Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

УДК 517.956.4

Застосування методу потенціалів до розв'язання параболічних задач спряження

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Цаповська Жаннета Ярославівна

Львів - 2005

АНОТАЦІЯ

Цаповська Ж.Я. Застосування методу потенціалів до розв'язання параболічних задач спряження. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2005.

В дисертації розглянуто початково-крайову задачу для загального лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку з крайовою умовою Вентцеля та її узагальнення - параболічну задачу спряження, в якій одна з умов спряження, як і крайова умова Вентцеля, має вигляд параболічного рівняння по дотичних змінних. Такі задачі є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.

Класичну розв'язність досліджуваних задач в просторах Гельдера встановлено з використанням методів теорії потенціалу. Шукані розв'язки представлені у вигляді суми параболічного потенціалу простого шару і теплових потенціалів Пуассона. Отримані результати застосовано до вивчення за допомогою аналітичних методів деяких проблем з теорії дифузійних процесів. Зокрема, побудовано інтегральне зображення напівгрупи операторів, що описує найбільш загальний клас неперервних необривних марковських процесів у скінченновимірному евклідовому просторі, які виникають внаслідок розв'язання задачі про склеювання двох дифузійних процесів на гіперплощині. Доведено, що отримані процеси можна трактувати як дифузійні процеси. Для них колмогорівські локальні характеристики руху - вектор переносу та матриця дифузії - існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.

Ключові слова: параболічна початково-крайова задача Вентцеля, параболічна задача спряження, фундаментальний розв'язок, методи теорії потенціалу, дифузійний процес, задача про склеювання дифузійних процесів.

АННОТАЦИЯ

Цаповская Ж.Я. Применение метода потенциалов к решению параболических задач сопряжения. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2005.

В диссертации рассмотрена начально-краевая задача для общего линейного равномерно параболического уравнения второго порядка с граничным условием Вентцеля, а также ее обобщение - задача сопряжения, в которой одно из двух условий сопряжения, которые задаются на гиперповерхности разрыва коэффициентов уравнения, как и граничное условие Вентцеля, имеет вид параболического уравнения по касательным переменным. Такие задачи важны как с точки зрения использования результатов их исследования в теории случайных процессов, так и в теории уравнений с частными производными. Для изучения этих задач в работе применяются методы классической теории потенциала.

Основные результаты диссертации - это, вообще говоря, нетривиальное обобщение известных для равномерно параболических уравнений результатов, касающихся краевых задач, в которых порядок дифференциальных граничных операторов является меньшим, чем порядок уравнения. В диссертационной работе впервые:

1) с помощью методов теории потенциала доказана теорема о классической разрешимости в пространстве Гельдера параболической начально-краевой задачи с граничным условием Вентцеля;

2) с использованием методов теории потенциала установлены условия существования и единственности классического решения из класса Гельдера параболической задачи сопряжения, в которой одно из условий сопряжения определяется дифференциальным граничным оператором типа Вентцеля;

3) с помощью аналитических методов доказана теорема о существовании полугруппы операторов, описывающей диффузионный процесс в области с общим граничным условием Вентцеля;

4) построен класс диффузионных процессов, для которых колмогоровские локальные характеристики движения - вектор переноса и матрица диффузии - существуют в классическом смысле и являются кусочно-непрерывными функциями.

Полученные результаты имеют теоретическое значение. Их можно использовать в дальнейших исследованиях других краевых задач (задач сопряжения) для линейных равномерно параболических уравнений второго либо высших порядков, а также при изучении обобщенных диффузионных процессов.

Ключевые слова: параболическая начально-краевая задача Вентцеля, параболическая задача сопряжения, фундаментальное решение, методы теории потенциала, диффузионный процесс, задача о склеивании диффузионных процессов.

ABSTRACT

Zh. Ya. Tsapovs'ka, Application of the potential method to solving of parabolic coupling problems. - Manuscript.

Dissertation for obtaining the Candidate degree of physics and mathematics sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. - Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2005.

In the thesis, we consider an initial-boundary problem for the second order general linear uniformly parabolic equation with Wenzel boundary condition and its generalization, a parabolic coupling problem in which one of coupling conditions as well as Wentzel boundary condition has the form of a parabolic equation with respect to the tangent variables. Such problems are important not only from the point of view of the theory of random processes bul also in the theory of partial differential equations.

