Топологічні властивості функцій і векторних полів на маловимірних многовидах

Теорема 5.7.1. Два МС-потоки на тривимірному многовиді з краєм будуть топологічно еквівалентними тоді та тільки тоді, коли ізоморфні їх діаграми.

У восьмому підрозділі п'ятого розділу досліджуються топологічні властивості відображення Уітні поверхні на площину. Ці відображення задовольняють таким умовам:

1) кожна точка є регулярною, точкою складки або збіркою;

2) образи складок (що є гладкими кривими на площині) перетинаються трансверсально;

3) в кожній точці перетину перетинається образи двох складок;

4) дві збірки або збірка і точка складки не можуть мати один і той самий образ.

Згідно теореми Уітні (1955) множина таких відображень є відкритою і скрізь щільною множиною в C(F, R2). Відображення Уітні є структурно стійкими.

Об'єднання складок і згорток відображення fT утворює об'єднання H замкнених кривих на F, а їх образи - замкнені криві, що перетинаються з особливими точками (образи згорток). Об'єднання образів розглядаються як граф G, вершинами якого є точки перетину та особливі точки. Орієнтація площини задає орієнтацію ребер графа. Кожній замкненій кривій i з H відповідає орієнтований цикл i графа G.

Нехай _ множина циклів i. Поверхню F розрізається за замкненими кривими з Н. Отримано набір поверхонь Fk з краєм. Для кожної поверхні складено список циклів з , які відповідають компонентам краю цієї поверхні. Ребрам графа поставлено у відповідність букви і кожний цикл задається словом. Отже, кожній з отриманих поверхонь відповідає список слів. Побудовано граф G з двома наборами списків слів: перший задає вкладення графа в площину, а другий - компоненти краю поверхонь Fk.

Розрізняючим графом відображення f називається так побудований орієнтований граф G з двома наборами списків слів і розбиттям вершин кожного з циклів на пари для кожного списку слів з іншого НСС.

Теорема 5.8.1. Два відображення Уітні є топологічно еквівалентними тоді та тільки тоді, коли існує ізоморфізм їх розрізняючих графів, який узгоджений з НСС та зберігає розбиття вершин на пари.

Розрізняючий граф, побудований за відображенням Уітні, має такі властивості:

1) перший набір слів задає плоский граф, всі вершини якого мають степінь 2 або 4;

2) кожна буква зустрічається у двох словах;

3) у слові для кожного списку слів (поверхні Fk), що задає зовнішню область підграфа, складеного з ребер, які відповідають буквам з цього списку, всі букви мають однакову степінь (орієнтація всіх ребер збігається з орієнтацією границі зовнішньої області, списаної з орієнтації площини);

4) довільний список слів не можна розбити на такі списки слів, для кожного з яких виконується умова 2 (це рівносильно зв'язності поверхні Fk);

5) замкненість маршруту.

Теорема 5.8.2. Розрізняючий граф задає відображення Уітні деякої замкненої (можливо незв'язної) поверхні на площину тоді та тільки тоді, коли він має властивості 1-5).

Висновки

В дисертаційній роботі отримано такі основні результати:

1) за допомогою розкладів на ручки з комірами встановлено критерій топологічної еквівалентності функцій Морса;

2) дана топологічна класифікація векторних полів Морса-Смейла на тривимірних многовидах;

3) дані локальна і глобальна топологічні класифікації функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях;

4) дані локальна класифікація функцій з ізольованими критичними точками в тривимірному просторі та глобальна класифікація функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах;

5) дана топологічна класифікація m-функцій та m-полів на двовимірних та тривимірних многовидах;

6) доведені пряма та обернена теореми про суму індексів потоку на стратифікованій множині, що є узагальненням теореми Пуанкаре-Хопфа для многовидів;

7) дана глобальна класифікація відображень Уітні замкненої поверхні на площину;

8) дані топологічні класифікації градієнтноподібних дифеоморфізмів Морса-Смейла на тривимірних многовидах, круглих функцій Морса на тривимірних многовидах, диференціальних морсовських форм на поверхнях та функцій Морса зі скінченним числом особливостей на площині.

Отримані в дисертації результати повністю вирішують проблему топологічної класифікації векторних полів Морса-Смейла та функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах і на двовимірних та тривимірних многовидах з краєм (m-поля та m-функції) та більш загальних об'єктів: функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, замкнених 1-форм Морса на замкнених поверхнях, відображень Уітні замкненої поверхні на площину та ін. Ефективність побудованих класифікацій продемонстрована на прикладах підрахування числа топологічно нееквівалентних об'єктів із заданими властивостями.

