Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.53

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням

01.01.06 - алгебра i теорія чисел

Цяпута Галина Юріївна

Київ 2005

Загальна характеристика роботи

напівгрупа перетворення деформоване множення

Актуальність теми. Термін "напівгрупа" вперше з'явився лише на початку XX століття, a перші систематичні дослідження напівгруп почав у 20-х роках минулого століття відомий український математик Сушкевич. Підсумком цих досліджень стала його монографія - перша i на довгий час єдина монографія з теорії напівгруп, а основний його результат, відомий нині як теорема Сушкевича-Pica (другому автору належить більш зручне матричне формулювання цієї теореми), є одним з найяскравіших результатів цього розділу алгебри.

У 40-50-i роки минулого століття інтенсивність досліджень з теорії напівгруп починає стрімко зростати. До напівгруп звертаються такі математики як Мальцев, Pic, Кліффорд, Ляпін та інші. Теорія напівгруп поступово починає формуватись як окремий розділ алгебри. Підсумком цього періоду розвитку теорії напівгруп стали монографія Ляпіна i перший том "Алгебраїчної теорії напівгруп" Кліффорда i Престона. Вихід цих двох книг можна вважати завершенням "дитячого" періоду у розвитку теорії напівгруп.

Про швидке зростання кількості досліджень з теорії напівгруп свідчить i той факт, що замість підсумкових монографій починають виходити монографії, присвячені окремим розділам напівгруп (наприклад, у 1984 році виходить "Inverse semigroups" Петріча, яка за об'ємом порівняльна з двотомником Кліффорда i Престона), а в 1996 році з'являється перша монографія, присвячена конкретній напівгрупі.

Класичним об'єктом теорії напівгруп є напівгрупи перетворень. Відомий російський математик Курош навіть вважав, що основною мотивацією для вивчення напівгруп є те, що кожна з них занурюється у деяку напівгрупу перетворень. Загальна бібліографія з теорії напівгруп перетворень нараховує багато тисяч позицій. Зокрема, трьом напівгрупам перетворень n-елементної множини - Т_п (всіх перетворень), PT_n (всіх часткових перетворень) та IS_n (всіх часткових підстановок) присвячено кількасот робіт.

У вже згаданій монографії Ляпін описав одну загальну конструкцію для напівгруп перетворень i поставив задачу вивчення її властивостей. Ця конструкція допускає природну модифікацію для довільних напівгруп: якщо а - фіксований елемент напівгрупи S, то на S можна визначити нову асоціативну дію *_а правилом

х *_а у = хау, х,у S.

Нову напівгрупу (S, *_а) називають напівгрупою S із деформованим множенням (або варіантом напівгрупи S, або сендвіч-напівгрупою).

Перші дослідження напівгруп із деформованим множенням належать Магіллу. У середині 70-х років такі напівгрупи почали досліджувати Михайлов, Сулліван, Саймонс. Поступово кількість досліджень напівгруп iз деформованим множенням зростає: з'являються роботи Xiкi, Хуанга, Чейза та інших. Вивчаються як загальні властивості таких напівгруп, так i варіанти конкретних напівгруп. Зокрема, досить багато уваги приділяється варіантам різних матричних напівгруп.

Дослідження варіантів конкретних напівгруп важливе з двох мотивів - з одного боку таким чином можна одержувати нові цікаві приклади напівгруп, а з іншого - дослідження варіантів дає додаткову інформацію i про будову вихідних напівгруп. Однак варіанти класичних напівгруп перетворень (T_n,PT_n,IS_n) майже не вивчались. I якщо деякі властивості варіантів напівгрупи Т_п все ж фактично розглядались -- у більш широкому контексті, то варіанти напівгруп PT_n i IS_n до останнього часу залишались зовсім невивченими.

