Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Періодичні розв'язки диференціальних рівнянь із запізненням

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Диференціальні рівняння із запізненням є тим математичним апаратом, за допомогою якого вдалося описати нові ефекти і явища в багатьох прикладних задачах. У сучасній фізиці, механіці, космічній техніці для визначення сили, що діє на тіло (матеріальну точку), потрібно враховувати не тільки точне розміщення та поведінку його в даний момент часу, але і стан об'єкта в деякі попередні моменти часу. Еволюція біологічних систем залежить від всієї передісторії, що приводить до появи запізнення в математичних моделях цих систем, яке дозволяє врахувати неоднорідність біологічних популяцій, сезонність розвитку та інші фактори. Аналогічні задачі виникають при довгостроковому прогнозуванні в економіці, задачах медицини, екології, імунології, хімії та інших науках. Системи диференціальних рівнянь із запізненням, у зв'язку з численними прикладними застосуваннями, є важливим і актуальним об'єктом дослідження.

Систематичному дослідженню диференціальних рівнянь із запізненням присвячені праці А.Д. Мишкіса, Л.Е. Ельсгольца, М.М. Красовського, А. Халаная, Р. Белмана та К. Кука, Дж. Хейла. Важливий внесок у розвиток різних напрямків теорії диференціальних рівнянь із запізненням зробили Ю.О. Митропольський, А.М. Самойленко, В.П. Рубаник, Д.І. Мартинюк, В.І. Фодчук, В.М. Азбелєв, Г.П. Пелюх, В.Ю. Слюсарчук та інші.

Відзначимо великий інтерес до дослідження коливних процесів у системах із запізненням. Серед різноманітних методів дослідження періодичних розв'язків таких рівнянь та алгоритмів їх побудови значний розвиток отримали асимптотичні методи Крилова-Боголюбова - Митропольського, метод малого параметра та метод усереднення, які були вже розвинені для звичайних диференціальних рівнянь. Основні результати цих досліджень для квазілінійних диференціальних рівнянь із запізненням одержані в працях Ю.О. Митропольського, С.М. Шиманова, В.П. Рубаника, В.І. Фодчука, Ю.О. Рябова, А. Халаная, В.І. Рожкова, С.Ф. Фещенка, М.І. Шкіля, Дж. Хейла, К. Перелло, С. Інвернізі, Ф. Заноліна та інших.

Для дослідження умов існування періодичних розв'язків сильно нелінійних рівнянь із запізненням у роботах М.А. Красносельського, Ю.Г. Борисовича, Р. Графтона, Дж. Хейла, А. Стокса використовуються топологічні методи. Відзначимо метод дослідження періодичних розв'язків для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, запропонований Л. Чезарі, поширений пізніше на рівняння із запізненням А.М. Родіоновим, а також метод тригонометричної колокації, розвинутий в роботах А.М. Самойленка і М.Й. Ронто, А. Белена.

Для дослідження періодичних розв'язків систем нелінійних диференціальних рівнянь в працях А.М. Самойленка розвинутий чисельно - аналітичний метод, який дозволяє поряд із знаходженням періодичного розв'язку у вигляді рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій встановити умови існування таких розв'язків. У працях А.М. Самойленка, Д.І. Мартинюка, Б.П. Ткача, Ю.В. Теплінського, М. Квапіша, К.В. Цідило, М.В. Ронто, С.І. Трофимчука, С.В. Янчука, Я.Й. Бігуна, М.П. Філіпчука та інших чисельно-аналітичний метод поширений на різні класи диференціальних рівнянь із запізненням.

Дослідженню періодичних розв'язків різних класів інтегро - диференціальних рівнянь присвячені праці Ю.О. Митропольського, Г.П. Хоми, М.І. Гром'яка, В.З. Чорного, Г. Вахабова, О.Д. Нуржанова, А.Т. Алимбаєва та інших.

У роботах А.М. Самойленка, М.Й. Ронто та Ле Лионг Тая чисельно - аналітичний метод узагальнений для знаходження періодичних розв'язків автономних звичайних диференціальних рівнянь. В той же час у випадку автономних диференціальних рівнянь із запізненням даний метод не достатньо добре досліджений. Зокрема, в праці Д.І. Мартинюка, В.А. Данканича наведена без обгрунтування схема чисельно-аналітичного методу для автономних диференціальних рівнянь із запізненням, що містить неточну додаткову умову.

У даній дисертаційній роботі досліджується побудова та обгрунтування схеми чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв'язків для автономних диференціальних рівнянь із запізненням. Крім того, цей метод поширюється для дослідження інтегро - диференціальних рівнянь із запізненням різних типів: із 2 - періодичною правою частиною; правою частиною довільного періоду T, розглянуто також випадок, коли інтегральний член є типу Вольтерра.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт «Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь», номер держреєстрації 198U001998, та «Теорія диференціальних рівнянь і нелінійних коливань», номер держреєстрації 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження є автономні диференціальні рівняння із запізненням та інтегро-диференціальні рівняння другого порядку із запізненням.