Результати в основному носять теоретичний характер. Однак, вони можуть бути використані в фізиці та теоретичній механіці. Побудовані повні топологічні інваріанти фактично описують ті властивості динамічних систем та функцій, які не змінюються при топологічних перетвореннях (наприклад заміні системи координат), не залежать від способу вимірювання чи описання тощо.

Топологічна класифікація тривимірних полів Морса-Смейла може бути використана для побудови нового топологічного інваріанта двовимірного дифеоморфізму Морса-Смейла, оскільки його надбудова, в загальному випадку, є полем Морса-Смейла без особливих точок.

Результати, що містяться в дисертації, були використані в роботах В.В.Шарко, О.А.Гірик, І.Ю.Власенко, С.І.Максименко, А.Кадубовського, А.Климчука та інш.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

Білун С.В., Пришляк О.О. Замкнені 1-форми Морса на замкнених поверхнях // Вісник КНУ. _ №8. - 2002. _ С.77-81.

Кулинич Е. В., Пришляк А.О. Функції на поверхнях, критичні рівні яких - вкладені графи та кола// Вісник Київ. Універс. Математика. Механіка. - 1998. - №2. - С.22-24.

Лосєва М.В., Пришляк О.О. Індекс ізольованої точки потоку на дійсних 2-вимірних напівалгебраїчних множинах // Вісник КНУ. Математика. Механіка. - 2001. - Вип.6. - С. 18-21.

Лосева М.В., Пришляк А.О. О структурно устойчивых обыкновенных дифференциальных уравнениях на поверхностях с краем // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2002. - №1(87). - С. 45-48.

Міщенко К.І., Пришляк О.О. Скінчені функції Морса на некомпактних поверхнях скінченого типу // Вісник КНУ. Математика. Механіка. - 2003. _ №9. - С. 57-59.

Пришляк А.О. О вложенных в поверхность графах // Успехи мат. наук. - 1997. - Т.52, вып.4. - С. 211-212.

Пришляк А.О. Новые полиномы узлов // Укр. мат. журн. - 1997. - Т.49, №9. - С. 1230-1235.

Пришляк А.О. Полярні градієнтноподібні потоки на тривимірній сфері // Вісник Київ. Універс. Математика. Механіка. - 1998. - Вип.1. - С. 36-39.

Пришляк А.О. Векторные поля Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий на трехмерных многообразиях // Доповіді НАН України. - 1998. - №6. - С. 43-47.

Пришляк А.О. Сопряженность функций Морса // Некоторые вопросы совр. мат. Т.25. - К.: Ин-т математики НАН Украины, 1998.- С.319-325.

Пришляк А.О. Изоморфизмы комбинаторных клеточных 3-мерных комплексов // Укр. мат. журн. - 1999. - Т.51, №4. - С. 568-571.

Пришляк А.О. Сопряженность функций Морса на поверхностях со значениями на прямой и окружности // Укр. мат. журн. - 2000. - Т.52, №10. - С. 1421-1425

Пришляк А.О. Эквивалентность m-функций на трехмерных многообразиях с углами // Доповіді НАНУ. - 2000. - №6. - С. 22-26.

Пришляк А.О. Сопряженность функций Морса на 4-мерных многообразиях // Успехи мат. наук. - 2001. - Т.56, №1. - С. 173-174.

Пришляк А.О. Топологическая эквивалентность векторных полей Морса-Смейла с beh 2 на трехмерных многообразиях // Укр. мат. журнал. -2002. - Т.54, №4. - C. 492-500.

Пришляк О.О. Круглі функції Морса і круглі ручки на 3-мірних багатовидах// Вісник КНУ. Математика. Механіка. - 2002. - №7. - C. 41-43.

Пришляк А.О. Векторные поля Морса-Смейла без замкнутых траекторий на трехмерных многообразиях // Мат. заметки. - 2002. - Т.71, вып.2. - С. 254-260.

Пришляк А.О. Топологическая классификация m-полей на двух- и трехмерных многообразиях с краем // Укр. мат. журнал. - 2003. - Т.55, №6. - С. 799-805.

Пришляк А.О. О сумме индексов потока с изолированными особыми точками на стратифицированных множествах // Мат. физика, анализ, геометрия. - 2003. - Т. 10, №1. - С. 1_10.

Пришляк А.О. Правильные функции на замкнутых трехмерных многообразиях // Доповіді НАНУ. - 2003. - №8. - С. 21-24.

Пришляк А.О. Топологическая эквивалентность функций и векторных полей Морса-Смейла на трехмерных многообразиях // Топологія і геометрія: Праці українського математичного конгресу, 2001. - Київ: Ін-т математики НАНУ, 2003. _ С. 29-38.

Prishlyak A.O. Equivalence of Morse function on 3-manifolds // Methods of Func. Ann. and Topology. - 1999. - Vol.5, №3. - P. 49-53.

