Еволюційні рівняння із суттєво нескінченновимірними операторами

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.988

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ

ІЗ СУТТЄВО НЕСКІНЧЕННОВИМІРНИМИ ОПЕРАТОРАМИ

Мальцев Антон Юрійович

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут"

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, доцент Богданський Юрій Вікторович, Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ", професор кафедри математичних методів системного аналізу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, Феллер Михайло Наумович, Український державний науково-дослідний інститут "РЕСУРС", науковий консультант

кандидат фізико-математичних наук, доцент Орлов Ігор Володимирович, Таврійський національний університет імені В.І. Вернадського, завідувач кафедри алгебри та функціонального аналізу.

Провідна установа Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться "21" червня 2005 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "17" травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Анотації

Мальцев А.Ю. Еволюційні рівняння із суттєво нескінченновимірними операторами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертація є теоретичним дослідженням в області нескінченновимірного аналізу. В роботі побудовано розв'язки задачі Коші для нестаціонарних параболічних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами в деякому банаховому просторі функцій, заданих на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Суттєво нескінченновимірні оператори природним чином узагальнюють класичний оператор Лапласа-Леві, зберігаючи усі основні властивості останнього. Доведено, що задача Коші для найпростішого нестаціонарного параболічного рівняння із суттєво нескінченновимірними операторами є рівномірно коректною. Для рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами, що збурено векторним полем певного класу, знайдено еволюційні сім'ї. Для еволюційного суттєво нескінченновимірного рівняння на обмеженій поверхні скінченної корозмірності в дисертаційній роботі побудовано розв'язки задачі Коші.

Ключові слова: нескінченновимірний аналіз, оператор Лапласа-Леві, еволюційна сім'я, параболічне рівняння.

Maltsev A. Yu. Evolutionary equations with essentially infinite-dimensional operators. - Manuscript.

The thesis is presented for a scientific degree of the candidate of physics and mathematics in speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

It is a theoretical investigation in the infinite-dimensional analysis field. The solutions of the Cauchy problem for the non-stationary parabolic equation with essentially infinite-dimensional operators are constructed in a certain Banach space of functions on an infinite-dimensional separable real Hilbert space. The essentially infinite dimensional operator is a generalization of well-known Levy-Laplace operator. The properties of the essentially infinite dimensional operators are like that of the classical Levy-Laplace operator. It is proved that the Cauchy problem for the simplest non-stationary parabolic equation with essentially infinite-dimensional operators is well-posed. Evolutionary families are found for the non-stationary equations involving the essentially infinite-dimensional operators perturbed by vector fields of certain class. It is solved the Cauchy problem for the non-stationary parabolic equation with essentially infinite-dimensional coefficients on bounded surfaces of finite codimension in a Hilbert space.

Key words: infinite-dimensional analysis, Levy-Laplace operator, evolutionary family, parabolic equation.

Мальцев А.Ю. Эволюционные уравнения с существенно бесконечномерными операторами. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация представляет собой исследование в области бесконечномерного анализа. В работе построены эволюционные семейства ряда нестационарных дифференциальных уравнений второго порядка в правых частях которых находятся существенно бесконечномерные операторы. Существенно бесконечномерные операторы представляют собой естественное обобщение хорошо известного оператора Лапласа-Леви и сохраняют уникальные свойства последнего (обращение в ноль на цилиндрических функциях, лейбницевское свойство). Эллиптический существенно бесконечномерный оператор определяется при помощи формулы ,

где j - положительный линейный функционал на банаховом пространстве самосопряжённых ограниченных операторов в счётномерном вещественном гильбертовом пространстве. Дополнительно предполагается, что все операторы конечного ранга принадлежат ядру функционала j. Функционалы такого типа называются в работе существенно бесконечномерными. Классический оператор Лапласа-Леви является частным случаем существенно бесконечномерного оператора (функционал должен выбираться определённым образом). При условии, что отображение j(t) удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0,T] (функционал j(t) предполагается положительным существенно бесконечномерными при всех ), в диссертации построено эволюционное семейство уравнения

.

