Достатні умови керованості систем при невизначеності

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича

КОМЛЄВА ТЕТЯНА ОЛЕКСАНДРІВНА

УДК 517.9

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ДОСТАТНІ УМОВИ КЕРОВАНОСТІ СИСТЕМ ПРИ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Чернівці - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики №2 Одеського національного політехнічного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор УСОВ Анатолій Васильович, Одеський національний політехнічний університет, завідувач кафедри вищої математики №2.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Жуковський Владислав Йосипович, Російський заочний інститут текстильної та легкої промисловості, завідувач кафедри математики і механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор Теплінський Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський державний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і геометрії.

Провідна установа - Київський національний університет ім. Тараса Шевченка Міністерства освіти і науки України, кафедра інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету, м. Київ.

Захист відбудеться “18” листопада 2005 року о 14⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому національному університеті ім. Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Чернівецького

національного університету ім. Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці,

вул. Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий “17” жовтня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наприкінці 50-х років XX століття виникла математична теорія оптимального керування. Її бурхливий розвиток був зумовлений чисельними застосуваннями в багатьох галузях науки та техніки і викликав появу великої кількості публікацій на зазначену тему. Значний внесок у розвиток теорії керування був внесений Л.С. Понтрягіним, Р. Белманом, Р. Калманом, Р.В. Гамкрелідзе, В.І. Зубовим, М.М. Красовським, Н.Н. Моісеєвим, Б.М. Пшеничним, Ф.Л. Черноусько, О. Ф. Філіпповим та ін.

Однією з основних задач, що розглядаються в даній теорії, є задача керованості. Для лінійних систем вона практично повністю досліджена. Необхідну і достатню умову керованості у випадку необмежених керувань дає критерій Калмана.

В теорії нелінійних систем настільки повних і вичерпних результатів досі не отримано, чим і пояснюється підвищена зацікавленість до її дослідження. З середини 70-х років ХХ століття суттєво зросла кількість публікацій з геометричної теорії керування, характерною рисою якої є систематичне застосування диференційно-геометричних і теоретико-групових методів до вивчення нелінійних систем. Великий внесок в розвиток цього напрямку внесли R. W. Brockett, H. Hermes, V. Jurdjevic, A. J. Krener, C. Lobry, H. J. Sussmann. Тоді ж А. А. Аграчевим й Р. В. Гамкрелідзе був створений апарат хронологічного числення, за допомогою якого в геометричній теорії керування вдалось отримати багато нових результатів.

Основним моментом в сучасній теорії керування стає відбиток дефіциту інформації про керовану систему, різноманітних невизначеностей в її математичному описі. Так в 70-80 роках виникла і стала розвиватися теорія керування об'єктами в умовах невизначеності як один з напрямків теорії оптимального керування. Це пов'язано з тим, що не всі керуючі впливи, що впливають на стан динамічної системи, підкоряються волі людини. При розв'язанні практичних задач важливо враховувати і недостатність інформації про параметри системи, і похибки у вихідних даних, і вплив на систему неконтрольованих перешкод і збурень. В залежності від виникаючих невизначеностей, у даній теорії виділяють три основні напрями досліджень.

1. Точно не визначений фазовий вектор системи в початковий момент часу, однак відома множина, що містить цей вектор і математично точно описується динаміка самого об'єкту (В. В. Альсевич, І. М. Ананьєвський, Б. М. Бублик, Ф. Г. Гаращенко, Д. О. Овсянніков, Л. С. Соколов, В. І. Зубов, О. Б. Куржанський та ін.).

2. Частина параметрів системи задається з деякою похибкою або, можливо, на даний об'єкт впливають деякі сили (перешкоди), математично точний опис яких неможливо зробити, але відомі області їхньої зміни (О. Г. Александров, Т. Ф. Ананьїна, Т. К. Виноградова, В. Ф. Дем'янов, Н. Л. Григоренко, Г. М. Константинов, М. М. Красовський, М. С. Нікольський, В. О. Нікіфоров, С. Отакулов, А. В. Плотніков, В. О. Брусін, Б. Т. Поляк, В. Ф. Соколов, В. Й. Жуковський, А. О. Чикрій та ін.).

