Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І.ВЄРКІНА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Топологічні властивості функцій і векторних полів на маловимірних многовидах

01.01.04 - Геометрія та топологія

ПРИШЛЯК Олександр Олегович

Харків-2005

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Tараса Шевченка.

Науковий консультант:

доктор фiзико-математичних наук, професор

Шарко Володимир Васильович,

Iнститут математики НАН України, м. Київ,

завідувач відділу топології

Офiцiнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор

Амінов Юрій Ахметович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харьків,

завідувач відділу геометрії

доктор фiзико-математичних наук, професор

Болсінов Олексій Вікторович,

Московський державний університет ім. М.В.Ломоносова, м. Москва, професор

кафедри диференціальної геометрії і застосувань

доктор фiзико-математичних наук, професор

Нежинський Володимир Михайлович,

Російський державний педагогічний університет ім. А.І. Герцена, м. Санкт-Петербург,

завідувач кафедри геометрії

Провiдна установа:

Львівський національний університет ім. І.Франка

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до того розділу топології, тематика та методи якого пов'язані з таким питанням: коли два шарування з особливостями, що задані на многовидах, є топологічно еквівалентними, тобто коли існує гомеоморфізм многовидів, що відображає шари на шари? Під шаруванням з особливостями мається на увазі представлення многовида у вигляді об'єднання шарів, що є підмноговидами меншої, фіксованої, розмірності і точок, які називаються особливостями. Шарування з особливостями можуть задаватися функціями, векторними полями (або потоками), диференціальними формами та ін. На таких шаруваннях є додаткова структура: значення функції на шарах, напрямок руху на інтегральних траєкторіях і т.п. Вимагається, щоб топологічна еквівалентність зберігала цю додаткову структуру. При цьому більшість об'єктів (функцій, потоків, 1-форм та ін.), що будуть нами розглядатися, є структурно стійкими.

Основи якісної теорії векторних полів на поверхнях були закладені А. Пуанкаре понад 100 років тому. У 1885 р. ним була доведена теорема про суму індексів особливих точок векторного поля на поверхні. На многовиди довільної розмірності ця теорема була узагальнена Х. Хопфом в 1926 р. Було також доведено існування векторного поля із заданим набором індексів особливих точок, що задовольняє формулі Пуанкаре-Хопфа. Аналогічні теореми про суму індексів та існування поля були доведені автором для многовидів з краєм довільної розмірності. Оскільки топологічні властивості векторних полів часто визначаються їх поведінкою на деяких підмножинах (наприклад на об'єднанні стійких многовидів, розмірність яких менша за розмірність многовиду), то виникає питання: як узагальнити поняття індексу векторного поля на таких множинах. В дисертаційній роботі введені поняття відносного та сумарного індексів особливої точки для дотичних векторних полів на стратифікованих множинах, що задовольняють аксіомам Уітні. Для цих індексів доведені теореми про суму індексів та їм обернені (теореми реалізації).

А.А. Андронов та Л.С. Понтрягін увели клас грубих (структурно стійких) динамічних систем на площині. Д.В. Аносов та С. Смейл увели та дослідили динамічні системи з гіперболічною структурою, які є структурно стійкими. Після піонерських робіт, які були виконані в Горьківській школі з динамічних систем, Д. Азімов, Дж. Паліс, С. Смейл, Дж. Френс та інші описали топологічні властивості динамічних систем Морса-Смейла. Ці системи є одними з найпростіших структурно стійких динамічних систем.

Першою з робіт, присвячених топологічній класифікації векторних полів Морса-Смейла на поверхнях є стаття М. Пейксото (1973). Є багато інших робіт на цю тему, де класифікація Пейксото уточнювалась, а також такі, де були запропоновані нові підходи до класифікації.

На тривимірних многовидах Г. Флейтасом була отримана класифікація векторних полів Морса-Смейла без замкнених траєкторій, а Я.Л. Уманським _ векторних полів Морса-Смейла зі скінченним числом особливих траєкторій (тобто у найпростіших випадках). Труднощі, що виникають у загальному випадку (нескінченне число особливих траєкторій), аналогічні тим, що зустрічаються при класифікації дифеоморфізмів Морса-Смейла на поверхнях.

Часткові результати з класифікації дифеоморфізмів Морса-Смейла містяться у роботах В.З. Грінеса та ін. Повна класифікація була отримана І. Власенком та незалежно С. Бонатті і Р. Ланжевеном.

Для векторних полів Морса-Смейла на тривимірній сфері без особливих точок їх замкнені траєкторії утворюють деяке зачеплення. Для класифікації таких полів, а також полів Смейла, в роботах M.Вади, M.Салливана, Дж.Френса досліджувалось питання класифікації зачеплень, що складається із замкнених траєкторій.

Актуальним залишалося питання отримання топологічної класифікації векторних полів Морса-Смейла на замкнених тривимірних многовидах. Ця класифікація особливо важлива, бо описує топологічні властивості, що не залежать від вибору системи координат, типових векторних полів, які зустрічаються в фізиці, наприклад, полів сил різної природи.

Оскільки на практиці векторні поля часто виникають на обмежених регіонах, то важливо мати топологічну класифікацію структурно стійких векторних полів на компактних многовидах з краєм. Тому актуальна, отримана в дисертації, класифікація m-полів, які є узагальненням векторних полів Морса-Смейла.

