Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 517. 911.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Імпульсні диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною

01.01.02 - диференціальні рівняння

Плотнікова Наталія Вікторівна

Київ 2005

Загальна характеристика роботи

імпульсне диференціальне рівняння

Актуальність теми. На початку XX століття розвиток природознавства та техніки сприяв появі задач, що описуються системами диференціальних рівнянь з розривними траєкторіями та, зокрема, до розвитку математичної теорії імпульсних систем. Як виявилось, наявність імпульсної дії може суттєво ускладнити поведінку траєкторій таких систем навіть для випадку порівняно простих диференціальних рівнянь. У загальному випадку, із-за наявності імпульсної дії поведінка розв'язків диференціальних рівнянь (навіть лінійних зі сталими коефіцієнтами) може бути суттєво нелінійною і значно відрізнятися від поведінки таких систем при відсутності імпульсної дії.

В роботах Ю.О.Митропольського, А.Д.Мишкіса, М.О.Перестюка, А.М.Самой-ленка, D.Bainov, V.Lakshmikantham значна увага приділялась вивченню питань стійкості розв'язків диференціальних рівнянь з імпульсною дією, розвитку теорії періодичних та майже періодичних розв'язків імпульсних систем, дослідженню інваріантних множин, побудові асимптотичних розвинень за методом малого параметра Крилова - Боголюбова - Митропольського, методу порівняння, проблемам теорії оптимального керування, дослідженню імпульсних систем із випадковими збуреннями та ін.

Слід відзначити, що вивчення динаміки довільних реальних процесів за допомогою диференціальних рівнянь з однозначною правою частиною відповідає ідеальній моделі, яка не враховує дії випадкових перешкод, похибок вимірювання вихідних даних, похибок при завданні функцій, що входять у праві частини диференціальних рівнянь. Врахування випадкових факторів при відомих імовірнісних характеристиках моделі здійснюється за допомогою стохастичних диференціальних рівнянь, теорія яких активно розвивається та широко використовується на практиці. Імовірнісні характеристики часто заздалегідь невідомі, але відомі оцінки похибки моделі і, отже, права частина диференціального рівняння стає многозначною, тобто слід розглядати диференціальне включення.

Починаючи з робіт Т.Важевського та О.Ф.Філіпова диференціальні включення знайшли широке застосування в теорії оптимального керування.

Оскільки диференціальне включення є природним узагальненням диференціального рівняння, то в теорії диференціальних включень виникають ті самі проблеми, що притаманні звичайним диференціальним рівнянням - це теореми про існування розв'язків, продовження розв'язків, їх обмеженість та неперервну залежність від початкових умов і параметрів та ін. У той же час у диференціального включення з кожної точки виходить вже ціле сімейство траєкторій. Ця многозначність породжує свої специфічні питання, а саме замкненість і опуклість сімейства розв'язків, існування граничних розв'язків, виділення розв'язків з заданими властивостями. Основні результати по теорії диференціальних рівнянь з многозначною правою частиною викладені в роботах В.І.Благодатських, Т.Важевського, О.І.Панасюка, О.О.Толстоногова, О.Ф.Філіпова, J.-P.Aubin, K.Deimling, H.Frankovska.

Багато фізичних процесів описуються диференціальними рівняннями з розривною правою частиною, при дослідженні яких також використовується апарат многозначного аналізу.

Тому актуальним є проведення досліджень на межі цих двох напрямків. У роботах В.О.Плотнікова, J.-P.Aubin, M.Benchohra, L.Erbe, W.Krawcewicz, P.J.Watson вивчаються імпульсні диференціальні рівняння з многозначною правою частиною.

У дисертаційній роботі розглядаються диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках тем “Дослідження асимптотичної поведінки розв'язків диференціальних рівнянь якісними і аналітичними методами” (номер державної реєстрації 0101U008290), яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету ім.І.І.Мечникова та “Дослідження проблем теорії некласичних диференціальних рівнянь” (номер державної реєстрації 0101U05771), яка виконується на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження умов стійкості розв'язків та існування періодичних розв'язків для лінійних імпульсних диференціальних включень; апроксимація жмутків розв'язків за допомогою диференціальних рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною; отримання умов неперервності та періодичності розв'язків для нелінійних імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною та розривною правою частиною.

Об'єкт дослідження - імпульсні диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною.

