Інтегрування нелінійних еволюційних систем з нелокальними в’язями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Інтегрування нелінійних еволюційних систем з нелокальними в'язями

Беркела Юрій Юрійович

Львів 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент Сидоренко Юрій Миколайович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри математичного моделювання.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Білоколос Євген Дмитрович, Інститут магнетизму НАН України та МОН України, завідувач відділу теоретичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук Гентош Оксана Євгеніївна, Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник відділу нелінійного математичного аналізу.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь, м. Київ.

Захист відбудеться "16" лютого 2006 року о 1530 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано “12” січня 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ___________ Остудін Б.А.

1. Загальна характеристика роботи

солітон алгебра матричний бюргерс

Актуальність теми. Одним з найвидатніших досягнень в галузі точних природничих наук другої половини минулого століття по праву вважається відкриття у 1967 році Гарднером, Гріном, Крускалом і Міурою того факту, що для відомого нелінійного рівняння Кортевега - де Вріза (KdV)

існує аналітичний метод розв'язання задачі Коші. Зроблене невдовзі фундаментальне відкриття Пітером Лаксом можливості застосування аналогічних методів дослідження для інших нелінійних динамічних систем викликало справжню наукову революцію у нелінійній фізиці, що суттєво змінило погляди і підходи до багатьох нелінійних моделей сучасного природознавства. Відкритий Лаксом глибокий алгебраїчний механізм, що лежить в основі процедури інтегрування рівняння KdV, побудова теорії рівняння KdV, як гамільтонової системи (Л.Д. Фаддєєв, В.Е. Захаров, C.S. Gardner) і подальший розвиток математичного апарату досліджень на прикладі, в першу чергу, таких моделей, як: нелінійне рівняння Шредінгера (НРШ, NS), рівняння sine-Gordon (SG) та модифіковане рівняння KdV (mKdV) - призвели до того, що на початку 70-х років ХХ століття на стику багатьох дисциплін (диференціальні рівняння і математична фізика, теоретична фізика, функціональний аналіз, теоретико-груповий аналіз, алгебраїчна геометрія та інші) виник окремий підрозділ сучасного природознавства - теорія солітонів (МОЗР - метод оберненої задачі розсіяння, теорія інтегровних динамічних систем, тощо). Розвиток методу оберненої задачі в 70-ті роки минулого століття тісно пов'язаний також з іменами О.Б. Шабата, С.В. Манакова, І.М. Гельфанда, Ю.І. Маніна, Л.І. Дікого, Абловіца, Каупа, Ньюелла, Сігура, Хіроти, Вадаті, Тоди. Розвиток періодичної версії методу оберненої задачі обумовлений піонерськими роботами В.А. Марченка, І.В. Островського, П. Лакса, Г. Флашки, С.П. Новікова, Б.А. Дубровіна, І.М. Крічевєра, А.Р. Ітса, В.Б. Матвєєва, В.П. Котлярова, Є.Я. Хруслова, Є.Д. Білоколоса. Значний внесок в теорію інтегровних систем зроблено, також, в роботах вітчизняних дослідників, таких як: А.К. Прикарпатський, В.Г. Самойленко, Л.О. Сахнович, О.Л. Сахнович та П.І. Голод.

Одним із основних і головних завдань дослідження конкретної нелінійної моделі (крім крайових задач типу Коші - Діріхле) є побудова достатньо широких класів її точних розв'язків. В класичному варіанті МОЗР ключову роль при дослідженні як задачі Коші, так і при побудові точних розв'язків для нелінійної моделі, відіграють операторне зображення Лакса (пара Лакса) і рівняння Марченка - Гельфанда - Левітана оберненої задачі для одного з лінійних операторів комутуючої пари Лакса. Важливі аналітичні результати стосовно прямої і оберненої задач теорії розсіяння в багатовимірному випадку були отримані Л.Д. Фаддєєвим і Л.П. Нижником. Це дозволило дослідити такі фізично важливі багатовимірні системи як рівняння Деві - Стюартсона (просторово-двовимірні узагальнення НРШ), просторові узагальнення рівнянь KdV та деякі інші майже з тією ж повнотою, що й методом Фур'є в лінійному випадку.

