Чисельне моделювання стоку мілкої води з поверхні водозбору

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА НАН УКРАЇНИ

Трушевський Валерій Миколайович

УДК 519.876.5:517.958:532

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТОКУ МІЛКОЇ ВОДИ З ПОВЕРХНІ ВОДОЗБОРУ

01.05.02 - МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ МЕТОДИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук, доцент Венгерський Петро Сергійович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри інформаційних систем

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор Войтович Микола Миколайович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу чисельних методів математичної фізики

доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів

Провідна установа

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра обчислювальної математики, м. Київ

Захист відбудеться “_12__” __липня_ 2004 р. о _15⁰⁰__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-Б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів, вул. Наукова, 3-Б).

Автореферат розіслано “_11__” __червня_ 2004 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Мартиняк Р.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

гідродинамічне наближення рекурентна схема

Актуальність теми. Зростаючі вимоги до оптимального використання водних ресурсів, дефіцит води у багатьох районах земної кулі, зниження її якості роблять все більш актуальним розвиток теорії формування вод суші, як основи для керування водними ресурсами. Моделі гідрологічного циклу можуть бути використані не тільки в задачах, пов'язаних із проектуванням та експлуатацією водноресурсних систем, але і при створенні методів активного впливу на формування стоку та якості води на водозборі. Тому математичне дослідження гідрологічних процесів на територіях водозборів рік та озер є актуальною та важливою задачею, яка вимагає побудови адекватних моделей та розробки наближених числових методів для аналізу їх характеристик.

Один із найбільш важливих процесів гідрологічного циклу стосується потоків мілкої води, до яких належать дощовий та русловий стоки, стік рідини з поверхні водозбору, рух води в океані, тощо. Такі процеси мають хвильовий характер із довжиною хвилі, набагато більшою від вертикальних розмірів потоку, і знаходять застосування в акустиці, газовій динаміці, гідравліці, метеорології, сейсмології та інших галузях. Розробкою та дослідженням моделей мілкої води займалися Антонцев С.Н., Мейрманов А.М., Марчук Г.І., Вольцінгер Н.Е., Пясковський Р.В., Васильченко Т.Н., Грішанін К.В., Гуревіч_М.І., Згуровський М.З., Скопецький В.В., Хрущ В.К., Беляєв Н.М., Картвелішвілі Н.А., Кучмент Л.С., Ладіков-Роєв Ю.П., Панчук В.І., Чечко Г.А., Леві І.І., Маханов С.С., Семенов А.Ю., Уізем Дж., Стокер Дж., Темам Р., Durran_D.R., Lighthill M.J., Lions P.-L., Whitham C.C. та інші. В роботах цих авторів не існує повного врахування всіх поверхневих і внутрішніх напружень у потоці рідини та його взаємодії з донною поверхнею. Це зумовлено складністю числової реалізації задач стоку мілкої води через наявність нелінійних доданків у рівняннях.

За останні десятиліття зросло застосування методу скінченних елементів (МСЕ) до розв'язування задач мілкої води. Теоретичні основи та практичне використання цього методу для рівнянь в'язкої нестисливої рідини відображені в працях Бреббіа К., Коннора Дж., Літвінова В.Г., Зубова В.Н., Савули Я.Г., Шинкаренка Г.А., Girault V., Raviart P.A., Keramsi M.A., Martinez M.L., Zienkiewicz O. та інших вчених. Для застосування МСЕ до задач мілкої води актуальними залишаються проблеми формулювання їх варіаційних постановок, розробки чисельних схем дискретизації останніх за просторовими та часовою змінними, побудови адаптивних та стабілізаційних схем при великих значеннях чисел Рейнольдса. На розв'язання згаданих проблем і спрямовані дослідження проведені у цій дисертації.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - побудові уточнених постановок початково-крайових і варіаційних задач мілкої води, розробці проекційно-сіткових схем їх дискретизації в часі та за просторовими змінними з використанням скінченних елементів, створенню стабілізаційних схем МСЕ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Праця виконана в рамках держбюджетних науково-дослідних тем кафедри інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка “Математичне моделювання та інформаційні технології у проблемно-орієнтованих системах” (I кв. 2002 р. - IV кв. 2002 р., № держ. реєстрації 0100U001426) та “Адаптивні та стабілізовані апроксимації методу скінченних елементів для еволюційних проблем механіки, біофізики та охорони довкілля” (I_кв. 2003 р. - IV кв. 2005 р., № держ. реєстрації 0103U001926).

