Гіпермодулі в теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

01.01.01 Математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Гіпермодулі в теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням

Ковтонюк Денис Олександрович

Донецьк 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

Рязанов Володимир Ілліч,

Інститут прикладної математики і механіки

НАН України, завідувач відділу теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Міклюков Володимир Михайлович,

Волгоградський державний університет,

професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук,

Волчков Віталій Володимирович,

Донецький національний університет, доцент

кафедри математичного аналізу та теорії функцій.

Провідна установа:

Інститут математики НАН України (м. Київ),

відділ комплексного аналізу та теорії потенціалу.

Захист відбудеться 22 грудня 2006 р. о 15.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург,74.

Автореферат розіслано 27 грудня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

Размещено на http://allbest.ru

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні роки у роботах багатьох провідних спеціалістів з теорії відображень інтенсивно вивчаються різні класи відображень зі скінченним спотворенням, які природним чином узагальнюють конформні, квазіконформні та квазірегулярні відображення. Серед них можна виділити роботи К. Астала, Е. Віламора, С.К. Водоп'янова, Ф. Герінга, Т. Іванця, П. Коскели, Дж. Манфреді, Г. Мартіна, О. Мартіо, У. Сребро, В.І. Рязанова, Ю. Хейнонена, І. Холопаінена, Е. Якубова та інших.

Вивченню відображень зі скінченним спотворенням історично передував розвиток теорії квазіконформних відображень, що виникла наприкінці двадцятих років у роботах Г. Греча і М.О. Лаврентьєва. У роботах Л. Альфорса, П.П. Бєлінського, Л. Берса, Б.В. Боярського, І.Н. Векуа, Ю. Вяйсяля, Ф. Герінга, В.М. Міклюкова, Б.В. Шабата, О. Лехто та інших були вивчені основні властивості цих відображень. Потім Ю.Г. Решетняком і його учнями С.К. Водоп'яновим, В.М. Гольдштейном та іншими була розвинута теорія відображень з обмеженим спотворенням, що включають і просторові квазіконформні відображення. Ці відображення, іменовані як квазірегулярні відображення, також активно вивчалися багатьма фінськими математиками, такими як О. Мартіо, С. Рікман, Ю. Вяйсяля, М. Вуоріненом та іншими.

О. Мартіо і Ю. Вяйсяля (1988) також ввели і вивчали клас відображень з обмеженим спотворенням довжини, що є підкласом відображень з обмеженим спотворенням за Решетняком. Відображення зі скінченним спотворенням довжини були запропоновані В.І. Рязановим (2002) і вивчалися ним разом з О. Мартіо, У. Сребро і Е. Якубовим. Ці відображення утворюють більш широкий клас відображень, чим (непостійні) квазірегулярні відображення з обмеженим спотворенням за Решетняком. Наприклад, будь-який гомеоморфізм з є відображенням зі скінченним спотворенням довжини. У дисертації розглядається клас відображень зі скінченним спотворенням площі, який включає відображення зі скінченним спотворенням довжини, що забезпечує подальше розширення класів.

Паралельно з теорією квазіконформних відображень інтенсивно розвивалася теорія так званих гомеоморфізмів, введених у 2001 році фінським математиком Олі Мартіо. Основною метою теорії гомеоморфізмів є вивчення взаємозв'язків властивостей відображення і властивостей мажоранти у модульній нерівності. Основи теорії гомеоморфізмів були закладені в роботах О. Мартіо, В.І. Рязанова, У. Сребро та Е. Якубова, а також ця концепція була поширена ними на відображення з розгалуженням, так звані відображення. Високий рівень абстракції теорії відображень дозволяє застосувати цю теорію до всіх сучасних класів відображень, де вдається встановити оцінку модуля з придатною мажорантою, яка пов'язана з тими чи іншими характеристиками (дилатаціями) відображень, у тому числі до відображень зі скінченним спотворенням.