Однак відсутність достатньо повних аналітичних результатів по прямій та оберненій задачі для багатьох операторів Лакса зі складною внутрішньою структурою (що допускають нетривіальну групу симетрій - так званих редукцій) стимулювало розробку альтернативних методів інтегрування лаксових зображень. Ці більш алгебраізовані версії МОЗР беруть початок з робіт Захарова - Шабата (1974 р.) по, так званому, методу одягання диференціальних операторів і з робіт, присвячених застосуванню класичних перетворень Беклунда - Дарбу в теорії солітонів (Вадаті - Тода, Калоджеро - Дегасперіс та В.Б. Матвєєв). Визначальне значення для сучасного розуміння алгебраїчних методів побудови і інтегрування нелінійних моделей теорії солітонів мають роботи 80-х років 20-го ст. Кіотської групи японських математиків (Сато, Міва, Джимбо, Кашивара, Охта, Сатсума), де було запропоновано, зокрема, конструкцію скалярних і матричних нескінчених ієрархій інтегровних рівнянь типу Кадомцева - Петвіашвілі (КП). Значна частина відомих на той час моделей теорії солітонів могла бути отримана і досліджена уніфікованим алгебраїчним методом як реалізація так званої редукції Гельфанда - Дікого. Розвиненню цих алгебраїчних ідей присвячені роботи Б. Конопельченка, В. Євела, В. Штрамппа, Ю. Сидоренка та багатьох інших науковців. Так на початку 90-х років минулого століття виникло поняття нелокальної симетрійної редукції і нелокально-редукованої ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі. В роботах Б.Г. Конопельченка, Ю.М. Сидоренка, В. Штрамппа, В. Євела і Й. Ченга було продемонстровано, що накладання нелокальної в'язі на оператор Лакса редукує (2+1)-вимірну ієрархію КП до інтегровних (1+1)-вимірних ієрархій, серед яких містяться як векторно-матричні узагальнення добре відомих моделей, так і велика кількість нових систем теорії солітонів.

Пошуку нових інтегровних нелокальних редукцій в операторних ієрархіях Лакса за останнє десятиріччя приділялась значна увага і велика кількість наукових публікацій. Проте, у цій тематиці залишається багато відкритих питань, оскільки редукований оператор Лакса є, по-перше, інтегродиференціальним, і, по-друге, він, як правило, у фізично-важливих випадках допускає нетривіальну групу редукцій. Це обумовлює відсутність на даний час вичерпних аналітичних результатів по прямій і оберненій задачах розсіяння для таких операторів, що, в свою чергу, вимагає розвитку альтернативних алгебраїчних методів інтегрування інтегродиференціальних лаксових зображень. Власне, ці питання і є предметом дослідження у дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи тісно пов'язана з науковими дослідженнями кафедри математичного моделювання Львівського національного університету імені Івана Франка. Зокрема, результати досліджень були складовими частинами держбюджетних тем “Розробка математичних методів дослідження прямих, обернених і спектральних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними” (номер держреєстрації №0197U018069, 1997 - 2000 рр.), “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь і випадкових еволюцій” (номер держреєстрації №0100U001411, 2000 - 2003 рр.), “Аналітичні методи дослідження перехідних явищ у випадкових еволюціях” (номер держреєствації №0103U001876, 2003 - 2006 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є аналіз локальних і нелокальних редукцій в скалярних та матричних інтегровних ієрархіях, побудова точних мультисолітонних та солітоноподібних розв'язків для диференціальних та інтегродиференціальних лаксових рівнянь з канонічної і неканонічної (модифікованої) ієрархії КП.

Об'єктом дослідження є математичні моделі теорії солітонів, локальні і нелокальні редукції в інтегровних ієрархіях типу Кадомцева - Петвіашвілі.

Предметом дослідження є побудова точних розв'язків рівнянь Лакса - Захарова - Шабата з редукціями Конопельченка - Сидоренка - Штрамппа.