Метою дослідження даної роботи є побудова та обгрунтування схеми чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв'язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням, а також уточнення умов застосування цієї схеми для інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням.

Методи дослідження. В роботі використовуються ідеї чисельно - аналітичного методу А.М. Самойленка, ідеї методу Гальоркіна та топологічні методи, а також результати теорії диференціально - функціональних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

- запропоновано і обґрунтовано схему чисельно-аналітичного методу знаходження періодичних розв'язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- встановлено достатні умови існування періодичних розв'язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням;

- досліджено умови існування та наближеної побудови періодичних розв'язків автономного диференціального рівняння типу Ван дер Поля із запізненням;

- одержано достатні умови збіжності чисельно-аналітичного методу дослідження періодичних розв'язків інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням з інтегральним членом типу Вольтерра, в які величина запізненння входить у явному вигляді;

- розвинено чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв'язків інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням у випадку Т-систем першого і другого класу.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані для дослідження та побудови розв'язків конкретних прикладних задач, математичними моделями яких є автономні диференціальні рівняння першого порядку із запізненням та інтегро-диференціальні рівняння другого порядку перерахованих вище типів. Крім того, їх можна застосовувати для подальшого дослідження та наближеної побудови розв'язків диференціальних рівнянь із запізненням.

Особистий внесок здобувача. Загальний план роботи та постановка задач визначені науковим керівником - А.М. Самойленком. Усі наукові результати, включені в дисертацію, отримані автором особисто. Відзначимо внесок автора у спільних публікаціях: у праці [1] А.М. Самойленко поставив задачі та запропонував вибір методики дослідження, а доведення всіх наведених тверджень належить автору; у праці [4] - І.М. Черевку належить ідея загальної схеми дослідження, а розробка ітераційної схеми та її обгрунтування належить автору.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь (2002 р. та 2004 р.) (керівник - академік НАН України, професор Самойленко А.М.) та на П'ятій Кримській Міжнародній Математичній школі «Метод функций Ляпунова и его приложения» (м. Алушта, 5 - 13 вересня 2000 р.), а також обговорювались на Міжнародних конференціях: Міжнародній конференції «Dynamical systems modelling and stability investigation» (м. Київ, 25 - 29 травня 1999 р.); VIII Міжнародній Науковій Конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 11 -14 травня 2000 р.); Міжнародній конференції «Dynamical systems modelling and stability investigation» (м. Київ, 22 - 25 травня 2001 р.); Міжнародній конференції «Диференціальні рівняння і нелінійні коливання» (м. Чернівці, 27 -29 серпня 2001 р.); Міжнародній конференції «Теорія еволюційних рівнянь» (П'яті Боголюбовські читання) (м. Кам'янець-Подільський, 22 - 24 травня 2002 р.); Міжнародній конференції «Dynamical systems modelling and stability investigation», (м. Київ, 27 - 30 травня 2003 р.); Міжнародній науковій конференції «Шості Боголюбовські читання) (м. Чернівці, 26 - 30 серпня 2003 р.).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано в 11 працях. Серед них - 4 статті [1 - 4] в наукових фахових виданнях, що входять в перелік №1 ВАК України від 9.06.1999 р., та 7 тез [5 - 11] у збірниках матеріалів наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота скаладається зі вступу, трьох розділів, що містять 17 параграфів, висновків та списку використаних джерел, що цитуються (137 найменування). Загальний обсяг роботи - 128 сторінок, основний зміст роботи становить 111 стор.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику академіку НАН України А.М. Самойленку за постановку задач і постійну увагу до роботи.

Основний зміст роботи

диференціальний рівняння чисельний

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, виділено мету і задачі дослідження, наведено основні результати, відзначено їх новизну та практичне значення і зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі зроблено огляд праць, які стосуються чисельно - аналітичного методу А.М. Самойленка для дослідження періодичних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь. Розглянуто загальну схему чисельно-аналітичного методу, введено необхідні позначення та наведено допоміжні твердження, необхідні в подальшому. Проаналізовано результати застосування цього методу для дослідження періодичних розв'язків диференціально-функціональних рівнянь, автономних диференціальних рівнянь та інтегро-диференціальних рівнянь.

У розділі 2 розглянута задача про відшукання періодичних розв'язків автономних систем із запізненням, доведено теореми про необхідні умови існування цих розв'язків, встановлено оцінки похибки методу та відхилення наближеного розв'язку від точного, розглянуто деякі часткові випадки, доведено теореми, що дають достатні умови існування періодичних розв'язків таких систем.