Топологічна класифікація функцій Морса на поверхнях була отримана В.В.Шарко в 1996. Для однозв'язних многовидів розмірності більшої за 5 В.В.Шарко дав критерій спряженості функцій Морса в термінах еквівалентності впорядкованих базисних ланцюгових комплексів. Актуальними залишались питання про топологічну класифікацію функцій Морса в інших розмірностях та для більш широкого класу функцій.

Для отримання топологічної класифікації функцій Морса в дисертації використовуються розклади многовидів на ручки. В розмірності 3 вони задаються діаграмами Хегора, а для однозв'язних чотиривимірних многовидів _ діаграмами Кірбі.

У просторі гладких функцій С(М) на многовиді М множина Morse(M) функцій Морса є відкритою скрізь щільною множиною. Для поверхонь компоненти лінійної зв'язності цієї множини були описані С.В. Матвєєвим та В.В. Шарком і узагальнені С.І. Максименком для морсовських відображень в коло.

Довільні дві функції Морса можна завжди з'єднати в просторі функцій з ізольованими виродженими критичними точками. Тому важливо описати топологічні властивості та дати топологічну класифікацію функцій з ізольованими критичними точками.

В 1955 р. Х. Уітні описав клас структурно стабільних відображень між двовимірними многовидами. Ці відображення (надалі відображення Уітні) утворюють відкриту і скрізь щільну множину в просторі всіх відображень (в топології Уітні). Фактично була отримана локальна класифікація таких відображень. Зокрема було доведено, що для цих відображень кожна точка є регулярною точкою, точкою складки або згорткою. Актуальним залишалось питання про те, яку додаткову інформацію треба знати крім образу об'єднання складок і згорток, щоб задати, з точністю до топологічної еквівалентності, відображення Уітні. В дисертаційній роботі дається відповідь на це питання і будується топологічна класифікація відображень Уітні.

Все викладене вище дозволяє зробити висновок про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, що проводились в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка та Інституті математики НАН України. Її результати були використані при виконанні тем „Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделюванні процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ” (№ 01БФ 038-03) та „Функції, функціонали та динамічні системи на многовидах: геометричні, топологічні та категорні методи дослідження” (№ 0101U 000659).

Мета та завдання дослідження. Метою дисертації є описання топологічних властивостей таких об'єктів:

1) векторних полів Морса-Смейла на тривимірних многовидах;

2) функцій з ізольованими критичними точками на двовимірних та тривимірних многовидах;

3) потоків на стратифікованих множинах;

4) функцій Морса на тривимірних многовидах;

5) m-функцій та m-полів на двовимірних та тривимірних многовидах;

6) диференціальних морсовських 1-форм на поверхнях;

7) функцій Морса на некомпактних поверхнях;

8) відображень Уітні замкнених поверхонь в площину.

Об'єкт дослідження. Функції, динамічні системи та 1-форми на маловимірних многовидах.

Предмет дослідження. Топологічна класифікація функцій (розділ 3), векторних полів (розділ 4), дифеоморфізмів, 1-форм та відображень Уітні ( розділ 5), теорема про суму індексів потоку на стратифікованій множині ( розділ 5).

Методи дослідження. У дисертації застосовані методи теорії Морса, теорії розкладів на ручки Смейла, а також методи маловимірної топології.

Наукова новизна отриманих результатів. Всі результати, отримані в дисертації, є новими.

В дисертаційній роботі:

за допомогою розкладів на ручки з комірами встановлено критерій топологічної еквівалентності функцій Морса,

дана топологічна класифікація векторних полів Морса-Смейла на тривимірних многовидах,

дані локальна і глобальна топологічні класифікації функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях,

дані локальна класифікація функцій з ізольованими критичними точками в тривимірному просторі та глобальна класифікація функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах,

дана топологічна класифікація m-функцій та m-полів на дво- та тривимірних многовидах,

доведені пряма та обернена теореми про суму індексів потоку на стратифікованій множині, що є узагальненням теореми Пуанкаре-Хопфа для многовидів,

дана глобальна класифікація відображень Уітні замкненої поверхні на площину,

дані топологічні класифікації градієнтноподібних дифеоморфізмів Морса-Смейла на тривимірних многовидах, круглих функцій Морса на тривимірних многовидах, диференціальних морсовських форм на поверхнях та функцій Морса зі скінченним числом особливостей на площині.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи в основному мають теоретичний характер. Однак, вони можуть бути використані як при роботі з многовидами малих розмірностей, так і в тих областях науки, де виникають функції чи динамічні системи в малих розмірностях. Зокрема, функції Морса, m-функції, поля Морса-Смейла та m-поля в розмірності 3 виникають при математичному моделюванні тих чи інших природних явищ, наприклад, функції температури, щільності та інших, руху в повітряних масах чи рідині, силових полів тощо. Відображення Уітні поверхні на площину є типовими відображеннями контурів предметів на сітчатку ока (тобто те, що бачить кожна людина). Повні топологічні інваріанти, які будуються в дисертації для полів, функцій та відображень, фактично описують такі властивості цих об'єктів, що не змінюються при топологічних перетвореннях, наприклад, при виборі нової системи координат або способу вимірювання.

Особистий вклад дисертанта. Всі наукові результати, що містяться в дисертаційній роботі, отримані особисто пошукувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на Міжнародній конференції з сучасних проблем в теорії динамічних систем (Нижній Новгород, 1996), Міжнародному конгресі математиків (Берлін, 1998), Міжнародній конференції присвяченій 90-ій річниці Л.С.Понтрягіна (Москва, 1998), Міжнародній конференції “Маловимірна топологія та комбінаторна теорія груп” (Челябінськ, 1999), Міжнародних конференціях з геометрії та топології (Черкаси, 2001 і 2003), Українському конгресі математиків (Київ, 2001), Міжнародних конференціях “Геометрія в Одесі” (Одеса, 2004) та “Келдыш-100” (Москва, 2004).