Методи дослідження: Лі-алгебраїчні та теоретико-групові методи, методи лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь і рівнянь з частинними похідними.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше:

- отримано нетривіальний зв'язок між нелінійною системою Деві - Стюартсона (DS) і матричною ієрархією Бюргерса. Це дозволило проінтегрувати систему DS, використавши запропоновану в роботі узагальнену підстановку Хопфа - Коула;

- знайдено нові інтегровні узагальнення відомих моделей теорії солітонів разом з їх зображеннями Лакса в алгебрі скалярних і матричних інтегродиференціальних операторів. А саме: в розділі 3 отримано векторне узагальнення “вищого” потоку з ієрархії рівнянь Яджими - Ойкави, його дійсну та ()-вимірну реалізації; комплексні багатокомпонентні узагальнення модифікованого рівняння Кортевега - де Вріза та їх дійсні редукції; аналогічні узагальнення та деякі нові редукції в модифікованих ієрархіях Яджими - Ойкави та Савади - Котери. В розділі 4 отримано дві нові модифікації моделей Хіггса, а також дві модифікації ()-вимірних рівнянь Гейзенберга, відомих також як моделі Ішиморі;

- проінтегровано векторне (багатокомпонентне) узагальнення нелінійної моделі Яджими - Ойкави та її вищу симетрію, в явній компактній формі зображено сім'ї їх точних розв'язків;

- проінтегровано просторово-двовимірне узагальнення нелінійної ієрархії Яджими - Ойкави;

- отримано широкий клас точних розв'язків для рівнянь з k-редукованої D-ермітової модифікованої ієрархії КП (DHk-cmKPh) при , як у скалярному, так і у векторному випадках;

- на прикладі модифікованого рівняння KdV запропоновано метод векторного узагальнення моделі, що базується на узагальненні її “нестандартного” (рекурсійного) операторного зображення Лакса;

- проінтегровано модифікації відомої моделі Хіггса і продемонстровано нетривіальний зв'язок між операторами бінарних перетворень і операторами перетворень Л.П. Нижника;

- знайдено точні розв'язки матричної ієрархії КП з нелокальними в'язями, в тому числі і самого матричного рівняння Кадомцева - Петвіашвілі.

В дисертації також удосконалено метод інтегрування просторово-двовимірних узагальнень рівнянь Гейзенберга (моделі Ішиморі) за допомогою загальних бінарних перетворень і отримано нові класи їх розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і є певним внеском як у теорію інтегровних динамічних систем загалом, так і в метод оберненої задачі для лінійних інтегродиференціальних спектральних задач зокрема. Вони можуть бути використані, розвинені і узагальнені у подальших теоретичних дослідженнях, а також у прикладних дослідженнях при моделюванні реальних динамічних процесів в інтегровному наближенні, зокрема, в теорії гравітаційних хвиль на мілкій воді, теорії ґраток і дислокацій у кристалах, фізиці плазми і магнітогідродинаміці. В Україні можливість такого використання отриманих в дисертації результатів базується на фундаментальних дослідженнях теоретичних і прикладних аспектів теорії солітонів, що проводяться в наукових закладах НАН України та Міністерства освіти і науки. Зокрема, це Інститут математики, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача, Київський, Харківський та Львівський національні університети.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [2], [13] Ю.М. Сидоренку належить формулювання задач та загальне керівництво роботою. В роботі [1] Ю.М. Сидоренку, крім постановки задач та загального керівництва роботою, належить, також, теорема 5 розділу 6. В роботі [3] Ю.М. Сидоренку належать результати заключного розділу 3. В роботі [8] дисертанту належать результати другого та третього розділів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на 4-ій, 5-ій та 6-ій міжнародних конференціях “Симетрія в нелінійній математичній фізиці” (Київ, 9 - 15 липня 2001 р., 12 - 18 липня 2003 р., 20 - 26 червня 2005 р.), ІІ та III Всеукраїнських наукових конференціях “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 26 - 29 вересня 2001 р., 9 - 12 вересня 2003 р.), Міжнародній конференції “Функціональний аналіз і його застосування” (Львів, 28 - 31 травня 2002 р.), Міжнародній конференції “Комплексний аналіз і його застосування” (Львів, 26 - 29 травня 2003 р.), IX міжнародній конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 16 - 19 травня 2002 р.), Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в тринадцяти роботах, з яких вісім - у виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України (п'ять - у наукових журналах, три - у збірниках наукових праць), та п'ять - у матеріалах і тезах міжнародних та всеукраїнських наукових математичних конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 136 сторінок. Список використаних джерел займає 18 сторінок і складається з 181 найменування.