Prishlyak A.O. Morse functions with finite number of singularities on a plane // Methods of func.an. and topology. - 2002. - Vol. 8, №1. - Р. 75-78.

Prishlyak A.O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface // Topology and its application. - 2002. - Vol.119, №3. -P. 257-267

Prishlyak A.O. Gradient like Morse-Smale dynamical systems on 4-manifolds // Mat. Studii. - 2001. - Vol.16, №1. - P. 99-104.

Prishlyak A.O. Topological classification of flows and functios on low-dimensional manifolds.- Kyiv, 2004. - 58 p. (Preprint/ National Acad.Sci. of Ukraine. Inst. of Math.; 2004.6).

Prishlyak A.O. PR-polynomials for knots and links// Kiev International conference on topology and its application, Kiev,- 1995.- P.34-36.

Prishlyak A.O. Topological Equivalence of Morse-Smale Vector Field on 3-Manifolds// International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems, Nizhny Novgorod - 1996.- P.45.

Prishlyak A.O. Morse function conjugation on 4-manifolds// Int.Cong.Math., Berlin, Abstracts of Short Communication and Poster Sessions. 1998- P.95.

Prishlyak A.O. Generalized Heegaard diagrams and their application to 3-dimensional dynamical systems// International Conference dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin, Algebra, Geometry and Topology, Moscow, 1998, P.93-94.

Prishlyak A.O. Equivalence of Morse functions and Morse-Smale flows on 3-manifolds// International Conference "Low-dimensional Topology and Combinatorial Group Theory", Chelyabinsk, 1999.- P.45-49.

Prishlyak A.O. Topological classification of smooth functions with isolated critical points on 3-manifolds // Theses of the reports to the 4-th international conference on geometry and topology, Cherkasy, 2001.- P.88-90.

Prishlyak A.O. Topological structure of smooth function with finite number of critical points on 2-manifold// Топологія і геометрія, Тези доповідей укр. мат. конгресс, Київ, 2001. -С.9.

Prishlyak A.O. Round handle decomposition and topological equivalence of non singular Morse-smale flows on 3-manifolds// Int. Math. Conf. honoring D.A.Grave's, Kyiv, 2002. - P.41_42.

Prishlyak A.O. Comleet topological invariant of round handle decomposition of 3-manifold // Theses of report 5 Int. Conf. on geometry and topology, Cherkasy, 2003. - P.126.

Prishlyak A.O. Topological classification of Morse-Smale flows on 3-manifolds // Int. Conference, L.V. Keldysh_100, Geometric topology, Discrete geometry and algebraic topology, _ Moscow, 2004. _ P.7.

Анотація

Пришляк О.О. Топологічні властивості функцій і векторних полів на маловимірних многовидах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія та топологія. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2005.

У дисертації розглянуто задачу топологічної класифікації функцій та динамічних систем на маловимірних многовидах. При її дослідженні вперше застосовані методи теорії розкладів на ручки Смейла. Це дозволило будувати повні топологічні інваріанти - розрізняючі графи, еквівалентність яких легко перевірити. Отримані в дисертації результати повністю вирішують проблему топологічної класифікації векторних полів Морса-Смейла та функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах і на двовимірних та тривимірних многовидах з краєм (m-поля та m-функції) та більш загальних об'єктів: функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, замкнених 1-форм Морса на замкнених поверхнях, відображень Уітні замкненої поверхні на площину та ін. Ефективність побудованих класифікацій продемонстрована на прикладах підрахувань числа топологічно нееквівалентних об'єктів із заданими властивостями. Доведена теорема про суму індексів потоку на стратифікованій множині.

Ключові слова: функції Морса, векторні поля Морса-Смейла, розклад на ручки, топологічна еквівалентність, топологічна класифікація, структурна стійкість, індекс Пуанкаре.

Аннотация

Пришляк А.О. Топологические свойства функций и векторных полей на маломерных многообразиях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Вєркина НАН Украины, Харьков, 2005.

В диссертации исследована задача топологической классификации функций и динамических систем на маломерных многообразиях. Рассматриваются функции с изолированными критическими точками, в том числе функции Морса, и m-функции; поля Морса-Смейла и m-поля. Топологические свойства систем Морса-Смейла описаны в работах А.А.Андронова, Л.С.Понтрягина, Д.В.Аносова, С.Смейла, Дж.Палиса и др. Топологическая классификация полей Морса-Смейла на двумерных многообразиях впервые была получена М.Пейксото. Затем эта классификация многими авторами уточнялась и обобщалась. На трехмерных многообразиях Г. Флейтасом была получена классификация векторных полей Морса-Смейла без замкнутых траекторий, а Я.Л. Уманским _ векторных полей Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий. Топологическая классификация функций Морса на поверхностях была получена В.В.Шарко в 1996 г. Для односвязных многообразий размерности большее 5 В.В.Шарко дал критерий сопряженности функций Морса в терминах эквивалентности упорядоченных базисных цепных комплексов.