При виконанні цих науково-дослідних тем автор приймав участь у дослідженнях математичних моделей мілководних процесів і розробці стабілізаційних схем МСЕ для розв'язування задач стоку рідини.

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у побудові та дослідженні математичних моделей руху мілкої води з врахуванням масових сил, внутрішніх напружень, взаємодії потоку з вільною та донною поверхнями.

Для досягнення поставленої мети розв'язувались наступні задачі:

1. Формулювання початково-крайових та варіаційних задач стоку мілкої води;

2. Розробка алгоритму чисельного розв'язування отриманих варіаційних задач з використанням МСЕ;

3. Побудова стабілізаційних схем МСЕ для задач стоку мілкої води;

4. Дослідження умов стійкості та оцінка швидкості збіжності отриманих чисельних схем;

5. Розробка програмного забезпечення для реалізації побудованих алгоритмів;

6. Дослідження та аналіз апостеріорних оцінок збіжності чисельних розв'язків розглянутих моделей;

7. Апробація програмного забезпечення на тестових та реальних моделях рельєфу земної поверхні.

Об'єктом дослідження є моделі стоку мілкої води з поверхні водозбору.

Предметом дослідження є розвиток математичних моделей стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях та чисельних методів для розв'язування відповідних початково-крайових задач.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети у роботі використовувалась низка методів. Зокрема, при виведенні рівнянь стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні застосовано метод усереднення рівнянь Нав'є-Стокса за глибиною стоку з врахуванням умов мілководдя. Сформульовані варіаційні задачі розв'язувались за допомогою методу напівдискретизації Гальоркіна та однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі. Доведення коректності отриманих чисельних схем інтегрування в часі здійснюється методами функціонального аналізу з використанням відповідних енергетичних норм.

Наукова новизна результатів праці полягає в наступному:

побудовано уточнені постановки початково-крайових та варіаційних задач стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях;

розроблено чисельні схеми їх розв'язування на основі напівдискретизації Гальоркіна з використанням апроксимацій МСЕ та однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі;

досліджено стійкість отриманих рекурентних схем та проведено оцінку швидкості збіжності для рекурентної схеми задачі стоку рідини в кінематичному наближенні;

побудовано стабілізаційну схему МСЕ для задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні при великих значеннях чисел Рейнольдса.

Практичне значення одержаних результатів полягає у формулюванні варіаційних постановок початково-крайових задач стоку мілкої води у гідродинамічному і кінематичному наближеннях та чисельних схем їх розв'язування. Розроблений програмний комплекс дозволяє розв'язувати задачі стоку рідини з довільною поверхнею водозбору та різною природою притоків рідини.

Результати, отримані в дисертаційній роботі, можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, що виникають під час досліджень довгохвильових процесів в акустиці, газовій динаміці, гідравліці, океанології, метеорології та сейсмології.

