Міри на просторі узагальнених функцій над полем p-адичних чисел

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Однією з характерних рис сучасного математичного аналізу є інтерес до аналітичних об'єктів, пов'язаних із структурами, що виникли в інших галузях математики: теорії чисел, геометрії, топології. До таких напрямків належить і неархімедів аналіз, предметом якого є абстрактні та функціональні простори, міри, оператори та рівняння, визначені над полем p-адичних чисел, його розширеннями та іншими неархімедовими полями.

Важливим стимулом розвитку неархімедового аналізу стала гіпотеза про неархімедову структуру фізичного простору-часу не надмалих (субпланківських) відстанях, найбільш повно та обґрунтовано сформульована в 1987 році І.В. Воловичем. У зв'язку з нею в математичній фізиці постала задача про побудову неархімедових, зокрема p-адичних, аналогів базових фізичних теорій, зокрема квантової механики та квантової теорії поля. Останнім часом методи неархімедового аналізу знайшли застосування також і в дослідженні складних ієрархічних структур у фізиці (спінове скло, деякі органічні молекули), біології та соціальних науках. В свою чергу, все це призводить до постановки великої кількості нетрівіальних математичних задач стосовно просторів, операторів та випадкових процесів, що беруть участь у відповідних моделях.

Наступним кроком, природно, мала бути побудова p-адичних аналогів моделей квантової теорії поля, зокрема, евклідової моделі. Загальна схема евклідової моделі для p-адичного випадку була запропонована В.С. Владіміровим та І.В. Воловичем. Перші результати в цьому напрямку були отримані в серії робіт М.Д. Міссарова та Є.Ю. Лернера, метою яких була побудова неперервної границі ієрархічних моделей теорії поля.

Проте математично строгий розвиток евклідової моделі передбачає розвиток теорії міри на просторах узагальнених функцій над відкритими множинами поля Qp p-адичних чисел та його розширень. Цій задачі (актуальній навіть незалежно від можливих фізичних застосувань), що була поставлена в роботах В.С. Владімірова та І.В. Воловича (1988 р.), а також В.С. Варадараджана (2001 р.), і присвячена дисертаційна робота.

Методика, що використовується в роботі, наслідує загальні принципи евклідової квантової теорії поля (Дж. Глім, А. Джаффе, Е. Нелсон, Б. Саймон), але, на відміну від робіт М.Д. Міссарова та Є.Ю. Лернера, роль оператора Лапласа тут відіграє еліптичний псевдодиференціальний оператор A h, над Qpd із символом , де , - анізотропна квадратична форма. Цей оператор, для випадку , був детально вивчений в роботах А.Н. Кочубея. Зазначимо, що анізотропні квадратичні форми існують лише при , а у випадку "фізичної" розмірності 4 така форма є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є міри на функціональних просторах над полем p-адичних чисел. Предметом дослідження є деякі класи мір такого типу, що можуть бути інтерпретовані як p-адичні аналоги моделей звичайної евклідової квантової теорії поля. Мета і основні задачі дослідження полягали у наступному:

- завершити дослідження функції Гріна H h, еліптичного псевдодиференціального оператора A h, над полем p-адичних чисел, розглянувши випадок p = 2, що раніше не розглядався;

- за допомогою функції H h, визначити гауссову міру d 0 на просторі узагальнених функцій D'(Qpd) над полем p-адичних чисел, яка могла б розглядатися як природний аналог моделі поля без взаємодії в евклідовій квантовій теорії поля;

- дослідити властивості носія гауссової міри d 0;

- визначити p-адичний аналог класичної моделі поля із взаємодією поліноміального типу у вигляді відповідної негауссової міри на просторі узагальнених функцій D'(Qpd) над полем p-адичних чисел;

- визначити p-адичний аналог функцій Швінгера станів напів-Діріхле, які є важливим об'єктом класичної евклідової квантової теорії поля, та дослідити їхні властивості.

