Дискретно-континуальні моделі задач ідентифікації включень з використанням потенціального поля

Размещено на http://allbest.ru

Державний комітет зв'язку та інформатизації України

Національна академія наук України

Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури

УДК 517.958

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНІ МОДЕЛІ ЗАДАЧ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ВКЛЮЧЕНЬ З ВИКОРИСТАННЯМ ПОТЕНЦІАЛЬНОГО ПОЛЯ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Шуміліна Наталія Володимирівна

Львів - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача Національної академії наук України

Наукові керівники: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Чекурін Василь Феодосійович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичних проблем механіки неоднорідних тіл;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Грицько Євген Григорович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Яцимірський Михайло Миколайович, Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів, заступник директора;

кандидат технічних наук, старший науковий співробітникКулинич Ярослав Петрович,Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, м. Львів, старший науковий співробітник

Провідна установа: Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, кафедра математичних проблем управління і кібернетики, м. Чернівці Захист відбудеться 27 травня 2004 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.813.01 при Державному науково-дослідному інституті інформаційної інфраструктури (79601, м. Львів, вул. Тролейбусна,11). З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці інституту (79601, м. Львів, вул.Тролейбусна, 11).

Автореферат розісланий 26 квітня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук Бунь Р.А

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Проблема ідентифікації чужорідних включень, порожнин і структурних неоднорідностей у твердих тілах виникає у багатьох галузях науки і техніки - неруйнівному контролі, матеріалознавстві, дефектоскопії, технічній та медичній діагностиці, геофізиці тощо. Під ідентифікацією таких неоднорідностей розуміємо їх виявлення, визначення місцезнаходження, геометричних та фізичних параметрів. Задачі ідентифікації формулюються у рамках математичних моделей, які описують взаємодію зондувального поля з об'єктом дослідження на базі даних, отриманих шляхом зондування цього об'єкту зовнішніми полями або реєстрації його внутрішнього випромінювання. Зокрема, широке застосування знайшли методи зондування променевими пучками (pентгенівське, радіаційне, інфрачервоне випромінювання) або хвильовими полями (ультразвуковими, електромагнітними). Інформативними параметрами є збурення поля, які реєструються поза межами тіла або на його поверхні.

Останнім часом спостерігається значний інтерес до методів, що ґрунтуються на використанні потенціальних полів (електричного, магнітного, теплового, гравітаційного тощо). Їх практична реалізація є простішою та дешевшою, на відміну від променевих та хвильових, а результати вимірювання легше піддаються інтерпретації. Тому впровадження цих методів в інженерну практику дозволить підвищити ефективність систем ідентифікації, створювати нові комп'ютеризовані системи для технічної діагностики, геофізичних досліджень, медицини.

Ідентифікація включень із використанням потенціальних полів зводиться до розв'язування прямих та обернених задач теорії потенціалу у кусково-однорідних тілах. При цьому потрібно будувати математичні мо ,делі, які з достатньою точністю враховують геометрію й фізичні параметри тіла та включень при різних способах зондування зовнішніми та внутрішніми джерелами.

Ефективним методом розв'язування прямих задач є метод фіктивних джерел (МФД) та його дискретні аналоги - непрямі методи граничних (МГЕ) та приграничних (МПГЕ) елементів. Вони ґрунтуються на ідеях методів граничних інтегральних рівнянь (МГІР), розроблених у роботах Міхліна С.Г., Мусхелішвілі М.М., Купрадзе В.Д., і мають суттєві переваги порівняно з іншими чисельними методами, зокрема, геометрична розмірність задачі знижується на одиницю, простіше розв'язуються задачі у нескінченних областях.

Розв'язування обернених задач переважно зводиться до мінімізації багатопараметричного функціоналу, для чого потрібно реалізовувати варіаційні методи. Ці питання відображені у роботах Тихонова А.М., Арсеніна В.Я., Лаврентьєва М.М. та багатьох інших вчених.

До сьогоднішнього часу для математичного моделювання задач ідентифікаціїї МФД, МГЕ та МПГЕ застосовувалися досить рідко, отже це питання, враховуючи переваги названих методів, є актуальним. Тому тема дисертаційної роботи спрямована на формулювання в рамках МФД прямих та обернених задач ідентифікації приповерхневих включень у твердих тілах при зондуванні їх зовнішніми або внутрішніми джерелами різної конфігурації, дослідженню закономірностей, які пов'язують геометрію та фізичні параметри включень з виміряними на границі тіла характеристиками потенціального поля, розробку алгоритмів їх розв'язування з використанням МГЕ, МПГЕ і варіаційних методів та створення відповідного програмного забезпечення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами та темами. Робота виконувалась у Інституті прикладних проблем механіки і математики (ІППММ) ім. Я.С.Підстригача НАН України у відділах термомеханіки та математичних проблем механіки неоднорідних тіл в рамках таких держбюджетних тем:

ВБ-19/265 “Розробка методів розв'язування задач термопружності при імпульсних режимах навантаження термочутливих тіл неоднорідної структури” (I квартал 1998 р.- IV квартал 2002 р., шифр теми 1.1.3.265, № державної реєстрації 0198U002530). Роль автора полягала у розробці методики для визначення координат імпульсного джерела у півплощині з нетеплопровідним включенням за даними про тепловий потік на границі півплощини.