Вірогідність отриманих результатів забезпечується виконанням основних законів збереження стану суцільного середовища; доведенням збіжності рекурентних схем задач стоку мілкої води; побудовою оцінки стабілізаційного множника; відповідністю скінченноелементних розв'язків тестових задач їх аналітичним розв'язкам; порівняльним аналізом наближених розв'язків на послідовно згущуваних сітках як за просторовими змінними, так і в часі; співставленням результатів, отриманих з різних формулювань початково-крайових задач стоку мілкої води.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. Роботи [5, 12-14] опубліковані без співавторів. У роботах [1, 2, 6, 8, 9] науковому керівнику П.С. Венгерському належать постановки й основні ідеї числової реалізації задач, здобувачеві - вивід рівнянь мілкої води у гідродинамічному наближенні, побудова початково-крайових та варіаційних задач, побудова проекційно-сіткових схем та доведення їх стійкості й збіжності. У працях [3, 4, 10, 11] П.С. Венгерському та Г.А. Шинкаренку належать постановки задач, участь у аналізі та обговоренні отриманих результатів, дисертанту - розробка стабілізаційної схеми МСЕ для задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні, розробка програмного забезпечення та проведення обчислюваних експериментів. У роботі [7] дисертанту належить чисельне розв'язування задач стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні, О.Р. Демковичу - чисельне моделювання руху потоків в насиченій зоні ґрунту, П.С. Венгерському - участь в обговоренні та аналізі чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювалися на Всеукраїнській конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1999), на Всеукраїнських конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2000 - 2003); на Міжнародній науковій конференції “Геоінформаційні технології сьогодні” (Львів, 1999), на Міжнародній науковій конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001), на Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2002).

В повному обсязі робота доповідалась на семінарах кафедр інформаційних систем і дискретного аналізу та інтелектуальних систем Львівського національного університету імені Івана Франка, на семінарі “Моделювання та оптимізація систем з неповними даними” при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, на семінарі відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАН України, на семінарі відділу чисельних методів математичної фізики ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України, на загальноінститутському науковому семінарі ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано п'ять статей у фахових виданнях з Переліку ВАК України [1-5], тези трьох доповідей на міжнародних наукових конференціях [7, 9, 14] та тези п'яти доповідей на всеукраїнських наукових конференціях [8, 10-13].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 55 рисунків і 5 таблиць, висновків і списку використаних джерел, що охоплює 205 найменувань та займає 19 сторінок. Загальний обсяг дисертації - 123 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ присвячений огляду моделей гідродинаміки, які отримуються із системи рівнянь Нав'є-Стокса. Особлива увага приділяється спрощеним моделям руху рідини з перевагою горизонтальних масштабів над вертикальними (умови мілкої води). Виходячи з цих моделей, розглянуто задачі стоку мілкої води з урахуванням різних граничних умов.

Далі розглянуто застосування чисельних методів для розв'язування рівнянь мілкої води, зокрема використання МСЕ. Наведено відомі стабілізаційні схеми МСЕ для уникнення осциляцій, які виникають при розв'язуванні рівнянь мілкої води з великими значеннями чисел Рейнольдса.

Другий розділ присвячений побудові уточнених постановок початково-крайових та варіаційних задач стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях. Проведено усереднення безрозмірних рівнянь Нав'є-Стокса та їх спрощення в умовах мілкої води. При цьому збережено всі складові напружень в рівняннях руху.

Спрощена модель стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні описується системою безрозмірних рівнянь:

(1)

де h - невідома глибина стоку, q=(q₁, q₂) - невідомий вектор потоку, - рівняння рельєфу донної поверхні, - густина рідини, Re - число Рейнольдса, _ij - тензор напружень, - в'язкість рідини, С - коефіцієнт Шезі, g - прискорення вільного падіння,

G=g,

L - характерний просторовий розмір, - характерна швидкість, R - дощовий притік, І - інфільтрація рідини в грунт.

Розглянемо стік води з поверхні водозбору в проекції на горизонтальну площину х₁0х₂ (рис. 1). Тут - двовимірна область обмежена кривою Г_в (лінія водорозділу) та Г_р (лінія витоку рідини); n, - нормаль та дотична до межі області відповідно.



Рис. 1. Проекція стоку мілкої води на горизонтальну площину.

Рівняння системи (1) доповнюються крайовими умовами

(2)

та початковими умовами

, в ,(3)

де - відомий витік рідини.

