Функціональні рівняння на локально компактних абелевих групах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна

УДК 517.986.62; 517.965

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Функціональні рівняння на локально компактних абелевих групах

01.01.01. Ї математичний аналіз

Миронюк Маргарита Вячеславівна

Харків - 2005

Дисертацією є рукопис. абелевий функція коефіцієнт

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Фельдман Геннадій Михайлович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, завідувач відділу теорії функцій

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Фаворов Сергій Юрійович, Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, м. Харків, завідувач кафедри теорії функцій і функціонального аналізу

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Синельщиков Сергій Дмитрович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, старший науковий співробітник відділу математичної фізики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ

Захист відбудеться 19.12.2005 року о 14 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розісланий 08.11.2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.О.Горькавий

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. У дисертації вивчаються розв'язки деяких функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класах нормованих неперервних додатно визначених функцій. Такі функціональні рівняння виникають природнім чином у різних розділах теорії ймовірностей, зокрема, у арифметиці розподілів та характеризаційних задачах, тобто задачах, у яких опис можливих розподілів випадкових величин випливає з властивостей деяких функцій від цих величин. Цим розділам присвячена значна частина відомих монографій А.М.Кагана, Ю.В.Лінника та С.Р.Рао, Ю.В.Лінника та Й.В.Островського, Б.Рамачандрана, Є.Лукача та інших, де відповідні функціональні рівняння розглядались на дійсній прямій та у m-вимірному просторі .

До теперішнього часу багато розділів теорії ймовірностей було перенесено на різноманітні алгебраїчні структури (див., наприклад, монографії У.Гренандера, К.Р.Партасараті, Е.Хеннана, Х.Хейера, Г.М.Фельдмана), а в останні роки значно посилився інтерес до характеризаційних задач в ситуації, коли випадкові величини приймають значення у локально компактних абелевих групах, групах Лі, квантових групах, симетричних просторах (див., наприклад, статті А.Л.Рухіна, Г.М.Фельдмана, Р.Г.Лаха, Я.Баришнікова, Б.Ейзенберга та В.Стадьє, Д.Ноєншвандера, Б.Ройнетта та Р.Шотта, У.Франца, Д.Ноєншвандера та Р.Шотта, П.Грачика та Ж.-Ж.Лоеба). Пов'язано це у першу чергу з бажанням отримати природні межі можливого узагальнення класичних результатів. Виявилося, що якщо випадкові величини приймають значення у локально компактній абелевій групі, то ті чи інші властивості групи повністю визначаються можливістю доведення на групі відповідної характеризаційної теореми, а отже і можливістю описати розв'язки відповідного функціонального рівняння. Дисертація продовжує та розвиває згадані дослідження, чим і визначається її актуальність.

У дисертації вивчаються розв'язки трьох функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класах нормованих неперервних додатно означених функцій, що виникають у задачах характеризації розподілів незалежністю суми та різниці двох випадкових величин (функціональне рівняння Бернштейна), незалежністю лінійних форм від n незалежних випадкових величин (функціональне рівняння Скитовича-Дармуа) та симетрією умовного розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій (функціональне рівняння Хейде). Зазначимо, що в задачах, які ми вивчаємо, коефіцієнтами лінійних форм є топологічні автоморфізми групи, на якій приймають значення випадкові величини.

У класичній ситуації та розв'язками згаданих вище функціональних рівнянь є характеристичні функції гауссівських розподілів (гауссівські розв'язки). При розгляді цих функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах поряд з гауссівськими розв'язками природнім чином виникає ще один клас розв'язків, а саме, клас характеристичних функцій ідемпотентних розподілів (ідемпотентні розв'язки). Добуток таких функцій також є розв'язком відповідних функціональних рівнянь. Тому у задачах, які ми розглядаємо, особлива увага приділяється умовам, при виконанні яких розв'язок відповідного функціонального рівняння може бути представлений у вигляді добутку гауссівського та ідемпотентного розв'язків.

Основними методами, які ми застосовуємо для досліджень, є використання теорії двоїстості Понтрягіна, структурної теорії для локально компактних абелевих груп та алгебраїчної теорії нескінчених абелевих груп.

Зв'язок теми з науковими програмами. Роботу виконано у межах тематичного плану ФТІНТ НАН України за темою 1.4.10.25.7 "Методи комплексного аналізу та їх застосування в спектральній теорії, математичній статистиці, теорії диференціальних рівнянь та проблеми моментів" (№ державної реєстрації 0102U000321) та за темою 1.4.10.25.8 "Теорія функцій та її застосування в спектральній теорії, аналітичних питаннях математичної статистики, теорії диференціальних рівнянь, ергодичній теорії" (№ державної реєстрації 0105U001053).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації Ї розв'язання деяких функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій.