ВБ-20/281 “Розробка аналітико-числових методів розв'язування обернених задач томографії у твердих тілах на основі даних зондування фізичними полями” (I квартал 2002 р. - IV квартал 2004 р., шифр теми 1.1.3.281, № державної реєстрації 0102U001618). Участь автора полягала у розробці методики числового дослідження (з використанням МФД) теплового поля у півплощині з включеннями і дослідженні впливу геометричних та фізичних параметрів включень на збурення температури та теплового потоку.

За результати наукових досліджень за темою дисертації автору була присуджена стипендія голови Львівської обласної державної адміністрації для молодих вчених та спеціалістів на 2002-2003 рр.

Мета роботи та задачі дослідження. Метою роботи є формулювання в рамках методу фіктивних джерел математичних моделей прямих і обернених задач ідентифікації приповерхневих включень і порожнин у твердих тілах при зондуванні їх потенціальним полем, розробка способів розв'язування цих задач з використанням непрямих методів граничних й приграничних елементів та створення програмного забезпечення для проведення прикладних досліджень.

Для досягнення поставленої мети потрібно було розв'язати такі задачі:

в рамках методу фіктивних джерел побудувати континуальні математичні моделі та сформулювати прямі й обернені задачі ідентифікації приповерхневих включень при різних способах зондування потенціальними полями;

з використанням непрямих методів приграничних та граничних елементів побудувати дискретні моделі сформульованих задач;

на тестових задачах провести дослідження ефективності розроблених дискретних математичних моделей та оцінити точність МПГЕ та МГЕ при різних способах апроксимації невідомих джерел;

шляхом розв'язування відповідних прямих задач дослідити закономірності зміни характеристик потенціального поля при зміні фізичних та геометричних параметрів включень для різних способів зондування об'єкту та оцінити їх чутливість;

реалізувати варіаційну схему розв'язування обернених задач ідентифікації та на конкретних прикладах дослідити її ефективність;

створити програмне забезпечення для проведення практичних числових досліджень прямих і обернених задач.

Об'єктом дослідження є тверді тіла з чужорідними включеннями або порожнинами.

Предметом дослідження є прямі та обернені задачі ідентифікації приповерхневих включень, що виникають при зондуванні тіла потенціальними полями; числово-аналітичні підходи до їх розв'язування, які ґрунтуються на непрямих методах приграничних та граничних елементів; вплив геометричних та фізичних властивостей включень на збурення потенціального поля, що створюється в такому тілі зовнішніми або внутрішніми джерелами.

Методи дослідження. Для розв'язування задач ідентифікації використовуються методи теорії потенціалу, метод фіктивних джерел та його дискретні аналоги - непрямі методи приграничних та граничних елементів; варіаційні методи, зокрема, метод найшвидшого спуску.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступних положеннях, які виносяться на захист:

з використанням методу фіктивних джерел побудовано дискретно-континуальні моделі та сформульовано прямі й обернені задачі ідентифікації приповерхневих включень й порожнин у твердих тілах;

з використанням непрямих методів граничних та приграничних елементів розроблено способи числових досліджень сформульованих задач і на тестових прикладах досліджено їх ефективність;

для трьох схем зондування досліджено збурення зондувального поля на поверхні тіла, які обумовлені приповерхневими включеннями, і на базі цих даних отримано наближені інтерпретаційні формули, що пов'язують геометричні параметри включення з характеристиками поля;

розроблено варіаційну схему розв'язування обернених задач ідентифікації приповерхневих включень та порожнин і шляхом числових експериментів досліджено її ефективність;

для реалізації розроблених методик розв'язування задач ідентифікації приповерхневих включень та порожнин створено програмне середовище з графічним інтерфейсом.

Достовірність отриманих результатів забезпечується коректним формулюванням гранично-контактних задач для рівняння Пуасона, використанням відомого фундаментального розв'язку для цього рівняння, застосуванням перевірених методів граничних та приграничних елементів для числової реалізації задач; ретельним тестуванням створених програмних засобів, співпадінням отриманих результатів з результатами, відомими з літератури.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати числових досліджень, розроблені математичні моделі та програмне забезпечення можуть бути використані для створення технічних систем ідентифікації та розпізнавання приповерхневих включень у неруйнівному контролі при оцінці технічного стану об'єктів, у геофізиці, медичній діагностиці та інших прикладних галузях. Створені програмні засоби можуть застосовуватися для відлагодження алгоритмів розв'язування прямих і обернених задач ідентифікації приповерхневих включень і порожнин у твердих тілах, розв'язування конкретних задач у геофізичній практиці.