Крім того, результати, що містяться в дисертації, неодноразово доповідались на наукових семінарах з геометрії та топології (Інститут математики НАНУ), на семінарах з геометрії (Університет Південної Каліфорнії, Лос-Анджелес), з теорії динамічних систем (Інститут математики НАН України), з геометрії (Київський національний університет імені Тараса Шевченка), з диференціальних рівнянь (Київський національний університет імені Тараса Шевченка), з диференціальної геометрії та топології (Московський державний університет).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 38 роботах (30 статей і 8 тезисів міжнародних конференцій), з яких 25 статей опубліковано у виданнях з переліку ВАК України. У списку використаних джерел - це роботи [1_25].

З робіт [1_5], які опубліковані у співавторстві з С.В.Білун, Е.В.Кулінічем, М.В.Лосєвою та К.І.Міщенко, до дисертації включено тільки результати, що належать дисертанту. В роботі [1] автору належать твердження, теореми 1_3 і приклади підрахувань. В роботі [2] автору належать теорема 1 і теорема 2. В роботі [3] _ теорема, в [4] _ теореми 1 і 2, а в роботі [5] - лема 1, твердження, теореми 1 і 2.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів і висновків, які викладено на 261 сторінці основного тексту, а також містить список із 123 використаних джерел.

Основний зміст дисертації

У вступі проаналізовано стан проблеми, обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету і завдання роботи, відображено наукову цінність і наведено основні результати дисертації.

У першому розділі зроблено огляд літератури за темою дисертації, наведено основні означення та результати, що використовуються в дисертації.

У першому підрозділі першого розділу наводяться означення та відомі факти з теорії динамічних систем Морса-Смейла; у другому підрозділі - з топологічної еквівалентністі динамічних систем; у третьому - з теорії Морса; у четвертому - з еквівалентності функцій та відображень; у п'ятому _ з теорії Смейла розкладів на ручки; у шостому - з діаграм Хегора; у сьомому - з діаграм Кірбі; у восьмому - з круглих функцій Морса; у дев'ятому - з теорії замкнених 1_форм Морса; у десятому _ теорема Пуанкаре-Хопфа та обернена до неї; у одинадцятому - з теорії стратифікованих множин Уітні.

У другому розділі введено основні конструкції та описано основні методи, що використовуються в наступних розділах.

У першому підрозділі другого розділу, використовуючи розклади на ручки з комірами, дано критерій еквівалентності функцій Морса в термінах ізоморфізмів таких розкладів. При переході до розкладів на ручки (без комірів) отримано інший критерій еквівалентності функцій Морса.

Означення 2. 1. 1. Розкладом на ручки з комірами називається послідовність вкладень М₀М₀М₁М₁М₂...М_N =M таких, що М₀ є об'єднання n-вимірних дисків ( 0-ручок), М_i виходить з М_i за допомогою приклейки коміра N_i[0,1], де N_i=М_i, а М_i+1 виходить з М_i за допомогою приклейки ручок H_j, що не перетинаються. На кожнім комірі задане тривіальне розшарування ?: N_i[0,1] [0,1].

Означення 2. 1. 2. Розклади на ручки з комірами многовидів М та М' називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм між многовидами M і M', що переводить ручки в ручки, коміри в коміри, зберігаючи розбивку комірів на шари.

За функцією Морса f : M R¹ із критичними значеннями {1,2,..., N} побудовано розклад на ручки з комірами так, що внутрішності комірів N_i[0,1] пошарово гомеоморфні компонентам зв'язності множини M\f ^_1({1,2,..., N}).

Лема 2.1.2. Функції будуть топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли відповідні розклади на ручки з комірами ізоморфні.

Стискаючи коміри до їх основ, отримано розклад на ручки без комірів.

Лема 2.1.3. Дві функції Морса спряжені тоді і тільки тоді, коли в побудованих за ними розкладах на ручки без комірів відповідні ручки приклеюються за ізотопними вкладеннями.

За допомогою ізотопій середніх сфер будь-який розклад на ручки можна привести до такого, у якого середні та косередні сфери ручок перетинаються трансверсально і кожна ручка приклеюється до об'єднання ручок меншої розмірності. Такі розклади на ручки будемо називати простими.

Розклади на ручки називається упорядкованим, якщо задане відображення множини ручок на множину {1, 2,..., N}. Кожна функція Морса задає упорядкування на множині ручок відповідного їй розкладу на ручки.

Упорядковані прості розклади на ручки (УПРР) називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм многовидів, що переводить ручки в ручки, середні і косередні диски в середні і косередні диски, відповідно, зберігаючи при цьому упорядкування ручок. Позначимо через М^k об'єднання ручок, індекс яких не перевершує k і L^k = М^k.

Теорема 2.1.1. Дві функції Морса будуть спряжені тоді і тільки тоді, коли з упорядкованого простого розкладу на ручки однієї функції можна одержати розклад на ручки, ізоморфний упорядкованому простому розкладу на ручки другої функції, за допомогою таких операцій:

ізотопій у L^k вкладень середніх сфер з носієм у границі об'єднання ручок з меншими номерами;

заміни ручки H_i на суму Н_iH_j, якщо номер H_i більший номера H_j (тут ручки мають однаковий індекс). При цьому нова ручка Н_iH_j має такий самий номер, що і ручка H_i.

