Расчет статистических показателей
Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического, квадратичного отклонения, суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.07.2014 |
| Размер файла | 54,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала - ±УДРд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
|
1 |
86,070 |
10 |
86,090 |
19 |
86,050 |
28 |
86,080 |
37 |
86,050 |
46 |
86,090 |
|
|
2 |
86,110 |
11 |
86,0110 |
20 |
86,080 |
29 |
86,130 |
38 |
86,090 |
47 |
86,070 |
|
|
3 |
86,090 |
12 |
86,130 |
21 |
86,070 |
30 |
86,030 |
39 |
86,150 |
48 |
86,170 |
|
|
4 |
86,120 |
13 |
86,152 |
22 |
86,230 |
31 |
86,130 |
40 |
86,060 |
49 |
86,170 |
|
|
5 |
85,970 |
14 |
86 |
23 |
86,180 |
32 |
86,110 |
41 |
86110 |
50 |
86,050 |
|
|
6 |
86,110 |
15 |
86,010 |
24 |
86,090 |
33 |
86,070 |
42 |
86,110 |
51 |
86,210 |
|
|
7 |
86,070 |
16 |
86,100 |
25 |
86,130 |
34 |
86,150 |
43 |
86, 190 |
52 |
86,150 |
|
|
8 |
86,090 |
17 |
86,11 |
26 |
86,110 |
35 |
86,090 |
44 |
85,990 |
53 |
86,140 |
|
|
9 |
86,140 |
18 |
86,170 |
27 |
86,150 |
36 |
86,130 |
45 |
86,110 |
Результаты измерений запишем в порядке возрастания:
|
1 |
85,9 |
11 |
86,07 |
21 |
86,09 |
31 |
86,11 |
41 |
86,14 |
51 |
86, 19 |
|
|
2 |
85,97 |
12 |
86,07 |
22 |
86,09 |
32 |
86,11 |
42 |
86,15 |
52 |
86,21 |
|
|
3 |
86,01 |
13 |
86,07 |
23 |
86,1 |
33 |
86,12 |
43 |
86,15 |
53 |
86,23 |
|
|
4 |
86,03 |
14 |
86,08 |
24 |
86,11 |
34 |
86,13 |
44 |
86,15 |
|||
|
5 |
86,05 |
15 |
86,08 |
25 |
86,11 |
35 |
86,13 |
45 |
86,15 |
|||
|
6 |
86,05 |
16 |
86,09 |
26 |
86,11 |
36 |
86,13 |
46 |
86,15 |
|||
|
7 |
86,05 |
17 |
86,09 |
27 |
86,11 |
37 |
86,13 |
47 |
86,17 |
|||
|
8 |
86,06 |
18 |
86,09 |
28 |
86,11 |
38 |
86,13 |
48 |
86,17 |
|||
|
9 |
86,07 |
19 |
86,09 |
29 |
86,11 |
39 |
86,13 |
49 |
86,17 |
|||
|
10 |
86,07 |
20 |
86,09 |
30 |
86,11 |
40 |
86,14 |
50 |
86,18 |
Доверительная вероятность Рд = 0,93 - показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,02 - показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
1. Построение гистограммы
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax - Xmin=86,23-85,9=0,33
Xmax = 86,23 - наибольшее из измеренных значений
Xmin = 85,90 - наименьшее из измеренных значений
R = Xmax - Xmin = 0,330 (мм).