Реалізація та впровадження результатів роботи. Розроблений математичний апарат реалізовано у вигляді автоматизованої системи “АУРА 1П/1.0”, яку впроваджено у Карпатському відділенні Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України. Дана система також використовується при проведенні наукових досліджень в рамках держбюджетних тематик відділів термомеханіки та математичних проблем механіки неоднорідних тіл ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України. Дані про впровадження підтверджені відповідними актами. В порівнянні з існуючими відомими пакетами програм, точність та швидкість розв'язування задач системою “АУРА 1П/1.0” є на порядок вищими. Опис та демонстраційну версію системи можна знайти на веб-сайті ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою http://www.iapmm.lviv.ua/dept19/dept19_aura.htm.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. У наукових працях, опублікованих у співавторстві [1-5, 7-10, 13, 14] особистий внесок здобувача полягає в участі у постановці задач, побудові та програмній реалізації алгоритмів для їх розв'язування, інтерпретації отриманих числових результатів та отриманні нтерпретаційних формул. У роботах [6, 12] здобувачу належить опис модульної структури автоматизованої системи та результати обчислення абсолютної похибки МПГЕ при зміні товщини приграничної області.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та окремі результати виконаних досліджень доповідалися та обговорювалися на:

Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (1998 р., м. Львів);

Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (2000 р., м. Львів - Луцьк);

Міжнародній конференції з індуктивного моделювання “МКІМ - 2002” (2002 р., м. Львів);

Шостій Всеукраїнській конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та обчислювальних методів у наукових дослідженнях” (1999 р., м. Львів);

Сьомій (2000 р., м. Львів) та Дев'ятій (2002 р., м. Львів) Всеукраїнських конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”;

читаннях, присвячених пам'яті Я.С. Підстригача (1999 р.,2000 р., м. Львів);

засіданнях комісії геофізики Наукового Товариства ім.Т.Г. Шевченка (1999 р., м. Львів).

У повному обсязі робота доповідалася на об'єднаному семінарі відділів термомеханіки та математичних проблем механіки неоднорідних тіл ІППММ ім. Я.С. Підстригача.

Публікації. Результати досліджень висвітлено у 11-ти статтях та 4-х тезах доповідей, 8 статей опубліковано у журналах з Переліку фахових видань ВАК України, з них 5 в галузі технічних наук.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів основної частини, висновків, списку використаної літератури із 155 найменувань, включає 41 рисунок, 6 таблиць та додатки. Повний обсяг роботи викладено на 150 сторінках, з них 102 сторінки основної частини.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено нові наукові результати, їх практичну цінність, апробацію і впровадження, а також положення, що виносяться на захист. Наведено дані про публікації та особистий внесок здобувача, короткий зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд неруйнівних методів ідентифікації включень та їх класифікацій, описано переваги використання потенціальних полів для ідентифікації приповерхневих включень та галузі їх застосування.

Наведено огляд математичних моделей, числових та аналітичних методів, які застосовуються для розв'язування прямих та обернених задач теорії потенціалу у кусково-однорідних областях. Показано переваги методів, що ґрунтуються на ідеях МГІР. Суть їх полягає у тому, що диференційне рівняння в часткових похідних, яке описує поведінку функцій всередині і на границі області дослідження перетворюють в інтегральне рівняння відносно невідомих функцій, яке визначає тільки граничні значення, і потім шукають чисельний розв'язок цього рівняння. Якщо потрібно знайти значення шуканої функції у внутрішніх точках, то використовують відомі розв'язки на границі. Такий підхід дозволяє на одиницю знизити розмірність задачі, що суттєво зменшує кількість розрахунків та дає можливість розв'язувати задачі у нескінченних областях унаслідок дискретизації тільки граничної поверхні.

Одним з найбільш відомих є метод граничних елементів (МГЕ), що розроблявся у роботах Бенерджі П., Баттерфілда Р., Бреббії К., Теллеса Ж., Вроубела Л. Після зведення задачі до інтегральних рівнянь границю тіла розбивають на граничні елементи, після чого отримують систему рівнянь, яку розв'язують прямими або ітераційними методами. У порівнянні з методами скінченних різниць та скінченних елементів при розв'язуванні одних і тих самих задач точність МГЕ є набагато вищою, а час розрахунку у 4-10 разів менший.

На ідеях МГІР ґрунтується також метод фіктивних (допоміжних) джерел, згідно якого неоднорідності, що є у тілі, моделюють системою фіктивних джерел, які знаходяться поза межами області досліджень. Інтенсивність цих джерел визначають з систем інтегральних рівнянь, отриманих у результаті задоволення умов на границі області досліджень. Важливим моментом при його практичній реалізації є вибір області локалізації невідомих джерел, оскільки, якщо вони знаходяться досить далеко від границі тіла, отримується вироджена матриця.

У роботах Купрадзе В.Д. при чисельному розв'язуванні задач теорії пружності фіктивні джерела розподілялися на контурі, що охоплював границю тіла. Цей підхід розвинуто у роботах Зарідзе Р.С., Єрьоміна Ю.А., Свєшнікова А.Г. стосовно задач електродинаміки та електромагнітної дифракції, однак питання про способи вибору такого контуру ще повністю не досліджені.