Доказано, что соответствующая задача Коши является равномерно корректной.

В работе для возмущённого уравнения

,

где -нестационарное векторное поле на гильбертовом пространстве, доказана единственность решения соответствующей задачи Коши на отрезке [0,T] и построено эволюционное семейство. Доказано, что решение задачи Коши для такого уравнения (- эволюционное семейство, а - начальное условие) является непрерывной по совокупности переменных функцией в треугольнике и непрерывно зависит от начальных данных: из сходимости к нулю последовательности (по норме в соответствующем функциональном пространстве) следует равномерная по совокупности переменных сходимость к нулю решений .

В диссертационной работе построено эволюционное семейство уравнения

,

где Z - векторное поле на гильбертовом пространстве, а - функция, зависящая как от пространственной координаты, так и от времени. Доказано, что свойства решения задачи Коши для такого уравнения аналогичны выше перечисленным свойствам решения задачи Коши для уравнения

.

В случае, когда функция не зависит от пространственной переменной, удалось получить иную запись решения задачи Коши для соответствующего уравнения.

В диссертации найдено эволюционное семейство уравнения

,

где S - поверхность конечной коразмерности в счётномерном гильбертовом пространстве, а - существенно бесконечномерные операторы на поверхности.

Ключевые слова: бесконечномерный анализ, оператор Лапласа-Леви, эволюционное семейство, параболическое уравнение.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Роботу, що пропонується, присвячено дослідженню нестаціонарних параболічних диференціальних рівнянь другого порядку для функцій, визначених на нескінченновимірному сепарабельному дійсному гільбертовому просторі. Диференціальні оператори другого порядку, що пов'язані з цими рівняннями, не мають скінченновимірних аналогів. Тому вони називаються суттєво нескінченновимірними.

Нехай H ? дійсний сепарабельний нескінченновимірний гільбертів простір, ? банахів простір обмежених самоспряжених операторів в H. Нехай j ? лінійний неперервний функціонал на

просторі . В роботах Ю.В. Богданського такий функціонал названо суттєво нескінченновимірним, якщо до його ядра належать всі оператори скінченного рангу. Якщо j ? додатний суттєво нескінченновимірний функціонал, а u ? двічі неперервно диференційовна за Фреше функція, визначена на H, диференціальний вираз другого порядку

, (1)

називається суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором.

Диференціальний оператор (1) є узагальненням добре відомого оператора Лапласа-Леві, який був запропонований Полем Леві у 1922 році. На функціях класу (за Фреше) класичний диференціальний вираз Лапласа-Леві визначається наступним чином

. (2)

Оператор (2) в абстрактному вигляді можна записати так:

,

де () - зростаюча послідовність ортопроекторів в абстрактному дійсному нескінченновимірному сепарабельному гільбертовому просторі . Функціонал

-

лінійний, додатний (його природна область визначення - це множина всіх операторів для яких границя існує). Тотожний оператор належить до області визначення функціонала . Відповідно до теореми М.Г. Крейна функціонал припускає продовження до додатного функціонала на всьому просторі . Отриманий функціонал (який задано вже на всьому просторі ) знову позначимо як . Якщо в формулі (1) в якості функціонала взяти функціонал , диференціальний вираз, отриманий за цією формулою, буде в точності співпадати з диференціальним виразом Лапласа-Леві.

Наведене узагальнення класичного лапласіана Леві належить Ю.В. Богданському.

Суттєво нескінченновимірні оператори успадковують усі основні властивості операторів Лапласа-Леві: для достатньо гладких функцій та

1. ;

2. ;

3. для будь-якої циліндричної функції класу u.