Усе вищенаведене свідчить про те, що класифікація, дослідження будови i властивостей вapiaнтів напівгруп перетворень Т_п, PT_n та IS_n є актуальною задачею. Розв'язанню цієї задачі i присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 01БФ038-03 "Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині i моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ", підрозділ "Геометричні структури та комбінаторно-геометричні методи дослідження алгебраїчних систем та їх зображень" (номер державної реєстрації 0101U002479).

Мета i задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис iз точністю до ізоморфізму напівгруп, які одержуються деформацією множення з трьох класичних напівгруп перетворень, Т_п, PT_n,, IS_n та біциклічної напівгрупи, i дослідження піднапівгрупової будови цих напівгруп.

У дисертаційній роботі поставлено наступні задачі:

- Класифікувати з точністю до ізоморфізму варіанти повної напівгрупи всіх перетворень T_n, повної напівгрупи всіх часткових перетворень PT_n, інверсної симетричної напівгрупи IS_n та біциклічної напівгрупи. Обчислити кількості попарно неізоморфних варіантів.

- Описати відношення Гріна на напівгрупах IS_n та T_n, обчислити кількості та потужності класів відношень Гріна.

- Описати будову максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгруп, що одержуються з напівгрупи IS_n деформацією множення та класифікувати такі піднапівгрупи з точністю до ізоморфізму.

- Дати повний опис цілком ізольованих, ізольованих та опуклих піднапівгруп у варіантах напівгруп IS_n, T_n, обчислити кількість таких піднапівгруп в залежності від елемнента деформації.

- Описати будову групи автоморфізмів деформованої скінченної інверсної симетричної напівгрупи IS_n,.

Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є напівгрупи із деформованим множенням. Предмет дослідження - варіанти трьох класичних напівгруп перетворень IS_n, T_n, PT_n та варіанти біциклічної напівгрупи.

У дисертаційній роботі використовуються стандартні методи теорії напівгруп і комбінаторного аналізу. Групи автоморфізмів варіантів напівгрупи IS_n описуються в термінах стандартних конструкцій теорії груп. При дослідження нільпотентних під напівгруп використовується техніка часткових порядків.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі автором вперше одержано нові теоретичні результати. Основними результатами дисертаційної роботи, які визначають її наукову новизну і виносяться на захист, є наступні:

- Встановлено критерії ізоморфізму напівгруп, одержаних деформацією множення з повної напівгрупи всіх перетворень T_n, повної напівгрупи всіх часткових перетворень PT_n,інверсної симетричної напівгрупи IS_n та біциклічної напівгрупи, обчислено з точністю до ізоморфізмів їх кількість.

- Дано повний опис відношень Гріна для напівгруп, одержаних деформацією множення з IS_n та T_n; обчислено кількості та потужності L - та R - класів відношень Гріна для таких напівгруп.

- Описано цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи напівгруп IS_n, і T_n, із деформованим множенням; пораховано кількості таких напівгруп.

- Дано опис максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи IS_n, із деформованим множенням і встановлено критерій ізоморфізму двох таких напівгруп.

- Доведено, що група автоморфізмів деформованої напівгрупи IS_n, із деформованим множенням розпадається у напівпрямий добуток двох множників, один з яких є прямою сумою, а другий - прямим добутком симетричних груп.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при дослідженні деформованого множення в інших напівгрупах перетворень, а також при дослідженні опуклих, ізольованих і цілком ізольованих піднапівгруп в різних класах скінченних напівгруп.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній роботі 6 співавтору Кудрявцевій Г.М. належить ідея конструкції групи автоморфізмів напівгрупи IS_n, із деформованим множенням, формулювання 3.9 отримано при рівному вкладі співавторів, а її доведення належить дисертанту. У спільній роботі 7 співавтору Мазорчуку В.С. належить поняття стабільного рангу елемента і формулювання теорем 4.6 і 4.8. Доведення цих теорем одержано при рівному квладі співавторів. Інші результати цієї роботи належать дисертанту.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на:

