Властивості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено задачам наближеного розв'язування стохастичних диференціальних рівнянь. Таким чином, робота є науковим дослідженням в галузі теорії випадкових процесів.

Концепція стохастичного диференціального рівняння (СДР) виникла при розгляді механічних систем, що перебувають під дією випадкових сил. Пізніше виявилося, що стохастичні диференціальні рівняння виникають при моделюванні багатьох різних фізичних, хімічних і біологічних явищ, що містять випадковість, а також при моделюванні процесів на фінансових ринках, потоків страхових виплат, тощо. Не менш важливу роль стохастичні диференціальні рівняння відіграють у математичній фізиці.

Вперше такі рівняння було розглянуто С.Н. Бернштейном, якому і належить цей термін. У сучасному вигляді стохастичні диференціальні рівняння було введено К. Іто (і незалежно І.І. Гіхманом). Подальшого розвитку теорія набула в роботах І.І. Гіхмана і А.В. Скорохода. У роботах М. Каца було доведено, що розв'язок стохастичного диференціального рівняння пов'язаний із задачею Коші для відповідного рівняння теплопровідності, що значно підвищило інтерес до дослідження стохастичних диференціальних рівнянь. Рівняння у гільбертовому просторі було введено і розглянуто вперше в роботах В.В. Баклана, Т.Л. Чантладзе, Ю.Л. Далецького.

Основним методом наближеного розв'язування стохастичних диференціальних рівнянь є метод дискретизації часу. Він полягає у тому, що відрізок, на якому розглядається рівняння, розбивається на менші відрізки, на кожному з яких коефіцієнти рівняння і сам розв'язок при його підстановці у коефіцієнти вважаються сталими. Ідея наближеного розв'язування СДР методом, аналогічним методу ламаних Ейлера вперше виникає в статті Г. Маруяма (тому апроксимації Ейлера для СДР називають інколи апроксимаціями Ейлера-Маруяма). Теорію апроксимації скінченних систем СДР з регулярними коефіцієнтами можна вважати закінченою. Найбільш повно її викладено у монографіях Г.Н. Мільштейна , П.Е. Клодена і Е. Платена та у підручниках Д.Ф. Кузнєцова , П. Е. Клодена, Е. Платена і Е. Шурца. У монографії Е. Шурца наведено майже повну на час виходу бібліографію за цією тематикою.

Найбільш цікавим для нескінченновимірних рівнянь є випадок, коли у коефіцієнті зсуву присутній необмежений оператор, бо у перенесенні результатів на рівняння з регулярними коефіцієнтами немає складнощів. Якщо цей оператор -- диференціальний, то рівняння стає частковим випадком стохастичного диференціального рівняння з частковими похідними, і таке питання є добре дослідженим. У загальному випадку апроксимаціям таких нескінченновимірних стохастичних диференціальних рівнянь і рівнянь Іто-Вольтерра присвячено невелику кількість робіт.

Що стосується упереджуючих СДР, то результатів щодо швидкості збіжності зовсім мало, це пов'язано в першу чергу з малою кількістю результатів про існування і єдиність розв'язку для таких рівнянь.

Таким чином, задачі, що розглядаються у дисертації, є актуальними з точки зору знаходження методів наближеного розв'язку нескінченновимірних стохастичних диференціальних рівнянь, та застосувань цих методів до моделювання випадкових процесів у фізиці, хімії, біології, фінансовій математиці, чисельного розв'язку рівнянь математичної фізики.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розв'язання таких задач теорії випадкових процесів, як:

* дослідження властивостей розв'язків СДР у гільбертовому просторі;

* побудова апроксимацій за допомогою методу дискретизації часу для СДР у гільбертовому просторі і знаходження швидкості збіжності цих апроксимацій;

* побудова скінченновимірних апроксимацій рівнянь у нескінченновимірному просторі;

* побудова апроксимацій СДР з необмеженими коефіцієнтами розв'язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами;

* побудова приблизних і наближених розв'язків СДР з упередженням;

* отримання нових апроксимаційних формул для напівгруп і еволюційних сімей операторів.

1. Апроксимації за допомогою дискретизації часу для стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі

У всьому розділі позначає сепарабельний гільбертів простір, і -- відповідно простори лінійних операторів і операторів Гільберта-Шмідта на -- ймовірнісний простір, -- потік алгебр, -- узгоджений циліндричний вінерівський процес в. Отримано результати про швидкість збіжності апроксимацій для рівнянь типу Іто-Вольтерра.