Classical solvability of the investigated problems in Hцlder spaces is established by using of methods of the potential theory. The required solutions are represented in the form of the sum of a simple layer parabolic potential and Poisson heat potentials. The obtained results are applied to studying, with the aid of analytical methods, some problems of the theory of diffusion processes. In particular, we construct an integral representation of an operator semigroup which describes the most general class of continuous noninterrupting Markov processes in a finite-dimentsional euclidean space that arise as a result of solving the problem on glueing of two diffusion processes on a hyperplane. It is proved that the obtained processes can be interpreted as diffusion processes. For them, the Kolmogorov local characteristics of motion, namely, the transition vector and diffusion matrix, exist in the classical sense and are piecewise-continuous functions.

Key words: parabolic initial-boundary Wentzel problem, parabolic coupling problem, fundamental solution, methods of the potential theory, diffusion process, glueing problem for diffusion processes.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С. Підсригача НАН України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Копитко Богдан Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Іванчов Микола Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Малицька Ганна Петрівна, Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, доцент кафедри математичного аналізу і прикладної математики.

Провідна установа: Інститут прикладної математики та механіки НАН України, м. Донецьк.

Захист відбудеться 16 лютого 2006 року о 16-30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано 15 січня 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Класичний метод теорії потенціалу є одним з основних методів дослідження задачі Коші, крайових задач і задач спряження для рівняння теплопровідності, а також для загального лінійного диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку параболічного типу. В основі цього методу, як відомо, лежить конструкція фундаментального розв'язку параболічного рівняння та породжених ним теплових і параболічних потенціалів. Встановлення класичної розв'язності згаданих задач з використанням методу теорії потенціалів дозволяє представляти шукані розв'язки в інтегральній формі, що має важливе значення у застосуванні теорії параболічних рівнянь при вивченні актуальних проблем механіки, теорії теплопровідності, теорії випадкових процесів та інших галузей математики і фізики.

Питання, присвячені розвитку класичної теорії потенціалу та її застосуванню до дослідження початково-крайових задач для лінійних рівномірно параболічних рівнянь другого порядку та деяких їх вироджених випадків детально висвітлені у відомих монографіях С.Д. Ейдельмана, О.О. Ладиженської, В.О. Солоннікова, Н.Н. Уральцевої, А. Фрідмана, Є.М. Ландіса, С.Д. Івасишена, М.В. Житарашу і С.Д. Ейдельмана, М.І. Матійчука, а також у статтях А.М. Ільїна, А.С. Калашнiкова, О.А. Олійник, В.А. Солоннікова, Л.І. Каминіна, Б.В. Базалія, О.О. Бадерко, М.Ф. Черепової, С.Д. Ейдельмана, С.Д. Івасишена, М.І. Матійчука, Г.П. Малицької, В.С. Дроня та ін. Підсумовуючи викладені там результати, можна зробити висновок, що на даний час методом теорії потенціалу достатньо повно вивчені початково-крайові задачі для рівномірно параболічних рівнянь і систем таких рівнянь, лише у випадку, коли порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння, що розглядається в області.

Однак у застосуваннях зустрічаються задачі для лінійного параболічного рівняння другого порядку, що приводять до крайових умов, які містять похідні другого або вищого порядків. Відомими прикладами таких задач є задача, поставлена А. М. Тихоновим та задача Вентцеля (початково-крайова задача для параболічного рівняння з крайовою умовою, що має вигляд параболічного рівняння по дотичних змінних). Зокрема, задача Вентцеля виникає в теорії марковських процесів при побудові дифузійного процесу в області за наперед заданими дифузійними коефіцієнтами та крайовими умовами. Оскільки загальний вигляд крайових умов для багатовимірних дифузійних процесів був знайдений О.Д. Вентцелем, то і відповідні крайові задачі для параболічних рівнянь називаються задачами Вентцеля або задачами з крайовою умовою Вентцеля. Узагальненням задачі Вентцеля в теорії випадкових процесів є так звана задача про склеювання двох дифузійних процесів у скінченновимірному евклідовому просторі, яка була поставлена і досліджувалась для часткових випадків в роботах М.І. Портенка та Б.І. Копитка. Мовою класичного аналізу ця задача формулюється як задача спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами.