- семінарі з теорії груп та напівгруп на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2004р., 2005 р.);

- Дев'ятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука, м. Київ (травень 2002 р.);

- Четвертій міжнародній алгебраїчній конференції, м.Львів (серпень 2003 р.);

- семінарі з алгебри та геометрії університету м.Уппсала, Швеція (лютий 2005 р.);

- П'ятій міжнародній алгебраїчній конференції, м.Одеса (липень 2005 р.);

- Київському алгебраїчному семінарі, м.Київ (вересень 2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у 8 наукових роботах. Із них чотири статті у фахових виданнях 2, 4, 5, 6 та троє тез доповідей на конференціях 1, 3, 8.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, основної частини, висновків та списку використаних джерел. Основна частина дисертаційної роботи складається з п'яти розділів, розбитих на підрозділи, деякі з яких, в свою чергу, розбиті на пункти. Підрозділи нумеруються у межах кожного розділу, а пункти - у межах підрозділу. Перша цифра у номері пункту вказує на номер розділу, друга - на номер підрозділу, третя - на номер пункта. Нумерація лем, тверджень, теорем та формул здійснюється у межах розділів.

Список використаних джерел містить 59 позицій.

Автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові кандидату фізико-математичних наук, доценту Олександру Григоровичу Ганюшкіну за постановку задачі та постійну увагу до роботи.

Основний зміст

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету i задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та спорідненими питаннями, зокрема, у цьому розділі окреслено основні етапи вивчення напівгруп iз деформованим множенням.

На початку другого розділу формулюється відома задача Ляпіна. Нехай М і N -- дві довільні непорожні множини, a S -- множина вcix відображень із М в N. Зафіксуємо деяке відображення : N М. Для S визначаємо їхній добуток правилом:

.

Так визначена дія є асоціативною. Задача Ляпіна полягає у вивченні властивостей напівгрупи (S,) в залежності від обмежень, які накладають на множину S i відображення . Зокрема, важливим є випадок, коли М = N, S -- деяка напівгрупа перетворень множини Mi -- елемент із S.

В останньому випадку задача легко узагальнюється на довільні напівгрупи: для фіксованого елемента а напівгрупи S визначаємо на S дію *_а правилом:

х *_а у = хау.

Дію *_а називатимемо множенням, деформованим за допомогою елемента а (або просто деформованим множенням). Саму ж напівгрупу (S, *_а) називатимемо напівгрупою із деформованим множенням або варіантом напівгрупи S. Іноді напівгрупу (S, *_а) називають також сендвіч напівгрупою (від англ. sandwich) із сендвіч-елементом а.

Підрозділи 2.2.-2.3. мають допоміжний характер. У них наведено необхідні для подальшої роботи означення та твердження. У підрозділі 2.4. доведено ряд властивостей ізольованих, цілком ізольованих та опуклих піднапівгруп, які потім використовуються у розділі 4, i, крім того, мають самостійне наукове значення.

У розділі 3 розглядається деформація множення в інверсній симетричній нaпівгрупі. Спочатку встановлено критерій ізоморфізму вapiaнтів напівгрупи ІS(N) для довільної множини N:

Теорема 3.1. Напівгрупи (IS(N), ) та (IS(N), ) ізоморфні тоді i тільки тоді, коли для деяких підстановок .

Далі більш глибоко вивчаються властивості варіантів скінченної iнвepcної симетричної напівгрупи IS_n вcix часткових ін'єктивних перетворень множини N = {1,2,..., п}.

З теореми 3.1 випливає, що з точністю до ізоморфізму можна обмежитись розглядом лише тих варіантів напівгрупи IS_n, в яких елементом деформації є ідемпотент iз ІS_n. То ж далі до кінця розділу елемент деформації ІS_n є фіксованим ідемпотентом, через А позначається його область визначення dom(), а через -- його ранг (тобто = rank() = \А\). Зауважимо, що , як елемент iз IS_n, діє на А тотожно.