3. Не розглядається природа виникаючих невизначеностей (вони можуть бути як першого типу, так і другого, чи обох одночасно), а розглядається вплив невизначеностей на критерії якості функціонування системи (В. Й. Жуковський, Е. М. Вайсборд, М. Е. Салуквадзе, В. Е. Жуковін та ін.).

Дана дисертаційна робота відноситься до другого напряму досліджень і в цьому напрямі можна виділити три основних підходи.

Перший підхід є одним з найбільш "старих" і заснований на припущенні, що основні характеристики перешкоди відомі (або вона у якийсь спосіб вимірюється, або її характеристики визначаються побічно) і враховуються при складанні задачі. У такий спосіб задача в умовах невизначеності перетворюється на звичайну задачу керування.

У другому підході замість значень невизначених параметрів або перешкод у рівняння підставляється область їхньої зміни, що призводить до заміни однозначної правої частини рівняння на багатозначну. Тоді поведінку об'єкта описує вже не диференціальне рівняння, що містить керування і невизначені параметри, а диференціальне рівняння з багатозначною правою частиною, що містить тільки керування. У даному випадку кожному керуванню тепер може відповідати багатозначне відображення жмуток траєкторій (ансамбль траєкторій), що призводить до багатозначності розглянутого в задачі критерію якості. Для досліджень тут використовуються результати і методи з теорії багатозначних відображень та теорії диференціальних включень.

Третій підхід ґрунтується на тому, що деякі з розглянутих задач у теорії керування в умовах невизначеності близькі за своїм формулюванням до задач, що вивчаються в теорії ігор. Якщо припустити, що можливі перешкоди - це інші гравці (наприклад, у роботах І. М. Ананьєвського, М. Л. Григоренко, М. М. Красовського, М. С. Нікольского, А. О. Чикрія та ін.), то можна деякі методи теорії ігор застосувати при розв'язанні задач керування в умовах невизначеності. Це частково полегшує дослідження в даному напрямі, оскільки теорія ігор на сьогодення досить добре розвинута і продовжує бурхливо розвиватися. Основна ж відмінність полягає у тому, що перешкоди, на відміну від гравців, не можуть мати своїх інтересів і своїх цілей. Перешкоди, що виникають в процесі керування об'єктом, можуть як перешкоджати досягненню поставленої мети, так і сприяти цьому. Можлива і ситуація, коли перешкода поводиться нейтрально і не впливає на стан системи, але заздалегідь (на відміну від теорії ігор) цього сказати не можна.

Відзначимо, що в останні роки з'явилися роботи й з теорії ігор в умовах невизначеності.

Очевидно, що задача керованості залишається актуальною і для задач керування в умовах невизначеності. Для лінійного випадку подібна задача розглядалася М. С. Нікольським, А. О. Чикрієм, Л. М. Григоренко.

У даній дисертаційній роботі розглянута задача керованості нелінійного керованого об'єкта при невизначеності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми №420-31 "Технологічні проблеми механіки неоднорідних структур" (номер держреєстрації 0237U002558) і теми №248-31 "Моделювання і забезпечення надійності і довготривалості технологічних систем" (номер держреєстрації 0199U001547), що виконуються на кафедрі вищої математики Одеського національного політехнічного університету.

Мета і задачі дослідження.

Мета роботи отримання достатніх умов керованості нелінійної керованої системи за наявності невизначеності при різних обмеженнях на вектор керування і вектор перешкод.

Об'єктом дослідження є нелінійне диференціальне рівняння, що містить у правій частині вектор керування і вектор перешкод.

Предметом дослідження є задача керованості в умовах невизначеності.