Параболічна крайова задача Вентцеля, в якій гранична умова визначається рівномірно параболічним оператором другого порядку, досліджувалася раніше в роботах Й.Зенга і Й. Луо та Д.Є. Апушкінської і А.І. Назарова за допомогою методів функціонального аналізу. Відзначимо, що за такого припущення задача Вентцеля та її узагальнення - задача спряження є коректно поставленими. А це означає, що вони вкладаються в клас початково-крайових задач для параболічних рівнянь і систем, для яких побудована загальна теорія. Нагадаємо, що становлення цієї теорії пов'язане насамперед з роботами В.А. Солоннікова, С.Д. Ейдельмана, С.Д. Івасишена, М.І. Матійчука, М.В. Житарашу, в яких для параболічних рівнянь і систем розвивається метод дослідження відповідно функції і матриці Гріна.

У дисертаційній роботі задача Вентцеля та пов'язана з нею параболічна задача спряження вперше вивчаються в загальних постановках за допомогою методів теорії потенціалу. Розглядається також застосування отриманих при дослідженні цих задач результатів до розв'язання вже згадуваних проблем, що виникають в теорії дифузійних процесів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи “Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень” (номер держреєстрації 0198U002533), що виконувалася у відділі функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки та математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова класичних розв'язків для параболічних початково-крайових задач і задач спряження з крайовими умовами та умовами спряження типу Вентцеля за допомогою методів теорії потенціалу. Ставиться також завдання продемонструвати застосування аналітичних методів до розв'язання деяких проблем з теорії дифузійних процесів. параболічний спряження вентцель дифузійний

Об'єкт дослідження: початково-крайові задачі (задачі спряження) для лінійних рівномірно параболічних рівнянь з частинними похідними другого порядку з граничною умовою (однією з умов спряження) типу Вентцеля.

Предмет дослідження: умови класичної розв'язності в просторах Гельдера початково-крайових параболічних задач Вентцеля та відповідних їм задач спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами; умови існування напівгрупи операторів, що описує дифузійний процес в області із заданою загальною граничною умовою Вентцеля.

Методи дослідження: методи класичної теорії потенціалу та теорії напівгруп.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації вперше отримані такі результати в теорії загальних параболічних рівнянь другого порядку і теорії дифузійних процесів:

1) за допомогою методів теорії параболічних потенціалів доведена теорема про існування класичного розв'язку з класу Гельдера початково-крайової задачі Вентцеля для лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку;

2) з використанням методу теорії потенціалу встановлено умови існування та єдиності класичних розв'язків з класу Гельдера двох параболічних задач спряження як із загальним крайовим оператором типу Вентцеля, так і його окремим випадком в умові спряження;

3) отримано інтегральне зображення напівгрупи операторів, що описує дифузійний процес в області із загальною крайовою умовою Вентцеля;

4) побудовано клас дифузійних процесів, для яких колмогорівські локальні характеристики руху - вектор переносу і матриця дифузії - існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер. Їх результати та методика можуть бути використані при подальших дослідженнях крайових задач (задач спряження) для лінійних параболічних рівнянь другого або вищого порядків з крайовими умовами (умовами спряження) тих самих порядків, а також у теорії випадкових процесів при вивченні дифузійних процесів з крайовими умовами.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1, 4, 5, 7, 9, 10, 11] Б.І. Копиткові належать постановка задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на: міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвяченій 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача (Львів, 1998); третій Українсько-Швецькій конференції з теорії ймовірностей і математичної статистики (Київ, 1999); міжнародній конференції “Nonlinear Partial Differential Equations”, присвяченій Ю. Шаудеру (Львів, 1999); міжнародній конференції “Functional Analysis and its Applications”, присвяченій 110 річниці від дня народження Стефана Банаха (Львів, 2002); міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004); міжнародній конференції пам'яті

В.Я. Буняковського (Київ, 2004); міжнародній конференції “Modern Problems and New Trends in Probability Theory” (Чернівці, 2005); семінарі відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки та математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (1997-2000 рр., 2005 р.); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (2005 р.); семінарі з нелінійного аналізу в Інституті математики НАН України (2005 р.); семінарі відділу математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (2005 р.); семінарі кафедри математичного аналізу і прикладної математики Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника (2005 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубіковані в 12 роботах, з яких 5 [1-5] - у виданнях із переліку № 1, затвердженого ВАК України, та 7 [6-12] у тезах наукових математичних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, , додатку і має обсяг 185 сторінок. Список використаних джерел налічує 155 найменувань і займає 15 сторінок, додаток складається з 21 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, ставляться мета та задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковою темою відділу, в якому вона виконана, відзначається наукова новизна, апробація одержаних результатів та їх практичне значення.