1. Введення базових понять p-адичного аналізу, у тому числі просторів основних та узагальнених функцій, операцій перетворення Фур'є та згортки, еліптичного псевдодиференціального оператору A h, та його функції Гріна і дослідженню властивостей цієї функції у випадку p = 2

Самоспряжений додатній оператор A h, на просторі L2(Qpd) визначається за допомогою невиродженої анізотропної квадратичної форми h (1, … , d) з коефіцієнтами із Qp по формулі Ah, = F -1 Mh, F, де Mh, - оператор множення на функцію |h (1, … , d)|, > 0, F - перетворення Фур'є, і перелічуються відомі факти про його функцію Гріна. Невиродженість квадратичної форми у даному випадку означає, що виконується умова: h (1, … , d) 0, якщо |1|p + + |d|p 0. З теорії чисел відомо, що такі форми існують тільки для d 4.

Оператор A h, був уведений А.Н. Кочубеєм (один частинний випадок - А.Х. Бікулов), який показав, що його резольвента (Ah, -m2 I ) -1 є інтегральним оператором для будь-якого фіксованого додатнього m. Він також довів, що функція Гріна H h, оператора A h, (інтегральне ядро резольвенти) є локально інтегровною, невід'ємною, неперервною всюди, за винятком нуля, і прямує до нуля на безмежності. Крім того, А.Н. Кочубеєм були детально вивчені асимптотика функції H h, та її поведінка у нулі. При цьому скрізь вважалося, що p 2. Випадок p = 2 через його технічну складність не розглядався. Поширення відомих результатів на цей випадок і було головною метою першого розділу даної роботи.

Для дослідження властивостей функції Гріна H h, був використаний метод зведення багатовимірних псевдодиференціальних операторів над Qp до одновимірних операторів на більш загальних полях, розроблений А.Н. Кочубеєм. Ідея цього методу полягає у тому, що векторному просторові K = Qpd надаються додаткові алгебраїчні властивості, завдяки чому K можна вважати локально компактним цілком незв'язним недискретним полем (або, у випадку d = 4, локально компактним некомутативним тілом) - розширенням поля Qp, яке оснащене ультраметричним абсолютним значенням || ||. Далі над полем K розглядається псевдодиференціальний оператор A із символом a( ) = || ||2/d (u ), де - неперервна додатня локально стала функція на групі одиниць поля K. Оператор A визначається на просторі D (K ) локально сталих функцій із компактними носіями як:

A = FK -1 Ma FK,

де Ma - оператор множення на a, FK - відповідне перетворення Фур'є. Теорія цього оператора та його функції Гріна G була детально розроблена А.Н. Кочубеєм. Після цього знаходиться такий лінійний ізоморфізм просторів L2(K) і L2(Qpd), при якому оператор A переходить у псевдодиференціальний оператор B. Причому символ a заздалегідь обирається таким чином, щоб функції Гріна операторів B і Ah, співпадали з точністю до лінійного перетворення.

Використовуючи цей метод, відомі факти про оператор A та його функцію Гріна, а також деяки результати з теорії чисел, ми доводимо наступну теорему.

Теорема 1.5. Якщо p = 2, то для довільного фіксованого m > 0 функція Гріна Hh, (x, m2) = Hh, (x) оператора A h, є невід'ємною, локально інтегровною, неперервною всюди, за винятком точки x = 0, і прямує до нуля, коли || x ||2 . Більш того, якщо > , то H h, є неперервною у нулі. Для 0 < d/2 доводяться оцінки функції Hh, (x) у нулі:

|Hh, (x)|

де || || - довільна норма на Q.

Наприкінці розділу вивчається поведінка функції Hh, (x) на безмежності у випадку p = 2. Отримані асимптотичні формули цілком аналогічні до тих, що раніше були знайдені А.Н. Кочу-беєм при умові p 2. Вони суттєво залежать від конкретного вигляду квадратичної форми h. Наприклад, якщо d = 2, то з точністю до еквівалентності , де {1, 2, 5, 10}. У випадку = 5 функція Гріна залежить від , і:

коли .

У решті випадків функція Гріна має таку асимптотику:

коли .

де залежить від , а саме:

;

;

;

.