Об'єкт досліджень Ї функціональні рівняння на абелевих групах.

Предмет досліджень Ї функціональні рівняння Бернштейна, Скитовича-Дармуа та Хейде на локально компактних абелевих групах у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій.

Методи досліджень Ї використання теорії двоїстості Понтрягіна, структурної теорії для локально компактних абелевих груп та алгебраїчної теорії нескінчених абелевих груп.

Основні задачі досліджень:

ѕ розв'язання функціонального рівняння Бернштейна на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій;

ѕ розв'язання функціонального рівняння Бернштейна на довільній підгрупі групи раціональних чисел у класі нормованих додатно визначених функцій;

ѕ опис усіх автоморфізмів групи , для яких усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, при n=2 у класі нормованих додатно визначених функцій є гауссівськими;

ѕ дослідження функціонального рівняння Скитовича-Дармуа на компактній цілком незв'язній сепарабельній абелевій метричній групі при n=3 у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій;

ѕ дослідження функціонального рівняння Скитовича-Дармуа на зліченій дискретній періодичній абелевій групі при n=3 у класі нормованих додатно визначених функцій;

ѕ розв'язання функціонального рівняння Хейде на скінченій абелевій групі у класі нормованих додатно визначених функцій.

Наукова новизна одержаних результатів:

ѕ вперше отримано розв'язок функціонального рівняння Бернштейна на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій;

ѕ вперше отримано розв'язок функціонального рівняння Бернштейна на довільній підгрупі групи раціональних чисел у класі нормованих додатно визначених функцій; раніше був відомий розв'язок рівняння Бернштейна лише на групі ;

ѕ вперше отриманий опис усіх автоморфізмів групи , для яких усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, при n=2 у класі нормованих додатно визначених функцій є гауссівськими;

ѕ вперше досліджене функціональне рівняння Скитовича-Дармуа на компактній цілком незв'язній сепарабельній абелевій метричній групі при n=3 у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій; раніше був відомий розв'язок рівняння Скитовича-Дармуа при n=3 лише на скінченій абелевій групі;

ѕ вперше досліджене функціональне рівняння Скитовича-Дармуа на зліченій дискретній періодичній абелевій групі при n=3 у класі нормованих додатно визначених функцій; раніше був відомий розв'язок рівняння Скитовича-Дармуа при n=3 лише на скінченій абелевій групі;

ѕ вперше отримано розв'язок функціонального рівняння Хейде на скінченій абелевій групі у класі нормованих додатно визначених функцій; раніше був відомий розв'язок рівняння Хейде на скінченій абелевій групі, що не містить елементів порядку 2.

Практичне та теоретичне значення. Робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень у теорії характеризаційних задач на групах та при розв'язанні функціональних рівнянь на групах у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій.

Особистий внесок здобувача. В опублікованій спільно з науковим керівником роботі [4] науковому керівнику належить формулювання теореми 1 (теорема 4.1.1 дисертації) та ідея її доведення. В опублікованій спільно з науковим керівником роботі [5] науковому керівнику належить формулювання теореми 1 (теорема 3.1.1 дисертації) та ідея доведення. Інші результати дисертації отримані автором самостійно.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на 10-й Міжнародній конференції імені М.Кравчука (Київ, 13-15 травня 2004 року), на 1-х Каразинських наукових читаннях (Харків, 14-16 червня 2004 року), на 4-ому Європейському математичному конгресі (Стокгольм, 27 червня - 2 липня 2004 року), на семінарі з теорії функцій (ХНУ, Харків; керівник семінару, доктор фіз.-мат. наук, професор А.П. Гришин).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковані статті [1-5] та тези наукових конференцій [6-7].

Об'єм і структура дисертації. Дисертація складається з вступу, допоміжного розділу, трьох розділів основного змісту, висновків та списку використаних джерел, що містить 60 найменувань. Обсяг дисертації складає 116 сторінок, обсяг списку використаних джерел Ї 4 сторінки.

Основний зміст роботи

У розділі 1 ми наводимо необхідні означення та стисло викладаємо деякі факти, що відносяться до абстрактного гармонійного аналізу, алгебраїчній теорії абелевих груп та теорії ймовірносних мір на локально компактних абелевих групах. Наведені у цьому розділі факти використовуються у розділах 2 Ї 4.

Нехай Y Ї локально компактна абелева група, Ї група топологічних автоморфізмів Y. Групу характерів групи Y будемо позначати через , значення характеру на елементі позначимо через . Топологічний ізоморфізм груп будемо позначати символом “”. Позначимо через групу обертів кола, тобто , через Ї групу коренів степеня m з одиниці. Нехай p Ї просте число. Позначимо через мультиплікативну групу коренів степеня з одиниці, де n пробігає усі невід'ємні цілі числа, а через позначимо групу р-адичних цілих чисел. Нехай a=(а0, a1, ..., an, ...) Ї довільна фіксована послідовність цілих чисел, які більше 1. Позначимо через а-адичний соленоїд.