У другому підрозділі другого розділу для вивчення будови комбінаторних стратифікованих двовимірних множин вводиться поняття НСС-графа.

Означення 2.1.4. Комбінаторна стратифікована двовимірна множина - це топологічний простір, отриманий із скінченного графа в результаті приклеювання до нього скінченного числа компактних поверхонь з краєм за неперервними відображеннями країв, які є або локальними гомеоморфізмами, за винятком, можливо, скінченного числа точок, які відображаються у вершини графа, або постійними відображеннями у вершини.

Означення 2.1.5. Дві комбінаторні стратифіковані двовимірні множини називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм між ними, що зберігає їх розбиття на страти, тобто такий гомеоморфізм, обмеження якого на граф задає ізоморфізм графів.

Нехай G і G' -- орієнтовані графи, g: G G' -- ізоморфізм графів, що відображає вершини A_i графа G у вершини A'_i , а ребра B_j у B'_j. Позначимо F_i (відповідно, F_i) - поверхні із краями, що приклеюються до G (G). Кожне коло, що входить у край поверхні F_i, прообразами вершин графа розбивається на дуги, що відповідають (гомеоморфно відображаються на) ребрам графа G. При цьому орієнтація ребер графа задає орієнтацію дуг. Кожній дузі припишемо ту ж букву, що і у відповідного ребра графа.

Задамо на кожній компоненті краю орієнтацію погоджену з орієнтацією поверхні у випадку орієнтованих поверхонь, і довільним чином для неорієнтованих поверхонь. Для кожного кола з границі поверхні, обходячи його за орієнтацією, випишемо слово, що складається з букв B_j¹ у відповідності з ребрами, що зустрічаються. Буква має ступінь +1, якщо орієнтація відповідної їй дуги збігається з орієнтацією кола, і -1 у іншому випадку. Два слова називаються еквівалентними, якщо одне з іншого можна одержати в результаті циклічної перестановки букв. Це відповідає іншому вибору початку обходу кола. Слова називаються зворотними, якщо одне з іншого виходить у результаті виписування букв у зворотному порядку і зі звертанням ступенів і, можливо, циклічної перестановки. Це відповідає обходу кола проти орієнтації.

Для кожної поверхні F_i складемо список з таких елементів: 1) числа n_i, яке дорівнює роду поверхні F_i, якщо поверхня орієнтована, і _n_i у противному випадку; 2) слів, виписаних при обході границі поверхні за орієнтацією. Два таких списки назвемо еквівалентними, якщо в них збігаються числа n_i і між буквами слів можна встановити взаємно однозначну відповідність так, що при заміні букв у відповідних словах дістанемо еквівалентні чи обернені слова. При цьому, якщо поверхня є орієнтованою, то всі слова є одночасно еквівалентними або одночасно оберненими.

Два набори списків слів назвемо еквівалентними, якщо існує взаємно однозначне відображення між їх буквами і взаємно однозначна відповідність між буквами та списками така, що відповідні списки еквівалентні при даному відображенні букв.

Теорема 2.2.1. Нехай G -- орієнтований граф комбінаторної стратифікованої двовимірної множини K, а G' - граф К', g: G G' -- ізоморфізм графів, що переводить вершини A_i графа G у вершини A'_i, а ребра B_j у B'_j. Тоді ізоморфізм графів продовжується до гомеоморфізму стратифікованих множин тоді і тільки тоді, коли при заміні B_j на B'_j у наборі списків для K вийде набір еквівалентний набору списків K'.

Означення 2.1.6. Граф разом з набором списків слів (НСС), у яких букви відповідають ребрам графа, назвемо НСС-графом. Два НСС-графа назвемо ізоморфними, якщо існує ізоморфізм графів такий, що при заміні букв другого НСС буквами відповідними при ізоморфізмі з першого НСС вийде НСС еквівалентний першому НСС.

Розглянуто питання, коли НСС граф задає поверхню.

В третьому підрозділі другого розділу НСС-графи, як повні топологічні інваріанти, використано для класифікації полів Морса-Смейла без замкнених траєкторій на замкнених дво- і тривимірних многовидах. В розмірності 2 вершинами графа є витоки, а ребрами стійкі многовиди сідлових особливих точок. Для тривимірних полів розглянуто поверхню Ф, що є границею регулярного околу об'єднання нульвимірних та одновимірних стійких многовидів. Графом вкладеним в Ф є об'єднання перетинів стійких та нестійких двовимірних многовидів з Ф.

Означення 2.3.1. Так побудований граф разом з розбивкою множини його ребер на два набори і набором списків слів назвемо розрізняючим графом векторного поля.

Означення 2.3.2. Два розрізняючі графи назвемо еквівалентними, якщо існує ізоморфізм графів, що зберігає розбивку множини ребер на два набори, і такий, що при заміні букв у НСС першого графа відповідними буквами з другого графа у степені 1, у залежності від орієнтації, вийде НСС еквівалентний НССу другого графа. .

Теорема 2.3.1. Два векторні поля топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли еквівалентні їх розрізняючі графи.

У третьому розділі розглядаються функції з ізольованими критичними точками. У першому підрозділі досліджуються функції Морса. Нехай НН=М -- розбиття Хегора тривимірного многовиду М, F=Н=Н.

Означення 3. 1. 1. Набір u={u₁, u₂,..., u_n} неперетинних замкнутих кривих на поверхні F називається узагальненою системою меридіанів кренделя Н, якщо вони обмежують диски D_i H, після розрізування кренделя за якими вийде незв'язне об'єднання тривимірних дисків.

