображення квадрату з додатною топологічною ентропією, будь-яка періодична траєкторія яких має період 2 ? (так звані відображення типу 2? ).

Для неперервного відображення площини знайдено необхідні і достатні умови того, щоб деяка замкнена множина відрізка прямої була щ -граничною множиною. Як наслідок цього результату та теореми Довкера-Фрідлендера-Шарковського, для динамічної системи, що задається неперервним відображенням T відрізка прямої, описана топологічна структура всіх T-зв'язних множин.

Знайдено нижні оцінки значень топологічної ентропії для транзитивних відображень кола, n-зірки при довільному n >2 та певного класу транзитивних розширень, що включає в собі транзитивні трикутні відображення квадрата.

Дано означення топологічної ентропії неавтономної динамічної системи, що задається послідовністю неперервних відображень на компактному просторі (просторах). Проведено детальне вивчення основних властивостей топологічної ентропії таких систем. Як наслідок цих досліджень, зокрема, встановлено комутативну властивість топологічної ентропії (автономної) динамічної системи.

Введено нові класи неавтономних кусково-монотонних динамічних систем та доведено аналог теореми Мішюревіча-Шлєнка для обчислення топологічної ентропії таких систем.

Знайдено та досліджено аксіоматичні означення топологічної ентропії та топологічного хаосу для неперервних відображень відрізка.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Динамика одномерных отображений / Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. - Киев: Наук. думка, 1989. - 216 с.

2. Dynamics of one-dimensional maps / Sharkovsky A.N., Kolyada S.F., Sivak A.G., Fedorenko V.V. - Dobrecht: Kluwer Academic Publishers, Mathematics and its Applications, Vol. 407.- 1997. - 272p.

3. Коляда С.Ф. Однопараметрические семейства отображений интервала для которых нарушается монотонность бифуркаций // Укр. мат. журн. - 1989. - Т.41, - C. 258-261. (English translation 1989. - Vol.41, - P. 230-232)

4. Коляда С.Ф. О треугольных отображениях типа 2? с положительной энтропией // Динамические системы и турбулентность. - Киев: Ин-т математики. - 1989. - C. 76-82.

5. Kolyada S.F. On dynamics of triangular maps of the square // Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 1992.-Vol. 12.- P.749-768.

6. Коляда С. Чутливість Лі-Йорка та інші концепції хаосу // Укр. мат. журн. - 2004.-Т.56. - С.1043-1061.

7. Коляда С. Топологічна ентропія динамічної системи на просторі одновимірних відображень // Нелінійні коливання. - 2004.-Т.7. - С.141-163.

8. Akin E., Kolyada S. Li-Yorke sensitivity // Nonlinearity.- 2003.- Vol.16. - P.1421-1433.

9. Aseda L., Kolyada S., Llibre J., Snoha L. Entropy and periodic points for transitive maps // Transactions of the American Mathematical Society.- 1999.-Vol. 351.- P.1551-1573.

10. Alseda L., Kolyada S., Llibre J., Snoha L. Axiomatic definition of the topological entropy on the interval // Aequationes Mathematicae.- 2003. - Vol.65.-P.113-132.

11. Alseda L., Kolyada S.F., Snoha L. On topological entropy of triangular maps of the square // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1993. - Vol.48. - P.55-67.

12. Blanchard F., Glasner E., Kolyada S., Maass A. On Li-Yorke pairs // Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal).- 2002.-Vol.547. - P.51-68.

13. Bruin H., Kolyada S., Snoha L. Minimal nonhomogeneous continua // Colloquium Mathematicum.-2003.-Vol.95.-P.123-132.

14. Kolyada S., Misiurewicz M., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous piecewise monotone dynamical systems on the interval // Fundamenta Mathematicae. - 1999.-Vol.160.- P.161-181.

15. Kolyada S.F., Snoha L. On щ -limit sets of triangular maps // Real Analysis Exchange. - 1992-93.-Vol.18. - P. 115-130.

16. Kolyada S., Snoha L. On topological dynamics of sequences of continuous maps // International Journal of Bifurcation and Chaos.- 1995.-Vol.5. -Р.1437-1438.

17. Kolyada S., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems // Random & Computational Dynamics.- 1996.- Vol. 4. - P.205-233.

18. Kolyada S., Snoha L. Some aspects of topological transitivity - a survey // Grazer Mathematische Berichte. - 1997.-Vol.334.-P.3-35.