Нехай . Позначимо через гомоморфізм, який визначається формулою . Покладемо . Група X називається групою Корвіна, якщо .

Нехай X Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група. Невід'ємна міра на групі X називається розподілом, якщо . Через позначимо носій розподілу . Згортка двох розподілів та характеристична функція розподілу визначаються звичайним чином:

, ,

де E Ї борелівська множина групи X. Через позначимо вироджений розподіл у точці . Функція на групі Y називається характеристичною, якщо для деякого розподілу на групі X. Функція називається додатно визначеною, якщо при усіх n

для будь-яких . Теорема Бохнера стверджує, що функція на групі Y є характеристичною тоді і лише тоді, коли , Ї неперервна та додатно визначена.

Позначимо через міру Хаара на групі X. Характеристична функція розподілу Хаара компактної підгрупи K групи X має вигляд

де .

Розподіл на групі X називається гауссівським, якщо його характеристична функція має вигляд

,

де , а Ї неперервна невід'ємна функція на Y, яка задовольняє рівнянню

.

Множину гауссівських розподілів на групі X позначимо через . Гауссівський розподіл називається симетричним, якщо в означенні x=0. Множину симетричних гауссівських розподілів позначимо через .

У розділі 2 вивчаються розв'язки рівняння Бернштейна

де Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група.

У підрозділі 2.1 ми наводимо два нових доведення теореми Бернштейна про те, що усі розв'язки рівняння Бернштейна на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій мають вигляд

Ці доведення не використовують ні теореми Крамера про розклад гауссівського розподілу, на яку спиралось перше доведення теореми Бернштейна, що належить М.Кацу, ні методу скінчених різниць, який використовував С.Н.Бернштейн. Завдяки цим обставинам наведені доведення без змін переносяться на локально компактні сепарабельні абелеві метричні групи з однозначним діленням на 2 при умові, що розв'язки рівняння Бернштейна не обертаються на нуль. Останній результат використовується потім для опису усіх локально компактних сепарабельних абелевих метричних груп Y, на яких усі розв'язки рівняння Бернштейна є такими, що кожна функція має вигляд добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів (групи, компонента зв'язності груп характерів яких не містить елементів порядку 2). Зазначимо, що останній результат був раніше отриманий Г.М.Фельдманом, але наше доведення цього факту відрізняється від попереднього. Основна різниця полягає у тому, що ми при доведенні не використовуємо груповий аналог теореми Крамера про розклад гауссівського розподілу, який в свою чергу спирається на класичну теорему Крамера, доведення якої використовує теорію цілих функцій. Таким чином, наше доведення не спирається на теорію функцій комплексного змінного.

Сформулюємо тепер наступну задачу.

Задача 1. Нехай Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група. Описати усі розв'язки рівняння Бернштейна на групі Y у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій.

Враховуючи сказане вище, змістовна частина задачі 1 відноситься до тих груп Y, компонента зв'язності груп характерів яких містить елементи порядку 2. Однією з найпростіших груп такого виду є група цілих чисел , група характерів якої Ї це одновимірний тор . Для цієї групи опис розв'язків рівняння Бернштейна був відомий (Я.Баришніков, Б.Ейзенберг, В.Стадьє).

Основним результатом підрозділу 2.2 є розв'язання функціонального рівняння Бернштейна на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій. Відповідь дає наступна теорема. Зазначимо, що групою характерів групи є група .

Теорема 2.2.1. Нехай Ї неперервні комплексно значні функції на групі , що задовольняють рівнянню Бернштейна і такі, що . Тоді має місце одне з наступних тверджень:

1) , де , а Ї заряди, зосереджені на підгрупі і такі, що ;

2) , де , p Ї непарне, а Ї заряди, зосереджені на підгрупі і такі, що ;

3) або та , або та , де .

У підрозділі 2.3 ми розв'язуємо функціональне рівняння Бернштейна на довільній підгрупі групи , яка не є ізоморфною , у класі нормованих додатно визначених функцій та доводимо наступну теорему. Зазначимо, що групою характерів групи є група .

Теорема 2.3.1. Нехай Ї нормовані додатно визначені функції на підгрупі групи , яка не є ізоморфною , що задовольняють рівнянню Бернштейна. Тоді

(II) якщо , то , де , а K Ї компактна підгрупа Корвіна групи X;

(III) якщо , то має місце одне з наступних тверджень:

1) , де , а K Ї компактна підгрупа Корвіна групи X;

2) , де , K Ї компактна підгрупа Корвіна групи X, а Ї заряди, зосереджені на підгрупі і такі, що ;

3) або , або .