Методи дослідження. У роботі використовуються: диференційно-геометричні методи для нелінійних систем і хронологічне числення А. Аграчева-Р. Гамкрелідзе, метод усереднення для систем з малим параметром, перший прямий метод Л.С. Понтрягіна і метод вирішуючих функцій для ігор переслідування.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:

достатні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування і перешкода задовольняють геометричні обмеження;

достатні умови керованості для білінійних систем, коли керування і перешкода задовольняють геометричні обмеження;

достатні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування і перешкода задовольняють змішані обмеження;

достатні алгебраїчні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування і перешкода задовольняють геометричні обмеження.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має, в основному, теоретичний характер. Розроблені методи можуть застосовуватись для дослідження керованих систем при невизначеності, а отримані результати можуть бути використані при дослідженні задач оптимального керування при невизначеності з різними критеріями якості, а також в теорії диференціальних ігор переслідування.

Особистий внесок здобувача. В усіх статтях без співавторів отримані результати належать автору. У статті [2] А. В. Плотнікову належить загальна ідея дослідження, а доведення всіх наведених тверджень - автору. У роботі [4] автору належать формулювання і доведення леми 1 та теореми 1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідалися й обговорювалися на 10 міжнародних і всеукраїнських конференціях, симпозіумах, конгресах: Міжнародна наукова конференція "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998); Науково-технічна конференція "Пам'яті М.П.Кравчука" (до 100-річчя з дня народження) (Київ, 1992); Республіканська науково-методична конференція, присвячена 200-річчю з дня народження М.І. Лобачевського (Одеса, 1992); Іnternatіonal conference on Approxіmatіon and optіmіzatіon (Cluj-Napoca, Romanіa, 1996); the Fourth Іnternatіonal Workshop "Multіple crіterіa problems under uncertaіnty " (Orekhovo-Zuevo, Russіa, 1996); Міжнародна конференція "Диференціальні й інтегральні рівняння" DІFІN-2000 (Одеса, 2000); Міжнародна конференція з керування "Автоматика-2001" (Одеса, 2001); The Іnternatіonal Conference on Applіed Mathematіcs Dedіcated to the 65-th Annіversary of B.N. Pshenіchnyі (1937-2000) (Київ, 2002); VІ Кримська Міжнародна математична школа "Метод функцій Ляпунова і його застосувавння" (Алушта, 2002); Іnternatіonal Conference "Dynamіcal systems modellіng and stabіlіty іnvestіgatіon" (Київ, 2003)

Публікації. За результатами дисертаційного дослідження опубліковано 19 наукових праць: 5 статей у наукових журналах з переліку ВАК України ([1 - 5]), 4 роботи у збірниках наукових праць ([6 - 9]), 10 тез доповідей на наукових конференціях [10 - 19].

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури, що містить 120 найменувань. Загальний обсяг дисертації складає 135 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи.

У другому розділі розглядається задача керованості динамічного об'єкту в умовах невизначеності, поведінка якого описується гладкою системою нелінійних диференціальних рівнянь, а також системою білінійних диференціальних рівнянь. Припускається, що керуючі впливи і перешкоди задовольняють геометричні обмеження. При розв'язуванні поставленої задачі в підрозділі 2.1 частково використовується підхід, що був запропонований А.О. Чикрієм при розгляді лінійних диференціальних ігор переслідування.

Нехай динаміка керованого об'єкту в умовах невизначеності описується системою

(1)

де фазовий вектор, час, - початковий стан об'єкту, . Допустимі керування та перешкода є вимірними функціями часу і задовольняють геометричні обмеження

(2)

майже для всіх , де .

Означення 2.1. Скажемо, що керована система (1), (2) може бути переведена з початкового стану на термінальну множину за скінчений час , якщо для будь-якої допустимої перешкоди існують допустиме керування і час такі, що .

Припущення 2.1. Нехай виконуються наступні умови:

1) , - гладкі функції по на ;

2) - вимірні функції по на ;

3) майже для всіх і всіх існують константи такі, що

Припущення 2.2. Розв'язок системи (1) існує для всіх t 0.

Припущення 2.3. Виконується умова Л. С. Понтрягіна, тобто

для майже всіх й усіх , де

.

Лема 2.1. Нехай система (1), (2) задовольняє припущення 2.1, тоді для будь-яких допустимих впливів і розв'язок системи (1) можна подати у вигляді

Позначимо через множину функцій таких, що

а) - вимірна на ;

б) - гладка на ;

в) для майже всіх і всіх .