В диссертации по каждой функции Морса строится разложение на ручки с воротниками и доказывается, что топологическая эквивалентность функций Морса равносильна изоморфности таких разложений. В другом критерии эквивалентности функций Морса используются разложения на ручки (без воротников).

Объекты, которые возникают, часто являются комбинаторными стратифицированными множествами (например, поверхность с вложенным графом). Для их классификации используется граф с набором списков слов (НСС-граф), в которых буквы соответствуют ребрам графа.

В диссертации дана топологическая классификация векторных полей Морса-Смейла на замкнутых трехмерных многообразиях. Для этого строится каноническое разложение на простые и круглые ручки. Полный инвариант поля состоит из двумерного стратифицированного множества, являющегося объединением границ ручек, и -инварианта, который состоит из наборов целых чисел и конечных графов.

Доказано, что в окрестности изолированной критической точки, кроме локальных минимумов и максимумов, гладкая функция на поверхности топологически эквивалентна функции f(x,y)=Re (x+iy)k для некоторого натурального числа k. Используя НСС-графы, дана глобальная топологическая классификация функций с изолированными критическими точками на замкнутых поверхностях.

Показано, что в окрестности изолированной критической точки функция в трехмерном пространстве задается деревом (графом без циклов). Построены графы, которые классифицируют функции с тремя критическими точками, и диаграммы функций с четырьмя критическими точками на замкнутых трехмерных многообразиях.

Используя упорядоченные обобщенные диаграммы Хегора, задающие разложения на ручки, получена топологическая классификация функций Морса на замкнутых трехмерных многообразиях.

Обобщая диаграммы Кирби, построены полные топологические инварианты функций Морса и векторных полей Морса-Смейла без замкнутых траекторий на четырехмерных многообразиях.

На многообразиях с краем рассмотрены m-функции и m-поля, которые являются обобщениями функций Морса и векторных полей Морса_Смейла, соответственно. Получена топологическая классификация m-функций и m-полей на двумерных и трехмерных многообразиях.

Для потока на стратифицированном множестве, которое удовлетворяет условиям Уитни, введены понятия относительного и суммарного индексов изолированной неподвижной точки. Доказаны прямая и обратная теоремы о сумме индексов такого потока, являющиеся обобщением теоремы Пуанкаре-Хопфа.

Для структурно устойчивых отображений замкнутой поверхности на плоскость (отображений Уитни) построен полный топологический инвариант. Он состоит из графа с двумя наборами списков слов и разбиением вершин циклов на пары.

Для градиентно-подобных диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых трехмерных многообразиях построенный полный топологический инвариант состоит из 1) топологического произведения замкнутой поверхности на окружность, 2) вложенных поверхности и двух наборов торов, 3) подстановок на множестве торов.

Используя разложения на круглые ручки, дана топологическая классификация круглых функций Морса на трехмерных многообразиях.

Показано, что дифференциальная 1-форма Морса на поверхностях, с точностью до топологической эквивалентности, задается вложенным графом валентности 4. Построен различающий граф функции Морса с конечным числом особенностей на некомпактной поверхности конечного типа.

Эффективность построенных классификаций продемонстрирована на примерах подсчета числа топологически неэквивалентных объектов с заданными свойствами.

Ключевые слова: функции Морса, векторные поля Морса-Смейла, разложения на ручки, топологическая эквивалентность, топологическая классификация, структурная устойчивость, индекс Пуанкаре.

Abstract

Pryshlyak A.O. Topological properties of functions and vector fields on low-dimensional manifolds - Manuscript.

Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.04 - geometry and topology. - B. Verkin Intitute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy Of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2005.

The problem of the topological classification of functions and dynamical systems on low-dimensional manifolds is considered in the thesis. For the first time methods of the theory of Smale handle decompositions were used for its investigation/ It made possible to construct complete topological invariants - distinguished graphs, the equivalence of which it is easy to check. The results of dissertation give complete solution of the problem of the topological classification of Morse-Smale vector fields and Morse function on closed 3-manifolds and on 2- and 3-manifolds with boundary (m-field and m-function) and for more common objects: functions with isolated critical points on closed surfaces, functions with 3 and 4 critical points on 3-manifolds, close Morse 1-forms on closed surfaces, Whitney maps of a surface to a plane and other. The examples of the calculation of the number of the topologically non-equivalent objects with given properties demonstrate that the constructed classifications is effective. The theorem on the sum of indexes of a flow an a stratified set was proved.

Key words: Morse function, Morse-Smale vector fields, handle decomposition, topological equivalence, topological classification, structural stability, Poincare index.

Размещено на Allbest.ru