У першому розділі наведено ймовірнісні постановки проблем, що приводять до параболічної початково-крайової задачі Вентцеля та її узагальнення - задачі спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами, зроблено огляд праць, які стосуються теми дисертаційної роботи.

У другому розділі за допомогою методів теорії потенціалу встановлено класичну розв'язність у просторі Гельдера параболічної початково-крайової задачі Вентцеля, що розглядається в обмеженій циліндричній області з гладкою бічною межею. Розділ містить також відому інформацію про фундаментальний розв'язок для лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку та породжені ним теплові та параболічні потенціали.

У дисертації розглядається параболічна крайова задача Вентцеля.

Класична розв'язність задачі встановлюється з допомогою методів теорії потенціалу.

Доданки, які входять до правої частини рівності (9) позначатимемо через , . При цьому перший з них називається параболічним потенціалом простого шару, а другий та третій доданки мають назву відповідно плоского та об'ємного потенціалів Пуассона.

В основі доведення теореми 2.2 лежить редукція поставленої задачі до інтегрального рівняння Вольтерри I роду, перетворення його за допомогою спеціального інтегро-диференціального оператора до еквівалентного рівняння Вольтерри II роду та розв'язання останнього методом послідовних наближень. Перший крок на шляху реалізації цієї схеми полягає у перетворенні умови (5) (після виділення в ній у виразі, що містить похідні першого порядку за просторовими змінними окремо тангенціальної та конормальної складової) до вигляду

Рівність (10) можна розглядати як автономне параболічне рівняння на . Якщо припустити a priori, що , то у цьому рівнянні його коефіцієнти та права частина належать до класу . Відомо, що тоді для розв'язку цього рівняння, який задовольняє початкову умову

Наступний крок полягає в побудові інтегрального зображення розв'язку задачі (10), (12). Для цього спочатку вивчаються два її часткові випадки. В першому з них припускається, що область - напівшар, а саме . У даному випадку - рівномірно параболічний оператор з гельдеровими коефіцієнтами в . Тоді розв'язок задачі Коші (10), (12) можна подати у вигляді суми плоского та об'ємного потенціалів Пуассона, породжених ф.р. і щільностями та відповідно.

Другий частковий випадок відповідає припущенню, коли - напівобмежена область з елементарною бічною межею. Шляхом введення до розгляду так званого розпрямляючого перетворення змінних вивчення даного випадку зводимо до попереднього. Отже, і в цій ситуації для розв'язку задачі (10), (12) існує інтегральне зображення.

Нарешті, ми доводимо, що рівність (13) має місце і у випадку, коли межа області - будь-яка обмежена гіперповерхня з класу загального вигляду. Тут конструкція ф.р. для рівняння здійснюється на підставі “розбиття одиниці”, що підпорядковане покриттю межевої смуги, та результатів, отриманих при вивченні задачі (10), (12) для часткових випадків.

Покладемо у формулі (9) та прирівняємо її праву частину з правою частиною (13). Враховуючи при цьому, (11) і формулу стрибка для конормальної похідної від потенціалу простого шару, одержуємо шукане інтегральне рівняння відносно невідомої щільності :

Ще один крок у доведенні існування розв'язку задачі (3)-(5) полягає в перетворенні інтегрального рівняння Вольтерри I роду (14) до еквівалентного інтегрального рівняння Вольтерри II роду з інтегрованою особливістю у його ядрі. Для цього ми використовуємо спеціальний інтегро-диференціальний оператор , який був введений в роботах О.А. Бадерко та М.Ф. Черепової і застосовувався там при встановленні методом граничних інтегральних рівнянь класичної розв'язності в просторі параболічної першої крайової задачі в нециліндричній області. У дисертації детально описано процедуру, пов'язану з конструкцією оператора , відзначено відомі та вивчено деякі нові його властивості. Побудова оператора здійснюється за схемою, яка була застосована при побудові ф.р. для оператора з (10). Так, у випадку, коли , дія оператора на функції , що задані в , визначається рівністю

Лема 2.2. Оператор є лінійним обмеженим оператором, що відображає простір на простір. При цьому існує обернений оператор.