У роботах О. Мартіо, В.І. Рязанова, У. Сребро та Е. Якубова теорія гомеоморфізмів розвивалася в основному для випадку, коли мажоранта належала відомому простору (обмеженого середнього коливання). У роботах В. Рязанова і А. Ігнатьєва теорія гомеоморфізмів розвивається, насамперед, стосовно до випадку, коли має скінченне середнє коливання у відповідних граничних точках. Одночасно в їх роботах було розвинуто метод сингулярних функціональних параметрів, вибір яких дозволяє одержувати і багато інших критеріїв неперервного і гомеоморфного продовження гомеоморфізмів на межу. У дисертації розглядається більш загальне поняття - поняття гіпер гомеоморфізмів.

В усіх цих узагальненнях, як і в класичній теорії, модульна техніка відіграє ключову роль. Однак до цього моменту вивчалася роль лише верхніх оцінок модулів. У дисертаційній роботі вивчаються, насамперед, нижні оцінки модуля, котрі далі застосовуються до питань усувності та продовження, а також до інших питань теорії відображень.

Зазначимо, що питання усувності та продовження завжди займали одне з центральних місць у теорії відображень і, зокрема, у теорії квазіконформних відображень. Дисертація багато в чому присвячена саме цим питанням. Наведені в ній результати і методи можуть бути застосовані до різних класів просторових відображень зі скінченним спотворенням. Таким чином, тема дисертаційної роботи є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту прикладної математики і механіки НАН України у рамках науково-дослідної теми: "Варіаційно-параметричні та секвенційні методи у геометричній теорії функцій та нелінійному аналізі" (шифр теми - 1.1.4.2, номер теми по плану Інституту - 2).

Мета і задачі дослідження. Дисертація присвячена розвиткові методу модулів стосовно до сучасних класів відображень зі скінченним спотворенням. Однією з головних задач дослідження було знаходження найбільш широкого класу відображень, у якому можливо одержати оцінки спотворення модулів сімей поверхонь. Таким чином, об'єктом дослідження дисертаційної роботи є відображення зі скінченним спотворенням площі в і класи просторових відображень, прилеглі до них, - гіпер гомеоморфізми і нижні гомеоморфізми. Предмет дослідження - топологічні питання теорії відображень (усувність і продовження). Мета роботи - розвиток теорії модулів та знаходження на цій основі нових умов, що забезпечують усувність особливостей гомеоморфізмів, а також їх неперервне чи гомеоморфне продовження на межу. гіпермодуль просторовий відображення спотворення

Наукова новизна одержаних результатів. Дисертація займає цілком визначене місце в потоці досліджень останнього часу з відображень зі скінченним спотворенням. Саме, дисертація заповнює пробіл, що був у розвиткові методу модулів сімей поверхонь і, особливо, нижніх оцінок спотворення модулів. Серед отриманих верхніх оцінок слід відзначити узагальнення відомої нерівності Полецького для квазірегулярних відображень. Введений у дисертаційній роботі клас відображень зі скінченним спотворенням площі є одним з найбільш широких сучасних класів відображень. Використання в дисертації ще більш загальних нижніх гомеоморфізмів дає можливість по-новому розглянути такі актуальні проблеми теорії відображень, як усувність особливостей і продовження просторових відображень на межу. Зокрема, це дозволило сформулювати умови усувності особливостей гомеоморфізмів у дещо інших термінах, чим це було раніше. При цьому зазначені умови не можуть бути ослаблені. Крім того, у дисертації отримано цілу низьку результатів про неперервне і гомеоморфне продовження відображень на межу, серед яких можна відзначити узагальнення відомої теореми Герінга - Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень між областями квазіекстремальної довжини. Зокрема, результати дисертації застосовні до скінченно біліпшицевих відображень, які є узагальненням відомих класів ізометричних і квазіізометричних відображень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення. Результати роботи і методика їх отримання, можуть бути використані при вивченні різних питань теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням.

Особистий внесок дисертанта. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівникові - В.І. Рязанову. Результати розділів 1 та 2 отримано спільно з науковим керівником. Остаточні формулювання і доведення усіх результатів належать автору дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на

- Міжнародній школі-конференції з аналізу и геометрії, присвяченій 75-річчю від дня народження академіка РАН Ю.Г. Решетняка, Новосибірськ, 23 серпня - 2 вересня 2004;

- наукових семінарах у Хельсінському університеті (керівники О. Мартіо і М. Вуорінен);

- науковому семінарі в Академічному Інституті Технологій, Холон, Ізраїль (керівник Е. Якубов);

- наукових семінарах відділу теорії функцій ІПММ НАН України, Донецьк (керівник д.ф.-м.н. В.І. Рязанов);

- науковому семінарі кафедри статистики Академії митної служби України, Дніпропетровськ (керівник д.ф.-м.н., проф. С.Б. Вакарчук);

- науковому семінарі кафедри математичного аналізу та теорії функцій ДонНУ, Донецьк (керівник д.ф.-м.н., проф. Р.М. Тригуб).