Для формулювання варіаційної постановки початково-крайової задачі (1)-(3) введемо множину допустимих функцій для потоків

та простір

Q₀ = Q(0).

Простором допустимих функцій для глибин вибрано

Ф: = L²().

Потік будемо шукати у вигляді

з невідомою , на Г_р. Далі, для простоти запису, будемо вживати замість позначення q.

Введемо наступні форми

(4)

Тоді, враховуючи (4), варіаційна постановка початково-крайової задачі (1) - (3) набуде вигляду

(5)

де і - доданки відповідно першого та другого рівнянь системи, які утворюються складовими потоку .

Регуляризовані рівняння стоку мілкої води в наближенні кінематичної хвилі взято у вигляді

(6)

Де

m=3/2,

,

,

= (x₁, x₂)

- функція рельєфу поверхні стоку.

Доповнимо систему рівнянь (6) наступними крайовими умовами

(7)

та початковою умовою

в .(8)

Для початково-крайової задачі стоку мілкої води в наближенні кінематичної хвилі (6) - (8) побудовано варіаційну постановку у вигляді

(9)

Де

У третьому розділі для сформульованих варіаційних задач (5) та (9) будуються проекційно-сіткові схеми з використанням МСЕ та однокрокових рекурентних схем для дискретизації задач в часі.

У підрозділі 3.1 розглядається задача (5) стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні. Для дискретизації в часі відрізок часу [0,T] поділяється на N_T +1 однакові частини [t_k, t_k+1] завдовжки t і вибираються апроксимації для глибини та потоків у вигляді

,(10)

,(11)

де , , k=0, …, N_T.

Підставляючи подання (10) - (11) у варіаційну задачу (4) та нехтуючи доданками порядку (t)², отримано лінеаризовану задачу у вигляді однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі

Де

F_k+1/2 = F(t_k + t/2),

V_k+1/2 = V(t_k + t/2),

s_k+1/2 = s(t_k + t/2).

При дискретизації задачі (12) за просторовими змінними використано кусково-лінійні апроксимації на трикутних елементах для потоків та кусково-постійні апроксимації глибин. Такий вибір апроксимацій дозволяє за допомогою конденсації внутрішніх параметрів виключити з розгляду глибину стоку і отримати результуючу систему лінійних рівнянь лише відносно вектора потоку.

При великих значеннях чисел Рейнольдcа (Re>100) потоки та їх градієнти різко змінюються, в результаті чого отриманий розв'язок задачі стоку мілкої води втрачає свою стійкість та з'являються “паразитичні” осциляції. На цей випадок побудовано стабілізаційну схему МСЕ, що базується на функціях-бульбашках із використанням методу найменших квадратів. Оскільки глибина рідини вважається сталою на одному скінченному елементі, то вона на поведінку розв'язку не впливає. В системі (12) стабілізаційний доданок додається лише до рівнянь для знаходження складових потоку у вигляді

,

де М_е - стабілізаційний множник на кожному скінченному елементі.

Для стабілізаційного множника М_е використовується верхня оцінка ₀, побудована у цій роботі для апроксимаційної схеми рівнянь Нав'є-Стокса у вигляді

,(13)

де - площа скінченного трикутного елемента,

,

l_i - довжина сторони трикутника (i=1, 2, 3),

е = div w,

w - відома швидкість з попереднього кроку, k - кінематична в'язкість рідини.

У підрозділі 3.2 проведено дискретизацію варіаційної задачі стоку мілкої води в кінематичному наближенні (9) в часі та за просторовими змінними за аналогією до підрозділу 3.1. Побудована лінеаризована однокрокова рекурентна схема інтегрування в часі має вигляд

(14)

Де

l_k+1/2 = l(t_k + t/2).

Дискретизація задачі (14) за просторовими змінними проводилась за допомогою кусково-лінійних апроксимацій глибини на трикутних елементах.

