Стохастичні потоки із взаємодією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Стохастичні потоки із взаємодією

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія мірозначних процесів є сьогодні галуззю теорії випадкових процесів, що бурхливо розвивається (див., наприклад, відомі монографії Д. Доусона, Е. Етерідж). Найбільш розповсюджені типи мірозначних процесів, такі як процеси Флемінга? Віота та суперпроцеси Доусона?Ватанабе, як правило, будуються як слабкі границі емпіричних процесів, що описують скінченні системи взаємодіючих частинок. В роботі А.В. Скорохода введено клас мірозначних дифузій та показано, що при деяких умовах такі процеси також можуть бути отримані як слабкі границі систем частинок. Мірозначні процеси, що відповідають стохастичним потокам зі взаємодією, які є об'єктом дослідження в роботі, також були вперше отримані за допомогою граничного переходу від скінченних систем частинок у роботі П. Котеленца. А.А. Дороговцев довів, що отриманий в результаті граничного переходу мірозначний процес може бути представлений як образ міри при випадковому відображенні, що задовольняє деякому рівнянню Ї рівнянню зі взаємодією. Стохастичний потік, що виникає, є потоком нового типу, в якому майбутній рух окремої частинки залежить від розподілу всієї маси у просторі. Для рівняння зі взаємодією в роботах А.А. Дороговцева та П. Котеленца доведено існування єдиного сильного розв'язку при виконанні умови Ліпшиця на коефіцієнти, марковську властивість мірозначного процесу.

Для стохастичних диференціальних рівнянь без взаємодії існує значна кількість умов існування сильних та слабких розв'язків (див., наприклад, монографії Х. Куніта, С. Ватанабе та Н. Ікеда). Представляє інтерес встановлення нових умов існування розв'язку (хоча б слабкого) рівняння із взаємодією та дослідження його єдиності. Також в роботах, пов'язаних зі стохастичними потоками із взаємодією залишався недослідженим випадок, коли взаємодія задається більш сингулярним ніж мира об'єктом, наприклад, узагальненою функцією. Проблема існування та єдиності розв'язку для відповідних стохастичних рівнянь раніше не досліджувалась.

Для стохастичних диференціальних рівнянь без взаємодії існування та єдиність слабкого розв'язку рівносильні існуванню та єдиності розв'язку деякої проблеми мартингалів. Представляє інтерес розвиток мартингального підходу до рівнянь із взаємодією.

В термінах коефіцієнтів звичайних стохастичних рівнянь можна навести різноманітні умови стійкості відповідних стохастичних систем. Оскільки рівняння із взаємодією мають нові риси, то дослідження питань стійкості і взагалі поведінки на нескінченності є новим та цикавим для такого класу рівнянь.

Встановлення умов існування розв'язку, марковських властивостей та властивостей стійкості для стохастичних потоків із взаємодією, а також розвиток мартингального підходу до відповідних рівнянь є новими питаннями, які представляють інтерес.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась у відповідності до загального плану досліджень відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України в рамках держбюджетної теми №0101U000109, а також за підтримки Президента України, грант №Ф8/303 ? 2004.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є дослідження властивостей стохастичних ривнянь із взаємодією, і зокрема, умов існування розв'язку, марковських властивостей та властивостей стійкості для розв'язків, а також дослідження проблеми мартингалів для відповідних марковських процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами роботи, які визначають її наукову новизну та виносяться на захист, є такі:

Для нового класу стохастичних диференціальних рівнянь, а саме, для рівнянь із взаємодією, доведено існування слабкого розв'язку при виконанні умови лінійного росту та локальної умови Ліпшиця на коефіцієнти.

Доведено існування та єдиність розв'язку рівняння, в якому взаємодія описується узагальненою функцією, що переноситься потоком.

Доведено строго марковську властивість процесу, що відповідає рівнянню зі взаємодією, в просторі відображень.

Доведено єдиність розв'язку проблеми мартингалів для генератора марковського процесу в , що відповідає потоку із взаємодією.

Сформульовано достатні умови на коефіцієнти рівняння із взаємодією, що забезпечують компактність відносно зсуву для відповідного мірозначного процесу.

Сформульовано достатні умови стійкості мірозначного процесу, що відповідає рівнянню зі взаємодією, а також умови стійкості потока для цього рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані в ній результати уточнюють поведінку та риси нового класу стохастичних потоків та мірозначних процесів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать науковому керівникові. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

1. XXVI Конференії молодих вчених механіко-математичного факультету МГУ ім. М.В. Ломоносова (Москва, 12-16 квітня 2004 р.)