- науковому семінарі відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України, Київ (керівник д.ф.-м.н. Ю.Б. Зелінський).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 8 наукових роботах, серед яких 5 статей у наукових журналах [1 - 5], 2 препринти [6, 7] и 1 теза міжнародної школи-конференції [8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 124 найменування. Повний обсяг роботи складає 106 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Дисертаційна робота складається із вступу і трьох розділів.

У першому розділі наведено основні означення та отримані верхні та нижні оцінки спотворення модуля сімей поверхонь в усіх вимірностях при відображеннях зі скінченним спотворенням площі.

У підрозділі 1.1 наводиться означення модуля сімей поверхонь та його основні властивості. У подальшому через будемо позначати вимірну міру Хаусдорфа в

Нехай - відкрита множина в Неперервне відображення називається вимірною поверхнею в

Число прообразів

називається функцією кратності поверхні у точці

вимірна хаусдорфова площа в , або просто площа, асоційована з поверхнею , визначається формулою

для довільної борелівської множини в

Поверхня називається спрямляємою, якщо

Якщо - борелівська функція, то її інтеграл по визначається рівністю

Борелівська функція називається допустимою для сім'ї вимірних поверхонь в , пишемо , якщо

Для модулем сім'ї вимірних поверхонь в , називається наступна величина

У випадку модуль будемо називати конформним модулем.

Наступне твердження є аналогом теорем Фубіні, Вяйсяля та Мартіо - Рязанова - Сребро - Якубова.

Теорема 1.1.1. Нехай і нехай - підмножина відкритої множини . Тоді вимірна за Лебегом в у тому і тільки тому випадку, якщо вимірна відносно площі на м.в. вимірних поверхнях в Крім того, тоді і тільки тоді, коли на м.в. вимірних поверхнях в

У підрозділі 1.2 вводиться поняття гіпер відображення. Далі вважаємо, що - відкрита множина в і відображення неперервне. Для пари вимірних функцій і ми говоримо, що відображення , називається гіпер відображенням у вимірності якщо

і

для кожної сім'ї вимірних поверхонь в і усіх та Ми також говоримо, що відображення є гіпер відображення, якщо є гіпер відображенням в усіх вимірностях

Для заданого відображення і точки позначимо

і

Відображення називається відображенням скінченного метричного спотворення, пишемо якщо має властивість, і

для майже всіх

Будемо говорити, що відображення має властивість, якщо виконані дві умови:

: для м.в. вимірних поверхонь в звуження має властивість відносно площі;

: для м.в. вимірних поверхонь в звуження має властивість для кожного підняття поверхні відносно площі.

Ми говоримо, що відображення скінченого спотворення площі у вимірності якщо і має властивість. Будемо також говорити, що відображення скінченного перетворення площі, пишемо якщо для всіх

Позначимо при

якщо і в інших випадках. Як завжди, тут через позначена якобієва матриця відображення в точці - якобіан, - операторна норма матриці тобто

і

Величини і називаються відповідно внутрішньою та зовнішньою дилатацією відображення в точці

Теорема 1.2.1. Нехай відображення з класу для деякого Тоді є гіпер відображенням у вимірності з

де

Якщо то з Теореми 1.2.1 при отримуємо нерівність Полецького.

В підрозділі 1.3 показано, що спотворення модулів при гомеоморфізмах зі скінченним спотворенням площі може бути оцінено не тільки зверху, але й знизу.

Лема 1.3.1. Нехай - відкрита множина в і - гомеоморфізм класу який має властивість для деякого Тоді

для будь-якої сім'ї вимірних поверхонь в

Теорема 1.3.1. Нехай - відкрита множина в і - гомеоморфізм класу для деякого Тоді задовольняє подвійній нерівності

для будь-якої сім'ї вимірних поверхонь в

Другий розділ присвячений питанням усувності ізольованих особливостей та граничній поведінці нижніх гомеоморфізмів.