В п'ятдесятих роках, завдяки Є.М. Поліщуку виникає значний інтерес до робіт П. Леві. Є.М. Поліщуку належить багато важливих результатів: зокрема він помітив півгрупову властивість середніх Леві. Завдяки цьому стало можливим використовувати в дослідженнях методи теорії -півгруп. Зв'язок аналізу Леві з роботами Хінчина з обґрунтування класичної статистичної механіки, на який було вказано Є.М. Поліщуком, й досі залишається мало відомим.

З 1965 року нескінченновимірні еліптичні рівняння з операторами типу Лапласа-Леві розглядаються в роботах М.Н. Феллера. М.Н. Феллер дослідив різноманітні рівняння з оператором Лапласа-Леві: зокрема, він довів єдиність розв'язку відповідної задачі Діріхле, побудував в певних функціональних просторах диференціальні оператори будь-якого парного порядку, що породжені диференціальним виразом Лапласа-Леві. Значний внесок в розробку теорії Леві зробив Г.Є. Шилов, який використовував в своїх дослідженнях методи новоствореної тоді теорії нормованих алгебр. Оператор Лапласа-Леві та рівняння з цим оператором вивчалися в роботах А.С. Немировського, І.Я. Дорфман, В.Я. Сикирявого. Багато публікацій присвячено імовірнісним аспектам оператора Лапласа-Леві. Тут обов'язково треба згадати роботи Y. Hasegava, T. Hida, H.H. Kuo, K. Satio, N. Obata.

Тема дисертації є актуальною. Про це свідчить і велика кількість публікацій з відповідної тематики, що з'явилися нещодавно, і нові цікаві результати. Зокрема в роботі Л. Аккарді та О.Г. Смолянова (2002 р.) отримано розв'язки рівнянь теплопровідності, Шредингера і Лапласа, до яких входить лапласіан Леві. В наведеній роботі також роз'яснюється зв'язок лапласіану з квантовою теорією випадкових процесів. Важливо сказати, що до рівнянь з лапласіаном Леві приводять деякі задачі теорії надпровідності та теорії керованих систем. Все це свідчить про необхідність подальшого глибокого вивчення таких рівнянь.

Мета і завдання дослідження. Мета роботи, що пропонується Ї побудувати розв'язки задачі Коші для нестаціонарних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами як у лінійному просторі так і на нелінійних многовидах.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист такі:

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - суттєво нескінченновимірні оператори; доведено рівномірну коректність задачі Коші для цього рівняння.

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - векторне поле на гільбертовому просторі, а - дійснозначна функція; встановлено деякі важливі властивості одержаного розв'язку.

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - нестаціонарне векторне поле на гільбертовому просторі; встановлено деякі важливі властивості одержаного розв'язку.

Одержано розв'язок задачі Коші для еволюційного рівняння на поверхні

,

де - суттєво нескінченновимірні оператори на многовиді скінченної корозмірності ; встановлено деякі важливі властивості побудованого розв'язку.

Найбільш близькі результати в цьому напрямку одержані Ю.В. Богданським, але ним розглядалися рівняння із суттєво нескінченновимірними операторами, що не залежать від часу. Подана ж робота присвячена саме нестаціонарним рівнянням.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. В дисертації запропоновано методи побудови еволюційних сімей нестаціонарних диференціальних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами як в лінійному просторі так і на нелінійних многовидах. Результати дисертації можуть мати як імовірнісне застосування (побудова випадкових полів) так і бути використаними для подальшого вивчення суттєво нескінченновимірних рівнянь. Результати дисертаційної роботи можуть також знайти застосування при дослідженні важливих задач теоретичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Всі результати отримано автором дисертації особисто, а опубліковані праці написані без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи було докладено на Київському семінарі з функціонального аналізу (Інститут математики НАН України, керівник член-кореспондент НАН України М.Л. Горбачук), на семінарі з рівнянь математичної фізики та функціонального аналізу (Інститут математики НАН України, керівник академік НАН України Ю.М. Березанський), на науковому семінарі кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівник доктор фізико-математичних наук О.Г. Кукуш), на наукових семінарах кафедри математичних методів системного аналізу Навчально-наукового комплексу "Інститут прикладного системного аналізу", на Кримській осінній математичній школі-симпозіумі з спектральних та еволюційних задач у 2002, 2003 та 2004 роках.

