Задачі для гіперболічних систем першого порядку та ультрапараболічних систем у необмежених областях

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

УДК 517.95

ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ ТА УЛЬТРАПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ У НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 -- диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Гузіль Наталія Іванівна

Львів 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка, Мінінстерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Лавренюк Сергій Павлович, професор кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Городецький Василь Васильович, завідувач кафедри алгебри та інформатики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

кандидат фізико-математичних наук, доцент Мединський Ігор Павлович, доцент кафедри прикладної математики Національного університету “Львівська політехніка”

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики, м. Київ.

Захист відбудеться _10 листопада 2005 р. о _15.30_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий __7 жовтня_ 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради __________ Остудін Б.А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Системи гіперболічних рівнянь першого порядку активно досліджували протягом ХХ століття. Інтерес до таких систем викликаний тим, що вони моделюють різні фізичні, біологічні та хімічні процеси.

З найбільшою повнотою досліджено лінійні та напівлінійні гіперболічні системи з двома незалежними змінними. Це зумовлено тим, що у випадку двох змінних надзвичайно ефективним є метод характеристик. У випадку багатьох змінних використовували метод параметриксу, кінцевих різниць, методи функціонального аналізу.

Значна частина досліджень присвячена задачі Коші та мішаним задачам в обмежених областях. Порівняно в небагатьох працях розглядали мішані задачі для гіперболічних систем першого порядку в необмежених областях з некомпактною межею і лише у кількох працях задачі без початкових умов (неперіодичні задачі за часовою змінною).

У другому розділі дисертаційної роботи досліджено саме такі задачі для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в необмежених областях.

Близькими до гіперболічних систем є системи ультрапараболічні. Ця близькість полягає у тому, що ультрапараболічну систему можна подати у вигляді суми двох диференціальних операторів гіперболічного першого порядку та еліптичного другого порядку. Зазначимо, що ультрапараболічні рівняння є моделями певних випадкових процесів (приклад рівняння Колмогорова); вони виникають при моделюванні марківських дифузійних процесів, в теорії ймовірностей, теорії бінарних електролітів, кінетичній теорії, в біології, розсіюванні електронів та інших областях науки.

На сьогоднішній день достатньо повно досліджено задачу Коші для лінійних ультрапараболічних рівнянь і деякі мішані задачі в обмежених областях для лінійних і певних нелінійних ультрапараболічних рівнянь. Згадаємо тут праці Ейдельмана С. Д., Івасишена С. Д., Малицької Г. П, Терсенова С. А., Пяткова С. Г., Амірова Ш., Паскальова Г. П., Орлової С. А., Генчєва Т. Г., Суворова С. Г. У незначній кількості праць вивчали мішані задачі та задачі Фур'є для ультрапараболічних рівнянь в необмежених областях. Таким задачам присвячений третій розділ дисертаційної роботи.

Недостатня вивченість задач для систем гіперболічних рівнянь першого порядку та ультрапараболічних рівнянь в необмежених як за часовою так і просторовими змінними областях спонукала до дослідження їх розв'язності, без припущень на поведінку розв'язку на нескінченності, у цій дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи "Розробка теорії класичних і некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908), що виконується у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є визначення умов існування та єдиності розв'язку задач для систем гіперболічних рівнянь першого порядку та ультрапараболічної системи в необмежених областях.

Безпосередніми задачами дослідження систем, що розглядаються, є:

визначення умов існування та єдиності розв'язку задачі без початкових умов для системи напівлінійних гіперболічних рівнянь першого порядку;

визначення умов існування та єдиності сильного (в сенсі Лакса-Філіпса) розв'язку і розв'язку майже скрізь мішаних задач для напівлінійної гіперболічної системи першого порядку в необмежених областях;

знаходження умов коректності задачі в обмеженій області для систем гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку;

дослідження існування та єдиності сильного розв'язку задачі Фур'є для системи ультрапараболічних рівнянь;

знаходження умов існування та єдиності узагальненого розв'язку та слабкого розв'язку мішаних задач для системи ультрапараболічних рівнянь у необмежених за просторовими змінними областях.