2. Основний зміст роботи

У вступі проаналізовано сучасний стан досліджень з теорії інтегровних систем. Обґрунтовано актуальність та важливість розглянутих у дисертаційній роботі задач, визначено мету і задачі дослідження, відмічено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів. Зазначено особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

Перший розділ присвячений огляду публікацій за тематикою роботи, висвітленню основних етапів та підходів у дослідженні проблеми, а також аналізу сучасного стану питання.

Другий розділ присвячений дослідженню інтегровних редукцій в нелінійній моделі Деві - Стюартсона другого типу.

В підрозділі 2.1 вводиться поняття матричної ієрархії рівнянь типу Бюргерса та матричний аналог лінеаризуючої підстановки Хопфа - Коула.

В підрозділі 2.2 встановлюється нетривіальний зв'язок перших двох представників цієї ієрархії з нелокально редукованою системою рівнянь, асоційованих з нелінійною моделлю Деві - Стюартсона. Перетворення типу Хопфа - Коула дозволило в явному вигляді отримати точні розв'язки цієї нелінійної системи. Зокрема, було доведено наступні твердження.

У третьому розділі проведено дослідження інтегровності скалярних ієрархій нелінійних систем з нелокальними в'язями. Розвинено метод інтегрування нелокально редукованої ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі, що дозволило застосувати його для інтегрування систем при наявності додаткової редукції ермітового спряження. Проінтегровано нелінійну модель Яджими - Ойкави, її вищу версію, а також її багатокомпонентні та просторово-двовимірні узагальнення. Аналогічні результати отримано також для -ермітових модифікацій цих моделей. Запропоновано нове векторне узагальнення модифікованого рівняння KdV з використанням нестандартного (рекурсійного) зображення Лакса.

Підрозділ 3.1 містить необхідні вихідні поняття та означення.

У підрозділі 3.2 розглядається скалярна ієрархія Кадомцева - Петвіашвілі з нелокальними в'язями. Скалярна ієрархія Кадомцева - Петвіашвілі - це комутативна сім'я еволюційних рівнянь для інтегродиференціального оператора Лакса

Розглянуто різні типи відомих редукцій цієї ієрархії та системи, що є їх наслідками. Побудовані нові інтегровні узагальнення відомих нелінійних систем теорії солітонів з інтегродиференціальними скалярними зображеннями Лакса за наявності додаткової редукції ермітового спряження.

Ієрархію Кадомцева - Петвіашвілі будемо називати ермітовою -редукованою при накладанні додаткових обмежень на оператор :

Рівняння (2) з редукцією (3) при , рівносильні багатокомпонентному узагальненню моделі Яджими - Ойкави, яка описує взаємодію пакету навколозвукових ленгмюрівських хвиль у фізиці плазми: де , а при , , - його вищій версії:

Теорема 3.7. Нехай:

a), є комплекснозначною -компонентною вектор-функцією змінної та еволюційних параметрів , , інтегровною з квадратом по на лівій півосі, яка є розв'язком системи рівнянь.

Наслідок 3.3. Нехай - довільне натуральне число, та матриця може бути подана у вигляді, де є -вимірний вектор,.

Формули (7)-(8) визначають розв'язок класичного (-компонентного) рівняння Яджими - Ойкави:

а також скалярного випадку системи (5), який залежить від функціональних параметрів (розв'язків лінійної системи (6)).

Побудовано (2+1)-вимірні узагальнення рівнянь (4), (5) з ієрархії Яджими - Ойкави:

Теорема 3.8. Нехай:

a), є комплекснозначною -компонентною вектор-функцією змінної та еволюційних параметрів , , , яка є розв'язком системи рівнянь:

b) Матриця є ермітовою ().