У непрямому МГЕ фіктивні джерела зосереджені на границі тіла, тому при його практичній реалізації виникають інтеграли у сенсі Коші, що вимагає аналітичного виділення особливостей і є однією з незручностей цього методу.

У непрямому методі приграничних елементів (МПГЕ) фіктивні джерела розподіляють у зовнішній області, що прилягає до границі тіла. МПГЕ розроблявся у 90-х роках 20 ст. у ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України Грицьком Є.Г та Журавчак Л.М. У їх роботах було показано, що порівняно з МГЕ точність розв'язування МПГЕ багатьох практично важливих задач математичної фізики покращується у декілька разів, а інтеграли не містять особливостей.

Наведено огляд методів розв'язування обернених задач. Теоретичні основи цих методів закладені працями Тихонова А.М., Арсеніна В.Я. Лаврентьєва М.М., Романова В.Г. та розвивалися у роботах Алексідзе М.А., Баранова В., Кобрунова О.І., Осадчука В.А., Підстригача Я.С., Рижикова Г.А., Страхова В.Н., Старостенка В.І., Трояна В.Н., Щербініна В.Є. при дослідженні проблем геофізики, магнітної дефектоскопії, томографії. Як правило, розв'язувння оберненних задач зводиться до мінімізації багатопараметричного функціоналу, тому для цього розробляють ефективні методи. Зокрема, у працях Чекуріна В.Ф. запропоновано метод мінімізації квадратичного функціоналу, що визначає відхилення за нормою L₂ шуканого розв'язку від даних вимірювання.

Подано огляд програмних засобів, які реалізують різні чисельні методи розв'язування прямих та обернених задач. Більшість з них не дають можливість розв'язувати задачі ідентифікації для тіл довільної форми, тому для вирішення прикладних задач, а також для проведення науково-дослідницьких робіт потрібно вдосконалювати існуюче та створювати нове програмне забезпечення.

У другому розділі з використанням МФД створено континуальні моделі задач ідентифікації включень у скінченних та півобмежених тілах при різних способах задання джерел зондувального поля.

В просторі R^k={x=(x1,…,xk):, де , (x1,…,xk) - декартові координати, розглянуто ізотропне кусково-однорідне тіло, що перебуває під дією потенціального поля - температурного, електричного, магнітного тощо. Тіло займає область з границею , а включення у тілі відповідно області , =1…N, - середовище без включень. Питомі провідності областей , =0…N, - - різні.

Потенціальне поле у тілі може бути зумовлене дією внутрішніх джерел густини g₀(x), що знаходяться в області , або дією зовнішніх джерел, розподілених поза межами області досліджень, які у математичній моделі враховано шляхом задання на частині границі тіла значення потенціалу або значення потоку на іншій частині , . Тоді у області скалярна функція потенціалу u(x) (температура, електричний, магнітний потенціал тощо) задовольняє рівняння Пуасона

(1)

граничним умовам першого та другого роду

u₀(x)=u*(x),,(2)

q₀(x)=q*(x),.(3)

Вважається, що на границях включень виконуються умови ідеального контакту

u (x)- u₀ (x)=0, q (x)- q₀ (x)=0,, =1…N.(4)

Тут u(x)= u (x),,; - оператор Лапласа, u*(x),q*(x) - відомі функції, q (x)=-u/n, n=(n₁,…,n_k) - зовнішня нормаль до .

Для розв'язування задачі (1)-(4) методом фіктивних джерел використано допоміжні задачі для середовища і включень.

Задача для середовища - це задача для однорідного простору R^k провідністю ₀, у багатозв'язній області якого введені невідомі фіктивні джерела , такі, що ,, ,

Вона описується рівнянням

граничними умовами (2), (3) та умовою

u₀ (x)=f_u(x),q₀ (x)=f_q(x), , =1…N,

де f_u(x) та f_q(x) - деякі функції.

Допоміжні задачі для включень - це задачі для однорідних просторів R^k з питомими провідностями , в областях яких задані фіктивні джерела , =1…N,

Вони формулюються так:

, ,

u (x)=f_u(x), q (x)=f_q(x),,=1…N.

Інтегральні зображення розв'язку задачі для середовища мають такий вигляд

,, (5)

а задач для включень - такий

, =1…N, .(6)

Тут , ,, , , при k=2 C=const, при k=3 C=0, =0…N.

Для визначення густини потоку, відповідно, маємо такі вирази

, ,(7)

, =1…N,.(8)

F=(F₁,…,F_k), , i=1…k, k=2,3.

Для знаходження невідомих , та C вирази (5)-(8) підставляємо в умови (2)-(4) і вимагаємо їх виконання у точках на границі.

Тоді отримаємо таку систему інтегральних рівнянь,

,,

,,

,,

,.(9)

Для забезпечення рівності нулю сумарної потужності усіх джерел у нескінченно віддаленій точці при систему (9) доповнюємо умовами

,.