Множину розв'язків допоміжної задачі ,

позначимо через :

Визначимо множину векторних полів у такий спосіб:

=

Припущення 2.4. Термінальна множина є компактною.

Позначимо через переріз множини в момент часу тобто а через - множину таких векторних полів які "скеровують об'єкт в бік термінальної множини N ".

Введемо до розгляду наступну функцію, яку надалі будемо називати нуль-функцією:

Визначимо і позначимо

Теорема 2.1. Нехай для керованого процесу (1), (2) виконуються припущення 2.1-2.4 і Тоді з початкової точки можна перевести систему (1) на термінальну множину N за час .

У підрозділі 2.2 розглядається задача переведення на термінальну множину керованого об'єкта, поведінка якого описується системою рівнянь

(3)

де - малий параметр і допустимі керування та перешкода задовольняють геометричні обмеження (2).

Припущення 2.5. Нехай виконуються наступні умови:

1) a) - гладка функція по на ;

b) - сумована і 2 - періодична функція по t на ;

2) - гладкі функції по на ;

3) - гладкі функції по на ;

4) для всіх існують константи такі, що

Припущення 2.6. Існують і константа такі, що

Поставимо у відповідність задачі (3) наступну автономну задачу:

(4)

де = t,

Очевидно, система (4) є частинним випадком системи (1), тому, аналогічно результатам підрозділу 2.1, одержимо:

Теорема 2.3. Нехай для автономного керованого процесу (4), (2) Тоді для початкового стану існує така константа , що для всіх неавтономну керовану систему (3), (2) можна перевести на термінальну множину N за час .

У підрозділі 2.3 розглядається білінійна керована диференціальна система в умовах невизначеності:

, (5)

де - матриці, матриця, матриця, матриця, Допустимі керування і перешкода задовольняють геометричні обмеження

(6)

де - багатозначні відображення.

Очевидно, система (5) є частинним випадком системи (1), коли

Припущення 2.8. Нехай виконуються наступні умови:

1) матриці абсолютно неперервні на ;

2) існують константи такі, що:

для всіх ;

3) існують константи такі, що:

для майже всіх ;

4) матриці комутують при різних , тобто

;

5) матриці вимірні на ;

6) існують константи такі, що

для майже всіх ;

7) для всіх

а) існує матриця ;

b) матриця U абсолютно неперервна на ;

с) існують константи такі, що

8) багатозначні відображення

- вимірні на ;

9) існують константи такі, що

для майже всіх .

Тут і надалі під нормою матриці будемо розуміти її спектральну норму.

Лема 2.4. Нехай виконується припущення 2.8. Тоді фундаментальну матрицю системи (5) можна подати у вигляді

де I - одинична матриця.

Нехай

де

(7)

Інтеграл у (7) розуміється в сенсі Ауманна.

Позначимо через

,

де .

Доведено, що якщо існує хоча б один момент часу такий, що , то існує .

Теорема 2.4. Якщо для білінійної системи (5), (6) і для заданого початкового стану виконується умова , то для будь-якої перешкоди знайдеться таке керування , що система (5) буде переведена з на термінальну множину за час .

У підрозділі 2.4 розглянуто приклад застосування білінійної диференціальної системи керування в умовах невизначеності до виникаючих у атомній енергетиці реакторних оптимізаційних задач. Однією з таких задач є задача знаходження перехідного режиму, який забезпечує переведення реактора з одного рівня потужності на інший або повну його зупинку. У роботах А.П. Рудика і S. Celіkovsky дана задача розв'язується як звичайна задача керування, що не забезпечує завершення перехідного процесу за визначений час. Розв'язання ж задачі переходу як задачі керування в умовах невизначеності дає необхідні гарантії.

Третій розділ присвячений дослідженню гладких нелінійних керованих систем в умовах невизначеності, коли крім областей зміни керування і перешкоди відомі також обмеження на їхні ресурси.