В підрозділі 3.3 розглядається модифікована (нестандартна, неканонічна) скалярна ієрархія Кадомцева - Петвіашвілі. Оператор Лакса та відповідні рівняння Лакса для неї задаються так:

- чисто диференціальна частина -го степеня оператора .

Показано, що введена D -ермітова редукція приводить нас до моделей:

при , , та

Система є мультикомпонентною модифікацією інтегровної моделі Яджими - Ойкави. Система є модифікацією вищої моделі Яджими - Ойкави.

Шляхом проведення “одягаючих” перетворень диференціальних операторів за допомогою інтегрального оператора , для систем було доведено наступне твердження.

В наслідках теореми виведено інший вигляд формул для розв'язків моделей та їх скалярного випадку.

Підрозділ 3.5 присвячений інтегруванню відомих бігамільтонових моделей та їх багатокомпонентних узагальнень. Зокрема, для комплексного -компонентного модифікованого рівняння Кортевега - де Вріза (mKdV) та його дійсної версії доведено наступні теореми.

Теорема 3.12. Нехай, де, та, , - одинична матриця розмірності , а також є розв'язком системи рівнянь:

- стала комплекснозначна матриця з квадратними блоками вигляду:

Тоді функція буде розв'язком комплексного -компонентного рівняння mKdV

Теорема 3.13. Нехай: 1) - дійсний -компонентний розв'язок системи рівнянь:

2) - дійсна кососиметрична -матриця.

3) Матрична функція - невироджена на лівій півосі.

Тоді функція задовольняє векторне дійсне рівняння mKdV

У четвертому розділі розглядаються матрична ієрархія КП з нелокальними в'язями та модифікована матрична ієрархія КП і їх редукції. Проводиться інтегрування деяких систем з розглянутих редукованих ієрархій (нелінійної моделі Хіггса, матричних узагальнень рівнянь Шредінгера, mKdV, Яджими - Ойкави, рівнянь Мельникова). У модифікованій матричній ієрархії КП побудовано (2+1)-вимірні узагальнення рівнянь Гейзенберга (моделі типу Ішиморі), для яких знайдено широкі класи точних розв'язків.

В підрозділі 4.1 проінтегровано декілька модифікацій моделі Хіггса і продемонстровано нетривіальний зв'язок між операторами перетворень Л.П. Нижника та операторами бінарних перетворень типу Дарбу.

Проведено процес побудови модифікації моделі Хіггса, добре відомої в квантовій теорії калібрувальних полів, яка описує механізм спонтанного порушення симетрії:

Будемо розглядати два її типи: H-I - при та H-IІ - при.

Розв'язки даних систем побудовано в наступних теоремах.

Знайдено і проінтегровано матричні аналоги нелокально редукованих нелінійних систем, що розглядались у третьому розділі.

Рівняння є матричними узагальненнями багатокомпонентних нелінійних систем Шредінгера, mKdV, Яджими - Ойкави і його вищої версії (рівняння Мельникова) відповідно.

У наслідку до цієї теореми знайдено формулу для розв'язку матричного рівняння Кадомцева - Петвіашвілі.

В підрозділі 4.2 розглянуто модифіковану матричну ієрархію Кадомцева - Петвіашвілі, а також удосконалено метод інтегрування нелінійних моделей Ішиморі, що дозволило отримати нові класи їх точних розв'язків.

Розглянемо систему Ішиморі, відому ще як просторово-двовимірний магнетик Гейзенберга

Вона є інтегровною класичною системою, що описує нелінійну спінову модель на площині .

Висновки

У дисертаційній роботі розвивається метод нелокальних бінарних операторних перетворень типу Беклунда - Дарбу, запропонований Ю.М. Сидоренком для інтегрування ієрархії рівнянь Кадомцева - Петвіашвілі з нелокальними в'язями.

Продемонстрована ефективність методу при інтегруванні Лаксових рівнянь як з диференціальними, так і з інтегродиференціальними асоційованими спектральними задачами.

Значна кількість досліджуваних в дисертації операторів Лакса є новими і побудованими в роботі вперше, інша частина є добре відомими операторними редукціями Конопельченка - Сидоренка - Штрамппа (k-cKPh) та Євела - Штрамппа (k-cmKPh).