Після розв'язування системи рівнянь (9) і знаходження невідомих та , усі окремі області , =0…N, розглядають як цілком незалежні, і для них за формулами (5), (6) можна знайти значення u(x), а за (7), (8) - значення q(x) як у будь-якій внутрішній точці області , так і в точках на її границі, включно з ділянками контакту.

При розв'язуванні прикладних задач ідентифікації потенціальне поле представляють у вигляді u(x)=, де - незбурене поле, яке зумовлене дією джерел, локалізованих поза межами включень, - поле збурення, спричинене наявністю включень.

Тоді пряма задача ідентифікації формулюється так: при відомих параметрах включення , K - кількість параметрів, джерелах поля та функції

знайти збурення

.

Обернена задача ідентифікації полягає у знаходженні параметрів при відомих функціях U(x), .

У цьому ж розділі сформульовано задачі ідентифікації включень у півплощині при зондуванні їх внутрішніми джерелами та зовнішніми потоками, які протікають перпендикулярно та паралельно до границі півплощини. До них зводяться задачі геофізики, які виникають при моделюванні гравітаційних, магнітних, електричних полів над нескінченно видовженими об'єктами, задачі резистивної, магнітної томографії; теплового контролю трубопроводів тощо.

Особливість розв'язування таких задач полягає у використанні спеціального фундаментального розв'язку рівняння Лапласа, який точно задовольняє умову на границі півплощини, завдяки чому з системи рівнянь виключаються співвідношення, які задовольняють граничні умови. Для кожного способу зондування, як частковий, розглядається випадок непровідного включення.

Такі задачі можуть бути корисними при ідентифікації довільних порожнин у земній корі, що утворилися унаслідок природних чи техногенних процесів, підземних гірничих виробіток, пустот у деталях конструкцій. В цьому випадку замість умови ідеального контакту розглядають умову ізоляції, що також приводить до зменшення розмірності системи рівнянь для визначення функцій невідомих джерел.

У третьому розділі створено дискретні моделі прямих задач ідентифікації з використанням непрямих методів граничних та приграничних елементів для двовимірного випадку.

При використанні МПГЕ області , є такими, що прилягають до границі області дослідження в напрямку зовнішньої нормалі і мають певну товщину. Границя та приграничні області розбиваються на дискретні елементи так, щоб елементи не перетиналися, а при перетині приграничного елементу з границею області дослідження отримувався граничний елемент.

Тоді у випадку граничних елементів невідомі джерела розподіляють по довжині елемента, а у випадку приграничних - по площі. Інтегральні зображення (5)-(8) перепишуться у такому вигляді:

,,

,,

,,

,.

Тут ,G_l - приграничний елемент, Г_l-граничний елемент, , - відповідно, номери початкового та кінцевого граничного елемента на границі або у області з номером , L⁰- кількість дискретних елементів при розв'язування задачі для середовища без включень.

На кожному дискретному елементі невідомі джерела апроксимують кусково-постійними або кусково-лінійними функціями. При побудові системи лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР) граничні умови задовольняють у точках на граничному елементі.

Для кожного з цих випадків наведено інтегральні зображення розв'язків задач, описано формування та структуру матриць СЛАР.

У цьому ж розділі створено дискретні моделі задач ідентифікації включення у півплощині при використанні трьох різних схем зондування та для кожної схеми описано способи формування матриці СЛАР.

Показано способи числового розв'язування отриманих дискретних моделей. Для розв'язування СЛАР використовується метод Гауса, обчислення елементів матриць зводиться до знаходження інтегралів по дискретних елементах від фундаментального розв'язку та його похідної або від їх добутку на інтерполюючі функції. Наведено аналітичні та чисельні способи визначення цих інтегралів.

Систематизовано результати, які порівнюють обчислювальні властивості МПГЕ та МГЕ і показують, що при однаковій кількості елементів точність МПГЕ є вищою, ніж МГЕ, і покращується при збільшенні товщини приграничної області. Показано, що при кусково-постійній апроксимації функцій невідомих джерел точність МПГЕ є значно вищою, ніж МГЕ при кусково-лінійнійній.

У четвертому розділі проведено числові дослідження залежності характеристик потенціального поля від геометрії та фізичних властивостей прямокутного включення у півплощині при зондуванні її точковим джерелом та зовнішніми потоками, які є паралельними або перпендикулярними до границі.

Як показали дослідження, криві розподілу збурення характеристик потенціального поля вздовж границі тіла мають яскраво виражені екстремуми, значення яких змінюються при зміні параметрів включення.

Тож зіставляючи виміряні значення з одержаними результатами математичного моделювання, можна наближено визначити місцезнаходження включення, глибину його залягання та розміри.

Наприклад, за координатою x₁ точки екстремуму на кривих, отриманих при зондуванні точковим джерелом та точки перегину на кривих, отриманих при зондуванні потоком, паралельним до границі, можна ідентифікувати параметр p₁, за значенням збурення потоку або потенціалу у точках екстремумів - висоту включення або відстань його від границі, за шириною ділянки, на якій спостерігається збурення - ширину включення тощо.

