Ліївська та умовна симетрії деяких нелінійних еволюційних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.95

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛІЇВСЬКА ТА УМОВНА СИМЕТРІЇ ДЕЯКИХ НЕЛІНІЙНИХ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

ІЧАНСЬКА НАТАЛІЯ ВАСИЛІВНА

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Полтавському національному технічному університеті імені Юрія Кондратюка МОН України.

Науковий керівник:

СЄРОВ Микола Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, Полтавський національний технічний університет імені Юрія Кондратюка, завідувач кафедрою вищої математики.

Офіційні опоненти:

Білоколос Євген Дмитрович, доктор фізико-математичних наук, професор, Інститут магнетизму НАН України, завідувач відділу теоретичної фізики;

Спічак Станіслав Вікторович, кандидат фізико-математичних наук, Інститут математики НАН України, старший співробітник відділу прикладних досліджень.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, (кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь).

Захист відбудеться 14 червня 2005 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституту математики НАН України за адресою: 252601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту Математики НАН України.

Автореферат розісланий 12 травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При дослідженні різних явищ природи часто приходять до математичних моделей у вигляді диференціальних рівнянь. З виникненням і наступним розвитком теорії диференціальних рівнянь природознавство дістало ефективний засіб моделювання та дослідження різноманітних задач науки та техніки.

Явища, які вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміці, теорії теплопровідності, квантовій механіці, атомній фізиці тощо, описуються рівняннями математичної фізики. Методи інтегрування диференціальних рівнянь почали інтенсивно розроблятись після появи "Математичних початків натуральної філософії" І. Ньютона в процесі дослідження проблем всесвітнього тяжіння і теорії світла. Розквіт методів класичної математичної фізики пов'язаний із прізвищами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, Ж.Л. д'Аламбера, П.С. Лапласа, Д. Бернуллі, Ж. Фур'є, М.В. Остроградського, А.М. Ляпунова, С. Лі та багатьох інших. Одним із таких методів є метод Софуса Лі, в основі якого лежить принцип симетрії. Метод грунтується на знаходженні та застосуванні операторів алгебри інваріантності (симетрії Лі) диференціального рівняння для знаходження його точних розв'язків.

Багато дослідників використовували і розвивали теорію С. Лі. Вперше ідеї Лі були застосовані Пуанкаре (1905 р.) до системи рівнянь Максвела. У 1918 році Е. Ньотер довела дві важливі теорії, які пов'язали групи симетрії з законами збереження. Г. Бейтман ефективно використав симетрію лінійного хвильового рівняння для одержання його точних розв'язків. Роботи В.І. Смірнова і С. Л. Соболєва (1932 р.) були присвячені побудові та застосуванню функціонально-інваріантних розв'язків лінійного хвильового рівняння. Тривалий період результати С. Лі щодо групового аналізу диференціальних рівнянь з частинними похідними залишалися маловідомими. Г. Біркгоф першим наголосив на їх важливості і принциповій можливості застосування теорії груп у механіці. Подальший розвиток метод С. Лі набув у роботах Л.В. Овсяннікова і його школи, якими була створена теорія інваріантних і частково-інваріантних розв'язків диференціальних рівнянь. Важливі результати були одержані Дж. Блуменом та І.Д. Коулом, У. Міллером, П. Олівером, Н.Х. Ібрагімовим, П. Вінтерніцем. В Україні перші роботи на цю тему були опубліковані львівським математиком В.Г. Костенком наприкінці 50-их років. Провідну роль у цих дослідженнях відіграла українська школа теоретико-алгебраїчного аналізу, що була заснована В.І. Фущичем. Математичними основами теорії симетрії займалися українські математики П.І. Голод, А.У. Клімик.

В.І. Фущичем та А.Г. Нікітіним розроблено новий підхід до дослідження алгебр інваріантності диференціальних рівнянь, головна відмінність якого від класичного полягає в тому, що базисні елементи алгебри інваріантності даних рівнянь є інтегро-диференціальними операторами. Цей метод дослідження симетрійних властивостей рівнянь дозволив знайти нові симетрії багатьох добре відомих рівнянь квантової механіки: Дірка, Максвела, Ламе тощо.

Виявляється, що є цілі класи рівнянь, що широко застосовуються при описанні конкретних фізичних процесів, які не володіють ліївською симетрією, а це означає, що стандартний метод Лі для них є малоефективним. І тому актуальною стала задача узагальнити метод Лі з метою побудови принципово нових анзаців і точних розв'язків, які не можуть бути отримані стандартним алгоритмом Лі. В 1969 році Дж. Блумен і І.Д. Коул ввели поняття некласичної симетрії, яка дала можливість знаходити оператори інваріантності диференціальних рівнянь, відмінні від операторів С. Лі. Продовження розвитку ідей Блумена і Коула спостерігається в роботах Олівера та Розенау, В.І. Фущича і І.М. Цифри. На основі цих досліджень в роботах В.І. Фущича, В.І. Чопика та М.І. Сєрова було розроблено новий метод знаходження симетрії. За допомогою цього методу можна виділити такі підмножини розв'язків диференціального рівняння, симетрія яких ширша, а іноді зовсім відрізняється, від симетрії всієї множини його розв'язків.