Доведені в дисертаційній роботі теореми про структуру широких класів часткових розв'язків досліджуваних моделей та явні формули для цих класів можуть мати прикладні застосування при їх подальшому якісному аналізі.

Результати і методи дисертаційної роботи можуть бути використані як для розвитку самого формалізму методу оберненої задачі, так і в різних інших областях математичної та теоретичної фізики. А саме, при постановці і дослідженні прямих і обернених задач теорії розсіяння для інтегродиференціальних рівнянь з інтегральною частиною типу Вольтерри; при дослідженні асимптотичних властивостей розв'язків конкретних нелінійних моделей, де значні досягнення пріоритетного характеру належать українським науковцям (Харківська група В.А. Марченка - Є.Я. Хруслова - В.П. Котлярова з учнями і співробітниками).

Список публікацій за темою дисертації

1. Беркела Ю.Ю., Сидоренко Ю.М. Векторно-матричні узагальнення бігамільтонових динамічних систем та їх інтегрування // Математичні студії. - 2005. - Т.23, №1. - С. 31-51.

2. Беркела Ю., Сидоренко Ю. Нелінійна модель типу Ішиморі як редукція неканонічної ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі // Вісник Львів. унів. Сер. мех.-мат. - 2001. - Вип. 59. - C. 74-83.

3. Сидоренко Ю.М., Беркела Ю.Ю. Інтегрування нелінійних просторово-двовимірних рівнянь Гейзенберга // Математичні студії. - 2002. - Т.18, №1. - С. 57-68.

4. Berkela Yu.Yu. Exact solutions of matrix generalizations of some integrable systems // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - Vol.43, Part 1. - P. 296-301.

5. Berkela Yu. Integration of Bi-hamiltonian Systems by Using the Dressing Method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol.50, Part 1. - P. 319-324.

6. Berkela Yu.Yu. Matrix analogues of Burgers equations // Укр. фіз. журн. - 1998. - Т.43, №7. - C. 776-780.

7. Berkela Yu.Yu. On a construction of some classes of exact solutions for a modified Higgs model // Математичні студії. - 2002. - Т.18, №2. - С. 197-207.

8. Berkela Yu.Yu., Sidorenko Yu.M. The exact solutions of some multicomponent integrable models // Математичні студії. - 2002. - Т.17, №1. - С. 47-58.

9. Беркела Ю. Інтегрування бігамільтонових систем методом одягаючих перетворень // Тези доповідей Міжнарод. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, Дрогобич, 27.9.-1.10. 2004. - С. 23.

10. Беркела Ю.Ю. Інтегрування систем із модифікованої ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі з нелокальними в'язями // Тези доповідей III Всеукр. наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу”, Івано-Франківськ, 9-12 вересня, 2003. - С. 10.

11. Беркела Ю.Ю. Перетворення типу Дарбу для деяких інтегродиференціальних зображень Лакса // Тези допов. Міжн. конф. “Комплексний аналіз та його застосування”, Львів, 26-29 травня, 2003. - P. 9-11.

12. Беркела Ю.Ю. Про інтегрування (2+1)-вимірної модифікованої моделі Гейзенберга // Матеріали IX міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука (16-19 травня 2002 р.), Київ. - 2002. - С. 224.

13. Berkela Yu., Sidorenko Yu. On nonlocal reductions in general matrix Kadomtsev - Petviashvili hierarchy // In: Book of Abstract of Intern. Conferen. on Function. Analysis and its Applic., May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. - P. 36.

Анотація

Беркела Ю.Ю. Інтегрування нелінійних еволюційних систем з нелокальними в'язями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.