Об'єктом дослідження є задачі для систем напівлінійних гіперболічних рівнянь та нерівностей першого порядку та систем ультрапараболічних рівнянь у необмежених областях.

Предметом дослідження є існування та єдиність розв'язку задач без початкових умов та мішаних задач для систем напівлінійних гіперболічних рівнянь першого порядку та ультрапараболічних систем.

Методи дослідження: метод Гальоркіна, методи монотонності та компактності. гіперболічний задача рівняння нерівність

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержано такі результати.

Одержано умови існування єдиного розв'язку задачі без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в обмеженій за просторовими змінними і необмеженій за часовою змінною області. Доведено, що коректність задачі не залежить від поведінки розв'язку при t > - ?.

Досліджено мішану задачу для багатовимірної напівлінійної t-гіперболічної системи першого порядку в області з некомпактною межею. За допомогою методу Гальоркіна одержано достатні умови існування та єдиності розв'язку майже скрізь і сильного розв'язку задачі з крайовими умовами типу Діріхле в класі функцій з довільним зростанням при x > +?.

Досліджено систему гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку. Отримано достатні умови існування та єдиності сильного та слабкого розв'язків задачі в обмеженій області.

Досліджено задачу без початкових умов для слабко нелінійної ультрапараболічної системи (у випадку багатьох часів), знайдено умови існування та єдиності розв'язку в сенсі Лакса-Філіпса у класі функцій, які не залежать від поведінки при t > - ?.

В області, необмеженій за частиною просторових змінних, досліджено мішану задачу для напівлінійної ультрапараболічної системи. Існування та єдиність розв'язку цієї задачі одержано без припущень про його поведінку на нескінченності.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер, можуть використовуватись при подальших дослідженнях в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [3, 5] С.П. Лавренюку належить формулювання задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (Чернівці, 2003р.); всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 2003р.); міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (Алушта, 2003р.); міжнародній конференції, присвяченій 125-й річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004р.); міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробогатька (Дрогобич, 2004р.); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2003 - 2005рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 10 працях, з них 3 у наукових журналах, 2 у збірниках наукових праць та 5 у матеріалах і тезах наукових математичних конференцій. Серед публікацій є 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 154 найменування. Загальний об'єм дисертації 169 сторінок, з яких 17 сторінок займає список використаних джерел.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, вказується мета та задачі дослідження, наукова новизна, апробація одержаних результатів та їх практичне значення.

У першому розділі подається короткий огляд тих праць, які безпосередньо стосуються теми дисертаційної роботи.

У другому розділі досліджено задачі для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в необмежених областях та задачу для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку в обмеженій області.

Нехай область в R^l з межею ? C¹, деякий простір. В області =(,T), де {-, 0} розглянемо систему рiвнянь

(1)

де u, g, f - вектор стовпці порядку m, , C матрицi порядку .

Позначимо через множину таких точок поверхні , що, через множину тих точок поверхні S_T для яких, де є зовнішньою нормаллю до S_T.

Задамо для системи (1) крайові умови

u(x,t)=0 на . (2)

У випадку, коли , будемо за давати ще початкові умови

. (3)

Припускатимемо, що для коефіцієнтів системи (1) виконуються умови:

(A): елементи матриць A_i належать до простору , елементи матриць A_ixj належать до простору для всіх i,j=1,…,l ; для всіх (x,t)єQ_T;

(C): елементи матриць C, C_xi належать до простору;

(G₀): функції є вимірними на;

функції є неперервними в R^m і iснують такі невід'ємні сталі g⁰, g ¹

що виконуються нерівності

g⁰>0, якщо p>2 i g⁰=0, якщо;

(G₁): функції є неперервними в R^m\{0}; для майже всіх і для всіх R^m, де - матриця Якобі функції g;

При доведенні існування єдиного розв'язку задач у необмежених областях використано існування єдиного розв'язку відповідної задачі в обмеженій області. Тому спочатку розглянемо допоміжну задачу в обмеженій області.

