Голоморфні майже періодичні функції у різних метриках
Дослідження зв'язку між розташуванням спектра майже періодичних функцій багатьох змінних і можливістю їх аналітичного продовження в трубчасту область із конусом в основі. Характеристика аналогів теореми Бора про голоморфну обмежену функцію в смузі.
Рубрика | Математика |
Вид | автореферат |
Язык | украинский |
Дата добавления | 28.07.2014 |
Размер файла | 29,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Вступ
Актуальність теми. Дослідження з майже періодичних функцій беруть початок з роботи Ж.Л. Лагранжа (1778 р.), в якій було поставлено й вирішено в окремому випадку питання про наявність середнього руху в узагальненому тригонометричному поліномі. Але основи названої теорії були закладені в публікаціях Г. Бора у 1924-1944 рр. Подальший розвиток вона одержала в роботах А.С. Безиковича, Н.Н. Боголюбова, С. Бохнера, Г. Вейля, Н. Вінера, А.С. Кованька, М.Г. Крейна, Б.Я. Левіна, Б.М. Левітана, В.А. Марченка, Дж. фон Неймана, В.В. Степанова та ін. Зокрема В.В. Степанов, Г. Вейль, А.С. Безикович розглядали майже періодичні функції не в рівномірній метриці, як у Бора, а майже періодичні щодо тієї чи іншої інтегральної метрики.
Своє застосування майже періодичні функції знайшли в теорії диференціальних рівнянь як звичайних, так і в частинних похідних, у нескінченновимірних еволюційних рівняннях та теорії чисел; це стосується як функцій, майже періодичних щодо рівномірної метрики, так і майже періодичних функцій у різних інтегральних метриках.
Одночасно з теорією майже періодичних функцій на прямій Г. Бор та Б. Йессен розвивали теорію голоморфних майже періодичних функцій у смузі. Слід відзначити також фундаментальну роботу Б. Йессена й Г. Торнехава (1945 р.). Ці дослідження не дозволили розв'язати, як очікувалось, проблему Рімана про корені ж-функції, але допомогли виявити ряд специфічних властивостей голоморфних майже періодичних функцій.
Вивчення голоморфних майже періодичних функцій було продовжено Б.Я. Левіним, М.Г. Крейном, М.Г. Любарським, а останнім часом і Г. Торнехавом, Л.І. Ронкіним, О.Ю. Рашковським, С.Ю. Фаворовим, В. В. Бритиком, Н.Д. Парфьоновою. Слід відзначити роботи Х. Бауермайстера, який, на відміну від своїх попередників, розглядав голоморфні функції у смузі, майже періодичні відносно метрики Безиковича. Його результати стали в нагоді при вивченні властивостей рядів Діріхле.
Дослідження голоморфних майже періодичних функцій багатьох змінних почалося наприкінці минулого століття в роботах Л.І. Ронкіна та його учнів Рашковського О.Ю. й Фаворова С.Ю. Але при цьому об'єктом уваги були тільки голоморфні майже періодичні функції в рівномірній метриці та розподіл їх нульових множин. Залежність же між спектром майже періодичних функцій багатьох змінних і можливістю їх обмеженого аналітичного продовження до сьогодні не розглядалися.
Тому представляється актуальним і природним подальше досліджувати голоморфні майже періодичні функції багатьох змінних і поширити основні факти теорії голоморфних майже періодичних функцій у смузі на голоморфні функції в трубчастій області, майже періодичні в різних метриках.
Мета й задачі дослідження. Метою дисертації є теоретичне обґрунтування та розробка певних напрямків теорії голоморфних майже періодичних функцій.
Об'єкт дослідження - майже періодичні функції.
Предметом дослідження являються властивості голоморфних функцій у трубчастій області (чи смузі), які майже періодичні щодо рівномірної метрики, метрики Степанова, Вейля та Безиковича в самій трубчастій області чи її частині.
Основні задачі дослідження такі:
- описати зв'язки між класами функцій, голоморфних у смузі й у трубчастій області й майже періодичних у рівномірній метриці, метриках Степанова, Вейля та Безиковича;
- поширити теорему Бора про те, що голоморфна обмежена функція в смузі, майже періодична на одній прямій, є майже періодичною у всій смузі, на метрики Степанова, Вейля, Безиковича й на функції голоморфні в трубчастій області;
- з'ясувати зв'язок між розташуванням спектра майже періодичних функцій багатьох змінних і можливістю їх аналітичного продовження в трубчасту область із конусом в основі;
- довести, що майже періодична функція в скінченновимірному просторі має обмежений спектр тоді і тільки тоді, коли вона продовжується до цілої функції багатьох змінних експоненціального типу.
Методами дослідження є методи комплексного та опуклого аналізу та теорії потенціалу.