Наслідок 3.2. Із точністю до ізоморфізму icнyє рівно п + 1 варіантів скінченної напівгрупи IS_n.

Підрозділ 3.3. присвячений опису відношень Гріна на напівгрупі .

Теорема 3.3. Нехай

1) Якщо, то інакше

2) Якщо, то; інакше.

3) Якщо i, то інакше.

4) Якщо i то якщо i, то якщо i, то інакше.

Зокрема, якщо, то всі класи відношень Гріна напівгрупи одноелементні.

У підрозділі 3.4. описано цілком ізольовані та ізольовані піднапівгрупи напівгрупи .

Позначимо через множину тих елементів iз IS_n, для яких А є інваріантною підмножиною i які діють на А взаємно однозначно.

Теорема 3.4. Єдиними цілком ізольованими піднапівгрупами напівгрупи є , і .

Для кожного позначимо

.

Зауважимо, що якщо , то , .

У підрозділі 3.5. досліджуються нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи . При цьому використовується модифікація загального методу дослідження нільпотентних піднапівгруп напівгруп перетворень, запропонованого в роботі Ганюшкіна i Мазорчука.

Для кожного додатного через позначимо множину вcix нільпотентних піднапівгруп напівгрупи ступеня нільпотентності. Множина частково впорядкована природним чином за включенням. Позначимо, де, а - є диз'юнктною копією множини.

Впорядкованим розбиттям множини на непорожніх блоків назвемо розбиття де, і, причому порядок блоків враховується. Кожному впорядкованому розбиттю множини поставимо у відповідність множину

Теорема 3.6

(1) Для кожного впорядкованого розбиття множини напівгрупа є максимальною напівгрупою із .

(2) Різним впорядкованим розбиттям множини відповідають різні піднапівгрупи у.

(3) Кожна максимальна піднапівгрупа з має вигляд для деякого впорядкованого розбиття.

Нехай S - максимальна нільпотентна піднапівгрупа ступеня нільпотентності i нехай - впорядковане А-розбиття множини, що відповідає частковому порядку . Ha6ip (||,||,..., ||)N^k назвемо типом нільпотентної піднапівгрупи S i позначатимемо через type(S). Покладемо .

Теорема 3.8. Нехай і дві максимальні нільпотентні піднапівгрупи ступеня нільпотентності . Тоді

(1) якщо , то і ізоморфні тоді і лише тоді, коли або.

(2) якщо , то і ізоморфні тоді і лише тоді, коли та антиізоморфні тоді і лише тоді, коли.

У підрозділі 3.6. вивчається будова групи автоморфізмів напівтрупи.

Нехай Р - множина розкладних, Q - множина нерозкладних елементів iз. Для кожного Q введемо до розгляду множини

Ясно, що. Для покладемо тоді і тільки тоді, коли для вcix. Якщо хоча б один з елементів не належить до Q, то покладемо тоді і лише тоді, коли Лема 3.9. Відношення ~ є конгруенцією на напівгрупі

Теорема 3.9. Нехай - перелік класів еквівалентності відношення ~ на множині . Тоді

Розділ 4 дисертаційної роботи присвячений напівгрупі T_n iз деформованим множенням.

Для кожного через позначається відношення еквівалентності

Типом перетворення Т_п назвемо нa6ip, де -- це кількість тих елементів, повний прообраз яких містить рівно i елементів. Очевидно, що, а сума

Наступна теорема дає критерій ізоморфізму напівгруп, отриманих деформацією множення з напівгрупи Т_п

Теорема 4.1. Напівгрупи i ізоморфні тоді i тільки тоді, коли перетворення i мають однаковий тип.

Наслідок 4.1. Із точністю до ізоморфізму деформацією множення у напівгрупі Т_п можна одержати р(п) напівгруп, де р(п) - кількість способів розбиття числа п у невпорядковану суму натуральних доданків.