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n ===7,2? 7.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ===0,047
Определяем границы интервалов Xmin - Xmax
1 интервал: Xmin1 - Xmax1
Xmin1 = Xmin=85,9 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 85,9+0,047=85,947 мм
2 интервал: Xmin2 - Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 85,947 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 85,994 (мм)
3 интервал: Xmin3 - Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 85,944 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 86,041 (мм)
4 интервал: Xmin4 - Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 86,041 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 86,088 (мм)
5 интервал: Xmin5 - Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 86,088 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 86,135 (мм)
6 интервал: Xmin6 - Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 86,135 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 86,182 (мм)
7 интервал: Xmin7 - Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 86,182 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 86,23 (мм)
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал:
Xo1 = Xmin1 + =85,924 (мм)
2 интервал:
Xo2 = Xmin2 + = 85,971 (мм)
3 интервал:
Xo3 = Xmin3 + = 86,018 (мм)
4 интервал:
Xo4 = Xmin4 + = 86,065 (мм)
5 интервал:
Xo5 = Xmin5 + = 86,112 (мм)
6 интервал:
Xo6 = Xmin6 + = 86,159 (мм)
7 интервал:
Xo7 = Xmin7 + = 86, 206 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
|
Номер интервала |
Границы интервала |
Середина интервала Xoi (ММ) |
Число размеров в интервале, mi |
|||
|
Xmin (мм) |
Xmax (мм) |
|||||
|
1 |
85,9 |
85,947 |
85,9235 |
1 |
0,018 |
|
|
2 |
85,947 |
85,994 |
85,9705 |
1 |
0,018 |
|
|
3 |
85,994 |
86,041 |
86,0175 |
2 |
0,037 |
|
|
4 |
86,041 |
86,088 |
86,0645 |
11 |
0,2 |
|
|
5 |
86,088 |
86,135 |
86,1115 |
24 |
0,452 |
|
|
6 |
86,135 |
86,182 |
86,1585 |
11 |
0,2 |
|
|
7 |
86,182 |
86,23 |
86, 2055 |
3 |
0,0566 |
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
Размещено на http://www.allbest.ru/
2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi - теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
ц (z) - плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
уx - среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (уx ? Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
86,107 мм
После подстановки 86,107 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО: Sx=0,053 мм
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле:
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:
Для 1 интервала: Zo1 = 3,453
что соответствует величине ц (z) = 0,001
Для 2 интервала: Zo2 = 2,57, что соответствует величине ц (z) = 0,0147
Для 3 интервала: Zo3 = 1,689, что соответствует величине ц (z) = 0,095
Для 4 интервала: Zo4 = 0,802, что соответствует величине ц (z) = 0,289
Для 5 интервала: Zo5 = 0,085, что соответствует величине ц (z) = 0,397
Для 6 интервала: Zo6 = 0,97, что соответствует величине ц (z) = 0,249
Для 7 интервала: Zo7 = 1,8/68, что соответствует величине ц (z) = 0,0694
суммарная погрешность закон распределение
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Для 1 интервала: No1 =0,047
Для 2 интервала: No2 = 0,691
Для 3 интервала: No3 = 4,498
Для 4 интервала: No4 =13,616
Для 5 интервала: No5 = 18,673
Для 6 интервала: No6 = 11,712
Для 7 интервала: No7 = 3,262
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
|
№ интервала |
Фактическая чистота |
Теоретическая чистота |
|
|
1 |
0,0190 |
0,01 |
|
|
2 |
0,019 |
0,01 |
|
|
3 |
0,038 |
0,08 |
|
|
4 |
0, 208 |
0,26 |
|
|
5 |
0,453 |
0,35 |
|
|
6 |
0, 208 |
0,22 |
|
|
7 |
0,057 |
0,06 |
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:
|
№ интервала |
Фактическая чистота |
Теоретическая чистота |
||||
|
1 |
0,0190 |
0,01 |
0,009 |
0,0000786 |
0,0079 |
|
|
2 |
0,019 |
0,01 |
0,006 |
0,000034 |
0,0026 |
|
|
3 |
0,038 |
0,08 |
-0,047 |
0,0022213 |
0,0262 |
|
|
4 |
0, 208 |
0,26 |
-0,049 |
0,0024361 |
0,0095 |
|
|
5 |
0,453 |
0,35 |
0,101 |
0,0101018 |
0,0287 |
|
|
6 |
0, 208 |
0,22 |
-0,013 |
0,0001807 |
0,0008 |
|
|
7 |
0,057 |
0,06 |
-0,005 |
0,0000244 |
0,0004 |
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:
где - теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами - СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение .
3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения
В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Рд, должно находится истинное значение измеряемой величины.
Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:
где
- оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:
Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).
Так как по условию Рд = 0,93, то значение функции Лапласа: F (Zp) = 0,93
Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа Zp = 1,815
Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:
Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.
Постоянные неисключенные составляющие:
погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):
мм,
где С = 0,010 мм - цена деления шкалы прибора;
систематическая неисключенная погрешность округления результата:
неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:
Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:
где k - поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 1,025
Тогда
Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).
В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:
Определение суммарной погрешности измерения:
В качестве окончательного результата принимаем большее значение.
Результат в общем виде: 86,107±0,027
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений. Протокол результатов измерений. Проверка гипотезы о виде распределения методом линеаризации. Особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.