Нехай v={v₁, v₂,..., v_m} --узагальнена система меридіанів кренделя Н.

Означення 3. 1. 2. Трійка (F, u, v), що складається із замкненої поверхні і двох узагальнених систем меридіанів, називається узагальненою діаграмою Хегора (УДХ) многовида М.

Позначимо через U₁, U₂,..., U_k ті області, на які меридіани u₁, u₂,..., u_n розбивають поверхню F, а через v₁, v₂,..., v_l -- відповідні області для меридіанів v₁, v₂,..., v_m.

Означення 3. 1. 6. Діаграма називається упорядкованою, якщо задано відображення на : {U₁,U₂,..., U_k, u₁, u₂,..., u_n, v₁, v₂,..., v_m, v₁, v₂,..., v_l} {1, 2,..., N}.

Означення 3. 1. 7. Упорядковані узагальнені діаграми Хегора (УУДХ) називаються еквівалентними, якщо одну з іншої можна одержати за допомогою послідовності гомеоморфізмів та таких операцій: 1) напівізотопій діаграм (пальчикових рухів та їм обернених) між u_i і v_j за умови, що (u_i) > (v_j); 2) замін меридіанів u_i на u_i u_j за умови, що (u_i) < (u_j); 3) замін меридіанів v_i на v_i v_j за умови, що (v_i) > (v_j).

Теорема 3.1.1. Дві функції Морса на тривимірних многовидах спряжені тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані узагальнені діаграми Хегора еквівалентні.

Для функції виконуються такі властивості:

якщо u_iU_j, то (u_i)>(U_j);

якщо v_iV_j, то (v_i)<(V_j);

якщо u_iv_j, то (u_i)<(v_j);

якщо U_iv_j, то (U_i)<(v_j);

якщо u_iV_j, то (u_i)<(V_j);

якщо U_iV_j, то (U_i)<(V_j).

Означення 3. 1. 8. Функцію , яка задовольняє властивостям 1)_6), називається припустимою.

Твердження 3.1.1. Нехай в УУДХ функція є припустимою. Тоді існує функція Морса, яка породжує цю УУДХ.

Позначимо через N(M, g, I₀, I₁, I₂, I₃ ) число топологічно нееквівалентних функцій Морса на многовиді M, для яких g -- рід поверхні F, а I_k -- число критичних точок індексу k, k=0, 1, 2, 3. Показано, що N(S³, 0, 1, 0, 0,1)=1, N(S³, 0, 2, 1, 0,1)=2, N(S³, 1, 1, 1, 1, 1) = 1, N(S³, 1, 2, 2, 1, 1) = 25.

Теорема 3.1.2. Функції Морса можна з'єднати шляхом в просторі функцій Морса на тривимірному многовиді М тоді та тільки тоді, коли вони мають однакове число критичних точок для кожного індексу і їх поверхні Хегора є ізотопними при ізотопії, що зберігає розбиття многовида на нижній та верхній кренделі.

Тут під нижнім розуміємо крендель, який містить всі точки локального мінімуму. топологічний векторне поле многовид

Розглянуто функції Морса на 4-вимірних многовидах, у яких один мінімум і один максимум і немає критичних точок індексу 3. Тоді УПРР функції Морса буде задавати діаграму Кірбі, в якій кожному вкладеному колу з точкою відповідає 1-ручка, а колу з оснащенням -- 2-ручка (це коло є середньою сферою 2-ручки). При цьому кожне коло має той самий номер, що і відповідна критична точка функції Морса (дорівнює номеру відповідної ручки).

Означення 3. 1. 9. Діаграму Кірбі, у якій кожному колу приписаний номер, назвемо упорядкованою. Дві упорядковані діаграми Кірбі називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм сфер S³, що відображає вкладені кола на кола, зберігаючи точки чи оснащення кіл, а також їх номери.

Означення 3. 1. 10. Упорядковані діаграми Кірбі назвемо еквівалентними, якщо з однієї можна одержати діаграму ізоморфну іншій послідовністю таких операцій: 1) заміною вкладеного оснащеного кола u_i на суму кіл u_i u_j, при цьому, якщо u_j -- також оснащене коло, то його номер повинен бути меншим номера кола u_i; 2) заміною вкладеного кола з точкою u_i на суму кіл u_i u_j , за умови що u_j -- також коло із точкою і його номер менший номера u_i.

Теорема 3.1.3. Дві функції Морса, у яких по одному мінімумі і максимуму і немає критичних точок індексу 3, на чотиривимірних многовидах спряжені тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані діаграми Кірбі еквівалентні.

У другому підрозділі третього розділу дано топологічну класифікацію функцій з ізольованими особливими точками на замкнутих поверхнях. Нехай F -- замкнута гладка поверхня, f: F R -- гладка функція, у якої скінченне число критичних точок.

Теорема 3.2.1. Для кожної критичної точки x₀ (крім локального мінімуму і максимуму) існує окіл, у якому функція спряжена з функцією Re z^k для деякого числа kZ.

Позначимо через G_i(f) граф (можливо незв'язний), який геометрично збігається з прообразом критичного значення y_i функції f. При цьому вершинами графа є критичні та виділені точки.

Означення 3.2.2. Поверхня F разом із вкладеними в неї графами G_i(f) називається діаграмою D={F, G₁(f), …, G_n(f)} функції f.