Публікації. Основні результати, що одержано в дисертації, опубліковано в роботах [1-5].

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, двох розділів, списку літератури, що містить 133 найменування. Повний об'єм роботи - 131 машинописна сторінка.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність та важливість теми дисертаційної роботи, сформульовано мету дослідження та наведено стислу анотацію основних результатів.

Перший розділ присвячено вивченню еволюційних рівнянь із суттєво нескінченновимірними операторами для функцій на гільбертовому просторі.

Передусім в першому розділі дисертації наводяться основні означення, серед яких найголовніші, використовувані на протязі всієї роботи, - це означення функціонального простору X та означення суттєво нескінченновимірного оператора. Нехай H - дійсний сепарабельний нескінченновимірний гільбертів простір, а L(H) - простір лінійних обмежених операторів в H. Позначимо через множину всіх обмежених лінійних операторів, ранг яких не перевищує n, а норма не перевищує c.

Означення 1.4. Множина M L(H) називається майже компактною, якщо для будь-якого > 0 існує компактна множина K L(H) та числа n N, c > 0 такі, що множина K + Qn,c є - сіткою для М.

Нехай - простір двічі неперервно диференційовних за Фреше функцій на гільбертовому просторі .

Означення 1.5. Функція з належить множині A, якщо вона задовольняє такі умови:

R>0 існує майже компактна множина МL(H) така,

що ;

рівномірно неперервна на всіх обмежених підмножинах в H.

Підмножину A до якої входять функції, що мають обмежений носій позначимо як A0. Множини та є алгебрами відносно поточкових операцій над функціями (доведено Ю.В. Богданським). Впровадимо в норму:

.

Через будемо позначати поповнення простору A0 відносно вказаної норми.

Нехай - банахів простір обмежених самоспряжених операторів в .

Означення 1.7. Лінійний обмежений функціонал на просторі називається суттєво нескінченновимірним, якщо в його ядро входять всі оператори скінченного рангу.

Якщо - додатний суттєво нескінченновимірний функціонал, диференціальний вираз (1) коректно визначає диференціальний оператор (необмежений) у просторі (доведено Ю.В. Богданським). Цей оператор має всюди щільну в просторі область визначення .

Всюди далі вважаємо, що при кожному з відрізку функціонал є додатним суттєво нескінченновимірним, а відображення задовольняє умову Ліпшиця:.

В першому розділі дисертації розглянуто задачу Коші для рівняння

, (3)

де оператори , що фігурують в правій частині, визначаються за допомогою формули (1) та мають назву суттєво нескінченновимірних.

В підрозділі 1.2 знайдено розв'язок задачі Коші для рівняння (3). Пункти 1.2.2 та 1.2.3 присвячено вибору методики побудови відповідної еволюційної сім'ї. На цьому шляху отримано такі результати.

Теорема 1.2. Якщо та - два додатних суттєво нескінченновимірних функціонали, які не є колінеарними, оператори та мають не співпадаючі області визначення (тут та - замикання операторів та відповідно).

Твердження 1.1. Нехай - суттєво нескінченновимірний оператор. Тоді для будь-якої додатної константи існує дійсне число , що для нього виконується наступна нерівність:

,

де - резольвента оператора в точці .

З теореми 1.2 та твердження 1.1 випливає, що класична техніка не може бути використаною для побудови еволюційної сім'ї нестаціонарного суттєво нескінченновимірного параболічного рівняння.

Пункт 1.2.4 дисертації присвячено безпосередньо побудові еволюційної сім'ї рівняння (3). Зауважимо, що оператори мають спільну всюди щільну в область визначення та припускають замикання. Ці замикання є генераторами деяких -півгруп стиску в просторі (доведено Ю.В. Богданським). Згадані півгрупи будемо позначати в подальшому як . Введемо в розгляд наступну двопараметричну сім'ю лінійних обмежених операторів:

, .