Крім того, для довільного простого числа p у першому розділі розглядається звуження A оператора A h, на довільну обмежену відкрито-замкнену підмножину простору Qpd, що є p-адичним аналогом класичного оператора Лапласа з умовами Діріхле на границі. У силу геометричних властивостей Qpd достатньо розглянути звуження на кулю довільного радіусу. Отже, нехай O - куля у Qpd відносно метрики, породженої абсолютним значенням || || p = max 1 j n | j | p, і f - функція з D (Qpd), така що supp f O. Продовжуючи f на Qpd нулем, ми застосовуємо оператор Ah, до цього розширення. Далі ми звужуємо отриману функцію до функції на O і отримуємо функцію з L2(O), яку приймаємо за A f . Ця процедура визначає оператор на просторі D (O) функцій Шварца-Брюа з носіями у O. Замикання A цього оператора є самоспряженим додатнім оператором на L2 (O). Для вивчення властивостей оператора A та його функції Гріна знову був застосований метод зведення до одновимірного оператора на локально компактному полі (або тілі) K. При цьому оператор A на L2 (O), де O - куля у Qpd, переходить у оператор A на L2 ( ), де - об'єднання куль однакового радіусу. Виявилося, що між функціями Гріна операторів A та A існує тісний зв'язок, а саме, що (A - m2 I ) -1 є інтегральним оператором на L2 ( ), ядро якого має вигляд G (x, y) = G(x - y) + (x, y), де x, y , G - функція Гріна оператора A і функція (x, y) є локально сталою по сукупності змінних. Крім того, у всіх цікавих для нас випадках функція G , так само як і G, є невід'ємною і має місце нерівність:

G (x, y) G(x - y) для усіх x, y .

Звідси, зокрема, випливає, що функція Гріна оператора A має такі самі властивості, як і функція Гріна оператора A h, , тобто є невід'ємною, локально інтегровною, неперервною всюди, за винятком точки x = 0, і прямує до нуля, коли || x || p . Нарешті, якщо та ' - відкриті компактні підмножини K, такі що ', то:

G (x, y) G '(x, y) для усіх x, y ,

де G та G ' є функціями Гріна операторів A та A ' відповідно.

2. Гауссова міра d 0 на просторі узагальнених функцій D'(Qpd), що відповідає гауссовому узагальненому випадковому процесу на імовірнісному просторі = (D'(Qpd), c, )

Подібна конструкція використовується у квантовій теорії поля в якості моделі вільного поля. Класичний аналог міри d 0 досліджувався Дж. Кеноном, П. Коллела та О. Ланфордом, а також М. Рідом та Л. Розеном. Було встановлено, що носій відповідної гауссової міри міститься у підпросторі, значно меншому за весь простір узагальнених функцій. На доведенні аналогічного факту для d 0 і зосереджені подальші зусилля у цьому розділі. Більш того, знайдено “мінімальний” (у певному сенсі) підпростір, що містить у собі носій цієї гауссової міри.

Процедура побудови гауссової міри d 0 базується на відомій теоремі Р.А. Мінлоса, яка стверджує, що якщо перетворення Фур'є (тобто характеристичний функціонал) циліндричної міри на просторі, спряженому до ядерного, є неперервним, то міра може бути продовжена на весь спряжений простір. При цьому, якщо вихідна міра була гауссовою, то і міра на усьому спряженому просторі буде гауссовою. Відомо, що простір Шварца-Брюа D (Qpd) є ядерним. Отже, для того щоб побудувати гауссову міру d 0 на спряженому просторі D'(Qpd), фактично достатньо визначити на D (Qpd) функцію, яка могла б розглядатися як характеристичний функціонал циліндричної гауссової міри, і показати, що вона задовольняє умові неперервності. Ми доводимо, що саме такою є функція:

exp (- G (, )), D (Qpd),

де:

G (, ) = (x) Hh, (x - y) (y) dx dy.

Необхідні властивості форми G(,) на D (Qpd)D (Qpd) (додатність та неперервність) забезпечують властивості функції H h, (x, m2), яка розглядається у першому розділі.