методичка [179,5 K], добавлен 17.05.2012Методы определения достоверного значения измеряемой физической величины и его доверительных границ, используя результаты многократных наблюдений. Проверка соответствия экспериментального закона распределения нормальному закону. Расчет грубых погрешностей.
контрольная работа [52,5 K], добавлен 14.12.2010Измерения физических величин, их классификация и оценка истинного значения; обработка результатов. Понятие доверительного интервала: распределение Гаусса и Стьюдента. Понятие случайной величины и вероятностного распределения; методы расчета погрешностей.
методичка [459,2 K], добавлен 18.12.2014Определение закона распределения вероятностей результатов измерения в математической статистике. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому. Определение доверительного интервала, в котором лежит значение измеряемой величины.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2012Обработка данных измерений величин и представление результатов с нужной степенью вероятности. Определение среднего арифметического и вычисление среднего значения измеренных величин. Выявление грубых ошибок. Коэффициенты корреляции. Косвенные измерения.
реферат [116,2 K], добавлен 16.02.2016Расчет параметров экспериментального распределения. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения. Определение вида закона распределения случайной величины. Оценка различий эмпирического и теоретического распределений.
курсовая работа [147,0 K], добавлен 10.04.2011Построение гистограммы и полигона по данным измерений. Статистический ряд распределения температур. Проверка нормальности распределения по критерию Пирсона. Определение погрешности средства измерений. Отсев аномальных значений. Интервальная оценка.
курсовая работа [150,5 K], добавлен 25.02.2012Сущность метрологии как науки об измерениях, предмет и методы ее изучения. Разновидности измерений, их отличительные признаки и особенности реализации. Обработка результатов прямых, косвенных и совместных измерений. Погрешности и пути их минимизации.
курсовая работа [319,2 K], добавлен 12.04.2010Первичный анализ и основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания и для среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез.
дипломная работа [850,9 K], добавлен 18.01.2016Проверка гипотезы о законе распределения. Определение значения вероятности по классам распределения случайных величин нефтеносных залежей. Расчет распределения эффективных мощностей месторождения, которое подчиняется нормальному закону распределения.
презентация [187,0 K], добавлен 15.04.2019Длина интервала группирования. Графическое описание выборки. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Границы доверительного интервала математического ожидания. Вычисление коэффициента корреляции. Эмпирическая функция распределения.
практическая работа [737,5 K], добавлен 14.02.2009Обработка результатов при прямых и косвенных измерениях. Принципы обработки результатов. Случайные и систематические погрешности, особенности их сложения. Точность расчетов, результат измерения. Общий порядок расчета суммы квадратов разностей значений.
лабораторная работа [249,7 K], добавлен 23.12.2014Определение числовых характеристик производной случайной функции. Расчет корреляционной функции и дисперсии спектральной плотности. Группировка заданной выборки, построение выборочной функции распределения и гистограммы, доверительного интервала.
контрольная работа [681,0 K], добавлен 02.06.2010История открытия нормального закона, его применение в науке и технике. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения. Геометрическая интерпретация вероятного отклонения.
контрольная работа [506,3 K], добавлен 21.04.2019Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала и его границ. Закон распределения оценки. Построение доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности для математического ожидания. Доверительный интервал для дисперсии.
презентация [124,9 K], добавлен 01.11.2013Нахождение плотности, среднеквадратического отклонения, дисперсии, ковариации и коэффициента корреляции системы случайных величин. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения с заданной надежностью.
контрольная работа [200,3 K], добавлен 16.08.2010Рассмотрение способов нахождения вероятностей происхождения событий при заданных условиях, плотности распределения, математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и построение доверительного интервала для истинной вероятности.
контрольная работа [227,6 K], добавлен 28.04.2010Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Числовые характеристики для статистических распределений. Построение интервального вариационного ряда, многоугольника частостей, графика выборочной функции распределения и определения среднего значения выборки и выборочной дисперсии двумя способами.
презентация [140,3 K], добавлен 01.11.2013Проведение проверки гипотезы о нормальности закона распределения вероятности результатов измерения случайной величины по критерию согласия Пирсона. Определение ошибок в массивах данных: расчет периферийных значений, проверка серии на равнорассеянность.
контрольная работа [1,8 M], добавлен 28.11.2011