Якщо - довільне розбиття відрізку та , покладемо за означенням

. (4)

В пунктах 1.2.4-1.2.5 побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння (3) на відрізку з початковою умовою в точці

. (5)

В пункті 1.2.5 доведено наступну теорему.

Теорема 1.5. Нехай при кожному функціонал j(t) є додатним суттєво нескінченновимірним, а відображення задовольняє умову Ліпшиця. Тоді задача Коші для рівняння (3) з початковою умовою (5) має і причому один розв'язок на відрізку в класі функцій . Відповідна еволюційна сім'я може бути подана в такому вигляді:

.

Зауваження. Тут і далі співвідношення

будемо розуміти як границю на кожному елементі за напрямком, що утворений розбиттями відрізку : для кожної пари , існує розбиття , що для будь-якого його продовження виконується оцінка

.

Далі в дисертації розглянута задача Коші для рівняння

, (6)

де - векторне поле певного класу на просторі , а оператори мають той самий сенс, що і в рівнянні (3). Через , як це прийнято, позначається дія векторного поля на функцію :

.

Означення 1.10. Будемо казати, що векторне поле Z на просторі Н належить класу A0, якщо параболічний рівняння банаховий

Z має обмежений носій;

Z - двічі неперервно диференційовна на Н вектор-функція, і при цьому друга похідна Z є рівномірно неперервною на Н операторнозначною функцією;

- майже компактна множна;

- майже компактна множина.

В пункті 1.2.6 отримано розв'язок задачі Коші для рівняння (6), за умови, що векторне поле належить класу A0. Нехай для будь якої функції з простору дія оператора визначається формулою

,

де - течія векторного поля (вона існує для всіх ). - коректно визначений лінійний обмежений оператор в просторі (доведено Ю.В. Богданським). Введемо в розгляд наступну двопараметричну сім'ю лінійних обмежених операторів в просторі :

.

Теорема 1.6. Нехай при кожному функціонал j(t) є додатним суттєво нескінченновимірним, а відображення задовольняє умову Ліпшиця. Нехай - векторне поле класу A0. Тоді задача Коші для рівняння (6) з початковою умовою має і при тому єдиний розв'язок на відрізку в класі функцій . Відповідна еволюційна сім'я може бути подана в такому вигляді:

.Зауваження. Оператори визначаються за допомогою формули (4) із заміною символу на символ .

Подальші дослідження спрямовані на з'ясування властивостей розв'язку задачі Коші для рівняння (6). Зауважимо, що рівняння (6) можемо записати в абстрактній формі наступним чином

(7)

де A(t) () - сім'я операторів у дійсному нескінченновимірному банаховому просторі . Оператори A(t) () мають спільну щільну в В область визначення

Кожен з цих операторів припускає замикання. Нам будуть потрібні такі означення.

Означення 1.8. Під задачею Коші в трикутнику

для рівняння (7) розуміємо задачу про знаходження при кожному фіксованому розв'язку цього рівняння на відрізку , що задовольняє початкову умову в точці s

. (8)

Означення 1.9. Задача Коші (7)-(8) називається рівномірно коректною, якщо

при кожному і будь-якому існує єдиний розв'язок рівняння (7) на відрізку , що задовольняє умову (8);

функція та її похідна неперервні за сукупністю змінних в трикутнику ;

розв'язок неперервно залежить від початкових даних в тому сенсі, що із збіжності до нуля випливає рівномірна за і в збіжність до нуля відповідних розв'язків .

В пункті 1.3.1 доведено наступну теорему.

Теорема 1.7. Нехай виконуються умови теореми 1.6. Тоді розв'язок задачі Коші в трикутнику для рівняння (6) є неперервною функцією за сукупністю змінних . Розв'язок неперервно залежить від початкових даних в тому сенсі, що із збіжності послідовності до нуля випливає рівномірна за збіжність до нуля відповідних розв'язків .