Далі ми показуємо, що, як і у класичному випадку, міра d 0 зосереджена на підпросторі, значно меншому за весь простір D'(Qpd). Для цього ми вводимо до розгляду псевдодиференціальні оператори Ph, із символом (|h (1, … , d)|+ m2)1/2 та P із символом (||x|| p + ), де > 0, > 0, а також оператор Q множення на функцію Q = (2 + || x ||)1/2 [ln (2 +|| x ||)], > 0. Зазначимо, що Ph, та P є додатніми самоспряженими операторами. Знову ж таки за допомогою теореми Мінлоса, але в дещо іншій інтерпретації, ми доводимо, що носій гауссової міри міститься у множині S, значно меншій за весь простір D'(Qpd). Точніше, ми доводимо наступну теорему.

Теорема 2.3. Нехай > 12. Поповнення простору D (Qpd) по L2-нормах || Q || та || Q P ||, де > d 2 - , є множинами повної міри відносно у випадках > d 2 та d 2 відповідно.

В останньому підрозділі другого розділу за допомогою теореми Колмогорова про три ряди доводиться, що множина S є мінімальною у тому сенсі, що умова на не може бути суттєво послаблена, а точніше, що при < 1/2 ця множина має нульову міру відносно d 0. Цей факт сформульовано у вигляді наступної теореми.

Теорема 2.4. Якщо < 1/2, то S = Q L2 (Qpd) є множиною нульової міри відносно гауссового процесу з коваріацією ( f ) (g ) = (Ph, -1 , Ph, -1 ) (Q).

3. Дослідження p-адичних аналогів важливих об'єктів евклідової квантової теорії поля

Зокрема, будується модель квантового поля із взаємодією поліноміального типу, вводиться поняття функції Швінгера стану напів-Діріхле і доводяться деякі важливі властивості цих функцій.

Моделлю поля із взаємодією в обмеженій області g у даному випадку є узагальнений випадковий процес на імовірнісному просторі = (D'(Qpd), c, d g), де d g - імовірнісна міра на просторі узагальнених функцій D'(Qpd). Взаємодії поліноміального типу відповідає міра:

(3)

де D'(Qpd), d 0 - гауссова міра на просторі D'(Qpd), а : P( ) : - парний поліном від , побудований за допомогою процедури перенормування, відомої у теорії поля як перенормування Віка. В даному випадку, оскільки ми маємо справу з узагальненим випадковим процесом над неархімедовим полем, коректність такої процедури має бути обгрунтованою. Для зручності, як і раніше, ми переходимо від багатовимірних об'єктів до одновимірних над більш загальним локальним полем або (у випадку d = 4) некомутативним кільцем K за допомогою процедури зведення, яка була описана нами у першому розділі. При цьому оператор Ah, переходить у оператор A із символом a, гауссова міра d 0 на D'(Qpd) - у відповідну гауссову міру на просторі D'(K), яка також позначається через d 0, а гауссів процес - у відповідний гауссів процес на = (D'(K), c, d 0).

Коректність застосування процедури перенормування Віка обгрунтовується наступним чином. Спочатку “згладжуємо” узагальнений випадковий процес за допомогою -видної функції:

де q - порядок поля лишків V/W, V - кільце цілих поля K, а W - простий ідеал у V. З неархі-медового аналізу відомо, що послідовність збігається у D'(K) до функції , яку можна вважати прямим неархімедовим аналогом -функції Дірака, оскільки вона має аналогічні властивості, а саме:

1) ;

2) supp ;

3) .

Легко бачити, що D'(Qpd), отже згортка існує і належить до простору основних функцій. Тобто є звичайною випадковою змінною, для якої степінь Віка може бути уведений за формулою:

,

де:

(a() -m2 ) -1 d , xK.

Покладемо для будь-якої функції gD(K). Далі ми доводимо, що для довільної функції gD(K) послідовність є фундаментальною її границя належить до L2(D'(K), c, d 0) при будь-якому n. Таким чином, степінь Віка узагальненого випадкового процесу є коректно визначеним. Це дає нам змогу будувати поліноми Віка та інші функції (наприклад, експоненту та тригонометричні функції) у вигляді степеневих рядів. Для довільного полінома P(X) = as X s + + a2 X2 + a1 X + a0 визначаємо:

= + + + + a0.

