Черепичні порядки та їх ідеали

Теорема 4.1.5. Існує рівно 2^k суттєво різних ідеалів , r=1,2,...,2^k, таких, що факторкільце _k/ є QF-кільцем, причому e_l, e_l.

Журавльовим В.М. було встановлено, що для горенштейнових черепичних (0,1)-порядків підстановка Кириченка горенштейнового черепичного порядку , підстановка , що задає ідеал J цього порядку та підстановка Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом пов'язані рівностями ==. Мета підрозділу 4.2 “Підстановки горенштейнового черепичного порядку” полягає в тому, щоб для кожної підстановки знайти підстановку Накаями квазіфробеніусового факторкільця та встановити, якщо можливо, зв'язок між підстановками , та підстановкою Кириченка в разі горенштейнового черепичного порядку, що не є (0,1)-порядком. Розглянемо зведений горенштейновий черепичний порядок з підстановкою Кириченка ()=(165432) і матрицею показників:

E()=

Матриця суміжності сагайдака кільця має вигляд: [Q()]=E(R²)-E(R)=+.

Для кожної з підстановок _iT() знайдемо відповідні матриці показників ідеалів J_i⁽⁰⁾R², i=1,2,3,4,5,6, таких, що факторкільця /J_i⁽⁰⁾ є квазіфробеніусовими. Позначимо =J_i⁽⁰⁾, де =0, 1, 2, ...

Неважко бачити, що E(J₂⁽⁰⁾)++=E(J₆⁽⁰⁾), E(J₆⁽⁰⁾)++=E(J₄⁽⁰⁾),

E(J₃⁽⁰⁾)++=E(J₁⁽⁰⁾), E(J₁⁽⁰⁾)++=E(J₅⁽⁰⁾),

E(R²)=E(R)++, E(R³)=E(R²)++, E(R⁴)=E(R³)++=E(R).

Очевидно, E((R^m)R)=E((R^mR)); mN. Тоді, зрозуміло, що E(R^m+1)=E(R^m)++, де =^4m, =^1+4m; R^m+3=R^m.

Оскільки e_iR²⁺³ /e_iJ₂⁽⁾e_j/e_jR=U_j - простий модуль, то soc_i(/J₂⁽⁾)U_j, де j=₂(i), ₂=(14)(25)(36). Отже, за означенням Накаями ₂ є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₂⁽⁾. Аналогічно знаходимо, що за означенням Накаями ₆=(165432) є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₆⁽⁾, та ₄=(123456) є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₄⁽⁾.

Розглянемо двобічні ідеали I₃, I₁, I₅ порядку з такими матрицями показників:

, , , відповідно. При порівнянні E(I₃) та E(J₃⁽⁾), E(I₁) та E(J₁⁽⁾), E(I₅) та E(J₅⁽⁾) бачимо, що E(J₃⁽⁾)=E(I₃)+, де ₃=(135)(246), E(J₁⁽⁾)=E(I₁)+, де ₁=(153)(264), E(J₅⁽⁾)=E(I₅)+, де ₅=(1)(2)(3)(4)(5)(6). Тоді, за означенням Накаями ₃ є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₃⁽⁾, ₁ є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₁⁽⁾, ₅ є підстановкою Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J₅⁽⁾. Тепер легко бачити, що _i=_i=_i, i=. Таким чином, для порядку виконуються рівності ==.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано низку результатів про горенштейнові черепичні порядки та їх ідеали, факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Описано з точністю до ізоморфізму всі циклічні зведені горенштейнові черепичні порядки, сагайдаки яких містять щонайбільше 10 вершин: обчислено матриці показників та матриці суміжності сагайдаків таких порядків. В ході розгляду загального випадку циклічних зведених горенштейнових черепичних порядків були знайдені формули, за якими обчислюються елементи матриць показників через визначену кількість додатних цілих параметрів. Також було встановлено, що матриці показників таких порядків є симетричними відносно бічної діагоналі.

В роботі доведено, що для довільного нерозкладного зведеного нетерового справа напівдосконалого напівпервинного напівдистрибутивного кільця існує зліченна кількість ідеалів, які лежать у квадраті радикала Джекобсона кільця і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Доведено також, що для будь-якого зведеного черепичного порядку існує зліченна кількість ідеалів, факторкільця за якими є фробеніусовими з тотожною підстановкою Накаями. Зокрема, для довільної скінченної частково впорядкованої множини існує зліченна множина фробеніусових кілець з тотожною підстановкою Накаями. Розроблено загальний метод побудови фробеніусових факторкілець з тотожною підстановкою Накаями за довільним зведеним черепичним порядком. Причому сагайдаки таких фробеніусових факторкілець збігаються з сагайдаком порядку.