Предмет дослідження - диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи многозначного аналізу, методи теорії імпульсних диференціальних рівнянь і диференціальних включень, а також результати теорії диференціальних рівнянь з похідною Хукухари і теорії розривних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є наступні:

· отримано умови стійкості звичайних розв'язків і R- розв'язків та умови існування періодичних звичайних розв'язків і R- розв'язків лінійних імпульсних диференціальних включень;

· встановлена компактність жмутка розв'язків для лінійних диференціальних рівнянь з імпульсами в невизначені моменти часу та отримані умови стійкості та існування періодичного жмутка розв'язків;

· отримано апроксимацію жмутка розв'язків лінійного імпульсного диференціального включення за допомогою розв'язків систем рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною;

· доведено аналог теореми М.Красносельского - С.Крейна для диференціальних включень, що підлягають та не підлягають імпульсному впливу;

· отримано умови існування періодичних розв'язків для імпульсних диференціальних рівнянь з розривною правою частиною.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить взагалі теоретичний характер. Оскільки диференціальні рівняння використовуються для опису динаміки систем в умовах невизначеності, а також в задачах керування, то отримані результати можуть бути використані при дослідженні таких систем, а також в спеціальних курсах з диференціальних рівнянь.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на семінарах кафедри диференціальних рівнянь і кафедри оптимального керування та економічної кібернетики Одеського національного університету ім. І.І.Мечникова, на семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка; на міжнародних наукових конференціях: The Tenth International Colloquium on Differential Equations - Пловдів, Болгарія, 1999; Восьма міжнародна конференція "Математика. Компьютер. Образование" - Пущіно, Росія, 2001; Міжнародна конференція “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” - Київ, 2001; Український математичний конгрес-2001. Диференціальні рiвняння i нелiнiйнi коливання - Чернівці, 2001; XXIII Конференція молодих вчених механіко-математичного факультету МГУ - Москва, 2001; 6-я Кримська Міжнародна Математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" - Алушта, 2002; Міжнародна конференція “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation”- Київ, 2003; Мiжнародна наукова конференцiя "Шості Боголюбовськi читання" - Чернівці, 2003; Вороніжська весняна математична школа "Понтрягинские чтения - XV" - Вороніж, 2004; Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука - Київ, 2004; 11-я міжнародна конференція по автоматичному керуванню "Автоматика - 2004" - Київ , 2004; Міжнародна конференція “Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation” - Київ, 2005; Міжнародна наукова конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування” - Київ, 2005; Міжнародна конференція "Устойчивость и процессы управления" - Санкт-Петербург, 2005.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 19 наукових роботах: 6 статей [1 - 6], з яких 5 - в фахових виданнях з переліку ВАК України, [7 - 19] - матеріали та тези наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 117 найменувань. Повний обсяг роботи становить 150 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст роботи

Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи - дослідження імпульсних диференціальних рівнянь, диференціальних включень, диференціальних рівнянь з розривною правою частиною та імпульсних диференціальних включень; визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст.

Нехай евклідів простір вимірних векторів, -множина всіх непустих і компактних (опуклих і компактних) підмножин із метрикою Хаусдорфа

В другому розділі дисертації розглядаються лінійні диференціальні включення з імпульсами у фіксовані моменти часу.

Означення 2.1. Функція є розв'язком включення якщо вона абсолютно неперервна і майже всюди задовольняє на проміжках, що не містять має розриви першого роду в точках зі стрибками

Означення 2.2. Многозначна функція є R-розв'язком, що породжений імпульсним диференціальним включенням ,, якщо абсолютно неперервна на проміжках, що не містять и для майже всіх а при функція задовольняє умові стрибка

В підрозділі 2.1 вивчаються питання існування звичайних розв'язків та R-розв'язків включення. Показано, що R-розв'язок співпадає з інтегральною воронкою включення.

В окремому випадку, коли відображення та матриці однозначні, доведена теорема:

Теорема 2.1. Якщо для всіх i таких, що матриці не вироджені, то при всіх якщо де R-розв'язки включення..

В підрозділі 2.2 досліджується питання стійкості розв'язків імпульсного включення.

Теорема 2.2. Для включення (3) справедливі наступні твердження:

(а) для асимптотичної стійкості розв'язку необхідно і достатньо, щоб матрицанти задовольняли умові

(b) для стійкості нульового розв'язку необхідно і достатньо, щоб матрицанти були рівномірно обмежені (тобто існувала стала така, що при для всіх );

(с) для слабкої стійкості ненульового розв'язку достатньо, щоб розв'язок був обмежений при ;

(d) для слабкої стійкості нульового розв'язку достатньо, щоб існував принаймні один обмежений матрицант ;

(e) для слабкої асимптотичної стійкості ненульового розв'язку достатньо, щоб

(f) для слабкої асимптотичної стійкості нульового розв'язку достатньо, щоб існував принаймні один матрицант коли

Теорема 2.3. Для включення (3) справедливі наступні твердження:

(а) для стійкості R-розв'язку необхідно і достатньо, щоб матрицанти були рівномірно обмежені при ;

(b) для асимптотичної стійкості R-розв'язку необхідно і достатньо, щоб матрицанти рівномірно задовольняли умові;

(с) для нестійкості R-розв'язку необхідно і достатньо, щоб матрицанти не були рівномірно обмежені при .