У четвертому розділі досліджено стійкість та збіжність побудованих рекурентних схем для задач стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях. Проведено аналіз чисельних результатів.

У підрозділі 4.1 задача стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні записана у розмірному вигляді і для неї доведена теорема про стійкість однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі:

Теорема 4.1. Нехай дані варіаційної задачі (5) задовольняють умови

Тоді однокрокова рекурентна схема (12) з параметром =1/2 є безумовно стійка по відношенню до t в просторі Н.

Доведено теорему про стійкість рекурентної схеми для задачі стоку рідини в наближенні кінематичної хвилі:

Теорема 4.2. Нехай дані варіаційної задачі (9) задовольняють умови

тоді однокрокова рекурентна схема (14) з параметрами t та :

безумовно стійка по відношенню до t в просторах H та V, якщо параметр задовольняє нерівності 1/2;

стійка в просторах H та V, якщо

0<1/2

і при цьому вибір t підпорядкований умов

і , = const > 0.

Для дослідження збіжності однокрокової рекурентної схеми задачі стоку мілкої води в кінематичному наближенні доведена наступна теорема:

Теорема 4.3. Нехай розв'язок h(t) задачі (9) такий, що hC³(0,T;V), - його кусково-лінійна апроксимація, побудована за однокроковою рекурентною схемою (14). Тоді при =1/2 однокрокова рекурентна схема (14) має другий порядок апроксимації, при 1/2 - перший порядок апроксимації.

У підрозділі 4.2 проведено аналіз отриманих чисельних результатів для моделі стоку рідини в наближенні кінематичної хвилі. Зроблено обчислення на тестових прикладах із різними дощовими притоками та рельєфами поверхні. При розв'язуванні задачі кінематичної хвилі на поверхнях із складним рельєфом спостерігаються осциляції розв'язку. Наведено результати регуляризованої моделі. Обчислено порядки збіжності чисельних результатів за просторовими та часовою змінними, а також абсолютна та відносна похибки розв'язку.

У підрозділі 4.3 проведено аналіз чисельних результатів для задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні. Обчислення проводяться при різних значеннях чисел Рейнольдса. При великих значеннях чисел Рейнольдса розв'язок втрачає свою стійкість та виникають осциляції. Побудована стабілізаційна модель апробована на тестових та реальних зображеннях рельєфу поверхні стоку із заданим дощовим притоком. Для отриманих чисельних результатів обчислені порядки збіжності та відносні похибки. Наведено порівняння двох моделей - стоку рідини у гідродинамічному та кінематичному наближеннях при заданні приблизно однакових початкових та крайових умов.

П'ятий розділ присвячений програмній реалізації побудованих чисельних схем з використанням об'єктної моделі “дані-операції-класи операцій”.

У підрозділі 5.1 описується концепція об'єктної моделі “дані-операції-класи операцій”. Використовуючи цю модель, створюються необхідні класи “даних”, класи “операцій” та класи “класів операцій”. Далі, застосовуючи об'єкти створених класів, описуються алгоритми для розв'язання поставленої задачі. При описі алгоритму не фіксуються конкретні операції, що будуть застосовуватись до даних, а лише визначається, до якого класу ця операція має належати. Такий підхід дає можливість описувати алгоритм у загальному вигляді, не звертаючи увагу на особливості конкретних задач, та легко розширити функціональність створеного програмного забезпечення лише за рахунок додавання/зміни операцій.

Для розв'язування сформульованих у роботі початково-крайових задач можна застосовувати вже існуючі математичні пакети, зокрема Reduce, Mathematica, MathCad, тощо. Проте вони дозволяють оперувати лише вбудованими в ці пакети функціями, а можливості їх внутрішніх мов є обмеженими. Використання ж описаного вище об'єктного підходу ніяк не обмежує функціональності майбутніх програм та дозволяє легко розширити чи модифікувати програмне забезпечення.