Принципи симетрії відіграють фундаментальну роль у природознавстві. Закони збереження енергії, імпульсу, моменту кількості руху є наслідком однорідності, ізотропності чотиривимірного простору - часу. По відношенню до диференціальних рівнянь, симетрію можна також розглядати як принцип, за допомогою якого із найрізноманітніших логічно допустимих моделей (рівнянь, співвідношень) відбираються тільки ті, котрі володіють широкою симетрією. Це пов'язано перш за все, з тим, що основні фізичні закони, рівняння руху, різні математичні моделі володіють явною чи неявною, геометричною чи негеометричною, локальною чи нелокальною симетріями. Усі класичні рівняння математичної фізики (рівняння Ньютона, Лапласа, д'Аламбера, Шредінгера, Ліувілля, Дірка, Максвела і т.д.) інваріантні відносно достатньо широких груп перетворень. Саме ця властивість виділяє їх із множини інших диференціальних рівнянь.

Побудова конструктивного математичного апарату, здатного виявляти різні типи симетрій, - одна з найважливіших задач якісної теорії диференціальних рівнянь. Не менш важливою є задача, в деякому змісті обернена до сформульованої вище: по заданій групі перетворень побудувати математичні моделі (рівняння чи системи), що володіють зазначеною симетрією. Розв'язанню таких актуальних задач і присвячена дана дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка.

Мета і задачі досліджень. Мета дисертації - це проведення класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу для скалярних та векторних полів відносно розширеної конформної алгебри та алгебри Галілея. Дослідження умовної інваріантності (1+2)- вимірних рівнянь теплопровідності.

Загальна методика досліджень. В роботі використовуються теоретико-алгебраїчні методи математичної фізики, методи теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна. Основні результати, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, наступні:

1. Реалізовано задачу повного опису операторів Q-умовної інваріантності нелінійних (1+2)-вимірних рівнянь теплопровідності. Отримані Q-умовні оператори використано для редукції відповідних рівнянь до диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними. Показано, що наслідком Q-умовної симетрії для деяких рівнянь такого типу є можливість розділення змінних та проведення анти редукції.

2. Знайдено в явному вигляді широкі класи інволютивних множин двох операторів Q- умовної симетрії нелінійних рівнянь теплопровідності. Проведено редукцію та побудовано деякі розв'язки цих рівнянь.

3. Розв'язано обернену задачу симетрійної класифікації для еволюційних рівнянь та систем довільного порядку. Побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи довільного порядку, що інваріантні відносно розширеної конформної алгебри.

4. Проведено повну групову класифікацію деяких класів нелінійних еволюційних рівнянь другого, третього та довільного порядку. Для рівняння другого порядку, що виокремлюються найширшою симетрією в цьому класі, проведено редукцію та побудовано деякі класи його точних розв'язків.

5. Досліджено симетрій ні властивості системи (1+2)-вимірних рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев'язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил. Знайдено системи інваріантні відносно узагальненої алгебри Галілея при відсутності та наявності осьової симетрії.

6. Проведено повну класифікацію квазілійних систем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Практичне значення отриманих результатів.. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані при розв'язуванні ряду конкретних задач теорії диференціальних рівнянь, теорії проникання, теплопро-віднос-ті, дифузії, та деяких інших.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику доктору фіз.-мат. наук, професору М.І. Сєрову. Конкретне розв'язання поставлених задач, доведення всіх результатів дисертації здійснювалось безпосередньо автором.

В роботах, які опубліковано разом з іншими авторами і включено до автореферату, особистий внесок дисертанта такий. У роботі [3]М.І. Сєрову належить загальна постановка задачі і аналіз отриманих результатів, дисертанту - доведення теорем про симетрійну класифікацію та проведення редукції дослідженої системи; в праці [4] М.М. Сєровою прокласифіковано еволюційне n-вимірне рівняння відносно розширеної конформної алгебри, дисертантом - досліджено симетрійні властивості (1+2)-вимірного рівняння та проведена редукція даного рівняння до рівнянь з меншою кількістю незалежних змінних; в роботах [5, 7]М.І. Сєрову належить загальна постановка задачі та уточнення деяких формулювань теорем і тверджень, дисертанту - доведення всіх теорем та розв'язання поставлених задач, Л.О. Тулуповій проведення редукції отриманих систем до систем з меншою кількістю незалежних змінних; у роботах [6, 8]М.М. Сєровій належить загальна постановка й уточнення деяких формулювань теорем і тверджень, дисертанту - розв'язання задачі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах кафедри вищої математики Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка, відділу прикладних досліджень і відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, на ІІ Міжнародній конференції "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (м. Київ, 1997), на Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" присвяченій 70-річчю від дня народження професора В. Скоробагатька (м. Дрогобич, 1997).