В пункті 1.3.2 результати, що отримано в пункті 1.3.1 для рівняння (6), застосовані для дослідження властивостей розв'язків задачі Коші для рівняння (3) (яке є частинним випадком рівняння (6)).

Теорема 1.8. Задача Коші для рівняння (3) є рівномірно коректною.

В підрозділі 1.4 результати, які раніше здобуто для рівняння (3) за припущення, що функціонал при кожному з відрізку є додатним суттєво нескінченновимірним, узагальнюються на випадок, коли - довільний додатний функціонал на просторі . Рівняння (3) при цьому розглядається в іншому функціональному просторі (в якому стаціонарна задача є рівномірно коректною, а отже її розв'язок дається -півгрупою). В підрозділі 1.4 отримано аналоги теорем 1.3 та 1.8.

Другий розділ дисертації в основному присвячено розгляду нестаціонарного рівняння із суттєво нескінченновимірними операторами для функцій, що визначені на многовидах в гільбертовому просторі. Мова йде про рівняння

, (9)

де - суттєво нескінченновимірні оператори на поверхні . Функція визначена на , де - поверхня скінченої корозмірності у сепарабельному нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі .

В підрозділі 2.1 дисертаційної роботи наводяться означення необхідних для подальшого класів поверхонь, а також означення суттєво нескінченновимірного оператора на поверхні скінченної корозмірності.

Означення 2.1. Обмежену поверхню S скінченої корозмірності, що реалізована як поверхня спільного рівня скінченого набору функцій

,

а саме, поверхню S таку, що

будемо називати допустимою (класу ), якщо

функції gk мають обмежений носій;

рівномірно неперервні;

на поверхні S визначник Грама задовольняє нерівність

В будь-якій точці нормальна до S гіперплощина має розмірність m. Вкладення індукує на S ріманову метрику. Нехай - відповідна зв'язність Леві-Чивіти. Вкладення в дотичного до S у точці простору дозволяє природним чином ототожнити з підпростором скінченої корозмірності в . Розклад в ортогональну суму

ставить у відповідь кожному самоспряженому обмеженому оператору А в оператор А0, який діє вже у просторі Н. Якщо - двічі неперервно диференційовна функція на , наведені міркування дозволяють співставити її другому коваріантному диференціалу 2u(x) в точці оператор в Цей оператор також будемо позначати як 2u(x).

Позначимо через клас двічі диференційовних функцій на S, для яких - рівномірно неперервна (відносно індукованої вкладенням S в Н метрики) операторнозначна функція.

Означення 2.2. Будемо казати, що функція належить класу A(S), якщо та існує така майже компактна множина M, що для всіх : 2u(x) M.

Множина A(S) є алгеброю (доведено Ю.В. Богданським). Замикання за нормою рівномірної збіжності алгебри A(S) в просторі будемо позначати як . Функціональний простір є основним для подальшого.

Означення 2.3. Нехай G - обмежена відкрита множина в Н. Будемо казати, що функція належить класу , якщо

- рівномірно неперервна в G;

існує така майже компактна множина , що для всіх : .

Позначимо як - клас k раз диференційовних в D функцій, для яких старша похідна рівномірно неперервна відносно індукованої вкладенням D в Н метрики.

Означення 2.4. Будемо казати, що функція належить класу , якщо та існує майже компактна множина така, що для будь-якого h з функція належить класу і при цьому для всіх .

Нехай - довільний додатний суттєво нескінченновимірний функціонал.

Означення 2.5. Обмежену поверхню S будемо називати поверхнею класу , якщо існує окіл поверхні S, у якому ; , при цьому

Будемо казати, що поверхня S належить класу , якщо для будь-якого додатного суттєво нескінченновимірного функціонала j поверхня S є поверхнею класу . Клас є досить широким: йому належать всі поверхні вигляду

,

де ,

а -

невід'ємні оператори, при цьому () (факт доведено Ю.В. Богданським).