Лема 2.3. Нехай, і виконані умови теореми 2.2. Тоді існує єдиний розв'язок інтегрального рівняння Вольтерри першого роду (14), який належить до класу Гельдера.

Що стосується випадку, коли межа області - елементарна гіперповерхня з класу , то тут шляхом введення розпрямляючого перетворення змінних задача про побудову регуляризатора для рівняння (14) зводиться до попередньої, а в загальному випадку при визначенні використовується атлас -вимірного многовиду , побудованого за допомогою розбиття одиниці, тобто побудова оператора є локальною з використанням ф.р. для оператора, який є слідом оператора (без молодших членів) на в локальних внутрішніх координатах. На загальний випадок переносяться також властивості оператора, які відображені в твердженнях лем 2.2 та 2.3. Як наслідок цих властивостей маємо, що після застосування оператора до обох частин рівняння (14) останнє перетворюється в еквівалентне інтегральне рівняння Вольтерри II роду, до якого можна застосувати метод послідовних наближень.

Відзначимо, що результати отримані при вивченні часткових випадків задачі (3)-(5), тобто коли - напівшар та напівобмежена циліндрична область з гладкою елементарною бічною межею виділені в окремі твердження і відображені в теоремах відповідно 2.1 та 2.3.

Об'єктом дослідження третього розділу є параболічна задача спряження з крайовим диференціальним оператором типу Вентцеля в одній з умов спряження, а також частковий випадок цієї задачі, коли дана умова сряження описується диференціальним оператором першого порядку за просторовими змінними, що містить лише похідні в напрямку конормалей. Класичну розв'язність розглядуваних задач у відповідних просторах Гельдера встановлено методом граничних інтегральних рівнянь з використанням звичайного потенціалу простого шару.

У підрозділі 3.1 вивчається задача спряження для лінійного параболічного рівняння другого порядку з розривними коефіцієнтами із загальною умовою спряження типу Вентцеля.

Теорема 3.1. Нехай коефіцієнти операторів , , та задовольняють умови відповідно (А1), (А2) та (В1), (В2), гіперповерхня належить до класу, а для функцій , , , та , виконуються умови (20)-(22). Тоді існує єдиний розв'язок задачі (16)-(19), до того ж, , має місце оцінка

У підрозділі 3.1 зроблено декілька зауважень. Відзначається, зокрема, що, як випливає з результатів наших публікацій (див. [2], [3], [5]), методом граничних інтегральних рівнянь можна успішно досліджувати параболічні крайові задачі (задачі спряження) з граничною умовою типу Вентцеля також у випадку, коли в їх постановках області , , , а отже, і “бічна” межа є нециліндричними. Інше зауваження пов'язане з тим, що запропонований в роботі підхід з використанням методів теорії потенціалу до розв'язання параболічних початково-крайових задач із загальною вентцелівською граничною умовою не переноситься в тривіальний спосіб на часткові випадки таких задач. З метою підтвердження відзначених фактів у підрозділі 3.2 вивчається задача спряження вигляду (16)-(19), в якій області і , - напівобмежені нециліндричні області в, їх спільна бічна межа - елементарна поверхня, що належить до класу, а друга умова спряження визначається рівністю

Додатково припускається, що коефіцієнти операторів , , підпорядковуються умовам (А1), (А2), а коефіцієнти оператора та праві частини рівностей (16)-(18), (25) задовольняють умови

Тоді теорема 3.2 стверджує, що при виконанні відповідних умов узгодження задача (16)-(18), (25) має єдиний розв'язок, і цей розв'язок зображується у вигляді суми потенціалу простого шару та потенціалів Пуассона.

Четвертий розділ дисертації присвячено застосуванню розвинених нами методів теорії потенціалу до дослідження деяких проблем теорії дифузійних процесів.