Приймаючи до уваги класичну теорему Бернштейна та роботу Я.Баришнікова, Б.Ейзенберга, В.Стадьє для групи , наша теорема дає повний опис розв'язків рівняння Бернштейна у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій на усіх групах Y, групи характерів яких є зв'язними локально компактними абелевими групами вимірності 1.

З теорем 2.2.1 та 2.3.1 безпосередньо випливає повний опис розподілів незалежних випадкових величин зі значеннями у групах та відповідно, які характеризуються незалежністю суми і різниці цих випадкових величин.

У підрозділі 2.4 ми доводимо ряд теорем про розв'язки рівняння Бернштейна у класі неперервних функцій та класі вимірних функцій.

У розділі 3 вивчаються розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа

де Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група, а Ї топологічні автоморфізми групи Y.

Теорема Скитовича-Дармуа стверджує, що усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій мають вигляд

, j=1…n, (1)

де , тобто є характеристичними функціями гауссівських розподілів.

У підрозділі 3.1 вивчаються розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль. Г.М. Фельдманом було доведене наступне твердження: для того щоб усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа були такі, що кожна функція є характеристичною функцією гауссівського розподілу, необхідно і достатньо, щоб група характерів групи Y не містила підгрупи, що топологічно ізоморфна одновимірному тору . Крім того, було також доведено, що якщо функції , які не обертаються на нуль, задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа на групі Y, то розв'язання рівняння Скитовича-Дармуа на групі Y зводиться до його розв'язання на фактор-групі Y/Y0, де Y0 Ї підгрупа групи Y, що складається з усіх компактних елементів. Група Y/Y0 топологічно ізоморфна групі виду

, (2)

де n0, а D Ї злічена дискретна абелева група без елементів скінченого порядку. Іншими словами, вивчаючи розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, на довільній локально компактній сепарабельній абелевій метричній групі Y, ми, не обмежуючи загальності, можемо вважати, що група Y має вигляд (2). Зазначимо, що групами характерів груп такого виду є зв'язні локально компактні сепарабельні абелеві метричні групи.

Сформулюємо тепер наступну задачу.

Задача 2. Нехай Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група виду (2). Описати топологічні автоморфізми групи Y, які мають наступну властивість: якщо функції , які не обертаються на нуль, задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа, то кожна є характеристичною функцією гауссового розподілу.

Ясно, що з урахуванням сказаного вище, змістовна частина цієї задачі відноситься до тих груп Y, групи характерів яких містять підгрупу, що топологічно ізоморфна .

Нехай Y Ї локально компактна абелева група виду (2), група характерів якої має вимірність 1. Кожна така група Y топологічно ізоморфна одній з груп: , , довільна підгрупа Ha групи раціональних чисел , яка не ізоморфна . Задача 2 у випадку була розв'язана В.П.Скитовичем та Г.Дармуа, у випадку Ї Я.Баришніковим, Б.Ейзенбергом, В.Стадьє, а у випадку Y = Ha Ї Г.М.Фельдманом. Таким чином, задача 2 для локально компактних абелевих груп Y таких, що їх група характерів зв'язна та має вимірність 1, розв'язана.

Розглянемо локально компактні абелеві групи Y виду (2), група характерів яких має вимірність 2. Якщо група характерів групи Y не містить підгрупу, що топологічно ізоморфна , то усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, такі, що кожна функція є характеристичною функцією гауссового розподілу. Нехай Y Ї локально компактна абелева група виду (2), група характерів якої має вимірність 2 та містить підгрупу, що топологічно ізоморфна . Тоді або , або , або , де Ї довільна підгрупа групи , яка не ізоморфна . Зазначимо, що група характерів групи є група . Розв'язання задачі 2 для групи при n=2 дає наступна теорема.

Теорема 3.1.1'. Нехай Y=, , Ї власні числа матриці . Нехай Ї нормовані додатно визначені функції, що не обертаються на нуль та задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа

,

Тоді

Ia. Якщо та , то , .

Ib. Якщо та , то , , де A Ї симетрична невід'ємно означена матриця, det A=0 та , k>0.

IIa. Якщо або та , або , то , , де det A=0 та , Ї заряди на F, F Ї підгрупа в X, що породжена елементом порядку 2 та .

IIb. Якщо або , або та , то існують такі сумовні нормовані додатно визначені функції, що не обертаються на нуль, задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа та не є характеристичними функціями гауссівського розподілу.

Зазначимо, що функція виду , де A Ї симетрична невід'ємно визначена матриця, на групі Y= є характеристичною функцією деякого гауссівського розподілу на групі . Доведення теореми 3.1.1' в істотному спирається на наступну лему.