В дисертаційній роботі описано всі двобічні ідеали, що лежать у квадраті радикала Джекобсона зведених горенштейнових черепичних порядків _k, і факторкільця за якими є квазіфробеніусовими. Причому для порядку _k існує 2^k таких суттєво різних ідеалів, і певними перетвореннями їх можна отримати з головного ідеалу порядку _k. В дисертації знайдено, що для горенштейнового черепичного порядку , який не є (0,1)-порядком, підстановка Кириченка цього порядку, підстановка , що задає ідеал J порядку , підстановка Накаями квазіфробеніусового факторкільця /J за цим ідеалом пов'язані рівностями . Можливо, ця властивість має силу для довільного зведеного горенштейнового черепичного порядку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Докучаев М.А., Кириченко В.В., Черноусова Ж.Т. Черепичные порядки и фробениусовы кольца // Математические заметки. - М.: Наука. - 2002. - т. 72. - №3. - С.468-471.

2. Журавльов В.М., Черноусова Ж.Т. Циклічні горенштейнові порядки з малим числом вершин // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. - 2002. - №2. - С.33-40.

3. Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov Chains and partially ordered sets. I. // Algebra and discrete mathematics. - Lugansk: Lugansk State Pedagogical Univ. - 2002. - №1. - P.32-63.

4. Кириченко В.В., Журавлёв В.М., Черноусова Ж.Т., Мирошниченко С.Г. Циклические горенштейновы порядки // Доповіді НАН України. Серія: Математика, природознавство, технічні науки. - 2003. - № 4. - С.7-11.

5. Chernousova J.T., Zhuravlev V.N. Ideals of Gorenstein tiled orders whose factor rings are quasi-Frobenius // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. - Л.: Вид-во Львівського нац. у-нту ім. І. Франка. - 2003. - Випуск 61. - C.45-53.

6. Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov Chains and partially ordered sets. II. // Algebra and discrete mathematics. - Lugansk: Lugansk State Pedagogical Univ. - 2003. - №2. - P.47-86.

7. Черноусова Ж.Т. Про підстановки горенштейнового черепичного порядку // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2004. - №4. - С.79-86.

8. Kirichenko V.V., Dokuchaev M.A., Chernousova Zh.T. Tiled orders and Frobenius Rings // Mathematical Notes. - 2002. - vol.72. - no.3. - P.428-432.

9. Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov Chains and partially ordered sets. I. - Brasil, November 2002. - 36 p. (Preprint / Sao Paulo Univ. And Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2002-29).

10. Chernousova Zh.T., Dokuchaev M.A., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Miroshnichenko S.G., Zhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov Chains and partially ordered sets. II. - Brasil, April 2003. - 43 p. (Preprint / Sao Paulo Univ. Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2003-7).

11. Черноусова Ж.Т. Факторкольца нётеровых полупервичных полусовершенных и полудистрибутивных колец // Матеpiали III-ої Мiжнаpодної алгебpаїчної конфеpенцiї в Укpаїнi. - Суми: СумДПУ, 2001. - С.271.

12. Журавлёв В.М., Черноусова Ж.Т., Мирошниченко С.Г. Циклические горенштейновы порядки // Тези доповідей на Міжнародній математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті. - К.: Ін-т математики НАН України, 2002. - С.96-97.

13. Zhuravlev V.N., Chernousova J.T. Ideals of Gorenstein tiled orders whose factor rings are quasi-Frobenius // Тези доповідей на Міжнародній математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті. - К.: Ін-т математики НАН України, 2002. - С.55-56.

14. Chernousova J.T., Zhuravlev V.N. Quivers of Gorenstein tiled orders // Тези доповідей IV-ої Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні . - Л.: Вид-во Львівського нац. у-нту ім. І. Франка, 2003. - P.59-60.

15. Chernousova Zh.T., Khibina M.A., Kirichenko V.V., Zhuravlev V.N. Cyclic reduced Gorenstein tiled orders // Тези доповідей IV-ої Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні . - Л.: Вид-во Львівського нац. у-нту ім. І. Франка, 2003. - P.57-58.