У 2001 році фінський професор Олі Мартіо запропонував наступну концепцію. Нехай - область в і - вимірна функція. Гомеоморфізм називається гомеоморфізмом, якщо

для будь-якої сім'ї шляхів в і будь-якої

Для гомеоморфізмів було вирішено багато цікавих задач в роботах О. Мартіо, А.О. Ігнатьєва, В.І. Рязанова, У. Сребро, Е. Якубова.

Нехай - область в і - вимірна функція. Ми говоримо, що гомеоморфізм є нижнім гомеоморфізмом у точці якщо

для кожного кільця

де

і через позначено сім'ю всіх перетинів сфер

з та інфімум береться з усіх тобто борелівських функцій з

де

Нехай - область в Ми говоримо, що гомеоморфізм є нижній гомеоморфізм, якщо є нижнім гомеоморфізмом у кожній точці

З Леми 1.3.1 отримуємо наступне важливе твердження.

Наслідок 2.1.1. Кожний гомеоморфізм скінченного спотворення площі у вимірності є нижнім гомеоморфізмом з

Далі наведемо основну теорему про нижні гомеоморфізми.

Теорема 2.1.1. Нехай - область в і - вимірна функція. Гомеоморфізм є нижнім гомеоморфізмом в точці тоді і тільки тоді, коли

де

через позначено сім'ю всіх перетинів зі сферами і

є норма по Інфімум у визначенні нижнього гомеоморфізма реалізується тільки на функції

У підрозділі 2.2 наводяться оцінки спотворення при нижніх гомеоморфізмах. На основі цих оцінок розглядається питання усувності ізольованих особливостей нижніх гомеоморфізмів.

Теорема 2.2.1. Нехай - область в і - вимірна функція - нижній гомеоморфізм. Якщо

де і

то має гомеоморфне продовження в

Як наслідок отримуємо наступне твердження.

Наслідок 2.2.4. Нехай - область в і - гомеоморфізм класу Якщо при

то має гомеоморфне продовження в

Наслідок 2.2.4 має місце, зокрема, якщо при

У підрозділі 2.3 розглядається різноманітні питання про неперервне і гомеоморфне продовження на межові точки. Далі наведемо лише найбільш важливі результати про гомеоморфне продовження на межу.

Нехай - область в Межа називається сильно досяжною, якщо для будь-яких не вироджених континуумів і із виконується нерівність

і слабо плоскою, якщо для будь-яких невироджених континуумів і із , таких що виконується умова

де - сім'я усіх кривих, що з'єднують і в

Область називається локально зв'язною в точці якщо має довільно малий окіл такий, що зв'язна.

Теорема 2.3.5. Нехай - область в і - вимірна функція, і - нижній гомеоморфізм в Припустимо, що область локально зв'язна на , а область має слабо плоску межу. Якщо в кожній точці

для деякого де

і

то має гомеоморфне продовження на

Наслідок 2.3.2. Нехай - область в і - гомеоморфізм класу Якщо область локально зв'язна на , а область має слабо плоску межу, і в кожній точці

при , то має гомеоморфне продовження на

Область називається областю квазіекстремальної довжини, скор. областю, якщо

для деякого і для всіх пар неперетинних континуумів і в Простими прикладами є обмежені опуклі області, а також області з гладкими межами.

Наступна теорема є далеко йдучим узагальненням добре відомого результату Герінга - Мартіо про гомеоморфне продовження на межу квазіконформних відображень.

Теорема 2.3.6. Нехай - область в і - вимірна функція, і - нижній гомеоморфізм в Припустимо, що і є області. Якщо умова (2.3.23) справедлива в кожній точці , то має гомеоморфне продовження на

Замкнена множина називається нуль-множиною екстремальної довжини, скор. множиною, якщо

для будь-яких двох неперетинних континуумів і Зокрема, будь-яка замкнена множина у з нульовою мірою Хаусдорфа вимірності є множиною.