Лема 3.1.1. Нехай , Ї власні числа матриці . Розглянемо рівняння

, (3)

де , Ї симетричні невід'ємно визначені матриці. Тоді

Ia. Якщо та , то єдиним розв'язком рівняння (3) є розв'язок A=B=0.

Ib. Якщо та , то у рівняння (3) існують ненульові розв'язки, і усі ненульові розв'язки є такими, що det A=det B=0 та , k>0.

IIa. Якщо або та , або , то у рівняння (3) існують ненульові розв'язки, і усі ненульові розв'язки є такими, що A=B, det A=0 та .

IIb. Якщо або , або та , то у рівняння (3) існують такі розв'язки, що detA=detB>0.

Також ми розв'язуємо задачу 2 при n=2 для груп , або , групи характерів яких мають вигляд та . Таким чином ми маємо розв'язання задачі 2 для усіх локально компактних абелевих груп виду (2), групи характерів яких мають вимірність 2.

З теореми 3.1.1' та відповідних теорем для груп та безпосередньо випливає опис топологічних автоморфізмів зв'язних локально компактних абелевих груп X вимірності 2, для яких з незалежності лінійних форм та , де Ї незалежні випадкові величини зі значеннями у X, характеристичні функції розподілів яких не обертаються на нуль, випливає, що випадкові величини гауссівські.

У підрозділі 3.2 вивчаються розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що можуть обертатися на нуль. Розглянемо наступні дві задачі.

Задача 3. Описати локально компактні сепарабельні абелеві метричні групи, що мають наступну властивість: якщо , 1,…n, Ї нормовані неперервні додатно визначені функції, що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа, то кожна з функцій може бути представлена у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

Позначимо через множину локально компактних сепарабельних абелевих метричних груп, що мають зазначену у задачі 3 властивість.

Задача 4. Описати локально компактні сепарабельні абелеві метричні групи, що мають наступну властивість: якщо , j=1,…,n, Ї нормовані неперервні додатно визначені функції, що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа, то хоча б одна з функцій може бути представлена у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

Позначимо через множину локально компактних сепарабельних абелевих метричних груп, що мають зазначену у задачі 4 властивість.

Задача про опис множин та досить складна і повністю не розв'язана. Множини та для деяких n були описані Г.М.Фельдманом та П.Грачиком для низки важливих підкласів класу локально компактних абелевих груп. Так, множини та були описані спочатку у класі скінчених абелевих груп, а потім у класах злічених дискретних періодичних абелевих груп, злічених дискретних абелевих груп без елементів скінченого порядку та компактних сепарабельних абелевих метричних груп. Множини та були описані лише у класі скінчених абелевих груп. Опис множин та при n4 не отриманий, але розглядалися класи дискретних абелевих груп та компактних цілком незв'язних абелевих груп та доведені теореми, з яких випливає опис груп, що належать усім класам та при n2. Окрім цього з отриманих результатів випливає, що або для n=4, або для n=6 опис класів та саме цими групами і обмежується.

Опис множин та у класах злічених дискретних періодичних абелевих груп та компактних цілком незв'язних сепарабельних абелевих метричних груп дають наступні теореми.

Теорема 3.2.1. Нехай Y Ї злічена дискретна періодична абелева група. Позначимо через H групу вигляду

(a) ;

(b) ;

(c) .

Нехай , j=1,2,3, Ї нормовані додатно визначені функції на Y, що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3. Тоді:

(Ii) якщо Y H, то усі fj(y)=(xj,y), xj X=Y*;

(Iii) якщо Y H, то хоча б дві функції та є характеристичними функціями ідемпотентних розподілів;

(Iiii) якщо Y H, то хоча б одна функція є характеристичною функцією ідемпотентного розподілу.

(II) Якщо Y не ізоморфна групам, переліченим у (Ii)-(Iiii), то існують такі автоморфізми Aut(Y) та нормовані додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3 та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

Для доведення теореми 3.2.1 ми будуємо автоморфізми та нормовані додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3 та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів, на групах , та на слабкому прямому добутку , де p Ї просте число.

Для формулювання наступної теореми нам знадобиться одне означення. Нехай A Ї редукована p-примарна група, тобто A не містить подільних підгруп, і порядки усіх елементів групи A Ї степені простого числа p. Покладемо , та , якщо Ї граничне порядкове число. Тоді визначена цілком впорядкована послідовність підгруп A = A0 A1 ... A ... A = {0} для деякого порядкового числа . Підгрупа A називається -ою ульмовською підгрупою групи A, а фактор-група A = A / A+1 Ї -м ульмовським фактором групи A. Цілком впорядкована послідовність A0, A1,..., A ,... ( < ) називається послідовністю Ульма групи A, а Ї ульмовським типом групи A. Якщо A Ї злічена група, то усі A Ї слабі прямі добутки циклічних p-примарних груп. Число циклічних прямих співмножників порядку pm у розкладанні групи A співпадає з відповідним інваріантом Ульма-Капланського групи A.

