Задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЮРІЯ ФЕДЬКОВИЧА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

задача коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку

01.01.02 - диференціальні рівняння

Колісник Руслана Степанівна

Чернівці - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор ГородецькиЙ Василь Васильович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри алгебри та інформатики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ЛАВРЕНЮК Сергій Павлович, Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра диференціальних рівнянь;

доктор фізико-математичних наук, професор Слюсарчук Василь Юхимович, кафедра вищої математики Українського державного університету водного господарства та природокористування, м.Рівне.

Провідна установа - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики

Захист відбудеться “ 20 ” травня 2005 року о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м.Чернівці, вул. Л.Українки, 23).

Автореферат розісланий “ 14 ” квітня 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

АНОТАЦІЯ

Колісник Р.С. Задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет, Чернівці, 2005.

Дисертація присвячена побудові теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями з просторів типу і дослідженню властивостей фундаментального розв'язку; при цьому, попередньо, будуються простори основних та узагальнених функцій типу та , вивчаються властивості перетворення Фур'є, згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Ключові слова: простори типу та , перетворення Фур'є, оператор диференціювання нескінченного порядку, узагальнена функція, згортка, мультиплікатор, ціла функція, задача Коші.

ABSTRACT

Kolisnyk R.S. The Cauchy problem for evolution equations with differential operator of infinite order. - Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the specialty 01.01.02 - differential equations. Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2005.

The thesis is devoted to the construction of the Cauchy problem for evolution equations with differential operator of infinite order in classes of entry conditions which are generalized functions of spaces of type . The dissertation is also devoted to the investigation of properties of fundamental solution. The spaces of basic and generalized functions of type and are constructed. The properties of Fourier transformation, the properties of convolutions, convolutors and multiplicators are studied.

Key words: spaces of type and , Fourier transformation, differential operator of infinite order, generalized function, convolution, multiplicators, entire function, Cauchy problem.

АННОТАЦИЯ

Колиснык Р.С. Задача Коши для эволюционных уравнений с оператором дифференцирования бесконечного порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет, Черновцы, 2003.

Диссертация посвящена построению теории задачи Коши для эволюционных уравнений с оператором дифференцирования бесконечного порядка с постоянными коэффициентами в классах начальных условий, являющихся обобщенными функциями из пространств типа и исследованию свойств фундаментального решения. Такие уравнения являются естественным обобщением равномерно параболических уравнений с постоянными коэффициентами и важны с точки зрения применений в теории уравнений с частными производными.

В работе построены пространства типа целых функций, убывающихся на действительной оси при быстрее, чем ; при этом пространства типа и пространства типа являются подпространствами данных пространств; исследована топологическая структура указаных пространств, изучены свойства основных операций в таких пространствах. С помощью метода преобразования Фурье найдены необходимые и достаточные условия, при которых оператор дифференцирования бесконечного порядка, действующий в пространствах типа , является ограниченным; при этом такой оператор понимается как псевдодифференциальний оператор, построенный по определенному аналитическому символу. Доказано теоремы о преобразовании Фурье пространств типа (теоремы двойственности); установлено, что этими преобразованиями пространства типа отображаются в пространства такого же типа. Найдены необходимые и достаточные условия, характеризующие класс свертывателей и мультипликаторов - обобщенных функций из пространств типа . Установлены оценки фундаментального решения задачи Коши (ФРЗК) и исследованы свойства ФРЗК как абстрактной функции временного параметра со значениями в пространствах типа , доказана дифференцируемость (по t) свертки ФРЗК с произвольной обобщенной функцией из пространств типа и установлена формула дифференцирования такой свертки (по t), изучено поведение указанных сверток при в пространствах обобщенных функций типа .

В работе найдены условия, при которых задача Коши для эволюционных уравнений с оператором дифференцирования бесконечного порядка с постоянными коэффициентами корректно разрешима в определенных подпространствах обобщенных функций типа , совпадающих с множествами начальных значений гладких решений указанных уравнений; при выполнении этих условий решение имеет вид , , где - ФРЗК; при каждом принадлежит пространству основных функций типа , , в простанстве обобщенных функций типа .

При получении этих результатов модифицированы методы теории задачи Коши для равномерно параболических уравнений.