В дисертації отримано нетривіальний зв'язок між нелінійною системою Деві - Стюартсона (DS) і матричною ієрархією Бюргерса, що дозволило проінтегрувати систему DS. Знайдено нові інтегровні узагальнення відомих моделей теорії солітонів разом з їх зображеннями Лакса в алгебрі скалярних і матричних інтегродиференціальних операторів. Проінтегровано векторне (багатокомпонентне) узагальнення нелінійної моделі Яджими - Ойкави та її вищу симетрію, просторово-двовимірне узагальнення нелінійної ієрархії Яджими - Ойкави. Отримано широкий клас точних розв'язків для рівнянь з k-редукованої D-ермітової модифікованої ієрархії КП при , як у скалярному, так і у векторному випадках. Запропоновано метод векторного узагальнення модифікованого рівняння KdV. Проінтегровано модифікації відомої моделі Хіггса і продемонстровано нетривіальний зв'язок між операторами бінарних перетворень і операторами перетворень Л.П. Нижника. Знайдено точні розв'язки матричної ієрархії КП з нелокальними в'язями. Удосконалено метод інтегрування просторово-двовимірних узагальнень рівнянь Гейзенберга (моделі Ішиморі) за допомогою загальних бінарних перетворень і отримано нові класи їх розв'язків.

Ключові слова: інтегровна система, бінарні перетворення Дарбу, теорія солітонів.

Аннотация

Беркела Ю.Ю. Интегрирование нелинейных эволюционных систем с нелокальными связями. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2005.

В диссертации развивается подход к проблеме построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений как в скалярных, так и в матричных алгебрах интегродифференциальных операторов при наличии дополнительных редукционных ограничений локального и нелокального типа.

В первом разделе приведен обзор публикаций по тематике работы, отмечены основные этапы и подходы к исследованию проблемы, приведены основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.

Во втором разделе вводится понятие матричной иерархии уравнений типа Бюргерса, матричный аналог линеаризирующей подстановки Хопфа - Коула и показана нетривиальная связь первых двух представителей этой иерархии с нелокально редуцированной системой уравнений, ассоциированной с нелинейной моделью Деви - Стьюартсона. Преобразование типа Хопфа - Коула позволило в явной форме получить точные решения этой нелинейной системы.

В третьем разделе построены новые интегрируемые обобщения известных нелинейных систем теории солитонов с интегродифференциальными представлениями Лакса. Развит метод интегрирования нелокально редуцированной иерархии Кадомцева - Петвиашвили, что позволило применить его для исследования систем при наличии дополнительной редукции эрмитового сопряжения. Проинтегрирована нелинейная модель Яджими - Ойкавы, её высшая версия, а также её многокомпонентные и пространственно-двумерные обобщения. Аналогичные результаты получены также для D-эрмитовых модификаций этих моделей. Предложено новое векторное обобщение модифицированного уравнения KdV с использованием нестандартного (рекурсионного) представления Лакса.

В четвёртом разделе проинтегрированы модификации модели Хиггса и продемонстрирована нетривиальная связь между операторами преобразований Л.П. Нижника и операторами бинарных преобразований типа Дарбу. Найдены и проинтегрированы матричные аналоги нелокально редуцированных систем, которые рассматривались в третьем разделе. Также усовершенствован метод интегрирования нелинейных моделей Ишимори, что позволило получить новые классы их точных решений.

Ключевые слова: интегрируемая система, бинарные преобразования Дарбу, теория солитонов.

Summary

Berkela Yu.Yu. Integration of nonlinear evolutional systems with nonlocal constraints. - Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. - Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2005.

Nontrivial relation between nonlinear Davey - Stewartson system (DS) and matrix Burgers hierarchy is obtained, which allows to integrate the DS system. New integrable generalizations of well-known models of soliton theory and its Lax representation in algebra of scalar and matrix integrodifferential operators are found. Vector (multicomponent) generalization of nonlinear Yajima - Oikawa model, its higher symmetry and space-two-dimensional generalization of nonlinear Yajima - Oikawa hierarchy are integrated. Wide classes of exact solutions for equation of k-reduced D-Hermitian modified hierarchy KP for both in scalar and vector cases are obtained. A method of vector generalization of modified KdV equation is proposed. Modifications of well-known Higgs model are integrated and nontrivial relation between operators of binary transformations and operators of transformation by L.P. Nizhnik is shown. Exact solutions of matrix KP hierarchy with nonlocal constraints are built. Method of integration of space-two-dimensional generalizations of Heisenberg equations (Ishimori model) is improved by using binary transformations and new classes of its solutions are obtained.

Keywords: integrable system, binary Darboux transformations, theory of solitons.

Размещено на Allbest.ru