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел із 115 найменувань. Об'єм роботи - 148 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано основні поняття та визначення, що використовуються в роботі, зроблено короткий опис змісту та результатів дисертації.

У першому розділі обґрунтовано вибір напрямку досліджень і здійснено постановку задач, які розв'язано в дисертації. Також описано основні етапи розвитку наукової думки щодо групового аналізу диференціальних рівнянь та подано огляд праць, які стосуються цієї проблеми.

У другому розділі розглядається клас нелінійних (1+2)-вимірних рівнянь теплопровідності вигляду:

H(u)u₀+u=F(u), (1)

- довільні гладкі функції. Для цього класу отримано наступні результати.

Уточнено групову класифікацію в класі рівнянь (1). Знайдено всі додаткові перетворення еквівалентності між випадками, в яких рівняння вигляду (1) допускає розширення групи симетрії.

Проведено повний опис операторів Q-умовної інваріантності для класу рівнянь (1). В дисертації доведена наступна теорема.

Теорема 1. Будь-який оператор Q-умовної симетрії нелінійного рівняння теплопровідності (1) або є еквівалентним оператору ліївської симетрії цього рівняння, або з точністю до перетворень з групи еквівалентності та додаткових перетворень є еквівалентним одному з наступних операторів:

1. у випадку ;

2. , де ,

, ;

3. , де ,

, ,.

Тут , , , - довільні сталі.

Знайдені оператори використано для побудови анзаців та проведення редукції відповідних рівнянь до диференціальних рівнянь з двома змінними. Показано, що наслідком Q- умовної симетрії для рівнянь такого типу є можливість побудови рівнянь в розділених змінних та проведення антиредукції.

Для класу (1) знайдено в явному вигляді широкі класи інволютивних множин двох операторів Q- умовної симетрії. Отримані результати повністю описуються такими теоремами.

Теорема 2. Будь-яка множина операторів:

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ічанська Н.В. Галілеївська інваріантність нелінійної системи еволюційних рівнянь третього порядку // Вісник Київського університету. - 2004. - Т. 1. - С. 92-112.

2. Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості нелінійної системи рівнянь параболічного типу // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці: Зб. наук. пр. НАН України. Інститут математики. - 1998. - Т. 19. - С. 10-13.

3. Сєров М.І., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості, редукція та точні розв'язки системи рівнянь типу Кортевега-де Фріза // Доповіді НАН України. - 2000. - № 10. - C. 31-35.

4. Serova M., Andreeva N. Evolution equations invariant under the conformal algebra // Proceedings of the Second International Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Phisics". - Kyiv: Institute of Mathematics. - 1997. - Vol. 1. - P. 217-221.

5. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Ічанська Н.В. Симетрійні властивості та редукція системи рівнянь Деві-Стюардсона // Праці Інституту математики НАН України. - 2001. - Т. 36. - С. 247-253.

6. Сєрова М.М., Ічанська Н.В. Інваріантність рівнянь теорії проникання відносно розширеної алгебри Галілея // Вісник Київського університету. - Вип. 4. - 2000. - С. 107-111.

7. Сєров М.І., Тулупова Л.О., Андреєва Н.В. -умовна симетрія нелінійного двовимірного рівняння теплопровідності // УМЖ. - 2000. - Т. 52, № 6 - С. 846-849.

8. Сєрова М.М., Андреєва Н.В. Cиметрійні властивості узагальненого рівняння Гарі-Діма // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь", присвяченій 70-річчю від дня народження професора В. Скоробагатька, 15-19 вересня 1997р., м. Дрогобич. - Київ: Інститут математики НАН України. - 1997. - С. 100.

АНОТАЦІЯ

Ічанська Н.В. Ліївська та умовна симетрії деяких нелінійних еволюційних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню симетричних властивостей нелінійних еволюційних рівнянь та знаходженню їх точних розв'язків. Досліджено -умовну симетрію (1+2)-вимірних рівнянь теплопровідності. Розв'язано обернену задачу симетричної класифікації і побудовано нелінійні еволюційні рівняння та системи -го порядку інваріантні відносно розширеної конформної алгебри. Досліджено симетричні властивості системи рівнянь теорії проникання, що описує адіабатичний рух нев'язкої стисливої рідини у випадку відсутності та наявності масових сил при наявності та відсутності осьової симетрії. Проведена повна класифікація квазілінійних систем еволюційних рівнянь третього порядку інваріантних відносно алгебри Галілея та її розширень операторами масштабних та проективних перетворень.