19. Kolyada S., Snoha L., Trofimchuk S. Noninvertible minimal maps // Fundamenta Mathematicae. - 2001. -Vol.168.- P.141-163.

20. Kolyada S., Snoha L., Trofimchuk S. On minimality of nonautonomous dynamical systems // Нелінійні коливання. - 2004. -T.7. - С.86 - 92.

21. Kolyada S.F., Sharkovsky A.N. On topological dynamics of triangular maps of the plane // Iteration Theory. - River Edge, NJ.: World Sci. Publishing, 1991.- P.177-183.

22. Kolyada S., Snoha L. Topological dynamics of triangular maps // Iteration Theory. - Singapore: World Scientific Publishing, 1996.- P.165-172.

23. Коляда С.Ф. Треугольные отображения квадрата, у которых Per(f)=Rec(f) // Тезисы докладов Всесоюзной конференции ``Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики''.- Тернополь, 1989.-P.209-210.

24. Kolyada S.F. On topological dynamics of triangular maps of the plane // Proc. International Conference on Nonlinear Oscillations. - Cracow (Poland).-1990.-P.217-218.

25. Snoha L., Kolyada S.F. On щ-limit sets of triangular maps // Real Analysis Exchange.-1991-92.-Vol.17.-P.57-58.

26. Kolyada S.F., Snoha L. On щ -limit sets of triangular maps // Iteration Theory. Singapore: World Scientific Publishing, 1992.- P.164-165.

27. Kolyada S.F. Topological dynamics of triangular maps of the square //Tagungsbericht 20/1993 `` Low dimensional dynamics''.- Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (Germany), 1993.- P.7.

28. Kolyada S.F., Snoha L. On topological dynamics of triangular maps // International Congress of Mathematics (Short Communications). - Zurich (Switzerland), 1994. - P.196.

29. Kolyada S. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems // Proceedings of the Conferences of the Centre de Recerca Matemаtica.- Bellaterra: Centre de Recerca Matematica (Spain), 1997.-P.66-68.

Анотації

Коляда С.Ф. Топологічна динаміка: мінімальність, ентропія та хаос. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Досліджено властивості топологічно транзитивних та мінімальних відображень на компактних хаусдорфових (метричних) просторах. Показано, що мінімальне відображення є майже відкритим, а відкритим воно може бути лише, коли є гомеоморфізмом. Доведено існування компактних хаусдорфових просторів, які допускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних гомеоморфізмів. Для довільних динамічних систем на метричних компактних просторах, досліджено концепцію хаосу Лі-Йорка, яка була вивчена раніше в основному тільки для одновимірної динаміки. Показано, що системи з додатною топологічною ентропією є хаотичними в сенсі Лі-Йорка. Введено нову концепцію хаотичних систем, що поєднує в собі ідеї чутливості та хаосу в сенсі Лі-Йорка - чутливість Лі-Йорка. Доведено, що для довільної слабко змішаної динамічної системи проксимальна клітка будь-якої точки фазового простору скрізь щільна (резидуальна) у ньому. Побудовано основи теорії трикутних неперервних відображень (квадрата в себе) та топологічної ентропії неавтономних динамічних систем. Знайдено та досліджено аксіоматичні означення топологічної ентропії та топологічного хаосу для неперервних відображень відрізка.

Коляда С.Ф. Топологическая динамика: минимальность, энтропия и хаос. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

В диссертационной работе заложены основы новых направлений и решены ряд актуальных проблем теории (дискретных) динамических систем, заданных непрерывными отображениями на компактных пространствах.

Изучены свойства топологически транзитивных и минимальных отображений на компактных (метрических) пространствах. При исследовании непрерывных отображений компактных хаусдорфовых пространств установлено существование тесной связи между их минимальностью, обратимостью и открытостью. В частности, показано, что минимальное отображение является почти открытым, а открытое оно только в случае, когда оно является гомеоморфизмом. Доказано, что любое минимальное отображение на компактном метрическом пространстве является почти взаимно однозначным и ``существенной'' его частью есть минимальный гомеоморфизм.

Введено понятие минимального пространства - пространства, для которого существует минимальное отображение (гомеоморфизм). Проведено исследование проблемы: какие пространства являются минимальными по отношению к гомеоморфизмам и необратимым отображениям. При исследовании этого вопроса решена известная проблема Ауслендера - доказано существование необратимых минимальных отображений на торах размерносты ?2 . Доказано существование компактных хаусдорфовых пространств, которые допускают существование минимальных необратимых отображений, но не допускают минимальных гомеоморфизмов (более того, имеют свойство неподвижной точки для произвольного гомеоморфизма).