У підрозділі 3.1 розглянута неавтономна система

, (8)

де початковий стан термінальна множина.

Допустимі керування і перешкода задовольняють геометричні та інтегральні обмеження одночасно:

, (9)

. (10)

Нехай - довільні константи. Введемо до розгляду наступну сім'ю векторних полів

,

де , .

Припущення 3.2. Існує така константа , що для всіх і майже всіх виконується .

Позначимо через

множину скалярних сумованих з квадратом на , невід'ємних функцій

і .

Теорема 3.1. Якщо для системи (8)-(10) існують момент часу 0<<+ і нестаціонарне векторне поле такі, що:

,

то систему (8) можна перевести з початкового стану на термінальну множину N за час .

Зауваження 3.1. Теорема 3.1 буде справедливою і у випадку одних тільки інтегральних обмежень на керування і перешкоду, якщо множину визначити наступним чином:

,

де - -вимірна куля у .

У підрозділі 3.2 розглянута автономна система

(11)

з інтегральними обмеженнями (10) на допустимі керування і перешкоду.

Припущення 3.4. Для кожного має місце включення:

Позначимо через матрицю розміру , елементами якої є коефіцієнти розкладу , .

Теорема 3.3. Нехай для системи (11), (10) виконується припущення 3.4 і існують момент часу та нестаціонарне векторне поле такі, що і , де

функція така, що і при всіх , . Тоді систему (11) можна перевести з початкового стану на термінальну множину N за час .

У четвертому розділі розглянута гладка нелінійна керована система, фазовий простір якої є гладким n-вимірним многовидом, а термінальна множина має спеціальний вигляд. Ключову роль у розв'язанні задачі керованості даної системи відіграє властивість нільпотентності алгебри Лі векторних полів, пов'язаної з рівнянням системи.

У підрозділі 4.1 в припущенні, що асоційована з системою алгебра Лі нільпотентна, доводиться існування такого її впорядкованого базису, що розв'язок нелінійної системи

(12)

де гладкі векторні поля на може бути поданий у вигляді композиції експонент.

Нехай задана термінальна множина , і допустимі керування та перешкода задовольняють геометричні обмеження

. (13)

Згідно з лемою 2.1, для довільних впливів розв'язок системи (12) запишемо у вигляді:

,

де

є розв'язком допоміжної системи

,

Або

.

Для сім'ї векторних полів

визначимо за індукцією , , де множина всіх добутків Лі ого ступеня елементів із . Позначимо через алгебру Лі, породжену сім'єю :

.

Припущення 4.1. .

Припущення 4.2. Алгебра Лі - скінченновимірна.

Нехай і - деякий її базис. У алгебри Лі вилучимо множину векторних полів, які перетворюються у нуль в точці :

, .

Означення 4.1. Базис будемо називати впорядкованим у точці , якщо для будь якого H відповідний є ідеалом в , тобто ,

і , причому утворюють базис .

Означення 4.2. Алгебра Лі називається розкладною у точці , якщо для неї можна вказати впорядкований у цій точці базис.

Визначимо за індукцією центральну спадаючу послідовність ідеалів в алгебрі Лі : , де .

Лема 4.1. Якщо алгебра Лі нільпотентна (для деякого ), то вона розкладна у точці для будь якої точки .

Теорема 4.1. Якщо алгебра Лі розкладна у точці , то розв'язок системи (12), (13) допускає зображення у вигляді композиції експонент

,

де впорядкований у точці базис алгебри , а функції є розв'язком системи

У підрозділі 4.2 доводиться достатня умова переведення керованої нелінійної системи (12), (13) в умовах невизначеності на термінальну множину за скінчений час.

Припущення 4.3. Алгебра Лі - нільпотентна..

Припущення 4.4. Термінальну множину для системи (12), (13) можна зобразити у вигляді

, (14)

де впорядкований у точці базис асоційованої з системою нільпотентної алгебри Лі .

Теорема 4.2. Якщо для керованої системи (12)-(14)) виконуються припущення 4.1-4.4 і можна вказати такий момент часу Т<+, що для будь-якої допустимої перешкоди , існує допустиме керування , таке, що має місце включення

,

то дану систему можна перевести із початкового стану на термінальну множину за час Т.