Нехай обмежена область в R^l. Розглянемо в систему рiвнянь (1) з умовами (2), (3). Введемо простір.

Означення 2.1. Функцію , яка задовольняє включення, p=p/(p-1), систему (1) для майже всіх (x,t)єQ_T, крайові та початкові умови (2), (3) називатимемо розв'язком майже скрізь задачі (1) (3) в обмеженій області .

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови (A), (C), (G₀), (G₁), (S), якщо l>2; p>1, якщо l=1 або 2. Тоді існує єдиний розв'язок майже скрізь задачі (1) (3) в обмеженій області Q_T.

Перейдемо до розгляду задач у необмежених областях. Нехай обмежена область в R^l. В області =(, T) розглянемо задачу без початкових умов (1), (2).

Означення 2.2. Сильним розв'язком задачі (1), (2) називатимемо функцію , яка є границею в просторі послідовності функцій {u^k} таких, що для всіх N u^k є розв'язок майже скрізь системи A(u^k)=f ^k і задовольняє крайові умови (2), де послідовність {f ^k} є збіжна до функції у просторі.

Теорема 2.3. Нехай виконуються умови (A), (C), (G₀), (G₁), (S);майже для всіх (x,t)єQ_T, для всіх R^m, const якщо l>2; p>2, якщо l=1 або 2; . Тоді існує єдиний сильний розв'язок задачі (1), (2).

Якщо крім умов теореми 2.3 виконується умова: для всіх, де, то доведено (теорема 2.4), що сильний розв'язок задачі (1), (2) задовольняє умову для всіх.

Також показано, що умова у випадку виродження системи на частині бічної поверхні S_T є істотною для того, щоб клас єдиності розв'язків задачі без початкових умов не залежав від поведінки розв'язку при. Наведено приклад гіперболічної системи, для якої умова є достатньою для того, щоб клас єдиності й існування розв'язку задачі Фур'є не залежав від поведінки розв'язку при.

У підрозділі 2.2.2 для випадку, коли1<p?2, одержано існування єдиного сильного розв'язку в класі функцій з експоненціальним зростанням (теорема 2.5).

Припустимо виконання таких умов:

(A₀): елементи матриць неперервні і обмежені в Q_T; елементи матриць кусково-неперервні і обмежені в Q_T;

(K): характеристичні поверхні системи (1), проведені через кожну точку області можна продовжити (при) до перетину з поверхнею.

Теорема 2.6. Нехай виконуються умови (A), (A₀), (C), (G₀), (G₁), (S), (K); ; майже для всіх (x,t)єQ_T, для всіх якщо l>2; p>1, якщо l=1 або 2. Тоді існує єдиний розв'язок майже скрізь задачі (1), (2) в Q_T.

Наведено приклади систем, для яких виконується умова (K).

У підрозділі 2.3 розглянуто мішану задачу в необмеженій області.

Нехай необмежена область в R^l. В області =(,T) розглянемо задачу (1) (3).

Припускатимемо, що для будь-яких R>0, є областю, регулярною в сенсі Кальдерона. Введемо простір.

Говоритимемо, що матриці задовольняють умову (А₁), якщо (А₁): існує послідовність обмежених регулярних областей таких, що є кусково-гладкою, для всіх, на кожній виконується умова.

Теорема 2.8. Нехай виконуються умови (A), (A₁), (C), (G₀), (G₁), (S); якщо l>2. Тоді існує єдиний розв'язок майже скрізь задачі (1) (3) у необмеженій області Q_T.

Означення 2.5. Сильним розв'язком задачі (1) (3) називатимемо функцію, яка є границею у просторі послідовності розв'язків майже скрізь системи з крайовими умовами (2) і початковими умовами, де при.