У залежності від величини спектрального радіусу матриці (більше, менше або дорівнює одиниці), а також від того, чи є власні значення даної матриці простими чи кратними, дійсними або комплексними, досліджується питання існування розв'язків рівняння (10). У кожному із вказаних вище випадків приводяться модельні приклади.

Якщо хоча б для одного рівняння (11) має розв'язок (тобто існує розв'язок системи лінійних рівнянь то існує звичайний T- періодичний розв'язок задачі (9). Показано, що у випадку існування періодичного R-розв'язку, звичайні періодичні розв'язки існують для всіх

Нехай множина початкових точок звичайних періодичних розв'язків, об'єднання множин що визначаються рівнянням (10). Доведено, що якщо існує, то

В підрозділі 2.4. розглядаються лінійні імпульсні диференціальні рівняння з імпульсами в невизначені моменти часу, доведена компактність жмутка розв'язків, одержані умови стійкості та існування періодичного жмутка розв'язків.

В третьому розділі розглядається питання апроксимації R- розв'язку лінійного імпульсного диференціального включення (9).

Дослідження властивостей інтегральної воронки диференціального включення має велике значення в якісній теорії та задачах керування лінійними системами. У зв'язку з цим багато авторів вивчали властивості множини досяжності, а також різні наближені методи її побудови: метод еліпсоїдів для лінійних систем, асимптотичні методи, чисельні методи.

В дисертаційній роботі для апроксимації множин досяжності диференціального включення при наявності та відсутності імпульсного впливу пропонується застосувати відповідні системи диференціальних рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною.

В четвертому розділі розглядаються нелінійні імпульсні диференціальні рівняння з многозначною і розривною правою частиною.

В підрозділі 4.1 доводиться аналог теореми М.Красносельського - С.Крейна для диференціальних включень (при відсутності та наявності імпульсної дії) в термінах звичайних розв'язків та R-розв'язків. Одержані результати узагальнюють результати робіт О.Б.Васильєва, В.О.Плотнікова, Л.І.Плотнікової, О.П.Фі-латова, М.М.Хапаєва, T.Donchev, T.Janiak, E.Luczak - Kumorek, в яких істотно використовувалось виконання умови Ліпшиця (односторонньої умови Ліпшиця) для вихідного або усередненого включення.

В підрозділі 4.2 розглядається динамічна система, що описується системою звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією

В підрозділі 4.3 метод побудови квазірухів застосовується для диференціальних рівнянь та диференціальних включень з неперервною правою частиною. Показано, що будь який розв'язок (R- розв'язок) можна отримати як границю рівномірно збіжної послідовності модифікованих ломаних Ейлера.

Висновки

Дисертаційна робота носить, в основному, теоретичний характер. Наведені в ній результати доповнюють дослідження імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною і розривною правою частиною. При цьому отримано наступні нові наукові результати:

· отримані умови стійкості звичайних розв'язків та R-розв'язків лінійного однорідного імпульсного диференціального включення, вивчено зв'язок між стійкістю розв'язків (R- розв'язків) неоднорідного і відповідного йому однорідного імпульсного диференціального включення;

· отримані умови існування періодичних звичайних розв'язків та R-розв'язків для лінійних імпульсних диференціальних включень, вивчено зв'язок між початковими множинами цих розв'язків;

· доведена компактність жмутка розв'язків для лінійних диференціальних рівнянь з імпульсами в невизначені моменти часу, одержані умови стійкості та існування періодичного жмутка розв'язків;

· отримана апроксимація жмутка розв'язків лінійного імпульсного диференціального включення, використовуючи розв'язки систем рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною;

· доведено аналог теореми М.Красносельского - С.Крейна для диференціальних включень, що підлягають та не підлягають імпульсному впливу;

· для імпульсних диференціальних рівнянь з розривною правою частиною доведені теореми про властивості жмутка розв'язків, а також розглянуте питання існування періодичних квазірухів.

Отримані результати можуть бути перенесені на більш загальний випадок імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною та розривною правою частиною, а також використані при вивченні динаміки систем в умовах невизначеності та в задачах керування.