Треба зазначити, що якщо поліном P є парним, тобто deg P = 2s, то з цього не випливає, що , оскільки внаслідок перенормування напівобмеженість парного полінома втрачається. Незважаючи на це, ми доводимо, що вираз (3) дійсно визначає ймовірнісну міру на просторі D'(K). Цей факт випливає з наступної теореми.

Теорема 3.1. Нехай де P - обмежений знизу поліном (тобто deg P = 2s) і g - невід'ємна функція з D(K). Тоді:

exp{ - g(x) : P( (x)) : dx } .

Треба зазначити, що функція g відіграє роль “просторового обрізання”, тому достатньо було б розглядати її як характеристичну функцію деякої відкритої компактної множини у Qpd. Отже, умова g 0 є цілком природною.

Отримана нами міра d g побудована з використанням оператора A h,, який відіграє роль оператора Лапласа з вільними граничними умовами у класичній P()2-теорії. Але існує також інший підхід, пов'язаний з використанням оператора Лапласа в обмеженій області з граничними умовами Діріхле, який має певні переваги. Зокрема, у рамках такого підходу вдається визначити функції Швінгера станів напів-Діріхле з гарними властивостями, які в свою чергу дозволяють конструювати більш складні об'єкти і є потужним інструментом дослідження моделей квантових полів у рамках імовірнісного (евклідового) підходу.

У p-адичному випадку роль вищезгаданого оператора Лапласа в обмеженій області з граничними умовами Діріхле відіграє псевдодиференціальний оператор A, визначений у першому розділі. Як і раніше, ми переходимо від цього багатовимірного оператора до відповідного одновимірного оператора A над більш загальним локальним полем або некомутативним кільцем K. Використовуючи гауссову міру d, що побудована за допомогою функції Гріна цього оператора, ми визначаємо p-адичний аналог функції Швінгера стану напів-Діріхле:

(4)

де {h1,…, hr} - довільний набір функцій з D(K) та . (Збіжність останнього інтегралу доводиться так само, як і збіжність ).

Відомо, що при певних природних умовах класичні функції Швінгера є невід'ємними і зростають при збільшенні розмірів області. При доведенні цього результату використовується метод дискретизації, відомий як граткова апроксимація. Ідея методу полягає в тому, що простір R d розбивається на d-вимірні куби граткою із фіксованим кроком, і замість неперервних об'єктів розглядаються їхні дискретні наближення. При цьому, наприклад, оператор Лапласа переходить в різницевий оператор, який діє у скінченновимірному просторі, що значно спрощує дослідження. До неперервної моделі ми можемо повернутися, здійснивши граничний перехід, при якому крок гратки прямує до нуля.

У неархімедовій ситуації роль гратки виконує об'єднання диз'юнктних куль однакового радіусу, якими завдяки геометричним властивостям неархімедового поля можна “замостити” довільну відкриту множину, у тому числі і весь простір. Введення такої конструкції дозволяє звести нашу модель до дискретного наближення, при якому міра на нескінченновимірному просторі переходить у міру на скінченновимірному евклідовому просторі, неперервний гауссів процес - у дискретний гауссів процес , а функція Швінгера (4) - у функцію:

Треба зазначити, що у неархімедовому випадку, на відміну від архімедового, завжди існує такий мінімальний радіус кулі гратки, починаючи з якого функція Швінгера співпадає зі своєю гратковою апроксимацією. Тобто у даному випадку граничний перехід є зайвим.

За допомогою методу граткової апроксимації, накладаючи додаткові умови (до речі, такі ж самі, як і у архімедовому випадку) і використовуючи кореляційні нерівності, відомі як нерівності Гріффітса, ми доводимо, що p-адичні функції Швінгера є невід'ємними і монотонно зростають при збільшенні розмірів “області” .