Зауваження 4.3. Якщо у системі (12) векторне поле , то результати даного розділу залишаються правильними й для випадку, коли термінальну множину можна подати у вигляді

,

де впорядкований базис алгебри Лі ,

.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота має, в основному, теоретичний характер. Наведені в ній результати узагальнюють відомі дослідження в області керованості нелінійних гладких керованих систем та лінійних систем при невизначеності.

При цьому отримані наступні нові наукові результати:

1) достатні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування та перешкода задовольняють геометричні, інтегральні або мішані обмеження;

2) достатні умови керованості для білінійних диференціальних систем при невизначеності, коли керування та перешкода задовольняють геометричні обмеження;

3) достатні алгебраїчні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування та перешкода задовольняють геометричні обмеження;

Отримані результати можуть бути використані для дослідження задач керування з різними критеріями якості при умовах невизначеності, а також в теорії диференціальних ігор переслідування.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Комлева Т.А. Достаточное условие завершения преследования в одной нелинейной дифференциальной игре // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - №6. - С.134-140.

2. Комлева Т.А., Плотников А.В. О завершении преследования для неавтономной дифференциальной игры двух лиц // Нелінійні коливання. - 2000. - Т.3, №4. - С. 469-473.

3. Комлева Т.А. О времени завершения преследования в одной нелинейной дифференциальной игре // Укр. мат. журн. - 2001. - Т.53, №5. - С. 702-706.

4. Комлева Т.А., Плотников А.В. Некоторые свойства пучков траекторий управляемого билинейного включения // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, №4. -С. 484 - 495.

5. Комлева Т.А. Алгебраические условия завершения преследования в нелинейной дифференциальной игре // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. - Киев: ИМ НАН Украины. - 1997. - С.158-161.

6. Комлева Т.А. Задача преследования в нелинейной дифференциальной игре // Сложные управляемые системы. - М.: РЗИТЛП. - 1996. - С.98-104.

7. Комлева Т.А. Задача преследования для билинейной дифференциальной игры // Труды Одесского политехнического университета. - 2001. - вып. 1 (13). - С. 193-198.

8. Комлева Т.А. Билинейная дифференциальная игра преследования с кусочно-непрерывными управлениями // Труды Одесского политехнического университета. - 2001. - вып. 3 (15). - С. 88-90.

9. Комлева Т.А. Завершение преследования в нелинейной дифференциальной игре // Оптимизация управления, информационные системы и компьютерные технологии. Труды Украинской академии экономической кибернетики (Южный научный центр). - Киев-Одесса: ИСЦ. - 1999. - вып.1, ч.1. - С. 57-62.

10. Комлева Т.А. Завершение преследования в нелинейных дифференциальных играх на многообразии // Науково-технічна конференція "Пам'яті М.П.Кравчука" (до 100-річчя з дня народження). Доповіді. - Київ. - 1992. - С. 40-41.

11. Комлева Т.А. О нелинейной задаче преследования // Тезисы докладов научно-методической конф., посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. - Ч. 2. - Одесса. - 1992. - С. 74-75.

12. Komleva T. A. Nonlinear differential game of persuit // Abstr. International Conf. on Appr. and Opt. - Cluj-Napoca (Romania). - 1996. - P. 57.

13. Komleva T.A. One antagonistic game on manifold // Abstr. of the Fourth International Workshop “Multiple criteria problems under uncertainty“. - Orekhovo-Zuevo (Russia). - 1996. - P.43.

14. Комлева Т.А. О нелинейных дифференциальных играх на гладких многообразиях // Матеріали Міжнародної наукової конф. „Сучасні проблеми математики”. - Ч. 1. - Київ: ІМ НАН України. - 1998. - С. 288-292.

15. Комлева Т.А. Нелинейная задача преследования и время ее завершения // Тези доповідей Міжнародної конф. “Диференціальні та інтегральні рівняння”. - Одеса: Астропринт. - 2000. - С.145-146.