Список опублікованих праць

1. Плотникова Н.В. Аппроксимация пучка решений линейных импульсных дифференциальных включений // Вісник Харківського національного університету. №645, Серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2004. - Вип.54. - С.67-78.

2. Плотникова Н.В. Устойчивость решений линейных импульсных дифференциальных включений // Нелінійні коливання. -2004. -Т.7, №1. -С.121-131.

3. Плотникова Н.В. Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений // Нелінійні коливання. - 2004. - Т.7, №4. - С.495-515.

4. Плотникова Н.В. Теорема Красносельского - Крейна для дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. - 2005. -Т.41, №7. - С. 997 -1000.

5. Плотникова Н.В. Усреднение импульсных дифференциальных включений // Математичні студії. -2005. - Т.23, №1. - С.52-56.

6. Плотникова Н.В. Линейные дифференциальные уравнения с многозначными траекториями // Устойчивость и процессы управления: Труды междун. конференции (26 - 29 июня 2005 г.) / Под ред. Д.А.Овсянникова, Л.А.Петросяна. - СПб.: СПБГУ, 2005. - Т.2. - С.1137 - 1147.

7. Plotnikova N.V. Motions, quasimotions and quasidifferential equations in metric spaces // The Tenth International Colloquium on differential equations: Abstracts of Invited Lectures and Short Communications (August 18 - 23, 1999). - Plovdiv, Bulgaria, 1999.--P.141.

8. Плотникова Н.В. Асимптотическое исследование динамических систем при неединственности решения // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation: Thesis of conference reports (May 22 - 25, 2001). - Kyiv: Kiev Nat. University named after Taras Shevchenko, 2001. - P.86.

9. Плотникова Н.В. Асимптотическое решение иерархических систем управления // Математика. Компьютер. Образование : Тезисы докладов Восьмой международной конференции (31 января - 4 февраля 2001 г.). - Пущино, 2001. - С.216.

10. Плотникова Н.В. Об одном обобщении первой теоремы Н.Н.Боголюбова // Современные исследования в математике и механике: Труды XXIII Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (9 - 14 апреля 2001 г.). - Москва: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова, 2001. - Т.3. - С.375.

11. Плотникова Н.В. Об одном обобщении теоремы М.Красносельского-С.Крейна // Український математичний конгрес-2001. Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання: Тези доповiдей Мiжнародної конференцiї (27 - 29 серпня 2001 р.). - Чернівці: Чернівецький національний ун-т ім.Юрія Федьковича, 2001. - С.132.

12. Плотникова Н.В. Линейные импульсные дифференциальные включения// Метод функций Ляпунова и его приложения: Тезисы докладов 6-ой Крымской Международной математической школы (8 - 15 сентября 2002 г.). - Крым, Алушта, 2002. - С.119.

13. Плотникова Н.В. Линейные импульсные дифференциальные включения // Шостi Боголюбовськi читання: Тези доповідей Мiжнародної наукової конференції (26 - 30 серпня 2003 р.). - Чернівці: Чернівецький національний ун-т ім.Юрія Федьковича, 2003. - С.181.

14. Плотникова Н.В. Устойчивость решений линейных импульсных дифференциальных включений // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation: Thesis of conference reports (May 27 - 30, 2005). - Kyiv : Kiev Nat. University named after Taras Shevchenko, 2003. - P.95.

15. Плотникова Н.В. Теорема М.Красносельского - С.Крейна для дифференциальных включений // Понтрягинские чтения - XV : Материалы Воронежской весенней математической школы (3 - 9 мая 2004 г.). - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. - С.171.

16. Плотникова Н.В. Теорема Н.Н.Боголюбова для импульсных дифференциальных включений // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука: Матеріали конференції (13 - 15 травня 2004 р.). - Київ: Національний технічний ун-т України "КПІ", 2004. - С.484.

17. Плотникова Н.В. Численно - асимптотическое исследование импульсных систем управления // Автоматика - 2004: Матеріали 11-ої міжнародної конференції по автоматичному керуванню (27 - 30 вересня 2004 р.). - Київ: Національний ун-т харчових технологій, 2004. - С.35.

18. Плотникова Н.В. Линейные дифференциальные уравнения с импульсным воздействием в неопределенные моменты времени // Диференціальні рівняння та їх застосування: Тези доповідей Міжнародної наукової конференції (6 - 9 червня 2005 р.). Київ: Київський нац. ун-т імені Тараса Шевченка, 2005. - С.88.