Теорема 3.2.2. Нехай Y Ї сепарабельна компактна цілком незв'язна абелева метрична група. Позначимо через H групу вигляду

(a) K, де K* Ї злічена редукована 2-примарна група така, що усі її інваріанти Ульма-Капланського дорівнюють або 0, або 1;

(b) ;

(c) K,

де К така, як в (а).

Нехай , j=1,2,3, Ї нормовані неперервні додатно визначені функції на Y, що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3. Тоді:

(Ii) якщо Y H, то усі fj(y)=(xj,y), xj X=Y*;

(Iii) якщо Y H, то хоча б дві функції та є характеристичними функціями ідемпотентних розподілів;

(Iiii) якщо Y H, то хоча б одна функція є характеристичною функцією ідемпотентного розподілу.

(II) Якщо Y топологічно не ізоморфна групам, переліченим у (Ii)-(Iiii), то існують такі автоморфізми Aut(Y) та нормовані неперервні додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3 та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

Для доведення теореми 3.2.2 ми будуємо автоморфізми та нормовані неперервні додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа при n=3 та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів, на групах , та .

Опис множин та при будь-якому n4 у класах злічених дискретних абелевих груп та компактних цілком незв'язних абелевих груп дають наступні теореми.

Теорема 3.2.3. Нехай Y Ї злічена дискретна абелева група, що не ізоморфна групам виду (Ii)-(Iii), переліченим у теоремі 3.2.1. Тоді для будь-якого n4 існують автоморфізми Aut(Y) та нормовані додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

Теорема 3.2.4. Нехай Y Ї компактна цілком незв'язна сепарабельна абелева метрична група, що не ізоморфна групам виду (Ii)-(Iii), переліченим у теоремі 3.2.2. Тоді для будь-якого n4 існують автоморфізми Aut(Y) та нормовані неперервні додатно визначені функції , що задовольняють рівнянню Скитовича-Дармуа та не можуть бути представлені у вигляді добутку характеристичних функцій гауссівського та ідемпотентного розподілів.

У наступній теоремі описаний досить широкий клас локально компактних абелевих груп, для якого для будь-якого n2 усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій такі, що кожна функція fj(y) є характеристичною функцією гауссівського розподілу.

Теорема 3.2.5. Нехай , де D=K* Ї злічена дискретна абелева група, періодична частина якої D0 є редукованою 2-примарною групою, усі інваріанти Ульма-Капланського якої дорівнюють або 0, або 1. Тоді для любого будь-якого n2 усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій такі, що кожна функція fj(y) є характеристичною функцією гауссівського розподілу.

Теорема 3.2.5 еквівалентна наступному твердженню. Нехай група , де D Ї злічена дискретна абелева група, періодична частина якої D0 є редукованою 2-примарною групою, усі інваріанти Ульма-Капланського якої дорівнюють або 0, або 1. Тоді з незалежності лінійних форм від n незалежних випадкових величин зі значеннями у X випливає, що ці випадкові величини гауссівські.

У розділі 4 вивчаються розв'язки рівняння Хейде

де Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група, а Ї топологічні автоморфізми групи Y такі, що також топологічні автоморфізми групи Y для усіх .

Терема Хейде твердить, що усі розв'язки рівняння Хейде на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій мають вигляд (1), де , , тобто є характеристичними функціями гауссівських розподілів.

Розглянемо наступну задачу.

Задача 5. Нехай Y Ї локально компактна сепарабельна абелева метрична група. Описати усі розв'язки рівняння Хейде на групі Y у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій.

У підрозділі 4.1 ми розв'язуємо задачу 5 у класі скінчених абелевих груп. Зазначимо, що Г.М.Фельдманом задача 5 була розв'язана у класі скінчених абелевих груп, що не містять елементів порядку 2. Позначимо через 2-примарну компоненту групи X. Основним результатом підрозділу є наступна теорема.

Теорема 4.1.1. Нехай Y Ї скінчена абелева група, . Нехай Ї нормовані додатно визначені функції, що задовольняють рівнянню

. (3)

Тоді , де xj X, F Ї підгрупа групи X, , j=1,2.

З теореми 4.1.1 безпосередньо випливає опис розподілів двох незалежних випадкових величин на скінчених абелевих групах, що характеризуються симетрією розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій.

У підрозділі 4.2 ми вивчаємо розв'язки рівняння Хейде у випадку, коли Y Ї скінчена 2-примарна група. У підрозділі 4.3 ми розв'язуємо задачу 5 на групі , де N Ї скінчена абелева група. Позначимо , де . Нехай G2 Ї 2-примарна компонента групи G.