2. Міжнародній конференції «Новітні тенденції в кінетичній теорії та її застосування» (Київ, 11-15 травня 2004 р.)

3. X Міжнародній конференції ім. М.П. Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004 р.)

4. Міжнародній конференції «Modern problems and new trends in probability theory» (м. Чернівці, 19-26 червня 2005 р.)

5. Семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичного аналізу Національного технічного університету України «КПІ» (керівник доктор фіз.?мат. наук, проф. Булдигін В.В.)

6. Семінарі Інституту прикладного та системного аналізу НТУУ «КПІ» (керівник доктор фіз.?мат. наук, член-кор. НАН України Мельник В.С.)

7. Семінарі відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (Донецьк, керівник доктор фіз.?мат. наук, проф. Махно С.Я.)

8. Семінарах кафедри теорії ймовірностей (керівник доктор фіз.?мат. наук, член?кор. РАН Ширяєв А.М.) та кафедри функціонального аналізу (керівник доктор фіз.?мат. наук, проф. Богачов В. І.) Московського державного університету імені М.В. Ломоносова

9. Семінарах відділу теорії випадкових процесів (керівник доктор фіз.?мат. наук, член?кор. НАН України Портенко М.І.) та відділу диференціальних рівнянь (керівник доктор фіз.?мат. наук, акад. НАН України Самойленко А.М.) Інституту математики НАН України

10. Семінарі «Числення Маллявена та його застосування» відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (керівник доктор фіз.?мат наук, проф. Дороговцев А.А.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 7 роботах, з яких 4 статті Ї в наукових журналах, 3 Ї в збірниках тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел Ї 32 найменування. Обсяг дисертації становить 113 сторінок друкованого тексту.

Основний зміст

мартингал харківський стохастичний рівняння

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, наведено стислу анотацію отриманих автором результатів.

У першому розділі досліджуються питання існування розв'язків рівняння із взаємодією та його модифікацій.

Нехай Ї простір ймовірнісних мір в . Визначимо на ньому метрику Вассерштейна

.

Тут Ї множина мір в , що мають та своїми проекціями.

Розглянемо рівняння зі взаємодією:

(1.1.1)

Тут випадкова міра визначається таким чином

.

Означення 1.1.1. Випадковий процес , неперервний за називається розв'язком (1.1.1), якщо він задовольняє (1.1.1) в інтегральній формі для всіх та .

Для доведення існування слабких розв'язків в теорії мірозначних процесів використовуються критерії компактності, отримані в роботах С. Ейзера та Т. Куртца, Д. Доусона та інших. Для мірозначних процесів, що відповідають потокам із взаємодією корисним виявляється критерій компактності в А.А. Дороговцева. З його допомогою отримуємо такий результат.

Теорема 1.1.1. Нехай виконані наступні умови:

1) для коефіцієнтів

;

2) для кожного є розв'язком рівняння (1.1.1) для початкової міри та коефіцієнтів ;

3) сім'я компактна в .

Тоді сім'я мірозначних процесів слабко компактна в .

Аналогічно, використовуючи критерій слабкої компактності в , отримуємо таку теорему.

Теорема 1.1.2. Нехай виконані умови теореми 1.1.1. Тоді для довільного набору сім'я

слабко компактна в .

Нехай коефіцієнти та рівняння (1.1.1) задовольняють умову

Відомо, що виконання аналогічної умови для рівняння без взаємодії забезпечує існування та єдиність сильного розв'язку. В роботі досліджується питання існування розв'язку рівняння (1.1.1) при виконанні умови (А). Спочатку існування розв'язку доводиться для дискретних мір.

Лема 1.2.2. Нехай , де . Нехай задовольняють умову (А). Тоді рівняння (1.1.1) має сильний розв'язок.

Зараз міра , що входить у рівняння (1.1.1), має вигляд , і, таким чином, вона залежить лише від траєкторій частинок, що стартували з точок Ї так званих важких частинок. Для траєкторій важких частинок отримуємо систему рівнянь, яка має єдиний сильний розв'язок. Після того, як ця система розв'язана, для траєкторій легких частинок отримуємо одне й те саме рівняння з залежними від часу коефіцієнтами, але з різними початковими умовами. Розв'язок цього рівняння також існує та єдиний.

Аналогічно випадку рівняння без взаємодії вводиться таке означення.