У результаті аналізу отриманих залежностей встановлено, що для проведення якісної інтерпретації достатньо обмежитися діапазоном спостереження, який не перевищує трьох горизонтальних розмірів включення, при зондуванні точковим джерелом помітне збурення спостерігається, якщо відстань між джерелом та включенням h_g знаходиться в межах 0.5p₃<h_g<3.5p₃; при зондуванні потоком, паралельним до границі тіла, найбільш чутливою є зміна висоти включення, а вплив ширини відчувається слабо; при зондуванні потоком, перпендикулярним до границі тіла, та точковим джерелом спостерігається протилежна картина; при зменшенні відстані від границі для усіх трьох схем чутливість покращується, але ця відстань не повинна бути меншою висоти включення.

За результатами аналізу числових даних отримано інтерпретаційні формули, які за відомими розподілами густини потоку при деяких відомих параметрах включення дозволяють визначати його ширину, відстань до границі досліджень, питому провідність, а також координати точкового джерела.

Для розв'язування багатопараметричних обернених задач реалізовано варіаційну схему, яка зводиться до мінімізації функціоналу

,(10)

що визначає середньоквадратичне відхилення розподілів потенціалу u^P(x₁,0) та густини потоку q^P(x₁,0) на границі півплощини, знайдених із розв'язку відповідних прямих задач при заданих параметрах P(p₁…p_K) включення від виміряних значень та відповідно.

З використанням методу найшвидшого спуску задачу зведено до ітераційного процесу

,(11)

у якому значення часткових похідних апроксимовано так:

. (12)

Тут =0,1,2…,i=1…K, - довжина кроку у вибраному напрямку.

З метою доведення ефективності запропонованого підходу проводився числовий експеримент, який полягав у визначенні параметрів p3 та p4 включення за (10)-(12). При цьому багатопараметричний функціонал розглядався як поверхня, для якої визначалися її диференційні характеристики. У результаті числових досліджень було показано, що гаусівська та середня кривини є достатніми для реалізації методу найшвидшого спуску, а також те, що швидкість зміни функціоналу та його кривини залежить від напрямку в площині (p3 ,p4).

У п'ятому розділі описано принципи побудови та структуру автоматизованої системи, яка створена для розв'язування двовимірних задач. Структура системи складається з сукупності незалежних модулів, кожний з яких призначений для виконання окремих етапів МПГЕ або МГЕ. У залежності від типу задач, способів формування геометрії області досліджень, побудови приграничних та граничних елементів, апроксимації невідомих джерел створюються різні конфігурації модуля одного класу. Роботу системи організовано в діалоговому і автоматизованому режимах. В діалоговому режимі формується геометрична модель області дослідження, задаються її фізичні характеристики, вибирається метод розв'язування (МПГЕ чи МГЕ) та вибирають параметри дискретизації. В автоматизованому режимі на основі сформованих даних створюється дискретна модель задачі та обчислюється значення шуканих функцій у заданих областях спостереження.

У розділі описано основні принципи комп'ютерної реалізації усіх функцій для випадку, коли тіло та включення є многокутниками. Усі описані функції реалізовано у вигляді автоматизованої системи “АУРА 1П/1.0”, що написана на мові Borland Pascal 7.0.

Основні результати роботи та висновки

У дисертаційній роботі у рамках методу фіктивних джерел сформульовано та розв'язано прямі та обернені задачі ідентифікації приповерхневих включень та порожнин у твердих тілах при зондуванні їх потенціальними полями. При цьому отримано такі результати.

З використанням методу фіктивних джерел побудовано континуальні математичні моделі та сформульовано прямі та обернені задачі ідентифікації для дво- та тривимірних твердих тіл з включеннями та порожнинами при зондуванні їх зовнішніми та внутрішніми джерелами потенціального поля.

З використанням непрямих методів приграничних та граничних елементів побудовано дискретні математичні моделі двовимірних задач ідентифікації при кусково-постійній та кусково-лінійній апроксимації невідомих джерел.

Зроблено порівняння точності непрямих методів приграничних та граничних елементів при кусково-постійній та кусково-лінійній апроксимації невідомих джерел. Виявлено, що точність МПГЕ при кусково-постійній апроксимації є вищою, ніж МГЕ при кусково-лінійній.

Побудовано континуальні та дискретні моделі задач ідентифікації приповерхневого включення у півплощині при зондуванні її точковим джерелом та зовнішніми потоками, які є паралельними або перпендикулярними до границі.

Досліджено вплив геометричних та фізичних параметрів включення на характеристики потенціального поля на границі півплощини при трьох способах зондування та оцінено чутливість кожного з них.

Отримано інтерпретаційні формули, які при окремих відомих геометричних параметрах моделі дозволяють визначати координати точкового джерела, питому провідність включення та невідомі геометричні параметри (відстань від границі, ширину, висоту) за числовими значеннями характеристик потенціального поля на границі півплощини.