Означення 3.2.3. Дві діаграми називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм поверхонь, який відображає графи у графи, а вершини графів у вершини і зберігає порядок графів.

Теорема 3.2.2. Дві функції з ізольованими критичними точками на замкнутій поверхні тополгічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли ізоморфні їх діаграми.

Нехай D={F, G₁(f), …, G_n(f)} -- діаграма функції f з ізольованими критичними точками на поверхні F. Кожен циліндр F_k з основами на графах G_i(f) та G_i+1(f) задає по одному циклу, який відповідає основі циліндра. Цикл на G_i(f) будемо називати верхнім, а на G_i+1(f) нижнім. При цьому локальним мінімумам і максимумам відповідають цикли, які складаються з однієї вершини. Відмітимо, що кожне ребро міститься в одному верхньому і одному нижньому циклах.

Означення 3.2.4. Розрізняючим графом називається граф G, розбитий на неперетинні підграфи G₁,…,G_n, на яких виділені цикли, що розбиті на дві групи -- верхні та нижні і задана взаємно однозначна відповідність між нижніми циклами з G_i і верхніми циклами з G_i+1, i=1,…,n-1. При цьому кожне ребро міститься в одному верхньому й одному нижньому циклах, а кожна ізольована вершина утворює один верхній чи нижній цикл.

Ізоморфізм розрізняючих графів _ такий ізоморфізм, при якому підграфи відображаються на підграфи, верхні цикли _ у верхні, нижні _ у нижні, і зберігається відповідність між верхніми і нижніми циклами.

Кожна функція з ізольованими особливими точками на замкнутій поверхні задає єдиний, з точністю до ізоморфізму, розрізняючий граф.

Теорема 3.2.3. Дві функції топологічно спряжені тоді і тільки тоді, коли їх розрізняючі графи ізоморфні.

Два ребра e₁, e₂, інцидентні одній вершині v, називаються сусідніми для вершини v, якщо в розрізняючому графі знайдеться цикл, який містить фрагмент (e₁, v, e₂) чи (e₂, v, e₁).

Твердження 3.2.1. Розрізняючий граф задає функцію з ізольованими особливими точками на замкнутій поверхні, тоді і тільки тоді, коли для будь-яких двох ребер, інцидентних одній вершині, знайдеться послідовність ребер, у якій кожне наступне є сусіднім з попереднім у цій вершині.

Підраховано число топологічно нееквівалентних, топологічно неспряжених та орієнтовано неспряжених функцій з мінімальним числом критичних точок на орієнтованих та неорієнтованих поверхнях роду 0,1, 2 3.

У третьму підрозділі третього розділу розглядаються функції з ізольованими критичними точками на тривимірних многовидах. Для опису поведінки функції f в околі критичної точки p побудовано дерево (граф без циклів) Gf_p. Ребрам графа відповідають криві, що є перетинами критичного рівня функції з границею регулярного околу критичної точки, а вершинам - області, на які ці криві розбивають границю.

Теорема 3.3.1. Нехай p -- ізольована критична точка гладкої функції f: R³R¹, а q -- функції g: R³R¹. Для того, щоб існували околи U і V точок p і q відповідно і гомеоморфізм h: UV такий, що f = gh необхідно і достатньо, щоб графи Gf_p і Gg_q були ізоморфними.

Нехай p₁,…,p_k _ критичні точки функції на тривимірному многовиді, f(p₁)f(p₂)…f(p_k). Зафіксуємо на многовиді ріманову метрику і досить малі замкнуті околи W₁,…,W_k критичних точок. Побудовано аналог розкладу на ручки: M=H₁…H_k, де W_iH_i, i=1,…,k. Околи H₁,…,H_k, які називаються узагальненими ручками, будуємо за індукцією. Покладемо H₁=W₁. Нехай S(W_i) -- множина тих точок, позитивна напівтраєкторія яких поля grad f перетинає W_i. Тоді покладемо H_i=cl(S(W_i)\_j<iH_j). Таким чином, M може бути отримано послідовною приклейкою узагальнених ручок.

Множина S=H₁…H_k має природну структуру стратифікованої множини. При цьому кожен страт розмірності 2 лежить у перетині двох різних узагальнених ручок H_j, H_k. Діаграмою функції називається побудована по ній стратифікована множина разом із указівкою для кожного страта пари номерів прилягаючих стратів і набору номерів, що мають однакові критичні значення. Діаграми називаються гомеоморфними, якщо існує гомеоморфізм стратифікованих множин, що зберігає пари і набори номерів.

Твердження 3.3.1. Дві функції топологічно спряжені тоді та тільки тоді, коли за ними можна побудувати гомеоморфні діаграми.

Для функції з трьома критичними точками розглянемо граничні сфери S_i²=Н_i, і=1,2,3. Розфарбуємо області S₁² S₂² у білий колір, S₂² S₃² -- у чорний, а S₁² S₃² -- у сірий. По кожній сфері побудуємо граф Gf_i. Розфарбуємо вершини графів у кольори відповідних цим вершинам областей. На кожнім із графів розіб'ємо кожне ребро на два, вводячи на ньому додаткову вершину. Отримані графи будемо позначати Gf_i. З цих графів склеїмо новий граф Gf таким чином, що дві старі вершини різних графів склеюються, якщо відповідні їм області збігаються в М, а також склеїмо прилягаючі до них ребра, якщо відповідні їм кола збігаються. Іншим способом граф Gf можна одержати, якщо за вершини взяти області з S₁² S₂²S₃², а також кола з S₁² S₂² S₃². При цьому дві вершини з'єднані ребром, якщо одна з них відповідає області, а інша колу, що міститься в границі цієї області.