За додаткових припущень доведено рівномірну збіжність і отримано аналогічну оцінку для супремума квадрату відстані.

Вивчаються апроксимації Ейлера для рівняння, у якому породжує сильно неперервну сім'ю операторів і неперервно інтерполюються.

Досліджуються скінченновимірні апроксимації. Для цього вибирається ортонормований базис, визначаються скінченновимірні підпростори і відповідні ортогональні проектори.

3. Упереджуючі стохастичні диференціальні рівняння

В ньому простір є простором гауссівського білого шуму

Питання існування приблизних розв'язків упереджуючого СДР з інтегралом Скорохода, яке еквівалентне до рівняння з білим шумом.

Зауважимо, що у цьому розділі задля дотримання традицій позначено не вінерівський процес, а похідну від нього (тобто білий шум).

Припускається, что (взагалі кажучи, випадкові і упереджуючі) коефіцієнти цього рівняння задовольняють умови лінійного росту.

Символом позначено простір Кондратьєва випадкових величин, а символом простір соболєвських випадкових величин (при від'ємних значеннях індексів це простори узагальнених випадкових величин). За умов обмеженості коефіцієнту дифузії отримано наступні результати про існування приблизних розв'язків в просторах узагальнених випадкових величин.

За відсутності умови обмеженості коефіцієнту доведено існування приблизного розв'язку у більш широкому просторі.

Також доведено допоміжну лему, яка має самостійний інтерес.

3. Апроксимаційні формули для напівгруп та еволюційних сімей

Розглядаються апроксимаційні формули для напівгруп.

Отримано нові варіанти формул Уіддера-Поста і Троттера.

Розглядаються наближення нестаціонарної задачи Коші і з них виводяться апроксимаційні формули для еволюційних сімей.

Розглядається наближення збуреної напівгрупи. Дається визначення надповільної послідовності.

Висновки

апроксимаційний стохастичний гільбертовий ейлер

У дисертації розроблено методи апроксимації стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі. Зокрема, побудовано апроксимації за схемами Ейлера і Мільштейна для стохастичних напівлінійних рівнянь еволюційного типу з необмеженим оператором та рівнянь Іто-Вольтерра у гільбертовому просторі та отримано швидкість збіжності для таких апроксимацій; побудовано скінченновимірні апроксимації розв'язків СДР у гільбертовому просторі і доведено їх збіжність; побудовано апроксимації розв'язків СДР із необмеженим оператором у зсуві розв'язками рівнянь з обмеженими коефіцієнтами і отримано швидкість їх збіжності.

У роботі отримано нові результати, що стосуються упереджуючих СДР: доведено існування приблизних розв'язків СДР у формі Скорохода з упередженням; побудовано апроксимації квазілінійних СДР з упередженням і отримано результати про швидкість їх збіжності

Із застосуванням методу дискретизації часу у звичайних диференціальних рівняннях отримано нові апроксимаційні формули для напівгруп операторів, що доповнюють класичні результати.

Література

1. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Ейлерові наближення розв'язків абстрактних рівнянь та їх застосування в теорії напівгруп // Укр. Мат. Журнал. -- 2004.

2. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Лінійні рівняння i стохастичні експоненти в гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. -- 2004.

3. Шевченко Г.М. Швидкість збіжності дискретних апроксимацій розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Теор. Імовір. Мат. Стат. -- 2003.

4. Шевченко Г.М. Наближенне інтегрування стохастичних диференціальних рівнянь // Доповіді НАН України. Серія Математика. "-- 2005. -- 1. -- С. 39-46.

5. Шевченко Г.М. Про Ейлеровi апроксимацiї квазiлiнiйних стохастичних диференцiальних рiвнянь з упередженням // Теор. Імовір. Мат. Стат. -- 2005.

6. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Розв'язування лінійних стохастичних диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі // Прикл. Статист. Актуарна та Фін. Матем. -- 2003.

7. Мішура Ю.С., Шевченко Г.М. Приблизні розв'язки стохастичних диференціальних рівнянь з упередженням // Тези міжнародної конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”, 6-9 червня, Київ." -- K.: ВПЦ “Київський університет”, 2005.

8. Shevchenko G.M. Rate of convergence for approximations of solutions of ordinary and differential equations in Hilbert and Banach spaces // Тезисы международной конференции “Колмогоров и современная математика”, Москва, 16-21 июня, 2003. "-- М.: Изд-во МГУ, 2003.

Размещено на Allbest.ru