Теорема 4.3.1. Нехай , де N Ї скінчена абелева група. Нехай Ї нормовані додатно визначені функції, що задовольняють рівнянню (3). Нехай . Тоді , де , xj X, F Ї підгрупа групи X, , j=1,2.

З теореми 4.3.1 безпосередньо випливає опис розподілів двох незалежних випадкових величин на групі , де G Ї скінчена абелева група, що характеризуються симетрією розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій.

Висновки

У дисертації одержано наступні основні результати:

ѕ отримано розв'язок функціонального рівняння Бернштейна на групі у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій;

ѕ отримано розв'язок функціонального рівняння Бернштейна на довільній підгрупі групи раціональних чисел у класі нормованих додатно визначених функцій;

ѕ отримано опис усіх автоморфізмів групи , для яких усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, при n=2 у класі нормованих додатно визначених функцій є гауссівськими;

ѕ досліджене функціональне рівняння Скитовича-Дармуа на компактній цілком незв'язній сепарабельній абелевій метричній групі при n=3 у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій;

ѕ досліджене функціональне рівняння Скитовича-Дармуа на зліченій дискретній періодичній абелевій групі при n=3 у класі нормованих додатно визначених функцій;

ѕ отримано розв'язок функціонального рівняння Хейде на скінченій абелевій групі у класі нормованих додатно визначених функцій.

Публікації здобувача за темою дисертації

1. Миронюк М.В. О функциональном уравнении С.Н. Бернштейна // Математическая физика, анализ, геометрия. Ї 2004. Ї Т.11. Ї №2. Ї С. 177-188.

2. Миронюк М.В. До теореми Скитовича-Дармуа на абелевих групах // Український математичний журнал. Ї 2004. Ї Т.56. Ї №10. Ї С. 1342-1356.

3. Миронюк М.В. О характеризационной теореме С.Н. Бернштейна на цилиндре // Доповіді Національної академії наук України. Ї 2005. Ї №1. Ї С. 25-28.

4. Миронюк М.В., Фельдман Г.М. Об одной характеризационной теореме на конечных абелевых группах // Сибирский математический журнал. Ї 2005. Ї Т.46. Ї №2. Ї С. 403-415.

5. Миронюк M.В, Фельдман Г.М. К теореме Скитовича-Дармуа на двумерном торе // Доклады академии наук. Ї 2005. Ї Т.401. Ї №6. Ї С. 741-743.

6. Myronyuk M.V. An analog of the Bernstein theorem for the cylinder // Матеріали 10-ої Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. Ї Київ. Ї 2004. Ї С. 616.

7. Myronyuk M.V. On the Skitovich-Darmois Theorem for Abelian Groups // Материалы научной конференции "First Karazin scientific readings". Ї Харьков. Ї 2004. Ї С. 58-59.

Анотація

Миронюк М.В. Функціональні рівняння на локально компактних абелевих групах. Ї Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. Ї математичний аналіз. Ї Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

У дисертації вивчаються розв'язки трьох функціональних рівнянь на локально компактних абелевих групах у класах нормованих неперервних додатно означених функцій, що виникають у задачах характеризації розподілів незалежністю суми та різниці двох випадкових величин (функціональне рівняння Бернштейна), незалежністю лінійних форм від n незалежних випадкових величин (функціональне рівняння Скитовича-Дармуа) та симетрією умовного розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій (функціональне рівняння Хейде). Зазначимо, що коефіцієнтами лінійних форм є топологічні автоморфізми групи, на якій приймають значення випадкові величини. Отримано розв'язок функціонального рівняння Бернштейна на групі та на довільній підгрупі групи раціональних чисел у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій. Отримано опис усіх автоморфізмів групи , для яких усі розв'язки рівняння Скитовича-Дармуа, що не обертаються на нуль, при n=2 у класі нормованих додатно визначених функцій є гауссівськими. Досліджене функціональне рівняння Скитовича-Дармуа на компактній цілком незв'язній сепарабельній абелевій метричній групі та на зліченій дискретній періодичній абелевій групі при n=3 у класі нормованих неперервних додатно визначених функцій. Отримано розв'язок функціонального рівняння Хейде на скінченій абелевій групі у класі нормованих додатно визначених функцій.

Ключові слова: функціональне рівняння, локально компактна абелева група, додатно визначена функція, топологічний автоморфізм групи.

Аннотация

Миронюк М.В. Функциональные уравнения на локально компактных абелевых группах. Ї Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 Ї математический анализ. Ї Физико-технический институт низких температур им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2005.

Функциональные уравнения на локально компактных абелевых группах в классах нормированных непрерывных положительно определенных функций возникают естественным образом в различных разделах теории вероятностей, в частности, в арифметике распределений и характеризационных задачах, т.е. задачах, в которых описания возможных распределений случайных величин вытекают из свойств некоторых функций от этих величин.