Теорема 3.3. Нехай поліном P має вигляд P(X) = Q(X) - X, де Q(X) - парний полином, а - невід'ємна константа. Далі, нехай та ' - об'єднання, відповідно, та ' куль радіусу q l, таких що '. Нарешті, нехай g - невід'ємна функція з D() і {h1,…, hr} - набір невід'ємних функцій з D(). Тоді:

Висновки

псевдодиференціальний діріхле квантовий евклідовий

Дисертаційна робота присвячена побудові і вивченню мір на просторі узагальнених функцій над полем p-адичних чисел, які є природними аналогами мір, що відіграють визначну роль у класичній евклідовій квантовій теорії поля. На відміну від попередніх робіт, у цьому напрямку запропоновано новий підхід з використанням у якості аналога оператора Лапласа еліптичного псевдодиференціального оператора A h,, який визначається за допомогою анізотропної квадратичної форми над полем Qp. Цікаво, що такі форми існують тільки у випадку, коли розмірність “простору-часу” не перевищує 4, тобто у рамках такого підходу чотиривимірність фізичного простору диктується самою природою моделі.

У роботі завершено вивчення функції Гріна оператора A h,, що дозволило поширити відомі результати на випадок p = 2. Таким чином, дослідження цієї функції, розпочате і в основному проведене А.Н. Кочубеєм, можна вважати закінченим. У ході цієї роботи були виписані в явному вигляді усі нееквівалентні невироджені анізотропні квадратичні форми над полем Q 2, що, наскільки відомо автору, раніше не робилося.

На просторі узагальнених функцій D'(Qpd) визначена гауссова міра d 0 та досліджені властивості її носія. Як виявилося, міра d 0 зосереджена на множині, яка значно менша за весь простір D'(Qpd). Цей результат може бути корисним при дослідженні p-адичних аналогів моделей, в яких фігурує гауссова міра на просторі розподілів Шварца. Крім того, для довільної обмеженої відкрито-замкненої множини O у Qpd визначено гауссову міру d на просторі узагальнених функцій D'(O), носії яких містяться в O. Міра d відповідає оператору A, тобто звуженню A h, на O, і може розглядатися як природний аналог оператора Лапласа в області з граничними умовами Діріхле. Отже, він може бути застосований у багатьох задачах p-адичної математичної фізики.

У роботі введено поняття степеня Віка елемента простору D'(Qpd), що дає змогу будувати поліноми Віка, а також експоненціальні і тригонометричні функції від узагальнених функцій. Це, зокрема, дозволяє будувати негауссові міри на просторі узагальнених функцій, які є центральними об'єктами у моделях полів із взаємодією поліноміального, експоненціального або тригонометричного типу.

На просторі узагальнених функцій D'(Qpd) визначена негауссова міра d g, яка є природним неархімедовим аналогом моделі поля з поліноміальною взаємодією в обмеженій області g. Доведення її існування є центральним результатом роботи.

У роботі також визначені функції Швінгера станів напів-Діріхле, що відповідають мірі із взаємодією в обмеженій області. Доведено, що, як і у класичному випадку, вони є невід'ємними і монотонно зростають при збільшенні розмірів області. Функції Швінгера відіграють значну роль у класичній квантовій теорії поля, тому їхній неархімедів аналог представляє окремий інтерес. Метод граткової апроксимації, який був використаний при вивченні функцій Швінгера, при певній модифікації може застосовуватися і в інших задачах неархімедового аналізу, де фігурують локально сталі функції.

Результати роботи можуть бути корисними для подальшого розвитку p-адичної математичної фізики.

Література

1. Kochubei A.N., Sait-Ametov M.R. Interaction measures on the space of distributions over the field of p-adic numbers // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics - 2003. - Vol. 6, № 3, pp. 389-411.

2. Sait-Ametov M.R. On a Gaussian free measure on the space of distributions over the field of p-adic numbers // Methods of Functional Analysis and Topology - 2001. - Vol. 7, № 2, pp. 22-34.

3. Sait-Ametov M.R. Properties of 2-adic Green Functions // Methods of Functional Analysis and Topology - 2004. - Vol. 10, № 2, pp. 69-85.

4. Kochubei A.N., Sait-Ametov M.R. Construction of Interaction Measures on the Space of Distributions over the Field of p-adic numbers // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics - 2004. - Vol. 245, pp. 135-142.

5. Kochubei A.N., Sait-Ametov M.R. Construction of Interaction Measures on the Space of Distributions over the Field of p-adic numbers // The First International Conference on p-adic Mathematical Physics: Abstracts - Moscow: RAS, Steklov Institute of Mathematics, 2003. - p. 15.

Размещено на Allbest.ru