Реалізовано варіаційну схему розв'язування багатопараметричних обернених задач та досліджено її ефективність.

Створено автоматизовану систему “АУРА 1П/1.0” для розв'язування МПГЕ та МГЕ задач ідентифікації з використанням потенціального поля у многокутниках та півплощинах з включеннями-многокутниками, яку впроваджено у Карпатському відділенні Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України.

Список Опублікованих Праць за темою дисертації

Грицько Є.Г., Ковальчук А.М., Шуміліна Н.В. Моделювання залежності фільтраційного потоку від геометричних параметрів непровідного включення у півплощині // Вісн. Держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Сер. Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології.- Львів: Вид-во Держ. ун-ту “Львівська політехніка”, 1998.- № 351.- C. 93-98.

Грицько Є.Г., Волос В.О., Шуміліна Н.В. Розв'язання задачі фільтрації для півплощини зі слабопровідним включенням методом приграничних елементів // Вісн. Держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Сер. Прикладна математика.- Львів: Вид-во Держ.ун-ту “Львівська політехніка”, 1999.- № 364.- C. 56-61.

Грицько Є.Г., Федоришин О.С., Шуміліна Н.В. Моделювання фільтраційних процесів у двовимірних областях з використанням автоматизованої системи // Вісн. Держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Сер. Комп'ютерна інженерія та інформаційні технології.- Львів: Вид-во Держ. ун-ту “Львівська політехніка”, 2000.- № 392.- С. 165-168.

Чекурін В.Ф., Шуміліна Н.В. Математична модель резистивної томографії приповерхневих неоднорідностей з використанням потенціального поля // Вісник Нац. ун-ту “Львів. політех”. Сер. Елементи теорії та прилади твердотілої електроніки.- Львів: Вид-во Нац. ун-ту “Львів. політех.”, 2002.- № 454.- C. 75-78.

Чекурін В.Ф., Шуміліна Н.В. До ідентифікації прямокутного включення у півплощині з використанням потенціального поля // Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів (серія), вип. 7: Неруйнівний контроль конструкційних та функціональних матеріалів: Зб. наук. пр.- Львів: Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка, 2002.- С. 130-132.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Фітель Г.В., Шуміліна Н.В. Автоматизація числових досліджень фізичних полів у многокутниках на основі методу приграничних елементів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. Прикл. мат. та інформ.- 2000.- Вип. 3.- С. 100-105.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Шуміліна Н.В. Про точність розв'язків задач теорії потенціалу методами граничних та приграничних елементів з використанням лінійних апроксимацій // Зб. наук. праць “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”, Львів.- 2000.- Т. 1.- С. 359-362.

Грицько Є.Г., Шуміліна Н.В. Інтерпретація фільтраційного потоку при визначенні розташування джерела витікання газу // Праці НТШ. Геофізика.- Львів, 2002.- Т.VIII.- C. 40-46.

Журавчак Л.М., Чекурін В.Ф. Шуміліна Н.В. Температурне поле у кусково-однорідній півплощині та задачі ідентифікації приповерхневих включень // Вісн. Львів. ун.-ту. Сер. Прикладна математика.- 2003.- Вип. 7.- С. 156-161.

Чекурін В.Ф., Шуміліна Н.В. Обернена задача ідентифікації прямокутного включення у півплощині з використанням потенціального поля // Матеріали Міжнар. наук. конф. з індуктивного моделювання.- Львів: Державний НДІ інформаційної інфраструктури, 2002.- Т.3.- С. 217-223.

Шуміліна Н.В. Вплив зміни форми частини граничної поверхні включення на фільтраційний потік // Вісн. Львів. ун.-ту. Сер. Прикладна математика.- 1999.- Вип.1.- С. 269-272.

Грицько Є.Г., Журавчак Л.М., Фітель Г.В., Шуміліна Н.В. Автоматизована система дослідження фізичних полів у многокутниках // Тези доп. VIІ Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”.- Львів, Видавн. центр. ЛНУ ім. І. Франка, 2000.- С. 34-35.

Журавчак Л.М., Чекурін В.Ф., Шуміліна Н.В. До ідентифікації параметрів провідного включення у півплощині // Тези доп. ІX Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”.- Львів, Видавн. центр ЛНУ ім. І. Франка, 2002.- С. 50-51.

Чекурин В.Ф., Шумилина Н.В. Обратная задача идентификации приповерхностных включений с использованием потенциального поля // Тез. докл. Междунар. школы-конференции “Обратные задачи: теории и приложения”.- Ханты-Мансийск, Россия, 2002.- Ч. 1.- С. 64-65.

Шуміліна Н.В. Вплив зміни форми частини граничної поверхні включення на фільтраційний потік // Тези доп. VI Всеукр. наук. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та обчислювальних методів у наукових дослідженнях”.- Львів: ВЦ ЛДУ ім. І. Франка, 1999.- С. 101.

АНОТАЦІЯ

Шуміліна Н.В. Дискретно-континуальні моделі задач ідентифікації включень з використанням потенціального поля.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи.- Державний науково-дослідний інститут інформаційної інфраструктури, Львів, 2004.