У підрозділі 2.2 розглядається автономна система диференціальних рівнянь із запізненням

, (1)

з крайовими умовами вигляду

, (2)

Задача (1) - (2) за допомогою замін зводиться до задачі про відшукання періодичного розв'язку з періодом для системи диференціальних рівнянь

, . (3)

Встановлено, що крайова задача (3) може мати розв'язок тільки при додатковій умові: його значення повинно знаходитись на поверхні

. (4)

де - деяка фіксована координата розв'язку з екстремальним значенням в точці . Заміною змінних задача (3) зводиться до задачі знаходження 2 - періодичних розв'язків неавтономної системи вигляду

, (5)

з додатковою умовою існування періодичного розв'язку

. (6)

Позначатимемо через розв'язок рівняння (6) відносно , а через - розв'язок рівняння . Припустимо, що для значень із деякого відрізка, виконуються такі умови

1) обмеженості;

2) Ліпшица:

3) власні значення матриці лежать в одиничному крузі;

4) множина точок , що знаходяться в області разом із своїм околом, не порожня.

При виконанні цих припущень періодичний розв'язок системи (5) будемо шукати як границю рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій, що визначаються рекурентними співвідношеннями

,

,

-

- , (7)

, .

Теорема 2.2.1. Нехай система (5) має періодичний розв'язок , який лежить на поверхні (6) і виконуються умови 1) - 4), тоді має місце співвідношення

,

визначений рівностями (7).

У цьому ж підрозділі розглянуто автономну систему диференціальних рівнянь із запізненням, одне з рівнянь якої є лінійним, та знайдено для неї у явному вигляді умову, аналогічну (6).

Для знаходження наближених розв'язків автономних рівнянь без запізнення розвинено метод тригонометричної колокації, описаний в роботах А. Белена, А.М. Самойленка, М.Й. Ронто, чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка для встановлення і наближеної побудови періодичних розв'язків автономних систем звичайних диференціальних рівнянь та топологічні методи, які досліджувались М.А. Красносельським, Дж. Хейлом, Р. Графтоном та іншими.

У підрозділі 2.3 встановлено залежність між існуванням розв'язків задачі (5) - (6) та існуванням нулів визначальної функції, розглянуто властивості цієї функції (лема 2.3.1). Основним результатом підрозділу є таке твердження.

Теорема 2.3.1. Якщо система (5) при виконанні умов 1) - 4) має періодичний розв'язок для якого справджується рівність

, то, .

Доведено також достатні умови існування періодичних розв'язків системи (1) та розглянуто схему знаходження періодичних розв'язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням в скалярному випадку (теореми 2.3.2 та 2.3.3).

Зауважимо, що умови існування періодичних розв'язків диференціальних рівнянь із запізненням досліджувались в працях К. Перелло, С. Інвернізі, Ф. Заноліна, Ю.О. Митропольського, Д.І. Мартинюка та інших авторів.

У підрозділі 2.4 встановлено оцінку похибки чисельно-аналітичного методу. У підрозділі 2.5 розглядається питання зведення автономної системи із запізненням до неавтономної та встановлюються оцінки належності отриманої неавтономної системи до класу Т-систем через параметри вихідної системи. При цьому вивчаються особливості лінійної заміни змінних при зведені автономної системи із запізненням з виділеною лінійною частиною до неавтономної та встановлено оцінки.

У підрозділі 2.6 чисельно-аналітична схема застосована для дослідження періодичних розв'язків диференціального рівняння із запізненням типу Ван дер Поля

Отримано оцінки, які забезпечують можливість застосування ітераційного процесу (7) та побудовано нульове наближення періодичного розв'язку.

У третьому розділі розглянуто поширення чисельно-аналітичного методу для знаходження періодичних розв'язків інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням.

У підрозділі 3.2 розглядається інтегро-диференціальне рівняння другого порядку

, (9)

де x - скалярна функція і функції визначені відповідно в області

, (10)

неперервні за сукупністю змінних, -періодичні і задовольняють в області D умови обмеженості функцій та Ліпшица.

Для знаходження періодичних розв'язків рівняння (9) запропоновано метод, що поєднує ідеї методу Гальоркіна та чисельно-аналітичного методу. За виконання ряду умов, справедливе таке твердження.

Теорема 3.2.1. Нехай функції та визначені в області (10), неперервні за сукупністю змінних, - періодичні по і задовольняють вище вказані умови. Тоді послідовність - періодичних функцій

при збігається рівномірно до періодичної функції, що задовольняє рівняння

Встановлено залежність між існуванням періодичних розв'язків рівняння (9) та існуванням нулів визначальної функції.