Твердження 4.1. У напівгрупі Т_п кількість перетворень типу дорівнює:

З теореми 4.1 випливає, що з точністю до ізоморфізму можна вивчати лише тi варіанти напівгрупи де є ідемпотентом. Отже, далі елемент є фіксованим ідемпотентом рангу l. Тоді та для вcix. Покладемо А.

У підрозділі 4.3. вивчаються ідемпотенти напівгрупи (Т_п, *_а) та відповідні максимальні підгрупи.

Теорема 4.2.

(а) Нехай ранг елемент дорівнює k. Тоді елемент буде ідемпотентом напівгрупи (Т_п, *_а) тоді i тільки тоді, коли існуе таке ін'єктивне відображення f : {1,...,k;} {1,..., l}, що виконуються наступні дві умови:

(b) Кількість ідемпотентів напівгрупи (Т_п, *_а) дорівнює

Наслідок 4.2. Нехай ідемпотент напівгрупи фіксований i rank() = k. Тоді максимальна підгрупа напівгрупи (Т_п,*_а), що відповідає ідемпотенту , ізоморфна симетричній гpyпi.

У підрозділі 4.5. розглядаються відношення Гріна на напівгрупі, обчислено кількості класів Гріна та iхні потужності.

В останньому підрозділі 4.6. вивчаються ізольовані, цілком ізольовані, опуклі зліва, опуклі справа та опуклі піднапівгрупи напівгрупи .

Нехай i нехай єдиний ідемпотент циклічної піднапівгрупи, породженої елементом. Стабільним рангом strk перетворення називається ранг ідемпотента. Стабільним розбиттям елемента називається розбиття на класи еквівалентності відношення. Аналогічно визначаеться стабільний образ перетворення.

Вивчення ізольованих піднапівгруп напівгрупи розбивається на три випадки: 1) ізольовані піднапівгрупи, які містять тільки елементи стабільного рангу l (тобто рангу елемента деформації), 2) ізольовані піднапівгрупи, які містять тільки елементи стабільного рангу, 3) інші ізольовані піднапівгрупи.

Для кожного позначимо через множину вcix елементів напівгрупи стабільного рангу . Через i позначимо множину вcix ізольованих, цілком ізольованих, опуклих справа, опуклих зліва та опуклих піднапівгруп напівгрупи S відповідно.

Нехай X -- множина вcix таких невпорядкованих розбиттів множини на диз'юнктних блоків, що вci попадають у piзні блоки, а У -- множина вcix таких множин вигляду, що для вcix.

Для довільних через позначається множина вcix невпорядкованих розбиттів множини на диз'юнктних блоків, які задовольняють умову, що кожний блок містить принаймні один елемент iз множини А, причому елементи i попадають в один блок.

У п'ятому розділі вивчаються варіанти напівгрупи PT_n та біциклічної напівгрупи.

Теорема 5.1. Напівгрупи i ізоморфні тоді i тільки тоді, коли для деяких підстановок

Наслідок 5.1. Із точністю до ізоморфізму деформацією множення у напівгрупі PT_n можна одержати напівгруп, де р{k) - кількістьспособів розбиття числа k у невпорядковану суму натуральних доданків.

Нехай біциклічна напівгрупа. Кожний елемент напівгрупи В однозначно записується у вигляді де

Твердження 5.2. Для кожного, множина ідемпотентів деформованої напівгрупи має вигляд , причому ідемпотенти утворюють нескінченний спадний ланцюг відносно природного часткового порядку на множині ідемпотентів.

Теорема 5.2. Для довільних різних елементів напівгрупи і не ізоморфні.

Теорема 5.3. Напівгрупи i антиізоморфні тоді i тільки тоді, коли елементи iнверсні.

Висновки

У дисертаційній роботі вивчаються напівгрупи, які можна одержати деформацією множення з класичних напівгруп перетворень: напівгрупи ІS_n вcix часткових підстановок на п--елементній множині, напівгрупи Т_п вcix перетворень п--елементної множини, напівгрупи РT_n вcix часткових перетворень п--елементної множини, та біциклічної напівгрупи.