Множина

називається граничною множиною відображення для множини

Теорема 2.3.7. Нехай - область в і - вимірна функція, і - нижній гомеоморфізм в Якщо і є множини, і умова (2.3.23) має місце в кожній точці для де

то має гомеоморфне продовження в

У третьому розділі вивчаються так звані скінченно біліпшицеві відображення, які є природним узагальненням відомих ізометричних і казіізометричних відображень.

Будемо говорити, що відображення є скінченно ліпшицевим, якщо

для всіх і скінченно біліпшицевим, якщо

для всіх

Нагадаємо, що неперервне відображення називається відкритим, якщо образ кожної відкритої підмножини множини є відкрита множина в і дискретним, якщо прообраз кожної точки складається з ізольованих точок.

У підрозділі 3.1 доведено наступну теорему.

Теорема 3.1.2. Будь-яке скінченно біліпшицеве дискретне відкрите відображення є відображенням скінченного спотворення площі.

Наслідок 3.1.2. Будь-який скінченно біліпшицевий гомеоморфізм є гіпер відображенням з

У підрозділі 3.2 за допомогою оцінки спотворення відстані при скінченно біліпшицевих відображеннях маємо наступне твердження.

Теорема 3.2.1. Нехай - область в і - скінченно біліпшицевий гомеоморфізм. Якщо

де і

то має гомеоморфне продовження в

Наслідок 3.2.3. Нехай - область в і - скінченно біліпшицевий гомеоморфізм. Якщо

при то має гомеоморфне продовження в

У підрозділі 3.3 можна відмітити наступний аналог теореми Геринга - Мартіо.

Теорема 3.3.5. Нехай - область в і - скінченно біліпшицевий гомеоморфізм. Припустимо, що і є обмеженими опуклими областями. Якщо в кожній точці

для деякого де

І

то має гомеоморфне продовження на

ВИСНОВКИ

1. Доведено аналог теорем Фубіні, Вяйсяля, Мартіо - Рязанова - Сребро - Якубова, Теорема 1.1.1, про характерізацію вимірних множин в у термінах вимірності їхніх перетинів вимірними поверхнями,

2. Отримано верхні оцінки спотворення модуля сімей поверхонь усіх вимірностей при відображеннях зі скінченним спотворенням площі і, зокрема, доведені узагальнення відомих нерівностей Полецького для квазірегулярних відображень і Мартіо - Рязанова - Сребро - Якубова для відображень зі скінченним спотворенням довжини, Теорема 1.2.1.

3. Для гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням площі отримані нижні оцінки спотворення модуля сімей поверхонь в усіх вимірностях, що мали аналоги в теорії квазіконформних і квазірегулярних відображень, Теорема 1.3.1.

4. Знайдено точні оцінки спотворення модуля сімей гіперповерхонь (поверхонь вимірності ) для нижніх гомеоморфізмів, Теорема 2.1.1.

5. Знайдено умови усувності ізольованих особливостей нижніх гомеоморфізмів, котрі не можна послабити, Теорема 2.2.1, з яких, зокрема, слідує усувність логарифмічних особливостей Наслідок 2.2.4.

6. Встановлено умови неперервної та гомеоморфної усувності нуль-множин екстремальної довжини, зокрема, множин нульової міри Хаусдорфа у вимірності , Теорема 2.3.7.

7. Знайдено умови неперервного продовження на межу відображень, зворотних до нижніх гомеоморфізмів.

8. Встановлено критерії неперервного і гомеоморфного, Теорема 2.3.6, продовження на межу нижніх гомеоморфізмів між областями квазіекстремальної довжини за Герінгом - Мартіо.

9. Показано, що будь-яке дискретне відкрите скінченно біліпшицеве відображення є відображенням скінченного спотворення площі, Теорема 3.1.2.

10. Розвинуто теорію граничної поведінки скінченно біліпшицевих відображень, які є узагальненнями ізометричних і квазіізометричних відображень, Теореми 3.2.1 і 3.3.5.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On mappings with finite hyperarea distortion // Труды ИПММ НАНУ. - 2004. - Т. 9. - С. 102-111.

2. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. Об отображениях с конечным искажением гиперплощади // Доклады НАНУ. - 2005. - № 5. - C. 18-22.

3. Ковтонюк Д. О конечно билипшицевых отображениях // Труды ИПММ НАНУ. - 2005. - Т. 10. - С. 79-87.