Отже, припустимо, що в заданий твірний диференціальний оператор деякого однорідного дифузійного процесу

де та, , - обмежені неперервні функції на , -симетрична невід'ємно визначена матриця. Припускаємо також, що область визначення характеристичного оператора процесу, який відбувається на межі області у класі гладких в околі функцій визначається крайовою умовою Вентцеля:

Постановка задачі: з'ясувати питання про існування напівгрупи операторів, яка описує неперервний необривний марковський процес на такий, що у внутрішніх точках області він збігається з дифузійним процесом, керованим оператором А і поведінка якого в точках межі області визначається заданою крайовою умовою (27).

Шукану напівгрупу операторів, що діють на функцію позначатимемо через,. Тоді, використовуючи аналітичний підхід до розв'язання сформульованої задачі, функцію можна визначити шляхом дослідження параболічної крайової задачі (3)-(5).

Якщо і виконані умови (А), (В) та (27), то висновок про існування та єдиність класичного розв'язку задачі (3)-(5) можна отримати, як наслідок теореми 2.2. Результат представлено у вигляді теореми 4.1. З цієї теореми випливає, що на гладких функціях шукану напівгрупу можна виразити за допомогою суми двох інтегралів: потенціалу простого шару з щільністю , яка є розв'язком інтегрального рівняння Вольтерри II роду вигляду (16), та плоского потенціалу Пуассона. Далі, доводиться, що оператори , , можна застосовувати до функцій , які належать до простору B,

Теорема 4.2. Нехай для коефіцієнтів операторів A і A з (26) і (27) виконані відповідно умови (А) і (В). Тоді існує напівгрупа операторів , , яка в умовах леми 4.1 описує дифузійний процес в замкнутій області , такий, що у внутрішніх точках цієї області він керується твірним оператором A, а його поведінка на межі визначається крайовою умовою (27).

У підрозділі 4.2 вивчається задача про побудову напівгрупи операторів, яка описує найбільш загальні класи неперервних процесів Феллера в , , що виникають як результат “склеювання” двох дифузійних процесів на гіперплощині.

Постановка задачі: побудувати напівгрупу операторів, яка описує найбільш загальний клас неперервних і необривних процесів Феллера в , таких, що їх частини в точках , , збігаються із заданими дифузійними процесами. Цю задачу називають задачею про склеювання двох дифузійних процесів.

Шукана напівгрупа операторів, які діють на функцію позначається через. Її інтегральне зображення визначається шляхом дослідження методом теорії потенціалу наступної параболічної задачі спряження:

Якщо припустити при цьому, що початкова функція з (30) належить до класу Гельдера, і для неї виконана умова узгодження

то твердження про існування та єдність розв'язку задачі (29)-(32), який належить до класу, є простим наслідком теореми 3.1. Даний результат сформульований в дисертації у вигляді теореми 4.3. З цієї теореми випливає, зокрема, що для випадку гладких шукана напівгрупа визначається за формулою

Далі, встановлюється, що оператори , , можна застосовувати до функцій з простору , і що за умови, , знайдена напівгрупа операторів визначає в деякий необривний феллерівський процес. Якщо позначити його ймовірність переходу через, то функцію можна представити у вигляді

На підставі нерівності (35) робимо висновок, що траєкторії побудованого процесу можна вважати неперервними, а рівності (36), (37) означають, що цей процес є дифузійним в розумінні означення А.М. Колмогорова. Для нього вектор переносу дорівнює, а матриця дифузії дорівнює.

Теорема 4.4. Нехай для коефіцієнтів операторів , та з (29) та (32) виконані умови (), (). Тоді розв'язок параболічної задачі спряження (29)-(32) однозначно визначає напівгрупу операторів, що описує дифузійний процес в , з розривними дифузійними коефіцієнтами, які визначаються співвідношеннями (36), (37).

У додатку Д наведено доведення леми 2.2.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена вивченню методом класичної теорії потенціалу початково-крайових задач та задач спряження для загального лінійного параболічного рівняння другого порядку з граничною умовою, а у випадку задачі спряження - з умовою спряження типу Вентцеля. Такого типу задачі є важливими як з точки зору застосувань у теорії випадкових процесів, так і в теорії рівнянь з частинними похідними.

Основні результати дисертації є, взагалі кажучи, нетривіальними узагальненнями відомих для рівномірно параболічних рівнянь результатів, що стосувалися крайових задач, в яких порядок диференціальних крайових операторів менший, ніж порядок рівняння.