Наукова новизна одержаних результатів:
- вперше описано зв'язки між класами голоморфних функцій у трубчастій області, що майже періодичні в рівномірній метриці, метриках Степанова, Вейля й Безиковича;
- вперше отримано багатовимірні аналоги теореми Бора про те, що голоморфна обмежена функція в смузі, майже періодична на одній прямій, є майже періодичною у всій смузі;
- вперше вивчено зв'язок між розташуванням спектра майже періодичних функцій багатьох змінних і можливістю їх аналітичного продовження в трубчасту область з конусом в основі;
- вперше описано майже періодичні функції багатьох змінних з обмеженим спектром як майже періодичні функції, що допускають продовження до цілих функцій експоненціального типу.
1. Результати, що мають відношення до теми роботи та напрямок дослідження
Подаються результати про майже періодичні функції на прямій і в смузі, що належать в основному Г. Бору, а також описуються властивості голоморфних майже періодичних функцій у смузі.
Теорема 1.2.1. Функція f(z) є рівномірною майже періодичною в замкненій смузі П[б,в] тоді і тільки тоді, коли f(z) можна рівномірно в П[б,в] апроксимувати сумами вигляду:
, (1)
де an(y) - неперервні функції на [б,в].
Аналогічно, функція f є майже періодичною функцією у відкритій смузі П(a,b) тоді і тільки тоді, коли вона є рівномірною межею сум (1) у кожній замкненій смузі П[б,в], .
Теорема 1.1.9. Функція f(x) на R є d- майже періодична функція тоді і тільки тоді, коли f(x) можна апроксимувати в метриці d сумами вигляду:
, , . (2)
Голоморфні майже періодичні функції у смузі в порівнянні з неперервними майже періодичними функціями мають деякі специфічні властивості.
Теорема 1.2.3. Ряд Фур'є голоморфної майже періодичної функції f(z) можна записати як ряд Діріхле:
(3)
де .
Заміна рівномірної метрики на метрику Степанова у означенні рівномірної майже періодичної функції не змінює класу голоморфних майже періодичних функцій.
Теорема 1.2.6. Нехай функція f(z) голоморфна в смузі П(a,b) й обмежена в будь-якій смузі П[б,в], . Припустимо, що на прямій y=y0 (a<y0<b) функція f(x+iy0) є рівномірною майже періодичною функцією. Тоді f(z) - рівномірна майже періодична функція в П(a,b).
Звернемося до теорем, у яких є обмеження на спектр.
Теорема 1.2.9. Нехай ряд Діріхле (3) має від'ємні показники лn. Припустимо, що для деякого y=a ряд (3) є рядом Фур'є рівномірної майже періодичної функції fa(x). Тоді існує рівномірна майже періодична в смузі П(-?,а] і голоморфна в смузі функція, яка на прямій y=a співпадає з функцією fa(x), має своїм рядом Діріхле ряд (3) і при прямує рівномірно по до нуля.
Справедливою є і зворотна теорема.
Подаються результати Х. Бауермайстера про голоморфні майже періодичні функції за Безиковичем в смузі.
Подаються результати Л.І. Ронкіна про майже періодичні функції на трубчастій множині й голоморфні майже періодичні функції у трубчастій області простору Cm.
Нехай K - компакт в Rm. Для обмежених неперервних функцій f і g на TK покладемо:
. (4)
Означення 1.4.1. Функція f(z), неперервна на множині TK, називається рівномірною майже періодичною на , якщо для кожного е>0 можна вказати таке l=l(е), що в кожному m_вимірному кубі в Rm зі стороною l знайдеться хоча б одне ф, котре є е-майже періодом, тобто
Простір таких функцій будемо позначати через UK, а самі функції назвемо -майже періодичними.
Теорема 1.4.8. Функція тоді і тільки тоді, коли її можна апроксимувати в метриці скінченними експоненціальними сумами вигляду:
,
де an(y) - неперервні функції на K.
Позначимо через HUD простір функцій, голоморфних у трубчастій області TD, D - опукла область у Rm, таких, що їх звуження на будь-яку множину вигляду TK, де K - компакт у D, є функцією з простору UK.
Наводяться необхідні поняття із опуклого аналізу й теорії субгармонійних і плюрисубгармонійних функцій.
2. Майже періодичні функції на трубчастій області у різних метриках
досліджуються функції на трубчастій множині та в трубчастій області, майже періодичні у метриках Степанова, Вейля та Безиковича. Вводяться та вивчаються функції на трубчастих множинах.
Означення 2.1.1. Функцію f(z), , назвемо d-майже періодичною на TK , якщо її можна апроксимувати в метриці d скінченними експоненціальними сумами:
,
де - скалярний добуток у Rm, , а ak(y) - неперервні функції на K.