Теорема 3.3.2. Нехай f, g: MR -- гладкі функції, що мають по три критичні точки на гладкому замкнутому 3-вимірному многовиді М. Функції f і g спряжені, якщо і тільки якщо їх графи еквівалентні.

Зауваження. Функції будуть спряжені, якщо їх графи еквівалентні чи стануть еквівалентними після заміни розфарбування білих вершин на чорні, а чорних на білі.

Позначимо через n -- число розфарбованих вершин розрізняючого графа одного кольору. Для відповідної функції будемо говорити, що вона має складність n. Підраховано число топологічно нееквівалентних функцій складності 1, 2, 3 та 4.

Для функцій з чотирма критичними точками побудовано діаграму, що складається з границі F об'єднання першої і другої узагальнених ручок, кривих FH₁H₂ та кривих FH₃H₄. Приклеювання H₂ до H₁ та H₃ до H₄ задається графами G₁ та G₂. Між елементами графів та елементвами діаграм є природні відповідності.

Означення 3.3.1. Схемою функції f називається п'ятірка {D_f, G₁, ₁, G₂, ₂}, що складається з діаграми функції двох графів і відображень відповідності. Дві схеми будемо називати еквівалентними, якщо існують ізоморфізми діаграм і графів, погоджені з відображеннями відповідності.

Теорема 3.3.3. Функції f: MR, g: NR топологічно спряжені тоді та тільки тоді, коли схема однієї з них еквівалентна схемі, отриманої з іншої за допомогою напівізотопій діаграми, що входить до неї.

Критична точка p називається правильною, якщо S_i¹ розбиває сферу U(p) на дві частин, одна з яких зв'язна, а друга гомеоморфна незв'язному об'єднанню двовимірних дисків. Точки мінімуму і максимуму також вважаються правильними. Функція f на тривимірному многовиді M називається правильною, якщо вона має 4 критичні точки x₀, x₁, x₂, x₃ (f(x₀)<f(x₁)<f(x₂)<f(x₃)), усі вони правильні і поверхня _ зв'язна. Рід поверхні F будемо називати родом функції f. Введено поняття складності правильної функції. Підраховано число топологічно нееквівалентних правильних функцій роду 2 і складності 1, 2, 3, 4 та 5.

У четвертому підрозділі третього розділу розглядаються m-функції. Це такі функції на многовиді М з краєм, у яких: 1) всі критичні точки -- невироджені і не лежать на краю; 2) край многовида представляється у вигляді об'єднання М=_-М ₀М ₊М такого, що обмеження f функції f на ₀М є функція Морса і якщо множина _-М (₊М ), то функція f приймає на ній мінімальне (максимальне) значення.

Аналогічно функціям Морса, побудовано m-розклади на ручки з комірами та доведені критерії топологічної еквівалентності m-функцій.

Для m-функцій на поверхнях побудовано її повний топологічний інваріант - m-граф і доведена

Теорема 3.4.2. Дві m-функції на компактній орієнтованій поверхні топологічно еквівалентні тоді та тільки тоді, коли існує ізоморфізм їх m-графів.

Підраховано число m-функцій на двовимірному диску, у яких не більше 5 критичних точок.

Для m-функції на тривимірних многовидах побудовано її повний топологічний інваріант - упорядкована m-діаграма Хегора і доведена

Теорема 3.4.3. Дві m-функції на тривимірних многовидах спряжені тоді і тільки тоді, коли побудовані за ними упорядковані m-діаграми Хегора еквівалентні.

Підраховано число m-функцій на тривимірному диску, у яких не більше 6 критичних точок на границі. Показано, що існує нескінченно багато топологічно нееквівалентних m-функцій з 6 критичними точками на границі многовиду T[0,1] (Т - двовимірний тор).

У п'ятому підрозділі розглядаються відображення поверхні в коло S¹, у яких усі критичні точки ізольовані і невироджені. Побудовано діаграму такого відображення і доведена

Теорема 3.5.1. Два відображення поверхні в коло з невиродженими критичними точками будуть спряжені тоді і тільки тоді, коли їх діаграми еквівалентні.

У четвертому розділі розглядаються векторні поля Морса-Смейла на замкнених многовидах та їх узагальнення - m-поля на многовидах з краєм.

У першому підрозділі четвертого розділу побудовано топологічну класифікацію векторних полів Морса-Смейла на замкнених тривимірних многовидах. Аналогічно узагальненим діаграмам Хегора, побудовано діаграму векторного поля. Це _ поверхня, що є границею регулярного околу об'єднання стійких многовидів особливих точок індексів 0 і 1 та замкнених траєкторій індексу 0, набори замкнених кривих та дуг на ній. Перший набір кривих - перетини поверхні з нестійкими многовидами особливих точек індексу 1, другий - зі стійкими многовидами розмірності 2.

Твердження 4.1.1. Для того, щоб векторні поля Морса-Смейла на замкнених тривимірних многовидах були топологічно еквівалентними необхідно, щоб їх діаграми були гомеоморфні.

На множині особливих точок та замкнених траєкторій можна ввести відношення часткового порядку в залежності від перетину між їх стійкими та нестійкими многовидами. Зафіксуємо на цій множині лінійний порядок підпорядкований частковому, тобто припишемо кожній з особливих точок і замкнених траєкторій порядковий номер.