Полученные результаты и методика доказательств имеют теоретическое значение. Они могут найти применение и дальнейшее развитие в теории уравнений с частными производными, теории обобщенных функций, теории преобразования Фурье.

Ключевые слова: пространства типа и , преобразования Фурье, оператор дифференцирования бесконечного порядка, обобщенная функция, свертка, мультипликатор, целая функция, задача Коши.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Рівняння з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків широко використовуються при математичному моделюванні різних реальних процесів, при розв'язуванні задач математичної фізики, квантової механіки, теорії теплопровідності, дифузії та тепломасопереносу, кристалографії, теорії ядерних ланцюгових реакцій при вивченні процесу уповільнення нейтронів, у сучасній теорії сигналів, при вивченні багатьох процесів у хімічній та біологічній кінетиці тощо. За допомогою таких рівнянь описуються різні складні явища у сучасному природознавстві, економіці, техніці.

Дослідженням задачі Коші для таких рівнянь займались багато математиків, використовуючи при цьому різні методи і підходи (Ж.Адамар, І.Г.Петровський, С.Л.Соболєв, Л.Гордінг, Ж.Лере, А.М.Тихонов, І.М.Гельфанд, Г.Є.Шилов, С.Д.Ейдельман, С.Д.Івасишен, М.І.Матійчук, М.Л.Горбачук, В.І.Горбачук, Ю.А.Дубінський, Б.Й.Пташник та інші автори). Одержані значні і важливі результати про розв'язність задачі Коші в різних функціональних просторах.

Задача Коші та крайові задачі для рівнянь з частинними похідними мають природну постановку і у різних просторах узагальнених функцій, оскільки часто крайові умови мають особливості в деяких точках межі або ділянках межі. Такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінченного порядку (типу розподілів Соболєва-Шварца), або їх можна трактувати як узагальнені функції нескінченного порядку (типу ультрарозподілів, гіперфункцій), якщо порядок особливостей вищий за степеневий. Отже, задача Коші для вказаних рівнянь має природну постановку і в класах початкових умов, які є узагальненими функціями скінченного або нескінченного порядків.

При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними зі сталими (або залежними лише від часу) коефіцієнтами широко використовуються простори типу , введені І.М.Гельфандом і Г.Є.Шиловим, та простори типу , введені Б.Л.Гуревичем. Простори типу складаються з нескінченно диференційовних на функцій, поведінка яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами , де подвійна послідовність задовольняє певні умови (особливо повно досліджено випадок ). Простори типу є узагальненнями просторів типу внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності.

У працях М.Л.Горбачука, П.І.Дудникова, О.І.Кашпіровського, С.Д.Івасишена, Л.М.Андросової, В.В.Городецького, В.П.Лавренчука, І.В.Житарюка, О.Г.Возняк, В.А.Літовченка встановлено, що простори типу - простори, топологічно спряжені до просторів типу , - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченного порядку, при яких розв'язки є нескінченно диференційовними функціями по просторових змінних. В.В.Городецьким, О.В.Мартинюк, О.М.Ленюком аналогічні результати у просторах типу встановлені для певних класів рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку (еволюційні рівняння, які містять оператор диференціювання нескінченного порядку, або оператор диференціювання-Бесселя нескінченного порядку).

У зв'язку з цим актуальними є: 1) побудова функціональних просторів, які містили б простори типу та типу як певні підкласи і таких, що топологічно спряжені до них простори збігалися б з множинами початкових значень гладких розв'язків широких класів рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку; 2) розвинення теорії задачі Коші для таких рівнянь з початковими умовами із вказаних просторів узагальнених функцій. Одним з основних методів дослідження задачі Коші є метод перетворення Фур'є, тому важливим питанням є побудова теорії такого перетворення у введених просторах основних функцій та просторах, топологічно спряжених до них.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню цих проблем для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку у класах початкових даних, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів, названих у дисертації просторами типу .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи “Дослідження коректності нерегулярних параболічних крайових задач та еквівалентності операторів” (номер держреєстрації 0103U001109) кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвинення теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями нескінченного порядку з просторів типу ; одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу S.

Методи дослідження: метод перетворення Фур'є, методи теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь та теорії узагальнених функцій.