У підрозділі 5.2 описано алгоритми реалізації об'єктної моделі. Усі дані та операції створювались на базі об'єктів мови Object Pascal у середовищі Delphi 5.0. Наведено структуру програмного забезпечення та інтерфейси для введення початкових даних та граничних умов.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - побудові уточнених постановок початково-крайових і варіаційних задач мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях, розробці проекційно-сіткових схем їх дискретизації в часі та за просторовими змінними з використанням трикутних скінченних елементів, створенню стабілізаційних схем МСЕ.

Основні результати виконаної роботи полягають у наступному:

Виходячи із рівнянь Нав'є-Стокса шляхом їх усереднення за глибиною потоку та збереженням усіх складових напружень в рівняннях руху побудовано уточнені постановки початково-крайових та варіаційних задач стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях відносно невідомої глибини h та вектора потоку q.

Розроблено чисельні схеми з використанням трикутних скінченних елементів для дискретизації задач за просторовими змінними та однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі. Дискретизація за просторовими змінними задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні проводилась з використанням кусково-лінійних апроксимацій для потоків та кусково-постійних - для глибин. У кінематичному наближенні вибирались кусково-лінійні апроксимації глибин.

Проведено дослідження стійкості отриманих однокрокових рекурентних схем. Оцінка швидкості збіжності рекурентної схеми стоку рідини в кінематичному наближенні зроблена для вихідної нелінійної варіаційної задачі.

Розроблено стабілізаційну схему МСЕ для дискретизованої в часі задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні при великих значеннях чисел Рейнольдса, яка базується на використанні функцій-бульбашок та методу найменших квадратів. Зроблена верхня оцінка стабілізаційного множника для рівнянь Нав'є-Стокса.

Проведено дослідження та аналіз збіжності чисельних розв'язків побудованих моделей за часовою та просторовими змінними. Обчислено абсолютну та відносну похибки отриманих значень потоків та глибини.

Розроблено програмне забезпечення для реалізації побудованих чисельних схем з використанням об'єктно-орієнтованого підходу, яке апробоване на тестових і реальних зображеннях рельєфу поверхні стоку.

Розвинуті у дисертаційній роботі математичні моделі і методи можуть бути використані для дослідження довгохвильових процесів в задачах океанології, гідравліки, акустики, метеорології, газової динаміки, сейсмології та інших.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Венгерський П.С., Трушевський В.М. Чисельне дослідження регуляризованої задачі мілкої води в кінематичному наближенні // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2003. - № 6. - С.116-125.

Венгерський П.С., Трушевський В.М. Чисельне моделювання мілкого схилового стоку в кінематичному наближенні // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 1999. - № 1. - C.44-49.

Венгерський П.С., Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А. Стабілізація чисельного розв'язку варіаційної задачі стоку мілкої води // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2002. - № 4. - С.102-109.

Венгерський П.С., Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А. Чисельне розв'язування варіаційних задач поверхневого стоку // Вісник Київ. ун-ту. Сер. кібернет. - 2002. - № 3. - С.26-30.

Трушевський В.М. Математичне моделювання стоку мілкої води по поверхні водозбору: побудова моделі // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. - 2000. - № 3 - С.139-145.

Венгерський П.С., Трушевський В.М. Побудова математичної моделі стоку вологи по поверхні водозбору // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. - Львів: Ліга-Прес. - 2000. - C.239-242.

Венгерський П.С., Демкович О.Р., Трушевський В.М. Чисельне моделювання руху потоків вологи на поверхні та в насиченій зоні грунту // Міжнар. конф. “Обчислювальна та прикладна математика”: Тези доп. - Київ. - 2002. - С.25.

Венгерський П.С., Трушевський В.М. Дослідження стійкості рекурентної схеми розв'язування задачі стоку мілкої води // Десята всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”: Тези доп. - Львів. - 2003. - С.33.

Венгерський П.С., Трушевський В.М. Чисельне дослідження рівнянь стоку мілкої води по поверхні водозбору // Міжнар. конф. “Моделювання та оптимізація складних систем”: Тези доп. - Київ. - 2001. - C.16.