Розглянуто поведінку векторного поля в регулярному околі особливої траєкторії індексу 1. Такі околи бувають двох типів: 1) тривіальний, коли стійкий многовид гомеоморфний циліндру; 2) скручений, коли цей многовид гомеоморфний листу Мьобіуса. В першому випадку перетин циліндра з границею окола - два вкладених кола. Показано, що якщо якийсь нестійкий многовид розмірності 2 перетинає ці кола трансверсально, то його перетин з границею окола намотується на криву, що є перетином окола з нестійким многовидом замкненої траєкторії. Це дозволяє побудувати тривіальні околи для кривих другого типу на діаграмі. Околи будуються послідовно в залежності від номерів замкнених траєкторій і вибираються максимальними тривіальними. Ці околи є основами відповідних круглих ручок.

Побудовано розклад на прості та круглі ручки, послідовно починаючи з найменшого номеру. Кожна ручка є стандартним околом стійкого многовиду в доповнені до вже побудованих ручок. Отже, прості ручки містять по одній особливій точці, а круглі - по замкненій траєкторії.

Розглянемо двовимірну компактну стратифіковану множину S, що є об'єднанням поверхні Ф з границями круглих ручок індексу 1. При цьому об'єднання 0- і 1-вимірних стратів складається з таких замкнених кривих:

косередніх сфер 1-ручок;

середніх і косередніх сфер круглих 1-ручок;

середніх сфер 2-ручок;

границь основ круглих 1-ручок.

На стратах другого типу задана орієнтація відповідно до руху по відповідній замкнутій траєкторії індексу 1. З побудови випливає, що за стратифікованою множиною діаграма потоку відновлюється однозначно (з точністю до гомеоморфізму). Таким чином, ізоморфність стратифікованих множин є необхідною умовою топологічної еквівалентності потоків.

На кожнім торі, що є границею круглої ручки, виділимо замкнуту криву в S, що обмежує диск, який перетинається з відповідною замкнутою траєкторією трансверсально в одній точці.

Означення 4.1.11. Стратифікована множина S разом з розбиттям 1-стратів на 4 типи, орієнтаціями циклів 2-го типу і розбиттям деяких з них на пари називається схемою векторного поля X.

Означення 4.1.12. Дві схеми називаються ізоморфними, якщо існує гомеоморфізм стратифікованих множин, що зберігає типи 1-стратів і зберігає розбивку циклів на пари й орієнтації (на тих циклах, на яких вони задані).

Теорема 4.1.1. Для того, щоб існувала топологічна еквівалентність векторного поля Морса-Смейла X на поле X', яка зберігає порядок критичних елементів, необхідно і достатньо, щоб існував ізоморфізм їх схем, що відображає виділені криві на першій схемі в криві, гомотопні виділеним кривим на другій схемі.

Побудовано -інваріант, що складається зі скінченного набору чисел та скінченних орієнтованих графів.

Теорема 4.1.2. Для того, щоб існувала топологічна еквівалентність векторного поля Морса-Смейла X на поле X', яка зберігає порядок критичних елементів, необхідно і достатньо, щоб існував ізоморфізм їх схем, що зберігає -інваріант.

За допомогою НССів зі схеми побудовано розрізняючий граф векторного поля.

Теорема 4.1.3. Між векторними полями Морса-Смейла X та X' існує топологічна еквівалентність, що зберігає порядок критичних елементів, тоді і тільки тоді, коли вони мають еквівалентні розрізняючі графи.

Показано, що на тривимірній сфері існує 4 топологічно нееквівалентних поля Морса-Смейла без особливих точок з трьома замкненими кривими такими, що окіл кривої індексу 1 - тривіальний. Якщо цей окіл скручений, то полів нескінченно багато і кожне нумеруються одним цілим числом, що входить в -інваріант.

Описані властивості розрізняючого графа та доведена теорема реалізації.

У другому підрозділі четвертого розділу розглядаються векторні поля Морса-Смейла без замкнених траєкторій на чотиривимірних многовидах. Нехай тривимірний многовид N є границею регулярного околу об'єднання стійких многовидів особливих точок індексів 0 і 1; сфери S_i - перетини N з нестійкими многовидами точок індексу 1. Побудовано повний топологічний інваріант поля - діаграму, що складається із 1) тривимірної сфери, отриманої з N розрізанням за сферами S_i; 2) вкладених пар сфер, що відповідають сферам S_i після розрізання; 3) оснащених замкнених кривих та дуг - перетинів N зі стійкими многовидами точок індексу 2; 4) плівок -перетинів N зі стійкими многовидами точок індексу 3. Доведено, що топологічна еквівалентність полів рівносильна еквівалентності діаграм. Розглянуто питання реалізації діаграми полем Морса-Смейла.

У третьому підрозділі четвертого розділу розглядаються m-поля на многовидах з краєм.

Нехай М -- гладкий (класу C) компактний n-вимірний многовид з краєм, X -- гладке векторне поле, всі особливі точки якого не лежать на краю. Нехай в околі точки x₀=(x₀¹,…,x₀^n-1,0) краю задана карта з координатами (x¹, x²,…,xⁿ), xⁿ0. Поле X=(X¹, X²,…,Xⁿ) трансверсальне до краю в точці x₀, якщо Xⁿ(x₀)0 і дотичне, якщо Xⁿ(x₀)=0. Нехай NM -- підмножина точок, у яких поле дотикається до краю. Якщо N підмноговид ковимірності 1 у краю M, то в околі кожної точки x₀N можна вибрати таку систему координат (x¹, x²,…,xⁿ), що підмноговид N задається рівнянням x¹=0.

...