Таким чином, кожній функції , чи можна поставити у відповідність ряд Фур'є , причому a(л) є неперервні функції від y і спектр не більший за злічений.
Вивчаються функції, голоморфні в трубчастій області TD, де D - опукла область в Rm.
Для функцій із цих просторів ряд Фур'є перетворюється в ряд Діріхле:
, . (5)
Теорема 2.2.2 (аналог теореми 1.2.2.). Простори HUD і при кожному співпадають.
Неважко переконатися у справедливості вкладень:
, при .
Доводиться, що зазначені вкладення є істотно строгими.
Теорема 2.3.3. Для будь-яких існує така, що будь-яка функція g, еквівалентна f у просторі при деякому r>0, не належить до простору .
3. Голоморфні функції в трубчастій області, майже періодичні на її частині
Теорема 3.2.1. Нехай f(z) - голоморфна функція в трубчастій області TD з опуклою основою . Якщо функція f(z) обмежена щодо метрики d на TK для кожного компакта і при цьому f(z) - d-майже періодична функція на площині , то f(z) - d-майже періодична функція на TK для кожного компакта .
Теорема 3.3.4. Нехай наданий ряд Діріхле (3) і для кожного y=yj, j=1,..,N, існують d-майже періодичні функції fj(x), ( чи ) з рядами Фур'є вигляду:
. (6)
Тоді на множині існує d-майже періодична функція F(x+iy) з рядом Фур'є (6).
4. Голоморфні майже періодичні функції з обмеженням на спектр
Поширюються на функції багатьох змінних теореми 1.2.9.-1.2.12. про зв'язок між поведінкою голоморфної майже періодичної функції та розташуванням її спектра.
Теорема 4.1.1. Нехай f(x) - -майже періодична функція в Rm із рядом Фур'є:
, (7)
причому всі показники лn належать до замкненого опуклого конуса . Тоді f(x) неперервно продовжується до -майже періодичної функції F(z) на трубчастій множині з рядом Фур'є Функція F(z) голоморфна у внутрішності ; при цьому для будь-якого рівномірно по :
(8)
де a0 - коефіцієнт Фур'є при показнику л0=0 (якщо , то вважаємо a0=0). Якщо , то (8) виконується рівномірно по .
В останньому підрозділі дисертації теореми 1.2.11. і 1.2.12. поширюються на багатовимірні комплексні змінні.
Теорема 4.3.2. Нехай F(z) - ціла функція в Cm, при цьому F(x), - d-майже періодична функція, чи , із рядом Фур'є (10). Тоді F(z) - рівномірна майже періодична функція на будь-якій трубчастій множині в Cm з обмеженою основою, має ряд Діріхле (12) та .
Висновки
періодичний трубчастий голоморфний обмежений
У дисертації одержано нові результати про майже періодичні в різних інтегральних метриках функції на трубчастій множині й у трубчастій області. Доведено існування середнього значення для таких функцій, причому у випадку метрик Степанова та Вейля воно існує рівномірно щодо зсуву. Для майже періодичних функцій у різних метриках побудовано ряди Фур'є, при цьому зазначено, що для голоморфних майже періодичних функцій у трубчастій області ряд Фур'є перетворюється в ряд Діріхле з постійними коефіцієнтами. Встановлено, що майже періодична функція апроксимується у відповідній метриці сумами Бохнера-Фейера свого ряду Фур'є. Доведено співпадання просторів голоморфних функцій, майже періодичних у метриці Степанова із простором голоморфних функцій, майже періодичних у рівномірній метриці, а також співпадання просторів голоморфних функцій, майже періодичних у метриках Вейля різних порядків. Наведено приклади голоморфних майже періодичних функцій, які пересвідчують, що простір голоморфних майже періодичних функцій у метриці Вейля істотно ширший за простір голоморфних майже періодичних функцій у метриці Степанова й істотно вужчий за простір голоморфних майже періодичних функцій у метриці Безиковича. Крім того, простори голоморфних майже періодичних функцій у метриках Безиковича різних порядків істотно різні.
Доведено, що з обмеженості голоморфної функції у трубчастій області в тій чи іншій метриці та майже періодичності (у тій же метриці) на одній дійсній гіперплощині в трубчастій області виходить майже періодичність у цій метриці у всій трубчастій області. Вказано на умови, за яких гіперплощина, де функція майже періодична, може належати до межі трубчастої області. Для функцій, що мають скінченний порядок зростання в трубчастій області, умову обмеженості у будь-якій меншій трубчастій області можна замінити на умову обмеженості на кожній дійсній гіперплощині. Для таких функцій тільки з майже періодичності на скінченній системі гіперплощин виходить майже періодичність на їх опуклій оболонці. Для випадку рівномірної метрики й метрики Степанова доведено, що якщо ряди Фур'є функцій, майже періодичних на системі дійсних гіперплощин, певним чином погоджені, то ці функції допускають майже періодичне продовження всередину опуклої оболонки цієї системи гіперплощин, і це продовження голоморфне у внутрішності опуклої оболонки.