Венгерський П.С., Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А. Стабілізація чисельного розв'язку варіаційної задачі стоку мілкої води // Восьма Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”: Тези доп. - Львів. - 2001. - С.20.

Венгерський П.С., Трушевський В.М., Шинкаренко Г.А. Чисельне розв'язування схилового стоку мілкої води в наближенні кінематичної хвилі // Шоста Всеукр. наук. конф. “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”: Тези доп. - Львів. - 1999. - C.14-15.

Трушевський В.М. Математичне моделювання задач стоку мілкої води з поверхні водозбору // Дев'ята Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”: Тези доп. - Львів. - 2002. - С.125-126.

Трушевський В.М. Математичне моделювання стоку мілкої води по поверхні водозбору // Сьома Всеукр. наук. конф. “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”: Тези доп. -Львів.-2000.-С.83-84.

Трушевський В. М. Чисельне моделювання схилового стоку мілкої води в наближенні кінематичної хвилі // Міжнар. наук.-практ. конф. “Геоінформаційні технології сьогодні”: Тези доп.: - Львів. - 1999. - С.34.

АНОТАЦІЯ

Трушевський В.М. Чисельне моделювання стоку мілкої води з поверхні водозбору. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

Дисертація присвячена моделюванню та дослідженню задач стоку мілкої води у гідродинамічному та кінематичному наближеннях. Рівняння стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні були отримані з рівнянь руху Нав'є-Стокса з урахуванням всіх складових тензора напружень. Для стоку рідини в кінематичному наближенні розглянута регуляризована модель. Побудовані уточнені постановки початково-крайових задач розв'язувались з використанням проекційно-сіткової схеми МСЕ. Для дискретизації задач в часі була використана однокрокова рекурентна схема. Проведено дослідження стійкості отриманих однокрокових рекурентних схем та оцінки швидкості збіжності рекурентної схеми для задачі стоку рідини в кінематичному наближенні. Дискретизація за просторовими змінними проводилась використовуючи кусково-лінійні апроксимації на трикутних елементах. Для покращення розв'язку при великих значеннях чисел Рейнольдcа (Re>100) в задачі стоку мілкої води у гідродинамічному наближенні запропоновано стабілізаційну схему МСЕ. Проведено оцінку стабілізаційного множника.

Проведено дослідження та аналіз збіжності чисельних розв'язків побудованих моделей за часовою та просторовими змінними. Обчислено абсолютну та відносну похибки отриманих значень потоків і глибини. Перевірено закон збереження маси рідини.

Програмна реалізація побудованих чисельних схем розроблена з використанням об'єктно-орієнтованого підходу. Програмне забезпечення апробоване на тестових та реальних зображеннях рельєфу поверхні стоку.

Ключові слова: рівняння Нав'є-Стокса, мілка вода, гідродинамічне наближення, кінематичне наближення, потік, глибина, метод скінченних елементів, рекурентна схема, число Рейнольдса, стабілізаційна схема МСЕ.

АННОТАЦИЯ

Трушевский В.М. Числовое моделирование стока мелкой воды с поверхности водосбора. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт прикладных проблем механики и математики имени Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.