Всюди далі вважаємо, що поверхня S належить класу . Можемо розглянути наступний

диференціальний вираз, який будемо називати суттєво нескінченновимірним оператором на поверхні S:

. (10)

є коректно визначеним диференціальним оператором в просторі X(S) з всюди щільною областю визначення (доведено Ю.В. Богданським).

Нехай при кожному функціонал є додатним суттєво нескінченновимірним. В другому розділі роботи побудовано розв'язок задачі Коші (на відрізку для рівняння (9) з початковою умовою

. (11)

Дослідження задачі Коші для рівняння (9) на поверхні S щільно пов'язане з дослідженням задачі Коші для наступного рівняння у гільбертовому просторі H:

, (12)

де - деяка сім'я векторних полів класу на просторі . Це обумовлено спеціальним виглядом, який мають оператори на поверхнях класу .

Якщо поверхня класу , то визначено лінійний обмежений оператор , що ставить у відповідність функції її обмеження на поверхню S, при цьому (коректність означення доведено Ю.В. Богданським). Крім того коректно визначено обмежений лінійний оператор , що реалізує продовження функції з до функції, що визначена на H (цей оператор функцію з множини переводить у функцію з множини ). Відзначимо, що продовження i може бути досить довільним і лише підлягає умові: ; - тотожній оператор.

Ю.В. Богданським доведено, що оператор , визначений за допомогою формули (10), діє на функцію () наступним чином

,

де - належним чином побудоване векторне поле класу (що залежить як від поверхні S так і від функціонала j). За допомогою наведеної формули рівнянню (9) можемо поставити у відповідність рівняння (12).

В підрозділі 2.2 знайдено розв'язок задачі Коші для рівняння (12) при деяких умовах на векторне поле :

при кожному фіксованому відображення відрізку [0,T] в простір H є неперервно диференційовним і при цьому

,

де - перша похідна за змінною ;

є неперервно диференційовною функцією на ;

існують додатні константи та , що виконуються нерівності

де та - відповідно перша та друга похідні за змінною .

Тепер будемо позначати як наступну двопараметричну сім'ю лінійних обмежених операторів в просторі

: , де ,

а - течія векторного поля .

Теорема 2.1. Нехай при кожному векторне поле є векторним полем класу ,

а -

додатний суттєво нескінченновимірній функціонал. Нехай відображення задовольняє умову Ліпшиця, а векторне поле задовольняє умови 1-3, вказані вище. Тоді задача Коші для рівняння (12) з початковою умовою має і причому один розв'язок на відрізку в класі функцій . Відповідна еволюційна сім'я має наступний вигляд:

.

В підрозділі 2.2 також з'ясовано властивості розв'язку задачі Коші для рівняння (12).

Теорема 2.2. Нехай виконуються умови теореми 2.1. Тоді для рівняння (12) розв'язок задачі Коші в трикутнику є неперервною функцією за сукупністю змінних . Розв'язок неперервно залежить від початкових даних в тому сенсі, що із збіжності послідовності до нуля випливає рівномірна за збіжність до нуля відповідних розв'язків .

В підрозділі 2.3 отримано наступний результат.

Теорема 2.3. Нехай при кожному функціонал є додатним суттєво нескінченновимірним, а відображення є неперервно диференційовним на відрізку . Нехай - поверхня класу . Тоді задача Коші для рівняння (9) з початковою умовою (11) має і причому один розв'язок на відрізку в класі функцій . Відповідна еволюційна сім'я може бути поданою в такому вигляді:

де - еволюційна сім'я рівняння (12), що відповідає рівнянню (9).

В підрозділі 2.3 також досліджено властивості розв'язку задачі Коші для рівняння (9).