Означення 1.2.1. Рівняння (1.1.1) має слабкий розв'язок, якщо знайдуться: ймовірнісний простір , неспадна сім'я алгебр , -узгоджений неперервний за випадковий процес та вінерівський -мартингал такі, що виконується інтегральна форма (1.1.1).

Наблизивши початкову ймовірнісну міру дискретними мірами, скориставшись лемою 1.2.2 та теоремами 1.1.1, 1.1.2, отримуємо такий результат.

Теорема 1.2.1. Нехай коефіцієнти задовольняють умову (А). Тоді рівняння (1.1.1) має слабкий розв'язок.

Побудовано приклад 1.2.1, який показує, що при виконанні умов теореми 1.2.1 розв'язок може не бути єдиним навіть у детермінованому випадку.

Частина розділу, що залишилася, присвячена дослідженню властивостей потока відносно параметру з фазового простору.

Нехай - простір основних функцій з класу , які спадають при разом зі своїми похідними швидше ніж довільний степінь . Збіжність в визначається звичайним чином. Простір є зліченно-нормованим простором з системою узгоджених норм

.

Поповнення за позначимо . Простір Ї повний сепарабельний метричний простір з метрикою, що відповідає збіжності в :

. (1.3.1)

Ми досліджуємо слабку компактність в просторах та .

Теорема 1.3.1. Сім'я випадкових елементів слабко компактна в тоді і тільки тоді, коли

.

Теорема 1.3.2. Сім'я випадкових елементів слабко компактна тоді і тільки тоді, коли

1)

2)

Також наведена достатня умова слабкої компактності в в термінах математичних сподівань (теорема 1.3.3).

Крім просторів розглядаються соболєвські простори Ї поповнення за нормою, що задається скалярним добутком

.

Отримано критерій компактності в просторі (теорема 1.3.4).

В параграфі 1.4 показано, що при певних умовах на коефіцієнти розв'язок рівняння (1.1.1) відрізняється від тотожного відображення на функцію з .

Позначимо .

Теорема 1.4.2. Нехай

де . Тоді для довільного розв'язок рівняння (1.1.1) задовольняє умову .

З теореми 1.4.2 отримуємо наслідок.

Наслідок 1.4.1. При виконанні умов теореми 1.4.2

з ймовірністю 1. (1.4.10)

Наведений приклад 1.4.1, який показує, що для потоків без взаємодії з коефіцієнтами, такими, що вони задовольняють глобальній умові Ліпшиця за просторовою змінною та неперервні за , (1.4.10) може не виконуватися. Більше того, в наведеному прикладі

з ймовірністю 1.

В параграфі 1.5 розглядається рівняння для стохастичного потоку з більш сингулярною взаємодією, ніж у рівнянні (1.1.1):

(1.5.1)

Тут Ї узагальнена функція з простору , а визначається таким чином:

.

Означення 1.5.1. Випадковий процес такий, що , називається розв'язком (1.5.1), якщо він є узгодженим з потоком -алгебр та задовольняє інтегральну форму рівняння (1.5.1).

Теорема 1.5.1. Нехай , де , коефіцієнти задовольняють умови

.

Тоді рівняння (1.5.1) має єдиний розв'язок.

При доведенні використовується теорема Ямада?Ватанабе: для цього спочатку за допомогою теореми 1.3.4 доводимо існування слабкого розв'язку рівняння (1.5.1), а після цього доводиться потраєкторна єдиність.

В детермінованому випадку розглядаємо коефіцієнт вигляду, подібного до того, який був у теоремі 1.4.2. Відповідне рівняння має вигляд

(1.5.4)

Нехай узагальнена функція має порядок . Функцію називатимемо розв'язком рівняння (1.5.4) на відрізку , якщо вона задовольняє умову , і рівність (1.5.4) виконана для всіх .

Означення 1.5.2. Функція , де , називається максимальним розв'язком (1.5.4), якщо

1) для довільного є розв'язком (1.5.4) на відрізку ;

2) якщо , то

.

Теорема 1.5.4. Нехай - узагальнена функція порядку , . Тоді рівняння (1.5.4) має єдиний максимальний розв'язок.

Наведений приклад 1.5.1, коли вибух відбувається за скінченний час (). Це означає, що в момент часу змінюється гладкість процесу за просторовою змінною.

Другий розділ дисертації присвячено марковським властивостям розв'язків рівняння (1.1.1) у просторах функцій та .