Исследованы некоторые общие свойства топологических динамических систем, которые задаются непрерывными отображениями топологических пространств. Это сделано, ипользуя новые концепции определений хаотического поведения таких систем (или кратко - хаоса). Для произвольных динамических систем на метрических компактных пространствах исследовано концепцию хаоса Ли-Йорка, которая изучалась раньше в основном для одномерной динамики. В частности, введен и изучен новый класс динамических систем, который по своим свойствам близок к дистальным - почти дистальные динамические системы (системы, которые не имеют так называемых пар точек Ли-Йорка). Решена известная проблема о существовании проксимальных, но не асимптотических пар точек в системах с положительной энтропией. В действительности получен даже более общий результат - системы с положительной топологической энтропией являются хаотичными в смысле Ли-Йорка.

Найден ряд эквивалентных определений чувствительной зависимости от начальных условий. Введена новая концепция хаотичных систем, которая объединяет в себе идеи чувствительности и хаоса Ли-Йорка - чувствительность Ли-Йорка. Проведен анализ свойств таких систем в сравнении с другими. В частности доказано, что слабо перемешивающие системы чувствительны по Ли-Йорку.

Доказано, что для произвольной слабо перемешивающей динамической системы проксимальная клетка любой точки фазового пространства всюду плотная (резидуальная) в нем. Таким образом, обобщены известные результаты H.B. Keynes, J.B. Robertson и Benjamin Weiss.

Заложены основы теории треугольных непрерывных отображений (квадрата в себя). Найдены существенные различия динамики таких отображений и динамики непрерывных отображений отрезка. Показано, что в отличие от отображений отрезка, существуют треугольные бесконечно гладкие отображения квадрата с положительной топологической энтропией, любая периодическая орбита которых имеет период степень 2 (так называемые отображения типа 2? ).

Для непрерывого отображения плоскости, найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы некоторое замкнутое подмножество отрезка прямой было щ -предельным множеством. Как следствие этого результата и теоремы Довкера-Фридлендера-Шарковского, для динамической системы, которая задаётся непрерывным отображением Т отрезка прямой, описана топологическая структура всех Т-связных множеств.

Найдены нижние оценки значений топологической энтропии для транзитивных отображений окружности, n-звезды при произвольном n и некоторого класса транзитивных расширений, который включает транзитивные отображения квадрата.

Дано определение топологической энтропии неавтономной динамической системы, которая задается последовательностю непрерывных отображений на компактном пространстве (пространствах). Проведено изучение основных свойств топологической энтропии таких систем. Как следствие этих исследований, в частности, найдено коммутативное свойство топологической ентропии (автономной) динамической системы. Введены новые классы неавтономных кусочно-монотонных динамических систем и доказано аналог теоремы Мишюревича-Шленка для вычисления топологической энтропии таких систем. Найдены и исследованы аксиоматические определения топологической энтропии и топологического хаоса для непрерывных отображений отрезка.

Kolyada S.F. Topological dynamics: minimality, entropy and chaos. - Manuscript. - The thesis for degree of Doctor in physics and mathematics by the speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv, 2004.

We investigate topologically transitive and minimal dynamical systems on Hausdorff compact spaces. It is shown that any minimal map is almost open, i.e., sends open sets to sets with nonempty interiors (and if it is even open then it is a homeomorphism). Using these results it is proved that any minimal map in a compact metric space is almost one-to-one and, moreover, when restricted to a suitable invariant residual set it becomes a minimal homeomorphism. We showed that there are (1) nonhomogeneous metric continua that admit minimal noninvertible maps but have the fixed point property for homeomorphisms and (2) nonhomogeneous metric continua that admit both minimal noninvertible maps and minimal homeomorphisms. The Li-Yorke definition of chaos proved its value for interval maps, we considered it in the setting of general topological dynamics. We solved a long-standing open question by proving that positive entropy implies Li-Yorke chaos. We introduced and studied a concept which links the Li-Yorke versions of chaos with the notion of sensitivity to initial conditions - Li-Yorke sensitivity. It is proved that for any weak mixing dynamical system, the proximal cell of any point is dense (residual) in the space. The basic properties of triangular continuous maps (of the square) and topological entropy of nonautonomous dynamical systems are investigated. We gave two closely related axiomatic definitions of topological entropy and an axiomatic characterization of the topological chaos.

Размещено на Allbest.ru