Теорема 2.9. Нехай виконуються умови (A), (A₁), (C), (G₀), (G₁), (S); якщо l>2; p>1, якщо l=1 або 2. Тоді існує єдиний сильний розв'язок задачі (1) (3).

Нехай є характеристичний конус системи (1) з вершиною в точці .

Припускатимемо, що виконується умова (A₄), якщо:

(A₄): виконується умова (A₀); для кожної точки, перетин множини з площиною має додатну міру в R^l і частина бічної поверхні, яка належить до Q_T, є гладкою; існує послідовність {} регулярних областей таких, що множина тих точок поверхні для яких може бути записана у вигляді;

Теорема 2.11. Нехай виконуються умови (A₄), (C), (G₀), (G₁), (S); якщо l>2; p>1, якщо l=1 або 2. Тоді існує сильний розв'язок задачі (1) (3).

У підрозділі 2.4 розглянуто задачу для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку.

Нехай обмежена область в R^l. Розглянемо нерівність з початковою умовою (3), де матриці порядку , вектор-стовпці порядку .

Нехай де оператор або 1, й існує принаймні одне таке jє(1,…,m), що

Означення 2.6. Функцію , яка задовольняє включеннямайже для всіх , нерівність (4) для всіх та для всіх, , майже для всіх і початкову умову (3), називатимемо сильним розв'язком задачі (4), (3).

Теорема 2.12. Нехай виконуються умови (A), (C), (G₀), (G₁), (S); елементи матриць належать до простору для l>2 i p>1 для l=1 або 2. Тоді існує єдиний сильний розв'язок задачі (4), (3) в області Q_T.

Також у цьому ж підрозділі сформульовано означення слабкого розв'язку задачі (4), (3) та доведено його існування та єдиність.

У третьому розділі досліджено задачу Фур'є та мішані задачі для слабко нелінійної системи ультрапараболічних рівнянь у необмежених областях.

Нехай - область в Rⁿ, - область в R^l, де, - деякий простір. Розглянемо в області Q_T систему рівнянь.

Позначимо через множину точок поверхні, для яких для всіх через -- множину тих точок поверхні S_T, для яких для всіх де є зовнішньою нормаллю до S_T.

Припускатимемо, що для коефіцієнтів системи (5) виконуються умови:

(A): елементи матриць належать до простору елементи матриць належать до простору для всіх i,j=1,…,l; для всіх (x,y,t)єQ_T;

(B): елементи матриць належать до простору для всіх i,j=1,…,n, s=1,…,l, елементи матриць належать до простору, i=1,…,n; для майже всіх і для всіх (C): елементи матриць належать до простору ;

(G₀): функції є вимірними нафункції є неперервними в R^m і існують такі невід'ємні сталі , що для будь-яких R^m і майже всіх виконуються нерівності якщо p>2 i , якщо ;

(G₁): функції є неперервними в для майже всіх і майже для всіх R^m, де - матриця Якобі функції g;

Введемо позначення.

Задамо для системи (5) крайові умови

u(x,y,t)=0 на , (6)

u(x,y,t)=0 на . (7)

У випадку, коли , будемо задавати ще початкові умови

У підрозділі 3.1 досліджено допоміжну задачу (5) - (8) в обмеженій області, де - обмежена область в Rⁿ, - обмежена область в R^l. Введемо простори.

Означення 3.1. Функцію, яка задовольняє рівність для всіх і крайові умови (6), (7) називатимемо узагальненим розв'язком задачі (5) (8) в області Q_T.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (G₀), (G₁), (S); якщо l+n>2 i p>2, якщо n+l=2. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (5) (8) в обмеженій області Q_T.

У підрозділі 3.2 досліджено задачу Фур'є для системи ультрапараболічних рівнянь.

Нехай - обмежена область в Rⁿ, D- обмежена область в R^l. Розглянемо в області систему рівнянь (5) в якій, i=1,…,n з крайовими умовами (6), (7).