В параграфі 2.1 досліджується залежність розв'язку рівняння від початкових умов. Для рівняння

де , доведено стохастичну неперервність за початковою мірою (теорема 2.1.1) та за початковою функцією (теорема 2.1.2) у просторі . Якщо початкові міри мають щільність відносно міри Лебега, то за певних умов можна довести стохастичну неперервність міри у сенсі збіжності за варіацією.

Теорема 2.1.3. Нехай щільності , задовольняють умову

.

Нехай - розв'язок рівняння (1.1.1) з початковою мірою , - з початковою мірою , коефіцієнти рівняння (1.1.1) задовольняють умови теореми 1.4.1. Тоді для довільного

.

В параграфі 2.2 доведено марковську властивість процесу у просторі , а також марковську властивість процесу у просторі .

Теорема 2.2.2. При виконанні умов теореми 1.4.1 процес є строго марковським процесом в .

При доведенні теореми 2.2.2 використовуємо єдиність розв'язку рівняння (1.1.1). Виконання строго марковської властивості випливає з неперервності процесу в (теорема 1.4.2) та фелерівості, яка у свою чергу випливає з неперервної залежності від початкової функції (теорема 2.1.2).

Аналогічні результати отримані в просторі з топологією рівномірної збіжності на компактах.

Теорема 2.2.3. Нехай коефіцієнти задовольняють умову

. (2.2.3)

Тоді випадковий процес є строго марковським процесом в .

В параграфі 2.3 досліджено властивості генератора марковського процесу , який відповідає рівнянню (1.1.1), в просторі . Нехай - така множина функцій

Теорема 2.3.1. На множині напівгрупа процесу неперервна, тобто для довільної



Далі розглядається клас функцій на , які мають вигляд

де - скінченний заряд на , - фінітна, двічі неперервно диференційовна функція.

Теорема 2.3.2. Нехай коефіцієнти задовольняють умову (2.2.3). Тоді

1) для довільної та довільної існує границя

(2.3.1)

2) і при цьому для довільної

є неперервним квадратично інтегровним мартингалом;

3) якщо додатково вимагати обмеженості коефіцієнтів , то множина належатиме , де - генератор процесу , тому на .

Наведений приклад 2.3.1, який показує, що в останньому твердженні теореми умови обмеженості коефіцієнтів не можна позбутися, тобто в загальному випадку збіжність у (2.3.1) може не бути рівномірною по . Для обмежених коефіцієнтів доводиться (лема 2.3.3), що клас не є щільним в . Для цього показано, що не є щільним в (внаслідок теореми 2.3.1 та відомого твердження про область визначення генератора марковського процесу щільна в ).

В параграфі 2.4 розглядається проблема мартингалів для генератора . Нехай - простір усіх неперервних -значних функцій аргумента . Для кожного визначимо відображення . Нехай - найменша -алгебра, відносно якої є вимірними всі відображення , - найменша -алгебра, відносно якої є вимірними всі відображення .

Означення 2.4.1. Ймовірнісний розподіл на просторі назвемо розв'язком проблеми мартингалів для генератора з початковим значенням , якщо виконується така умова. Для кожної

є неперервним квадратично інтегровним -мартингалом, що стартує з 0.

З теореми 2.3.1 випливає, що проблема мартингалів для генератора має розв'язок. У роботі доведено його єдиність.

Теорема 2.4.1. Нехай та задовольняють умову (2.3.1). Тоді проблема мартингалів для генератора має єдиний розв'язок для довільної .

Третій розділ присвячений дослідженню поведінки розв'язку рівняння (1.1.1) на нескінченності. В параграфі 3.1 вводиться поняття компактності відносно зсуву. Нехай - простір ймовірнісних мір в , що мають -й момент, з метрикою

.

Означення 3.1.2. Сім'я випадкових мір називається компактною відносно зсуву, якщо для кожного існує випадковий вектор такий, що сім'я є слабко компактною в .

Нас цікавить випадок, коли міри є образами мір при випадкових відображеннях.

Лема 3.1.1. Нехай сім'я випадкових мір будується в такий спосіб

,

де випадкові відображення задовольняють умову

(3.1.2)

сім'я (детермінованих) мір компактна в . Тоді сім'я є компактною відносно зсуву в .

Для доведення використовується критерій слабкої компактності у просторі А.А. Дороговцева. У тому випадку, коли , в умові (3.1.2) можна покласти (лема 3.1.2).