Дисертацію присвячено математичному моделюванню та дослідженню впливу включень та порожнин у твердих тілах довільної форми на потенціальні поля різної фізичної природи з метою створення ефективних методів ідентифікації неоднорідностей. З використанням методу фіктивних джерел розроблено математичні моделі для тіла довільної форми з системою включень та для півплощини з включенням при трьох схемах зондування. Створено методики числових досліджень цих задач з використанням непрямих методів приграничних та граничних елементів. Проведено числові дослідження задач ідентифікації включення у півплощині при трьох схемах зондування. Отримано інтерпретаційні формули, які за відомими характеристиками потенціального поля дозволяють визначати окремі невідомі параметри включення. Для розв'язування багатопараметричних обернених задач ідентифікації реалізовано варіаційну схему. Для проведення прикладних досліджень створено програмне забезпечення з графічним інтерфейсом.

Ключові слова: математична модель, кусково-однорідне тіло, включення, ідентифікація, метод фіктивних джерел, метод граничних елементів, метод приграничних елементів, програмне забезпечення.

фізичний математичний включення твердий тіло

АННОТАЦИЯ

Шумилина Н.В. Дискретно-континуальные модели задач идентификации включений с использованием потенциального поля.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы.- Государственный научно-исследовательский институт информационной инфраструктуры, Львов, 2004.

Диссертация посвящена математическому моделированию и исследованию влияния включений и пустот в твёрдых телах произвольной формы на потенциальные поля различной физической природы с целью разработки методов идентификации неоднородностей. Для математического моделирования используется метод фиктивных источников, суть которого состоит в том, что имеющиеся в теле неоднородности моделируются фиктивными источниками, интенсивность которых определяется из условий, заданных на границе области исследования. Приведены математические модели для тела произвольной формы с системой включений.

Описаны модели прикладных задач, которые сводятся к решению задач в полуплоскости с одним включением при зондировании её внутренними и внешними источниками, параллельными и перпендикулярными к границе. Особенность решения состоит в использовании специального фундаментального решения уравнения Лапласа, которое точно удовлетворяет условиям на границе области исследования, что значительно уменьшает размер системы линейных алгебраических уравнений. Как частный, рассматривается случай непроводящего включения.

Описаны способы численного решения этих задач для двумерного случая с использованием непрямых методов граничных и приграничных элементов, способы формирования матриц и вычисления элементов матриц. Систематизированы результаты, иллюстрирующие преимущества использования МПГЕ по сравнению с МГЕ.

На примере задачи для полуплоскости с проводящим и непроводящим включением проведены численные исследования возмущений характеристик потенциального поля при изменении геометрии и физических параметров включений. В результате анализа численных результатов получены интерпретационные формулы, по которым, имея некоторую дополнительную информацию и зная распределение поля на границе тела, можно определить неизвестные параметры включения (его высоту, ширину, удельную проводимость). Для решения многопараметрических задач реализована вариационная схема, которая сводится к поиску минимума квадратического функционала методом наискорейшего спуска.

Для проведения прикладных исследований разработана автоматизированная система, позволяющая решать задачи идентификации в многоугольниках и полуплоскостях с включениями-многоугольниками.

Результаты работы могут быть использованы для разработки технических систем идентификации и распознавания приповерхностных включений в практике неразрушающего контроля при оценке технического состояния объектов, в геофизике при разработке методов поиска полезных ископаемых, медицинской диагностике и других прикладных отраслях. Созданные програмные средства могут быть использованы для решения прямых и обратных задач идентификации приповерхностных включений и пустот в твёрдых телах.

Ключевые слова: математическая модель, кусочно-однородное тело, включение, идентификация, метод фиктивных источников, метод граничных элементов, метод приграничних элементов, программное обеспечение.

ANNOTATION

Shumilina N.V. Discreet-continuous model of inclusions identification problems with potential field use.- Manuscript.

The thesis for the degree of the сandidate of technical sciences in speciality - 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods.- The State Scientific and Research Institute of an Information Infrastructure, L'viv, 2004.

The dissertation is devoted to mathematical modelling and study of influence of inclusions and саverns in bodies of the any form on potential fields of the various physical nature with the purpose of development of effective methods of identification heterogeneity. With use of a method of fictitious sources mathematical models for a body of the any form with system of inclusions and for half-plane are resulted at three various schemes of sounding. Techniques of numerical realization of these problems with use of methods of boundary and near-boundary elements are described. Numerical researches of problems of identification are lead at three various schemes of sounding. As a result of the analysis of numerical results are received interpretation formulae which after known characteristics of a potential field allow to define unknown parameters of inclusion. For the decision of multipleparameter problems the variational technique is realized. For carrying out of applied researches the software with the graphic interface is created.

Кey words: mathematical model, zonal-homogeneous solid, inclusion, identification, method of fictitious sources, boundary element method, near-boundary element method, software.

Размещено на Allbest.ru

...