Ключові слова: квазілінійні рівняння, рівняння еволюційного типу, групова класифікація, алгебра Лі, оператор симетрії, точні розв'язки.

АННОТАЦИЯ

Ичанская Н.В. Лиевская и условная симметрии некоторых нелинейных эволюционных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена исследованию симметрийных свойств нелинейных уравнений эволюционного типа для скалярных и векторных полей и нахождению их точных решений.

Основные задачи, рассмотренные в работе, - задача нахождения операторов -условной инвариантности и задача групповой классификации нелинейных уравнений эволюционного типа для скалярных и векторных полей.

Решение задачи нахождения операторов -условной симметрии интересно тем, что в диссертации проводилось исследование относительно инволютивных множеств операторов -условной инвариантности. Важно то, что в случае одномерного инволютивного множества проведено полное описание -условных операторов, которыми обладает нелинейное (1+2)-мерное уравнения теплопроводности. Полученные операторы использованы для проведения редукции соответствующих уравнений к дифференциальным уравнениям с двумя неизвестными переменными. Следует отметить, что редукция для каждого с полученных операторов имеет свои характерные особенности.

Найдены в явном виде широкие классы инволютивных множеств двух операторов относительно которых нелинейное (1+2)-мерное уравнение теплопроводности есть -условно инвариантным. Найденные операторы -условной инвариантности использованы для проведения редукции и поиска некоторых решений этого уравнения.

По заданной группе преобразований построены математические модели, которые обладают указанной симметрией. Для эволюционных уравнений и систем решена обратная задача симметрийной классификации, в ходе решения которой получены широкие классы нелинейных эволюционных уравнений и систем произвольного порядка, инвариантных относительно расширенной конформной алгебры. Для выделенных подклассов второго, третьего и -го порядков решена задача полной групповой классификации. Для уравнения второго порядка, что принадлежит классу и отличается наличием самых широких симметрийных свойств в этом классе, максимальную алгебру инвариантности использовано для проведения редукции и построения некоторых классов решений.

Для известного обобщения нелинейного уравнения теплопроводности на случай системы двух уравнений относительно двух неизвестных функций решена задача симметрийной классификации относительно расширенной конформной алгебры. Описано неэквивалентные реализации расширенной конформной алгебры относительно которых инвариантна эта система.

Исследованы симметрийные свойства системы уравнений теории проникания, которая описывает адиабатическое движение невязкой сжимаемой жидкости. Проведена групповая классификация в классе систем уравнений теории проникания в случае отсутствия и наличия цилиндрической симметрии. Доказано, что система инвариантна относительно обобщенной алгебры Галилея в случае отсутствия цилиндрической симметрии при конкретной степенной нелинейности, а в случае наличия цилиндрической симметрии при произвольной степенной нелинейности.

Проведена полная классификация квазилинейных систем эволюционных уравнений третьего порядка инвариантных относительно алгебры Галилея и ее расширений операторами масштабных и проективных преобразований т.е., среди всевозможных допустимых математических моделей определенного вида отобрано только те, которые удовлетворяют принцип относительности Галилея. Найдены широкие классы квазилинейных систем третьего порядка инвариантных относительно: алгебры Галилея, расширенной алгебры Галилея, обобщенной алгебры Галилея. Эти системы в силу наличия широких симметрийных свойств могут быть использованы для описания реальных физических процессов.

Ключевые слова: квазилинейные уравнения, уравнения эволюционного типа, групповая классификация, алгебра Ли, оператор симметрии, алгебра Галилея, точные решения.

ANNOTATION

Ichanska N.V. Lie and Conditional Symmetry of Some Nonlinear Evolution Equations. - Manuscript.

Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 - Differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of nonlinear evolution equations and construction of their exact solutions. The -conditional symmetry of two-dimensional heat equations is investigated. The inverse group classification problem is solver for nonlinear evolutionary equations and -order systems of such equations, which are invariant with respect to the conformal algebra. Symmetries of systems of equations of penetration theory, which describe adiabatic motion of non-viscous compressible fluid, are investigated. Completed classification of third order quasi-linear systems of evolutionary equations invariant with respect to the extended Galilei algebra is carried out.

Key words: quasi-linear equations, equations of evolutionary type, group classification, Lie algebras, symmetry operator, equivalence group, exact solution.

Размещено на Allbest.ru