В роботі отримані такі результати:

1. За допомогою методу теорії потенціалу доведена теорема про класичну розв'язність у просторі Гельдера параболічної початково-крайової задачі з граничною умовою Вентцеля.

2. Побудовано інтегральне зображення розв'язку задачі Коші для лінійного рівномірно параболічного рівняння другого порядку на многовиді, яким є гіперповерхня.

3. З використанням методу теорії потенціалу встановлено умови існування та єдиності класичного розв'язку з класу Гельдера параболічної задачі спряження, в якій одна з умов спряження визначається диференціальним крайовим оператором типу Вентцеля.

4. За допомогою аналітичних методів доведена теорема про існування напівгрупи операторів, що описує дифузійний процес в області із загальною крайовою умовою Вентцеля.

5. Побудовано клас дифузійних процесів, для яких колмогорівські локальні характеристики руху - вектор переносу і матриця дифузії - існують в класичному сенсі і є кусково-неперервними функціями.

Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися при подальших дослідженнях крайових задач (задач спряження) для лінійних рівномірно параболічних рівнянь другого або вищих порядків з крайовими умовами (умовами спряження) тих самих порядків, а також в теорії випадкових процесів при вивченні узагальнених дифузійних процесів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kopytko Bohdan I., Tsapovska Zhanna J. Diffussion processes with discountiouns local characteristics of the movement // Theory of Stochastic Processes. - 1998. - 4(20), N 1-2. - P. 139-146.

2. Цаповська Ж.Я. Розв'язання методом потенціалів одної параболічної задачі спряження у нециліндричній області // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, № 2. - С. 39-46.

3. Цаповська Ж.Я. Розв'язання методом потенціалів параболічної початково-крайової задачі з оператором типу Вентцеля в умові спряження // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - 1999. - 42, № 3. - С. 66-74.

4. Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of an Operator Semigroup Describing a Diffusion in a Domain with Wentzel's Boundary Conditon // Theory of Stochastic Processes. - 1999. - 5(21), № 3-4. - P. 105-112.

5. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Метод потенціалів в параболічній крайовій задачі з граничною умовою Вентцеля // Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична. 2000. - Вип. 56. - C. 106-115.

6. Цаповська Жаннета. Розв'язання одної параболічної задачі спряження методом потенціалів // Міжнародна наукова конференція “Сучасні проблеми механіки і математики”, присвячена 70-річчю від дня народження академіка НАН України Я.С. Підстригача та 25-річчю заснованого ним ІППММ (Львів, 25-28 травня, 1998 р.): Матеріали. - Львів, 1998. - С. 234.

7. Kopytko B.I., Tsapovska Zh. Ya. Integral Representation of a Semigroup that Describes a Diffusion in Domain with a Boundary Wentzel Conditon // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics (June, 8 - 12, 1999): Book of Abstracts. - Kyiv: 1999. - P. 64.

8. Tsapovska Zh. Ya. Solving parabolic initial-boundary problem with boundary Wentzel condition by potential method // International Conference Dedicated by J.P. Schauder "Nonlinear Partial Differential Equations" (Ukraine, Lviv, August 23-29, 1999): Book of abstracts. - Lviv, 1999. - P. 206.

9. B.I. Kopytko, Zh.Ya. Tsapovs'ka. Analytical method for constructing a diffusion process with generalized drift vector localized on a hyper-surface // International Conference on Functional Analysis and its Applicatuions Dedicated to the 110 th anniversary of Stefan Banach (Ukraine, Lviv, May 28-31, 2002): Book of abstracts. - Lviv, 2002. - P. 113-114.

10. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Багатовимірна модель дифузії з мембраною, розташованою на фіксованій гіперповерхні, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory (Chernivtsi, Ukraine, June 19-26, 2005): Abstracts, I. - Chernivtsi, 2005. - P. 126-127.

11. Копитко Б.І., Цаповська Ж.Я. Процеси дифузії в середовищі з мембраною, властивості якої описуються загальною крайовою умовою Вентцеля // Міжнародна конференція пам'яті В.Я. Буняковського (1804-1889) (16-21 серпня 2004, Київ): Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 77-78.

12. Цаповська Ж.Я. Розв'язання параболічної задачі Вентцеля методом граничних інтегральних рівнянь // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004, Чернівці, Україна): Тези доповідей. - Чернівці, 2004. - С. 114-115.

Размещено на Allbest.ru