У підрозділі 3.3 розглянуто інтегро-диференціальне рівняння із запізненням та Вольтерровим інтегральним членом

(11)

Припустимо, що функції в правій частині рівняння (16) визначені в області , , , неперервні за сукупністю змінних, Т-періодичні по t, s і задовольняють в області визначення умови обмеженості та Ліпшица.

Встановлено умови, при яких система (16) є Т-системою і доведено наступне твердження

Теорема 3.3.1. Нехай система (16) є -системою. Припустимо, що -періодичний з періодом розв'язок цієї системи, який при проходить через точку х₀. Тоді

,

де - періодичні функції, що визначаються співвідношеннями

,

, .

Досліджено також питання про існування періодичних розв'язків, яке пов'язане з існуванням нулів функції

та виконанням рівності , тотожно для всіх t.

Випадок системи інтегро-диференціальних рівнянь без запізнення розглядався в працях А.Т. Алимбаєва і Г.О. Вахабова, а диференціальне рівняння другого порядку із запізненням досліджено в роботах Д.І. Мартинюка. У даному пункті уточнено результати, що встановлені в працях Д.І. Мартинюка, за рахунок явного введення запізнення в умови існування періодичного розв'язку.

У підрозділі 3.4 схема знаходження періодичних розв'язків інтегро - диференціальних рівнянь 1-го та 2-го класу, введених в роботах Ю.А. Митропольського, Г.П. Хоми, узагальнюється на нелінійні інтегро-диференціальні рівняння вигляду

, (12)

де функції неперервні за сукупністю своїх змінних, періодичні по t з періодом T, визначені в деякій області (13) обмежені сталими М і М₁ відповідно та задовольняють умови Ліпшица, функція визначена і неперервна, періодична по t з періодом T і обмежена сталою N.

Теорема 3.4.1. Нехай функції визначені в області (13), неперервні за сукупністю своїх змінних, Т - періодичні і задовольняють наведені вище припущення.

Тоді для кожної неперервної періодичної функції такої, що

, ,

послідовність періодичних функцій

;

,

збігається при рівномірно відносно t до неперервної періодичної функції, що задовольняє інтегрально-диференціальне рівняння (17).

Аналогічна теорема доведена і для випадку, коли рівняння (17) є Т-системою другого класу.

Висновки

Основні результати дисертації опубліковані в працях

1. Самойленко А.М., Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Нелінійні коливання. - 2000. - 3, №4. - С. 526 - 534.

2. Стельмащук Л.В. Дослідження періодичних розв'язків автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки - 2001. - №4. - С. 157 - 163.

3. Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки інтегро-диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки - 1999. - №1. - С. 82 - 86.

4. Стельмащук Л.В., Черевко І.М. Періодичні розв'язки інтегро - диференціальних рівнянь другого порядку із запізненням // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки - 2000. - 1. - С. 145 - 154.

5. Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням // Intern. conf. «Dynamical systems modelling and stability investigation», «System investigation» (May 25 - 29, 1999, Kyiv): Thes. of conf. rep. - Київ, 2001. - P.58.

6. Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки нелінійних автономних систем із запізненням // VIII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука (11 -14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф. - Київ, 2000. - С. 192.

7. Стельмащук Л.В. Чисельно-аналітичний метод дослідження періодичних розв'язків автономних систем із запізненням // Intern. conf. «Dynamical systems modelling and stability investigation» (May 22 - 25, 2001, Kyiv): Thes. of conf. rep. - Київ, 2001. - P.98.

8. Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки автономного рівняння Ван дер Поля із запізненням // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння і нелінійні коливання» (27 - 29 серпня 2001 р., Чернівці): Тез. доп. міжн. конф. - Київ, 2001. - С. 155.

9. Стельмащук Л.В. Про періодичні розв'язки автономних систем із запізненням // Міжнар. конф. «Теорія еволюційних рівнянь» (П'яті Боголюбовські читання) (22 - 24 травня 2002 р., м. Кам'янець-Подільський): Тез. доп. - Кам'янець-Подільський, 2002. - С. 160.

10. Стельмащук Л.В. Періодичні розв'язки інтегро-диференціальних рівнянь із запізненням // Intern. conf. «Dynamical systems modelling and stability investigation» (May 27 - 30, 2003, Kyiv): Thes. of conf. rep. - Київ, 2003. P.109.

11. Стельмащук Л.В. Чисельно-аналітичний метод для автономних диференціальних рівнянь із запізненням // Міжнар. наук. конф. «Шості Боголюбовські читання» (26 - 30 серпня 2003 р., м. Чернівці): Тез. доп. - Київ, 2003. - С. 217.

Размещено на Allbest.ru