В параграфі 3.2 поняття компактності відносно зсуву застосовується до мірозначного процесу, який відповідає розв'язку рівняння (1.1.1).

Теорема 3.2.1. Нехай , де ,

,

,

задовольняє умову Ліпшиця зі сталою , причому

.

Тоді сім'я є компактною відносно зсуву в просторі .

Для доведення показуємо, що відображення задовольняють умову леми 3.1.2.

Параграф 3.3 присвячений дослідженню стійкості розв'язку рівняння (1.1.1) на нескінченності. Вводяться такі означення.

Означення 3.3.1. Мірозначний процес, який відповідає рівнянню (1.1.1), назвемо стійким у просторі в точці , якщо

.

Означення 3.3.2. Будемо говорити, що має місце стійкість потоку у середньому порядку , якщо для довільного

.

Теорема 3.3.1. Нехай ,

,

.

Тоді для довільної мірозначний процес є стійким у точці в просторі . Також має місце стійкість потоку в середньому порядка .

Для детермінованого випадку доведено такий результат.

Теорема 3.3.2. Нехай

, ,

,

задовольняє умову Ліпшиця зі сталою . Тоді розв'язок рівняння (1.1.1) є стійким у просторі в будь-якій точці . Крім того, для довільної має місце стійкість потоку.

Наведені приклади 3.3.1, 3.3.2 показують, що в загальному випадку властивості стійкості, встановлювані означеннями 3.3.1 та 3.3.2, не випливають одна з одної. Тим не менше показано, що при деяких додаткових умовах зі стійкості потока для розв'язку рівняння (1.1.1) випливає стійкість мірозначного процесу.

Теорема 3.3.3. Нехай для довільної міри та для довільного

.

Тоді мірозначний процес є стійким у просторі .

Як ми вже відмічали, у випадку дискретної початкової міри мірозначний процес визначається за допомогою розв'язку системи стохастичних диференціальних рівнянь. Виникає питання про стійкість розв'язку цієї системи в сенсі Ляпунова. Доведено (теорема 3.3.4), що при виконанні умов теореми 3.3.3 така стійкість має місце.

Висновки

1. Для нового класу стохастичних диференціальних рівнянь, а саме, для рівнянь із взаємодією, доведено існування слабкого розв'язку при виконанні умови лінійного росту та локальної умови Ліпшиця на коефіцієнти.

2. Доведено існування та єдиність розв'язку рівняння, в якому взаємодія описується узагальненою функцією, що переноситься потоком.

3. Доведено строго марковську властивість процесу, який відповідає рівнянню зі взаємодією, в просторі .

4. Доведено єдиність розв'язку проблеми мартингалів, побудованої для генератора марковського процесу в .

5. Сформульовано достатні умови на коефіцієнти рівняння із взаємодією, що забезпечують компактність відносно зсуву для відповідного мірозначного процесу.

6. Сформульовані достатні умови стійкості мірозначного процесу, який відповідає рівнянню зі взаємодією, а також умови стійкості потока для цього рівняння.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Andrey A. Dorogovtsev and Maria P. Karlikova. Long-time behaviour of measure-valued processes correspondent to stochastic flows with interaction // Theory of stochastic processes. - 2003. - Vol. 9 (25), # 1-2. - P. 52-59.

2. Карликова М.П. О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием // Укр. мат. журн. - 2005. - Т.57, №7. - с. 895-903.

3. M.P. Karlikova M.P. The martingale problem for stochastic differential equations with interaction // Theory of stochastic processes. - 2005. - Vol. 11 (27). - P. 69-74.

4. Карликова М.П. О переносе обобщенных функций эволюционным потоком // Укр. мат. журн. - 2005. - Т.57, №8. - с. 1020-1029.

5. Карликова М.П. Властивості мірозначних процесів, породжених еволюційними потоками із взаємодією // X Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ): Матеріали конференції. - Київ: Задруга, 2004. - С. 599.

6. Карликова М.П. О слабом решении стохастического дифференциального уравнения со взаимодействием // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова: Тезисы докладов. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 2004. - С. 55-56.

7. Maria Karlikova. Some properties of measure-valued processes governed by stochastic differential equations with interaction // Recent trends in Kinetic Theory and Its Applications. Book of Abstracts. - Kyiv, 2004. - P. 32-33.

8. Karlikova M. Some properties of stochastic flows with interaction // Modern problems and new trends in probability theory. Abstracts. - Kyiv, 2005. - P.102.

Размещено на Allbest.ru

...