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови теореми 2.3. Тоді розв'язок задачі Коші в трикутнику для рівняння (9) є неперервною функцією за сукупністю змінних . Розв'язок неперервно залежить від початкових даних в тому сенсі, що із збіжності до нуля випливає рівномірна за збіжність до нуля відповідних розв'язків .

В підрозділі 2.4 отримано формулу для розв'язку задачі Коші для рівняння (9) з початковою умовою (11), якщо

 - cфера в гільбертовому просторі:

,

де - еволюційна сім'я рівняння (3),

, , .

В підрозділі 2.5 дисертаційної роботи вивчається рівняння:

, (13)

де - суттєво нескінченновимірні оператори, - векторне поле на просторі H, а є дійснозначною функцією, що залежить як від просторової змінної, так і від часу. В пункті 2.5.1 побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння (13).

Теорема 2.5. Нехай - неперервне відображення відрізку в (при кожному фіксованому функція належить класу ). Тоді при виконанні умов теореми 1.6 задача Коші для рівняння (13) з початковою умовою має і причому один розв'язок на відрізку в класі функцій . Відповідна еволюційна сім'я має наступний вигляд:

де - це еволюційна сім'я рівняння (6),а .

В пункті 2.5.2 досліджено властивості розв'язків задачі Коші для рівняння (13).

Теорема 2.6. Нехай виконуються умови теореми 2.5. Тоді розв'язок задачі Коші в трикутнику для рівняння (13) є неперервною функцією за сукупністю змінних . Крім того, розв'язок неперервно залежить від початкових даних в тому сенсі, що із збіжності до нуля випливає рівномірна за збіжність до нуля відповідних розв'язків .

В пункті 2.5.3 запропоновано ще одну формулу для еволюційної сім'ї рівняння (13) в випадку, коли функція не залежить від просторової змінної. Нехай . Покладемо за означенням:

().

Теорема 2.7. Нехай є неперервно диференційовним відображенням відрізку в . Тоді при виконанні умов теореми 1.6 задача Коші для рівняння (13) з початковою умовою має і причому один розв'язок на відрізку в просторі . Відповідна еволюційна сім'я задається формулою

,

де ,

має той самий сенс, що і в формулюванні теореми 1.6, .

Висновки

Дисертаційну роботу присвячено вивченню еволюційних рівнянь із суттєво нескінченно-вимірними операторами. В роботі отримано наступні основні результати:

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - суттєво нескінченновимірні оператори; доведено рівномірну коректність задачі Коші для цього рівняння.

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - векторне поле на гільбертовому просторі, а - дійснозначна функція; встановлено деякі важливі властивості одержаного розв'язку.

Побудовано розв'язок задачі Коші для рівняння

,

де - нестаціонарне векторне поле на гільбертовому просторі; встановлено деякі важливі властивості одержаного розв'язку.

Одержано розв'язок задачі Коші для еволюційного рівняння на поверхні

,

де - суттєво нескінченновимірні оператори на многовиді скінченної корозмірності ; встановлено деякі важливі властивості побудованого розв'язку.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

Мальцев А.Ю. Задача Коши для уравнения с нерегулярным эллиптическим оператором, зависящим от времени // Учёные записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского. - 2003. - Т. 16, № 1. - С. 153-157.

Мальцев А.Ю. Еволюційні суттєво нескінченновимірні рівняння // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 2. - С. 214-220.

Мальцев А.Ю. Еволюційні сім'ї нестаціонарних суттєво нескінченновимірних рівнянь. Рівномірна коректність однієї задачі Коші із суттєво нескінченновимірним оператором // Наукові вісті НТУУ "КПІ". - 2004. - № 4. - С. 152-157.

Мальцев А.Ю. Властивості розв'язків задачі Коші для еволюційних суттєво нескінченновимірних рівнянь // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 5. - С. 656-662.

Мальцев А.Ю. Задача Коші для рівняння із суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором, збуреним векторним полем, що залежить від часу // Доповіді НАН України. - 2004. - № 11. - С. 31-37.

Размещено на Allbest.ru

...