16. Комлева Т.А. Об одной билинейной дифференциальной игре // Матеріали Міжнародної конф. з управління "Автоматика - 2001". - Т.1. -Одесса. - 2001. - С. 76-77.

17. Komleva T.A. The nonlinear control problem under uncertainty // The International Conf. on Appl. Math. - Kyiv (Ukraine). - 2002. - P. 104.

18. Комлева Т.А. Управление нелинейной системой при наличии помехи // VI Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. - Симферополь. - 2002. - С. 74.

19. Комлева Т.А. Одна задача управления в условиях неопределенности // International Conference “Dynamical systems modelling and stability investigation” Thesis of conference reports. - Kyiv. - 2003. - С. 68.

АНОТАЦІЯ

Комлєва Т.О. Достатні умови керованості систем при невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню задач керованості нелінійних гладких систем при невизначеності. В роботі отримані достатні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності, коли керування і перешкода задовольняють геометричні, інтегральні або подвійні обмеження та для білінійних систем, коли керування і перешкода задовольняють геометричні обмеження. Отримані також достатні алгебраїчні умови керованості для гладких нелінійних систем при невизначеності на многовиді з геометричними обмеженнями на керування і перешкоди.

Подані результати можуть бути використані при дослідженні задач керування з різними критеріями якості при умовах невизначеності, а також в теорії диференціальних ігор переслідування.

Ключові слова: керованість, гладкі нелінійні системи, дужки Лі, невизначеність.

АННОТАЦИЯ

Комлева Т.А. Достаточные условия управляемости систем при неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2005.

Диссертация посвящена исследованию управляемости нелинейных гладких систем при неопределенности вида:

(1)

где фазовый вектор, время, - начальное состояние объекта, - управление, - помеха. Задано также терминальное множество и класс допустимых управлений и помех - измеримых функций времени, которые стеснены некоторыми дополнительными ограничениями. Это могут быть, например, геометрические ограничения: для почти всех , интегральные ограничения: или двойные ограничения, когда на функции и накладываются геометрические и интегральные ограничения одновременно. Для данной системы рассматривается следующая задача управляемости: перевести систему (1) из начального состояния на заданное множество за конечное время при любой допустимой реализации помехи .

В работе получены достаточные условия управляемости для гладких нелинейных систем при неопределенности, когда управление и помеха удовлетворяют геометрическим, интегральным или двойным ограничениям и для билинейных систем с геометрическими ограничениями на управление и помеху. Получены также достаточные алгебраические условия управляемости для гладких нелинейных систем при неопределенности, заданных на гладком многообразии, когда управление и помеха удовлетворяют геометрическим ограничениям. алгебраїчний керованість геометричний білінійний

Диссертационная работа имеет, в основном, теоретический характер. Разработанные методы могут быть применены для исследования управляемых систем при неопределенности, а полученные результаты могут быть использованы при исследовании задач оптимального управления при неопределенности с различными критериями качества, а так же в теории дифференциальных игр преследования.

Ключевые слова: управляемость, гладкие нелинейные системы, скобки Ли, неопределенность.

ABSTRACT

Komleva T. A. Sufficient conditions of controllability for system under uncertainty. - Manuscript.

The thesis for the degree of the Candidate of physical and mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. - The Yurij Fedkovich Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2005.

The dissertation is devoted to the investigation controllability problem for the nonlinear system under uncertainty. In the work sufficient conditions of controllability for the smooth nonlinear system with disturbance are obtained. Admissible control and uncertain parameterizes are measurable functions, which satisfy geometric or integral or double restrictions. For bilinear system and for nonlinear system with the small parameter sufficient conditions of transference on terminate set are found. The algebraic sufficient condition of controllability for the smooth nonlinear system with disturbance on the smooth manifold is proved when the associate algebra Lee is nilpotent. The obtained results may be used for investigation the control problem under uncertainty with different quality criterions and in the theory of the differential games of pursuit.

Key words: controllability, the smooth nonlinear system, algebra Lee, uncertainty.

Размещено на Allbest.ru

...