Об'єкт дослідження: еволюційні рівняння з оператором диференціювання нескінченного порядку.

Предмет дослідження: оператор диференціювання нескінченного порядку, перетворення Фур'є у просторах типу та , згортки, згортувачі та мультиплікатори у просторах типу , фундаментальний розв'язок та задача Коші для еволюційних рівнянь нескінченного порядку.

Задачі дослідження:

побудова та дослідження топологічної структури просторів типу ; вивчення властивостей основних операцій та оператора диференціювання нескінченного порядку у таких просторах;

дослідження властивостей перетворення Фур'є основних та узагальнених функцій із просторів типу та , згорток, згортувачів та мультиплікаторів;

встановлення коректної розв'язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку у просторах узагальнених функцій типу .

Наукова новизна одержаних результатів. Для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами у дисертації одержано такі результати:

побудовані простори типу цілих функцій, які спадають на дійсній вісі при швидше, ніж ; при цьому простори типу , а також простори типу утворюють певні підкласи вказаних просторів; досліджена топологічна структура та вивчені властивості основних операцій у таких просторах; дається характеристика вказаних просторів у термінах поведінки функцій з цих просторів та їхніх похідних на дійсній вісі;

знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор диференціювання нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; при цьому такий оператор трактується як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом;

доведено теореми про перетворення Фур'є просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу;

знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас згортувачів та мультиплікаторів - узагальнених функцій із просторів типу;

встановлено: оцінки фундаментального розв'язку задачі Коші (функції), диференційовність (по ) функції як абстрактної функції параметра із значеннями у просторах типу та формулу диференціювання (по ) згортки ; існування граничного значення вказаної згортки при у просторах типу ;

знайдено умови, за яких задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами коректно розв'язна у певних підпросторах узагальнених функцій типу , які збігаються з множинами початкових значень гладких розв'язків вказаних рівнянь; при виконанні цих умов розв'язок має вигляд , ; при кожному належить до простору основних функцій типу , , у просторі узагальнених функцій типу .

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорії рівнянь з частинними похідними, при подальшому вивченні задачі Коші для рівнянь з частинними похідними, у теорії узагальнених функцій та теорії перетворення Фур'є.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [2, 6, 12] В.В.Городецькому належить постановка задач і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідалися автором на:

Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001р.);

Міжнародній конференції “International Conference on Functional Analysis and its Applications, Dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach” (Львів, 2002р.);

IXМіжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 2002р.);

Міжнародній науковій конференції “Шості Боголюбівські читання” (Чернівці, 2003р.);

ІІІ Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2003р.);

XМіжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 2004р.);

Міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004р.);

Міжнародній конференції імені В.Я.Скоробагатька (Дрогобич, 2004р.).

наукових семінарах факультету прикладної математики та кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету (Чернівці, 2005р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 12 працях, з них 1 - у науковому журналі, 3 - у збірниках наукових праць і 8 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 4 праці у наукових фахових виданнях з переліку N 1 ВАК України від 9.06.1999.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 136 найменувань. Повний обсяг роботи становить 132 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Городецькому В.В. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, ставляться мета і задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконувалась, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, що стосуються задачі Коші для рівнянь з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків, а також праць, безпосередньо зв'язаних з дисертацією і з яких запозичується методика доведень та результати яких поширюються на загальніші об'єкти.

У багатьох питаннях математичного аналізу та диференціальних рівнянь важливу роль відіграють простори нескінченно диференційовних на функцій, які спадають на нескінченності разом з усіма своїми похідними швидше за будь-який степінь . До таких просторів відноситься простір Л.Шварца, простори типу та , вагові простори та ін. У розділі 2 вводяться простори типу цілих функцій, порядок спадання яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами ; при цьому простори , а також простори типу утворюють певні підкласи вказаних просторів. Наведені основні твердження щодо топологічної структури вказаних просторів та основних операцій у цих просторах. Доведено теореми двоїстості для просторів типу . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів. Знайдено необхідні і достатні умови, за яких у просторах типу визначений, є лінійним і неперервним оператор диференціювання нескінченного порядку.

Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. У підрозділі 2.1 наведено основні означення, що стосуються топологічної структури простору . Розглянемо монотонно зростаючу послідовність додатних чисел, яка володіє властивостями:

1) , ; (0.1)

2) : (тобто зростає швидше за експоненту);

3) : i покладемо



Функція - неперервна, парна на , монотонно зростаюча на і монотонно спадна на , при цьому з (0.1) випливає, що

: .

Символом позначимо сукупність всіх цілих функцій , які задовольняють умову

:

Очевидно, що є лінійним простором із звичайними операціями додавання функцій та множення їх на число. Простір можна подати як об'єднання зліченно нормованих просторів. Позначимо через сукупність тих функцій з , для яких правильними є нерівності

, ,

де .

Із сукупністю норм

, ,

стає повним досконалим зліченно нормованим простором.

Зазначимо, що коли то , тобто в цьому випадку збігається з простором , введеним І.М.Гельфандом та Г.Є.Шиловим.

В дослідженнях, проведених у дисертаційній роботі, істотно використовується послідовність Встановлено, що: 1) послідовність є монотонно спадною; 2) ; 3) послідовність - обмежена зверху.

У підрозділі 2.2 вивчаються властивості основних операцій у просторі . Доведено, що в визначені і є неперервними операції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Мультиплікатором в є кожна ціла функція , яка задовольняє умову:

.

У цьому підрозділі дається характеристика простору в термінах поведінки функцій цього простору та їхніх похідних на дійсній вісі.

Теорема 2.1. Для функції наступні твердження еквівалентні:

1) : ;

2)

У підрозділах 2.3, 2.4 вивчається топологічна структура простору та основні операції в цьому просторі.

Простір будується за допомогою монотонно зростаючої послідовності додатних чисел, яка володiє тими ж властивостями 1) - 3), що й послідовність . Покладемо

Функція - невiд'ємна, парна на , монотонно спадає на проміжку , монотонно зростає на ; крім того,

.

Наприклад, якщо , то задовольняє нерівності

.

Символом позначимо сукупнiсть усiх нескінченно диференційовних на функцій, які задовольняють умову

.

Простір також можна подати як об'єднання зліченно нормованих просторів. Позначимо через сукупність тих функцій , які задовольняють нерівності , , , з довільною сталою . перетворюється в зліченно нормований простір з нормами

,

де

, .

Теорема 2.2. Для функції наступні твердження еквівалентні:

1) ;

2)

У просторі визначені і є неперервними операції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Мультиплікатором у є кожна нескінченно диференційовна на функція , яка при довільному задовольняє нерівності

У підрозділі 2.5 вивчається топологічна структура простору , який будується за функціями та , розглянутими вище, і який складається з усіх цілих функцій , що задовольняють умову

: .

Збiжнiсть в визначається так: послiдовнiсть називається збiжною до нуля, якщо вона рiвномiрно збiгається до нуля в кожнiй обмеженiй областi комплексної площини , при цьому справджуються нерiвностi , зi сталими

, не залежними вiд . Простір можна охарактеризувати в термінах оцінок функцій цього простору та їхніх похідних на дійсній вісі так.

Теорема 2.3. Для функції наступнi твердження еквівалентні:

1) : ;

2) : .

Зазначимо, що якщо покласти , де - розв'язок рівняння - розв'язок рівняння за умови, що - диференційовні, невід'ємні, парні на , зростаючі і опуклі на функції, то простір збігається з простором , який відноситься до просторів типу , введених Б.Л.Гуревичем:

Простори та пов'язані між собою наступним чином.

Теорема 2.4. Правильною є рівність .

Символами , позначатимемо сукупності функцій, заданих на , які допускають аналітичне продовження у всю комплексну площину і як функції комплексної змінної є елементами просторів , відповідно. Надалі простори , , називатимемо просторами типу .

У підрозділі 2.5 доведено теореми про перетворення Фур'є просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу. Наведемо тут одне з таких тверджень.

Теорема 2.7. Нехай - функція, двоїста за Юнгом до функції , ; - функція, двоїста за Юнгом до функції , . Тоді =, де



,; , ;

при цьому оператор є неперервним (тут символом позначається простір Фур'є-образів елементів простору ).

Зазначимо, що з теореми 2.7 випливають відомі твердження про перетворення Фур'є просторів типу та .