Одержано такі результати:

для кожної із перерахованих напівгруп одержано критерій ізоморфізму її варіантів;

для кожноі iз перерахованих напівгруп підраховано кількість вapiaнтів з точністю до ізоморфізму;

для вapiaнтів напівгруп ІS_n, T_n та біциклічної описано ідемпотенти та максимальні підгрупи;

описано відношення Гpiнa для напівгруп, які одержуються деформацією множення з напівгруп ІS_n, T_n;

для кожного можливого класу нільпотентності для вapiaнтів напівгрупи ІS_n описано вci максимальні серед нільпотентних піднапівгруп даного класу;

-- описано ізольовані та цілком ізольовані піднапівгрупи напівгруп, одержаних деформацією множення з ІS_n i T_n;

-- описано будову групи автоморфізмів варіантів напівгрупи ІS_n.

Публікації автора за темою дисертації

1. Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням // Матеріали IX-oї Міжнародної наукової конференції iм. академіка М. Кравчука (16-19 травня 2002 р., Київ). - К.: НТУУ "КПІ". - 2002. - С. 393.

2. Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень iз деформованим множенням // Вісник Київського університету. Cepiя: фізико-математичні науки - 2003. - №3. - С. 82-88.

3. Tsyaputa G. Green's relations on the deformed transformation semigroups // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. - Lviv, 2003. - P. 217-220.

4. Tsyaputa G. Y. Green's relations on the deformed transformation semigroups // Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - №1. - P. 121-131.

5. Цяпута Г.Ю. Деформоване множення в напівгрупі РT_n // Вісник Київського національного університету iмeнi Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. - 2004. - випуски 11-12. - С. 35-38.

6. Кудрявцева Г.М., Цяпута Г.Ю. Трупа автоморфізмів деформованої інверсної симетричної напівгрупи // Вісник Київського національного університету iмeнi Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. -2005. - випуски 13-14. - С. 101-105.

7. Mazorchuk V., Tsyaputa G. Isolated subsemigroups in the variants of T_n. -Uppsala (Sweden), 2005. - 29 p. (Preprint U.U.D.M. Report 2005:9, Uppsala University, Sweden).

8. Tsyaputa G. Nilpotent subsemigroups in ІS_n under a sandwich operation // 5th International Algebraic Conference in Ukraine. - Odessa, 2005. - P. 213-214.

Анотація

Цяпута Г.Ю. Напівгрупи перетворень із деформованим множенням. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 -- алгебра i тeopiя чисел. -- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню напівгруп, які можна одержати деформацією множення з трьох класичних напівгруп перетворень елементної множини: напівгрупи IS_n вcix часткових підстановок, напівгрупи Т_п вcix перетворень, напівгрупи PT_n вcix часткових перетворень, та біциклічної напівгрупи.

Для напівгруп, одержаних деформацією множення з напівгрупи IS_n, знайдено критерій ізоморфізму, описані вci відношення Грінша, максимальні підгрупи, ізольовані та цілком ізольовані піднапівгрупи, для кожного можливого класу нільпотентності вci максимальні піднапівгрупи серед нільпотентних піднапівгруп даного класу, описано будову групи автоморфізмів таких напівгруп.

Встановлено критерій ізоморфізму для напівгруп, отриманих деформацією множення з напівгрупи Т_п, наведено опис ідемпотентів напівгрупи (Т_п,), описані вci відношення Гріна, класифіковано ізольовані піднапівгрупи.

Для напівгруп, одержаних деформацією множення з напівгруп РT_n та біциклічної, встановлено критерії ізоморфізму та досліджено їх деякі властивості.

Ключові слова: напівгрупи перетворень, біциклічна напівгрупа, деформоване множення, варіанти напівгрупи, відношення Гріна, нільпотентні напівгрупи, ізольовані піднапівгрупи, група автоморфізмів.