Введемо позначення та дамо означення слабкого розв'язку цієї задачі.

Означення 3.2. Слабким розв'язком задачі (5) (7) називатимемо функцію , яка є границею в просторі послідовності функцій таких, що для всіх N і задовольняє рівність для всіх, і крайові умови (6), (7), де послідовність є збіжна до функції у просторі.

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (G₀), (G₁), (S); майже для всіх (x,y,t)єQ_T, для всіх R^m, якщо n+l>2 і p>2, якщо n+l=2. Тоді існує єдиний слабкий розв'язок задачі (5) (7).

Підрозділи 3.3 і 3.4 присвячені мішаним задачам для системи ультрапараболічних рівнянь у необмежених областях.

Задача в області, необмеженій за змінною y.

Нехай - обмежена область в Rⁿ, D- необмежена область в R^l. В області Q_T розглянемо систему рівнянь (5), в якій i=1,…,n, з крайовими умовами (6), (7) та початковими умовами (8). Нехай {} послідовність регулярних обмежених областей таких, що для всіх.

Введемо простір.

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (G₀), (G₁), (S); i=1,…,l, якщо l+n>2 i p>1, якщо n+l=2; існує послідовність областей {} таких, що для всіх і для всіх. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (5) (8) в області Q_T.

Нехай є характеристичний конус гіперболічної частини системи (5) з вершиною в точці .

Говоритимемо, що матриці задовольняють умову (A₁), якщо:

(A₁):; елементи матриць неперервні і обмежені в для кожної точки де, перетин множини з площиною має додатну міру в R^l і частина бічної поверхні K(y,T), яка належить до є гладкою; існує послідовність {} регулярних обмежених областей таких, що множину тих точок поверхні, для яких для всіх, можна подати у вигляді, причому dist.

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови (A), (А₁), (B), (C), (G₀), (G₁), (S);,, i=1,…,l,;, якщо l+n>2 i p>1, якщо n+l=2. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (5) (8) в області Q_T.

Введемо простір.

Означення 3.4. Функцію яка належить простору називаємо слабким розв'язком задачі (5) (8), якщо вона є границею у цьому просторі послідовності функцій {}, кожна з яких є узагальненим розв'язком задачі (5) (8) з правою частиною у системі (5) і з початковою функцією, де у просторі, у просторі при.

Теорема 3.5. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (G₀), (G₁), (S); елементи матриць обмежені в для всіх ; для майже всіх (x,y,t)єQ_T, для всіх R^m, const; якщо l+n>2 i p>2, якщо n+l=2; існує послідовність областей {} таких, що для всіх R^m\{0} і для всіх. Тоді існує єдиний слабкий розв'язок задачі (5) (8) в області Q_T.

Задача в області, необмеженій за змінною x.

Нехай - необмежена область в Rⁿ, D- обмежена область в R^l. В області розглянемо систему рівнянь (5), в якій i=1,…,n, та f(x,y,t)=0, з крайовими умовами (6), (7) і початковими умовами (8).

Одержано умови єдиності узагальненого розв'язку задачі (5) - (8) у класі функцій, які зростають не швидше, ніж при , де a>0.

У підрозділі 3.4 досліджено мішану задачу для ультрапараболічної системи (5) в області, необмеженій за всіма просторовими змінними.

Нехай , , , , . В області розглянемо систему рівнянь (5), в якій .

1) Нехай ^l_i=1 A _i (x,t)<0 на X_T, тоді для системи (5) задамо крайові та початкові умови (7), (8).

Теорема 3.7. Нехай виконуються умови (A), (B), (C), (G₀), (G₁); елементи матриць обмежені в для всіх i=1,…,l; елементи матриць належать до простору L^?(Q_T) для всіх s,j=1,…,n; для майже всіх (x,y,t)єQ_T, для всіх R^m, c₀ = const;

^l_i=1 A_i (x,t)<0 для всіх ; , ; , якщо n+l>2 i p>2, якщо n+l=2. Тоді існує єдиний слабкий розв'язок задачі (5), (7), (8) в Q_T.