У підрозділі 2.7 знайдено необхідні та достатні умови, за яких оператор диференціювання нескінченного порядку корректно визначений і неперервний у просторах та .

Нехай - деяка ціла функція. Говоритимемо, що в просторі задано диференціальний оператор нескінченного порядку , , якщо для довільної основної функції ряд зображає деяку основну функцію з простору .

Теорема 2.8. Якщо ціла функція - мультиплікатор у просторі , то у просторі визначений i є неперервним оператор диференціювання нескінченного порядку .

Зазначимо, що вказана умова на функцію є не лише достатньою, але і необхідною для того, щоб оператор був визначений і неперервний у просторі .

Наслідок. Нехай - звуження оператора на . Тоді для довільної функції правильною є формула

Отже, оператор можна розуміти як псевдодиференціальний оператор, побудований за аналітичним символом .

У підрозділі 2.8 розглядається простір узагальнених функцій . Вивчаються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Символом позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Оскільки в основному просторі визначена операція зсуву аргументу : , то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою

,

(тутпозначає дію функціоналу по змінній , ).

Якщо і , , то функціонал називається згортувачем у просторі .

Простір перетворенням Фур'є відображається у простір такого ж типу:

. (0.2)

Урахувавши (0.2), перетворення Фур'є узагальненої функції визначимо за допомогою співвідношення

(0.3)

Із (0.3) та властивостей лiнiйностi i неперервностi функцiоналу та перетворення Фур'є основних функцiй випливає лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiоналу над простором основних функцiй . За допомогою перетворення Фур'є узагальнених функцій з просторів типу встановлюється зв'язок між класом згортувачів та класом мультиплікаторів у таких просторах.

Теорема 2.10. Якщо - згортувач у просторі , то для довільної функції правильною є формула

.

Отже, якщо узагальнена функція - згортувач у просторі , то її перетворення Фур'є - мультиплікатор у просторі .

Теорема 2.11. Якщо узагальнена функція - мультиплікатор у просторі , то її перетворення Фур'є - згортувач у просторі .

Результати, одержані в теоремах 2.10, 2.11, можна сформулювати так: для того, щоб узагальнена функція була згортувачем у просторi , необхідно і досить, щоб її перетворення Фур'є було мультиплікатором у просторі .

У підрозділі 2.9 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду , де - лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів, - деяка числова множина. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра у просторі .

У розділі 3 розвивається теорія задачі Коші для рівняння

, (0.4)

де - оператор диференціювання нескінченного порядку, побудований за функцією у припущенні, що - мультиплікатор у просторі і .

Під розв'язком рівняння (0.4) розуміємо функцію

,

яка диференційовна по і задовольняє рівняння (0.4).

У підрозділі 3.1 досліджуються властивості функції , яка є фундаментальним розв'язком задачі Коші для рівняння (0.4). Основні результати, одержані тут, містяться в наступних твердженнях.

Лема 3.2. при кожному фіксованому ;

при цьому

, , ,

t (0, T], {, } ,

де - фіксований параметр, - функцiя, двопста за Юнгом до функцiп , ; - функцiя, двопста за Юнгом до функцiп , . Для похідних функції на дійсній вісі правильними є нерівності

,

, , n , ,

де _n(t) - розв'язок рівняння , , , при фіксованому та .

Лема 3.3. Функція , , як абстрактна функція параметра із значеннями в просторі , диференційовна по , при цьому

.

Лема 3.4. Нехай узагальнена функцiя - згортувач у просторi , . Тодi граничне спiввiдношення , виконується у просторi .

Підрозділ 3.2 присвячений встановленню коректної розв'язності задачі Коші для рівняння (0.4). Лема 3.4 дозволяє для рівняння (0.4) задати початкову умову

, (0.5)

де - узагальнена функція з простору . Під розв'язком задачі Коші (0.4), (0.5) розумітимемо розв'язок рівняння (0.4), який задовольняє початкову умову (0.5) у тому сенсі, що при у просторі .

Символом позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору , які є згортувачами у просторі . Основний результат цього пункту складає наступне твердження.

Теорема 3.1. Задача Кошi (0.4), (0.5) коректно розв'язна в класі початкових узагальнених функцій ;при цьому розв'язок подається у вигляді .