4. Ковтонюк Д.А. О конечно липшицевых отображениях // Доклады НАНУ. - 2005. - № 10. - С. 7-11.

5. Ковтонюк Д., Рязанов В. О нижних гомеоморфизмах // Труды ИПММ НАНУ - 2005. - № 11. - С. 105-119.

6. Kovtonyuk D., Ryazanov V. To the theory of mappings with finite area distortion // Reports of Dept. Math. of Univ. of Helsinki. - 2004. - 403. - 11 pp.

7. Kovtonyuk D., Ryazanov V. Homeomorphisms with lower bounds for moduli // Reports of Dept. Math. of Univ. of Helsinki. - 2005. - 419. - 22 pp.

8. Ковтонюк Д., Рязанов В. Об отображениях с конечным искажением площади // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, посвященная 75-летию академика РАН Ю.Г. Решетняка, Новосибирск, Россия, Тезисы. - 2004. - С. 131-132.

АНОТАЦІЇ

Ковтонюк Д.О. Гіпермодулі у теорії просторових відображень зі скінченним спотворенням. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено вивченню просторових відображень зі скінченним спотворенням площі.

Показано, що відображення в зі скінченним спотворенням площі в усіх вимірностях задовольняють деяким модульним нерівностям в термінах внутрішньої та зовнішньої дилатацій відображення і, зокрема, доведено узагальнення відомої нерівності Полецького для квазіконформних відображень. Також з'ясовуються можливості нижніх оцінок модуля сім'ї поверхонь вимірності при відображеннях зі скінченним спотворенням. Зокрема, за допомогою нижніх оцінок досліджено граничну поведінку гомеоморфізмів зі скінченним спотворенням площі між областями квазіекстремальної довжини за Герінгом - Мартіо. Розвинута теорія може бути застосована, наприклад, до класу скінченно біліпшицевих відображень, який є істотним узагальненням відомих класів ізометрій та квазіізометрій в

Ключові слова: відображення зі скінченним спотворенням площі, модулі сімей поверхонь, нижні оцінки модуля, скінченно біліпшицеві відображення, ізольовані особливості, неперервне та гомеоморфне продовження на межу.

Ковтонюк Д.А. Гипермодули в теории пространственных отображений с конечным искажением. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005.

Диссертация посвящена изучению пространственных отображений с конечным искажением площади.

Показано, что отображения в с конечным искажением площади во всех измерениях удовлетворяют некоторым модульным неравенствам в терминах внутренней и внешней дилатаций отображения и, в частности, доказано обобщение известного неравенства Полецкого для квазирегулярных отображений. Также выясняются возможности нижних оценок модуля семейства поверхностей размерности при отображениях с конечным искажением. В частности, с помощью нижних оценок исследовано граничное поведение гомеоморфизмов с конечным искажение площади между областями квазиэкстремальной длины по Герингу - Мартио. Развитая теория применима, например, к классу конечно билипшицевых отображений, который является естественным обобщение известных классов изометрий и квазиизометрий

Ключевые слова: отображения с конечным искажением площади, модули семейства поверхностей, нижние оценки модуля, конечно билипшицевы отображения, изолированные особенности, непрерывное и гомеоморфное продолжение на границу.

Kovtonyuk D.A. Hypermoduli in the theory space mappings with finite distortion. - Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2005.

The thesis is devoted to the theory of space mappings with finite distortion of area.

It is shown that mappings in with finite distortion of area in all dimensions satisfy certain modulus inequalities in terms of inner and outer dilatations of the mappings and, in particular, it is proved generalizations of the well-known Poletskii inequality for quasiregular mappings. It is also elucidated possibilities of lower estimates of moduli for families of surfaces of dimension under mappings with finite distortion. In particular, the latter makes possible to investigate the boundary behavior of homeomorphisms with finite area distortion between quasi-extremal distance domains by Gehring - Martio. The developed theory is applicable, for example, to the class of finitely bi-Lipschitz mappings which is a natural generalization of the well-known classes of isometries and quasi-isometries

Key words: mappings with finite area distortion, moduli of families of surfaces, lower estimates of moduli, finitely bi-Lipschitz mappings, isolated singularities, continuous and homeomorphic extension to boundaries.

Размещено на Allbest.ru

...