В диссертации изучаются решения трех функциональных уравнений на локально компактных абелевых группах в классах нормированных непрерывных положительно определенных функций, возникающих в задачах характеризации распределений независимостью суммы и разности независимых случайных величин (функциональное уравнение Бернштейна), независимостью линейных форм от n независимых случайных величин (функциональное уравнение Скитовича-Дармуа) и симметрией условного распределения одной линейной формы при фиксированной другой (функциональное уравнение Хейде). Отметим, что в изучаемых нами задачах коэффициентами линейных форм являются топологические автоморфизмы группы, в которой принимают значения случайные величины.

Основными методами, которые применяются для исследования, являются использование теории двойственности Понтрягина, структурной теории для локально компактных абелевых групп и алгебраической теории бесконечных абелевых групп.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Глава 1 вспомогательная. В ней приводятся необходимые определения и сжато излагаются некоторые факты, относящиеся к абстрактному гармоническому анализу, алгебраической теории бесконечных абелевых групп и теории вероятностных мер на локально компактных абелевых группах.

В главе 2 изучаются решения функционального уравнения Бернштейна на локально компактной сепарабельной абелевой метрической группе в классе нормированных непрерывных положительно определенных функций. В подразделе 2.1 мы приводим два новых доказательства характеризационной теоремы Бернштейна. Эти доказательства не используют ни теоремы Крамера о разложении гауссовского распределения, на которую опиралось доказательство М.Каца, ни метода конечных разностей, который использовал С.Н.Бернштейн. В подразделах 2.2 и 2.3 получены описания решений функционального уравнения Бернштейна на группе и на произвольной подгруппе группы рациональных чисел . В подразделе 2.4 доказан ряд теорем о решениях уравнения Бернштейна в классе непрерывных функций и в классе измеримых функций.

В главе 3 изучаются решения функционального уравнения Скитовича-Дармуа на локально компактной сепарабельной абелевой метрической группе в классе нормированных непрерывных положительно определенных функций. Подраздел 3.1 посвящен случаю, когда решения уравнения Скитовича-Дармуа не обращаются в нуль. Основным результатом этого подраздела является описание всех автоморфизмов группы , для которых все необращающиеся в нуль решения уравнения Скитовича-Дармуа при n=2 в классе нормированных положительно определенных функций являются гауссовскими. Техника, использованная для получения этого результата, позволяет получить аналогичные описания на группах и , где Ї произвольная подгруппа группы , не изоморфная .

В подразделе 3.2 изучается случай, когда решения уравнения Скитовича-Дармуа могут обращаться в нуль. Основным результатом является исследование решений уравнения Скитовича-Дармуа на компактной вполне несвязной сепарабельной абелевой метрической группе и на счетной дискретной периодической абелевой группе при n=3 в классе нормированных непрерывных положительно определенных функций.

В главе 4 изучаются решения функционального уравнения Хейде на локально компактной сепарабельной абелевой метрической группе в классе нормированных непрерывных положительно определенных функций. В подразделе 4.1 получено описание решений функционального уравнения Хейде на произвольной конечной абелевой группе. Подраздел 4.2 посвящен изучению решений уравнения Хейде на конечной 2-примарной абелевой группе. В подразделе 4.3 получено описание решений функционального уравнения Хейде на группе вида , где N Ї конечная абелева группа.

Ключевые слова: функциональное уравнение, локально компактная абелева группа, положительно определенная функция, топологический автоморфизм группы.

Abstract

Myronyuk M.V. Functional equations on locally compact Abelian groups. Ї Manuscript.

Thesis for degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 Ї mathematical analysis. Ї B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2005.

We study three functional equations on locally compact Abelian groups in a class of normalized continuous positive defined functions. These equations arise in problems of a characterization of distributions by the independence of the sum and the difference of two independent random variables (the Bernstein equation), by the independence of two linier forms of n independent random variables (the Skitovich-Darmois equation) and by the symmetry of the conditional distribution of one linier form given another (the Heyde equation). Coefficients of linier forms in the considering equations are topological automorphism of a group on which the random variables take on values. We obtain the solutions of the Bernstein equation on the group and on an arbitrary subgroup of the group of rational numbers. We obtain the description of automorphisms of the group for which all not vanishing solutions of the Skitovich-Darmois equation for n=2 in a class of normalized positive defined functions are Gaussian. We describe the solutions of the Skitovich-Darmois equation on a compact totally disconnected separable Abelian metric group and on a countable discrete periodic Abelian group for n=3 in a class of normalized continuous positive defined functions. We obtain the solutions of the Heyde equation on a finite Abelian group in a class of normalized positive defined functions.

Key words: functional equation, locally compact Abelian group, positive defined function, topological automorphism of a group.

Размещено на Allbest.ru

...