У підрозділі 3.3 аналогічні результати одержано стосовно задачі Коші для еволюційного рівняння з оператором диференціювання нескінченного порядку у випадку незалежних змінних.

еволюційний рівняння коші фур'є

Висновки

Дисертація присвячена побудові теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами у класах початкових даних, які є узагальненими функціями з просторів типу . Такі рівняння є природним узагальненням рівномірно параболічних рівнянь і є важливими з точки зору застосувань у теорії рівнянь з частинними похідними.

У дисертаційній роботі одержано такі результати:

побудовані простори типу цілих функцій, які спадають на дійсній вісі при швидше, ніж ; при цьому простори типу , а також простори типу утворюють певні підкласи вказаних просторів; досліджена топологічна структура таких просторів; дається характеристика вказаних просторів у термінах поведінки функцій з цих просторів та їхніх похідних на дійсній вісі;

знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор диференціювання нескінченного порядку коректно визначений і обмежений у просторах типу ; при цьому такий оператор трактується як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом;

доведено теореми про перетворення Фур'є просторів типу (теореми двоїстості); встановлено, що таким перетворенням простори типу відображаються у простори такого ж типу;

знайдено необхідні й достатні умови, які характеризують клас згортувачів та мультиплікаторів узагальнених функцій із просторів типу;

досліджені властивості фундаментального розв'язку задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами; встановлено коректну розв'язність задачі Коші для таких рівнянь у певних підпросторах узагальнених функцій типу , які збігаються з множинами початкових значень гладких розв'язків вказаних рівнянь.

Одержані результати і методика доведень мають теоретичне значення. Вони можуть знайти застосування і подальший розвиток у теорії рівнянь з частинними похідними, теорії узагальнених функцій, теорії перетворення Фур'є.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Колісник Р.С., Дрінь І.І. Узагальнення просторів типу та їх застосування // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей міжнародної конференції. - Чернівці - Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. - С.71.

2. Городецький В.В., Колісник Р.С. Про одне узагальнення просторів типу // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип.134. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С.30-37.

3. Kolysnyk R. On some spaces of entire function // Book of abstracts of International Conference on Functional Analysis and its Applications, Dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach (May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine). - Lviv, 2002. - Р.108.

4. Колісник Р.С. Простори типу // Тези доп. ІХ Міжнар. наук. конф. ім.акад. М. Кравчука. - Київ: НТУ, 2002. - С.306.

5. Колісник Р.С. Про деякі класи цілих функцій, експоненціально спадних на дійсній осі // Шості Боголюбівські читання: Тези доповідей міжнародної конференції. - Чернівці - Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. - С.102.

6. Городецький В.В., Колісник Р.С. Перетворення Фур'є та оператори диференціювання нескінченного порядку у просторах типу // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип.160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С.30-38.

7. Колісник Р.С. Оператори диференціювання нескінченного порядку у просторах типу та їх застосування // Нелінійні проблеми аналізу: ІІІ Всеукраїнська наукова конференція. Тези доповідей. - Івано-Франківськ: Плай, 2003. - С.49.

8. Колісник Р.С. Перетворення Фур'є узагальнених функцій із просторів типу // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Вип.191-192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С.67-71.

9. Колісник Р.С. Задача Коші для одного класу рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку // Матеріали Х-ї Міжнародної конференції імені акад. М. Кравчука (13-15 травня 2004р., м.Київ). - Київ: НТУУ “КПІ”, 2004. - С.134.

10. Колісник Р.С. Множини початкових значень гладких розв'язків одного класу еволюційних рівнянь нескінченного порядку // Матеріали Міжнародної конференції, присвяченої 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004р., м.Чернівці). - Чернівці: Рута, 2004. - С.44.

11. Колісник Р.С. Перетворення Фур'є узагальнених функцій нескінченного порядку та їх застосування // Матеріали Міжнародної конференції імені В.Я.Скоробагатька (27 вересня - 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). - Львів: Львівська політехніка, 2004. - С.102.

12. Городецький В.В., Колісник Р.С. Оператори диференціювання нескінченного порядку в просторах типу та їх застосування // Доповіді НАН України. - 2004. - №10. - С. 14-19.

Размещено на Allbest.ru

...