Аннотация

Цяпута Г.Ю. Полугруппы преобразований с деформированным умножением. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -- алгебра и теория чисел. -Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена исследованию полугрупп, которые можно получить деформацией умножения из классических полугрупп преобразований п--елементного множества: полугруппы IS_n всех частичных подстановок, полугруппы Т_п всех преобразований, полугруппы PT_n всех частичных преобразований и бицикличной полугруппы.

Для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугруппы IS_n, найден критерий изоморфизма, описаны все отношения Грина, максимальные подгруппы, изолированные и вполне изолированные подполугруппы, для каждого возможного класса нильпотентности описаны все максимальные подполугруппы среди нильпотентных подполугрупп данного класса, описано строение группы автоморфизмов таких полугрупп.

Установлено критерий изоморфизма для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугруппы Т_п, приведено описание идемпотентов полугруппы (Т_п,), описаны все отношения Грина, классифицировано изолированные подполугруппы.

Для полугрупп, полученных деформацией умножения из полугрупп PT_n и бициклической, установлены критерии изоморфизма и исследованы некоторые их свойства.

Ключевые слова: полугруппы преобразований, бициклическая полугруппа, деформация умножения, варианты полугруппы, отношения Грина, нильпотентные полугруппы, изолированные подполугруппы, группа автоморфизмов.

Summary

Tsyaputa G. Y. Transformation semigroups with the deformed multiplication. -- Manuscript.

Thesis for Candidate's degree in speciality 01.01.06 -- algebra and number theory. -- Kiev National Taras Shevchenko University, Kiev, 2005.

The thesis is devoted to investigation of semigroups obtained from three classical transformation semigroups, IS_n, the semigroup of partial permutation of n--element set, T_n, the semigroup of all transformations of n--element set, PT_n, the semigroup of all partial transformations of n--element set, and the bicyclic semigroup, by the deformed multiplication .

The idea of the deformed multiplication belongs to Ljapin. He described some construction on transformation semigroups and set the problem to investigate its properties. This construction admits a natural modification for arbitrary semigroup: if a is a fixed element in semigroup S then we may define new associative operation *_a on S by

, .

The new semigroup (S, *_a) is called the semigroup S with the deformed multiplication (the variant of S, or the sandwich semigroup S).

For semigroups obtained from IS_n by the deformed multiplication we have found the isomorphism criterion, described all Green's relations, and calculated the number and the cardinalities of correspondent equivalence classes. For every such semigroup we have described its maximal subgroups, isolated and completely isolated subsemigroups. For each possible nilpotent class we have described all maximal subsemigroups among all nilpotent subsemigroups of the class. In terms of standard theoretical group constructions, the direct sum of permutation groups, the direct and semi-direct products of groups, we have described the automorphism groups of semigroups obtained from IS_n by the deformed multiplication.

The isomorphism criterion for semigroups obtained from T_n by the deformed multiplication is established. We have described all the idempotents of semigroup (T_n,), calculated their number, and described correspondent maximal subgroups. The full description of all Green's relations on (T_n,) is provided. By means of stable rank and stable partition of the elements we have classified all isolated, completely isolated, and convex subsemigroups in the variants of T_n.

For semigroups obtained from PT_n by the deformed multiplication we have set the isomorphism criterion and calculated the number of pairwise non isomorphic variants of PT_n.

For semigroups obtained from the bicyclic semigroups by the deformed multiplication we have described idempotents, and proved that the deformation by the different elements leads to non isomorphic semigroups while the deformation by the mutually inverse element leads to anti isomorphic variants of the bicyclic semigroup.

Keywords: transformation semigroups, bicyclic semigroup, deformed multiplication, variants of the semigroup, Green's relations, nilpotent semigroups, isolated subsemigroups, automorphism group.

Размещено на Allbest.ru

...