2) Нехай ^l_i=1 A_i (x,t)>0 на X_T, тоді для системи (5) задамо крайові умови (7) і умову u(x,y,t)=0 на S_T та початкові умови (8). Для цієї задачі сформульовано означення узагальненого розв'язку та одержано умови існування та єдиності цього розв'язку в деякому ваговому просторі.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задач без початкових умов та мішаних задач для гіперболічних систем першого порядку і ультрапараболічних систем в необмежених областях. Отримано умови існування та єдиності розв'язку цих задач без обмежень поведінки розв'язку на нескінченності. У дисертації одержано такі результати:

1) встановлено умови існування єдиного розв'язку задачі без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з багатьма незалежними змінними в обмеженій за просторовими змінними і необмеженій за часовою змінною області. Доведено, що коректність задачі не залежить від поведінки розв'язку при t>-?. Мішану задачу для такої системи рівнянь в обмеженій області досліджено в монографії Ліонса Ж.-Л;

2) досліджено мішану задачу для багатовимірної напівлінійної -гіперболічної системи першого порядку в області з некомпактною межею. Одержано достатні умови існування та єдиності розв'язку майже скрізь і сильного розв'язку задачі з крайовими умовами типу Діріхле в класі функцій з довільним зростанням при ;

3) отримано деякі достатні умови існування та єдиності сильного та слабкого розв'язків задачі для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку в обмеженій області;

4) досліджено задачу без початкових умов для слабко нелінійної ультрапараболічної системи (у випадку багатьох часів), знайдено умови існування та єдиності розв'язку в сенсі Лакса-Філіпса у класі функцій, які не залежать від поведінки при ;

5) в областях, необмежених за частиною просторових змінних, досліджено мішані задачі для напівлінійної ультрапараболічної системи. Одержано існування і єдиність розв'язку мішаної задачі в області, необмеженій за однією частиною змінних; деякі оцінки розв'язку і теорему єдиності розв'язку мішаної задачі в області, необмеженій за іншою частиною змінних; існування і єдиність розв'язку мішаної задачі в області, необмеженій за всіма просторовими змінними. Розв'язність цих задач одержано без припущень на поведінку розв'язків на нескінченності.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Гузіль Наталія. Мішана задача для напівлінійної гіперболічної системи першого порядку в необмеженій області // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. 2003. Вип.62. C. 13-26.

Гузіль Н.І. Задача без початкових умов для напівлінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку // Математичні Студії. 2004. Т.21, № 2. C. 187-196.

Гузіль Н.І., Лавренюк С.П. Задача без початкових умов для гіперболічної системи першого порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2004. Т.47, № 2. C. 108-115.

Гузіль Наталія. Задача без початкових умов для системи ультрапараболічних рівнянь // Вісник Львів. ун-ту, Сер. мех.-мат. 2004. Вип.63. C. 59-76.

Гузіль Н.І., Лавренюк С.П. Мішана задача для напівлінійної ультрапараболічної системи в необмеженій області // Доповіді НАН України. 2005. № 5. C. 1116.

Guzil N. A problem without initial condition for a semilinear first-order system of hyperbolic equations // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання" (26 30 серпня 2003р., м.Чернівці). Тези доп. Київ, 2003. C. 281.

Гузіль Н.І. Застосування методу Гальоркіна до дослідження гіперболічної системи першого порядку // Нелінійні проблеми аналізу: ІІІ Всеукраїнська наукова конференція. Тези доповідей. Івано-Франківськ: Плай, 2003. C. 128.

Barabash G.M., Huzil N.I., Oliskevich M.O. Mixed problem for semilinear ultraparabolic system // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. Donetsk, 2003. P. 15.