19. Плотникова Н.В. Периодические решения линейных импульсных дифференциальных включений // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation: Thesis of conference reports (May 23 - 25, 2005). - Kyiv: Kiev Nat. University named after Taras Shevchenko, 2005. - P .106.

Анотація

Плотнікова Н.В. Імпульсні диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

В дисертаційній роботі об'єктом дослідження є диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу.

Для лінійних імпульсних диференціальних включень розглянуті питання існування звичайних розв'язків та R-розв'язків; одержані умови стійкості звичайних розв'язків та R-розв'язків, вивчено зв'язок між стійкістю розв'язків неоднорідного та відповідного однорідного включення; розглянуте питання існування періодичних звичайних розв'язків та R-розв'язків. В дисертаційній роботі одержана апроксимація множини досяжності лінійних диференціальних включень за наявності та відсутності імпульсного впливу з використанням систем диференціальних рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною.

Для нелінійних диференціальних включень (при відсутності та наявності імпульсної дії) доводиться аналог теореми М.Красносельського - С.Крейна в термінах звичайних розв'язків та R-розв'язків. Для імпульсних диференціальних рівнянь з розривною правою частиною доведені теореми про властивості жмутка квазірухів, а також розглянуте питання існування періодичних квазірухів.

Ключові слова: імпульсні диференціальні включення, R-розв'язки, стійкість, періодичність, похідна Хукухари, р- похідна, імпульсні диференціальні рівняння з розривною правою частиною, квазірухи.

Аннотация

Плотникова Н.В. Импульсные дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

В диссертационной работе рассмотрены дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью с импульсными воздействиями в фиксированные моменты времени.

Для линейных дифференциальных уравнений с импульсами в неопределенные моменты времени доказана компактность пучка решений, получены условия устойчивости пучка решений и существования периодических решений и пучка решений.

В диссертационной работе рассмотрен вопрос аппроксимации R-решения линейного импульсного дифференциального включения.

Исследование свойств интегральной воронки дифференциального включения имеет большое значение в качественной теории и задачах управления линейными системами. В связи с этим многие авторы исследовали свойства множества достижимости, а также различные приближенные методы его построения: метод эллипсоидов для линейных систем, асимптотические методы, численные методы.

В диссертационной работе получена аппроксимация множества достижимости линейных дифференциальных включений (при отсутствии и наличии импульсного воздействия) с использованием решений систем линейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары и р-производной.

Для нелинейных импульсных дифференциальных включений (подвергающихся и не подвергающихся импульсному воздействию) доказан аналог теоремы М.Красносельского - С.Крейна в терминах обычных решений и R-решений. Полученные результаты обобщают результаты работ В.А.Плотникова, О.П.Филатова, М.М.Хапаева, T.Donchev, в которых существенно использовалось выполнение условия Липшица (одностороннего условия Липшица) для исходного или усредненного включения.

Для импульсных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, используя подход Н.Н.Красовского, введено понятие квазидвижения, доказаны теоремы о свойствах пучка квазидвижений (компактность, выпуклость, полнота, полунепрерывность по фазовой переменной).

Ключевые слова: импульсные дифференциальные включения, R-решения, устойчивость, периодичность, производная Хукухары, р- производная, импульсные дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, квазидвижения.

Summary

Plotnikova N.V. Impulsive differential equations with multi - valued and discontinuous right - hand side. - Manuscript.

The thesis for the degree of the Candidate of physical and mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. -Kyiv National University named after Taras Shevchenko, Kyiv, 2005.

The differential equations with multi - valued and discontinuous right - hand side subject to impulsive effect in fixed moments of time are considered in the thesis.

For linear impulsive differential inclusions the existence of ordinary solutions and R-solutions is proved; the conditions of stability of ordinary solutions and R-solutions are obtained; the relation between the stability of the solutions of homogeneous and nonhomogeneous inclusions is considered; the existence of periodic ordinary solutions and R - solutions is discussed. The approximation of attainability sets for linear differential inclusions with and without impulses is obtained with the help of systems of differential equations with Hukuhara derivative and р- derivative.

For nonlinear differential inclusions (with and without impulses) the analogue of M.Krasnoselskij - S.Krein theorem in terms of ordinary solutions and R - solutions is proved. For impulsive differential equations with discontinuous right - hand side the theorems relating to the properties of quasimotions bundles are obtained, the existence of impulsive quasimotions is also discussed.

Key words: impulsive differential inclusions, R-solutions, stability, periodicity, Hukuhara derivative, р -derivative, impulsive differential equations with discontinuous right - hand side, quasimotions.

Размещено на Allbest.ru