Диссертация посвящена моделированию и исследованию задач стока мелкой воды в гидродинамическом и кинематическом приближениях. Уравнения стока мелкой воды в гидродинамическом приближении были получены из уравнений движения Навье-Стокса с учетом всех составных тензора напряжений. В задаче стока мелкой воды в гидродинамическом приближении неизвестными выступают глубина стока и составляющие вектора потока. Для стока жидкости в кинематическом приближении рассматривалась регуляризированная модель. В кинематическом приближении неизвестной выступает только глубина стока. Полученные уточненные постановки начально-краевых задач решались с использованием проекционно-сеточной схемы метода конечных элементов (МКЭ). Для дискретизации задач во времени была использована одношаговая рекуррентная схема. На этапе дискретизации по времени проводилась линеаризация задач. Проведены исследования устойчивости полученных одношаговых рекуррентных схем и оценки скорости сходимости рекуррентной схемы для задачи стока жидкости в кинематическом приближении. Доказательство сходимости и устойчивости рекуррентной схемы задачи стока мелкой воды в кинематическом приближении сделано для выходной нелинейной вариационной задачи. Дискретизация по пространственным переменным проводилась, используя кусочно-линейные аппроксимации на треугольных элементах. Аппроксимации для составляющих вектора потока и глубины выбирались таким образом, чтобы получить самую простую численную схему. Такой выбор аппроксимаций для модели стока мелкой воды в гидродинамическом приближении позволил исключить глубину стока из системы уравнений на каждом конечном элементе. Таким образом, это значительно ускоряет вычислительный процесс и приводит к уменьшению компьютерного времени вычислений. При больших числах Рейнольдса (Re>100) решения задач могут иметь внутренние и приграничные слои - очень узкие области, где решения и их градиенты резко изменяются, вследствие чего численные решения, полученные по схеме Гальоркина, могут сильно осциллировать во всей области определения. Для улучшения решения в задаче стока мелкой воды в гидродинамическом приближении разработана стабилизационная схема МКЭ, которая базируется на функциях-пузырьках и методе наименьших квадратов. Сделана оценка стабилизационного множителя для уравнений Навье-Стокса.

Проведены исследование и анализ сходимости численных решений построенных моделей по временной и пространственным переменным. Посчитана абсолютная и относительная погрешности полученных значений потоков и глубины. Проверен закон сохранения массы жидкости.

Программная реализация полученных численных схем разработана с использованием объектно-ориентированного подхода. Программное обеспечение апробировано на тестовых и реальных рельефах поверхности стока.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, мелкая вода, гидродинамическое приближение, кинематическое приближение, поток, глубина, метод конечных элементов, рекуррентная схема, число Рейнольдса, стабилизационная схема МКЭ.

ABSTRACT

Trushevsky V.M. Numerical modelling of shallow-water flow from a columbine surface. - Manuscript.

Thesis for attaining of academic degree of Physical and Mathematical Sciences on the speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computational methods. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 2004.

The thesis is dedicated to simulation and research of a shallow water flow problems in hydrodynamic and kinematic approximations. The shallow water flow equations were obtained from general Navier-Stokes equations of motion the take into consideration all components of stress tensor. The regularizing model was reviewed for a flow of fluid in kinematic approximation. The obtained initially-boundary value problems were solved with usage of projective-grid schemes of a finite element method (FEM). The one-step recurrent scheme was used for discretization of problems through time. The researches of one-step recurrent schemes stability, estimation of rate of convergence of the recurrent scheme for problem of a shallow water flow in kinematic approximation were carried out. The discretization according to space variables was conducted with a help of piece-linear approximations on triangular elements. Stabilization scheme of FEM was offered for better solution-making at large values of a Reynold's number (Re > 100) for problems of shallow water flow in hydrodynamic approximation. The estimation of a stabilization factor was conducted.

The researches and analysis of convergence of numerical solutions by time and space variables were conducted. The absolute and relative errors of the obtained values of flows and depth were counted. The law of conservation of mass was tested.

The programmatic implementation of the obtained numerical schemes is designed with usage of the object-oriented approach. The software was approved on test and original images of relief of a surface flow.

Key words: Navier-Stokes equations, shallow water, hydrodynamic approximations, kinematic approximations, flow, depth, finite element method, recurrent scheme, Reynold's number, stabilization scheme of FEM.

Підписано до друку 01.06.2004р.

Формат 6090 1/16

Папір офсетний. Умовн. друк. арк. 0.9

Тираж 100 прим. Зам. №

Надруковано у видавничому центрі

Львівського національного університету імені Івана Франка

79000, м. Львів, вул. Дорошенка, 41

Размещено на Allbest.ru

...