Гузіль Н.І. Задача без початкових умов для гіперболічної системи першого порядку // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Тези доповідей. 27 червня 3 липня 2004, Чернівці. C. 31.

Гузіль Наталія. Задача без початкових умов для системи ультрапараболічних рівнянь // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька (27 вересня 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. Львів, 2004. C. 67.

Анотація

Гузіль Н.І. Задачі для гіперболічних систем першого порядку та ультрапараболічних систем у необмежених областях. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню мішаних задач та задач Фур'є для напівлінійної гіперболічної системи першого порядку з багатьма незалежними змінними та слабко нелінійної ультрапараболічної системи в необмежених областях. Для цих задач отримано умови існування та єдиності (сильного, слабкого, узагальненого) розв'язку без жодних припущень щодо поведінки даних задачі і розв'язку на нескінченності. Також одержано достатні умови існування та єдиності сильного та слабкого розв'язків задачі для системи гіперболічних варіаційних нерівностей першого порядку в обмеженій області.

Ключові слова: напівлінійна гіперболічна система першого порядку, ультрапараболічна система, гіперболічна варіаційна нерівність, мішана задача, задача Фур'є, необмежена область, умови існування та єдиності розв'язку.

Annotation

Huzil N.I. The problems for hyperbolic systems of the first order and ultraparabolic systems in unbounded domains. - Manuscript.

The thesis for Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko Lviv National University. Lviv, 2005.

Thesis is devoted to investigation of the boundary value problems and the Fourier problems for a semilinear hyperbolic system of the first order and a weak nonlinear ultraparabolic system in unbounded domains. Some results about the uniqueness and existence of a (strong, weak, generalized) solution without any conditions at the infinity are obtained. There are also obtained some sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to the problem for a system of hyperbolic variational inequalities of the first order in a bounded domain.

Key words: semilinear hyperbolic system of the first order, ultraparabolic system, hyperbolic variational inequality, boundary value problem, the Fourier problem, unbounded domain, conditions of existence and uniqueness.

Аннотация

Гузиль Н.И. Задачи для гиперболических систем первого порядка и ультрапараболических систем в неограниченных областях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2005.

Диссертация посвящена исследованию смешанных задач и задач Фурье для полулинейной гиперболической системы первого порядка со многими переменными и слабо нелинейной ультрапараболической системы в неограниченных областях. Также получены некоторые достаточные условия существования и единственности сильного и слабого решения задачи для системы гиперболических вариационных неравенств первого порядка в ограниченной области.

Найдены условия существования единственного решения задач без начальных условий для полулинейной гиперболической системы первого порядка и ультрапараболической системы в ограниченной по пространственных переменных и неограниченной по временной переменной области. Доказано, что корректность задачи не зависит от поведения решения при .

Исследована смешанная задача для многомерной полулинейной t-гиперболической системы первого порядка в области с некомпактной границей. С помощью метода Галеркина определены некоторые достаточные условия существования и единственности решения почти всюду и сильного решения задачи с краевыми условиями типа Дирихле в классе функций с произвольным возрастанием при .

В областях, неограниченных по группам пространственных переменных, исследованы смешанные задачи для полулинейной ультрапараболической системы. Получены условия существования и единственности решения смешанной задачи в области, неограниченной по переменной y; некоторые оценки решения и теорема единственности решения смешанной задачи в области, неограниченной по переменной x; существование и единственность решения смешанной задачи в области, неограниченной по всех пространственных переменных. Разрешимость этих задач полученa без предположений о поведении решений на бесконечности.

Для получения этих результатов использованы метод Галеркина, метод монотонности и компактности. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут использоватся при дальнейших исследованиях в теории дифференциальных уравнений с частными производными и математической физике.

Ключевые слова: полулинейная гиперболическая система первого порядка, ультрапараболическая система, гиперболическое вариационное неравенство, смешанная задача, задача Фурье, неограниченная область, условия существования и единственности решения.

Размещено на Allbest.ru

...