Показано, що якщо спектр майже періодичної функції належить деякому конусу, то ця функція продовжується як голоморфна обмежена функція в трубчасту область із спряженим конусом в основі. Далі, якщо майже періодична функція в скінченновимірному просторі продовжується як голоморфна обмежена функція в трубчасту область із конусом в основі, то її спектр належить до спряженого конуса. Зазначено, що спектр рівномірної майже періодичної функції чи майже періодичної функції за Степановим обмежений тоді і тільки тоді, коли ця функція продовжується до цілої функції експоненціального типу, описано зв'язок її P-індикатора з опорною функцією спектра.
Література
1. Фаворов С., Удодова О. Аналітичні майже періодичні функції у метриці Безиковича // Вісник Львівського університету. Серія мех.-мат. - 2000. - Вип. 58. - С. 41-47.
2. Удодова О. Голоморфные почти периодические функции в трубчатой области // Вісник Харківського університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка” - 2001. - Вип. 51. - № 542. - С. 96-105.
3. Favorov S.Yu., Udodova O.I. Almost periodic functions in finite-dimensional space with the spectrum in a cone // Математична фізика, аналіз, геометрія. - 2002. - Вип. 9. - №. 3. - С. 465-477.
4. Удодова О. Голоморфные почти периодические функции в различных метриках // Вісник Харківського університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2003. - Вип. 52. - № 582. - С. 90-107.
5. Udodova O.I. Almost periodic in Besikovitch's sense analytic functions // Материалы Международной научной конференции “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений”. - Минск, Беларусь. - 2001. - C. 165.
6. Udodova O.I. Holomorphic Almost Periodic Functions in Various Metrics // Матеріали Міжнародної наукової конференцiп "Комплексний аналіз i теорія потенціалу" - Київ. - 2001. - C. 58-59.
7. Udodova O.I. Holomorphic Uniformly Almost Periodic Functions in a Tube Domain // Матеріали IX-п Міжнародної наукової конференцii iм. М.Ф. Кравчука. - Кипв. - 2002. - C. 382.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011Суть функції багатьох змінних, її означення і символіки. Границя і неперервність функції багатьох змінних. Визначення відкритої та замкненої області. Множина точок площини, для яких задана формула має зміст, як область визначення. Функція двох змінних.
реферат [289,8 K], добавлен 01.05.2011Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Теоретичні відомості з курсу числення функцій однієї та багатьох змінних, наглядні приклади та вправи з розв’язанням. Тренувальні вправи для розв’язання на практичних заняттях і самостійної роботи. Зразки контрольних робіт з кожної розглянутої теми.
учебное пособие [487,6 K], добавлен 10.04.2009Отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. Випадок класів, які задаються обмеженнями на декілька похідних. Означення екстремальної функції, її властивості.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 11.06.2017Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011Формулювання задачі мінімізації. Мінімум функції однієї та багатьох змінних. Прямі методи одновимірної безумовної оптимізації: метод дихотомії і метод золотого перерізу. Метод покоординатного циклічного спуску. Метод правильного і деформованого симплексу.
курсовая работа [774,0 K], добавлен 11.08.2012Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015Означення модуля неперервності та його властивості. Дослідження поведінки найкращих наближень неперервної функції алгебраїчними многочленами на базі властивостей введених Діціаном і Тотіка. Вирішення оберненої задачі. Узагальнення теореми Джексона.
курсовая работа [1016,1 K], добавлен 09.07.2015Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011Поняття нормованого простору: лінійний простір, оператор, безперервний та обмежений оператор. Простір функцій. Інтеграл Лебега-Стилтьеса. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій. Теореми Марцинкевича та Рисса-Торина. Простір сумуємих послідовностей.
курсовая работа [407,3 K], добавлен 16.01.2011Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 02.09.2011Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Історія створення і різні формулювання теореми Піфагора як актуальної математичної задачі, спроби докази теореми. Визначення теореми Фалеса про пропорційні відрізки, її рішення. Місце теореми Вієта та формули Герона в сучасному шкільному курсі геометрії.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.05.2019Поняття та способи розв’язку невласного подвійного інтегралу. Теорема про абсолютну збіжність невласного подвійного інтеграла. Інтеграли від необмежених функцій. Приведення подвійного інтеграла до повторного. Заміна змінних в невласних інтегралах.
курсовая работа [782,9 K], добавлен 05.02.2011Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.
курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011