Размещено на http://www.allbest.ru/

„Диференціальне числення функцій багатьох змінних”



План

1. Функція, її границя та неперервність

2. Похідна та диференціали функцій багатьох змінних

Завдання для самоконтролю



1. Функція, її границя та неперервність

Нехай задано множину Д упорядкованих пар чисел (х; у). Якщо кожній парі чисел (х; у) Д за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині Д визначимо функцію від двох змінних х і у та записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), в змінні х та у - незалежними змінними (аргументами).

Множину пар (х, у) значень х та у, для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають Д (f) або Д . границя неперервність диференціал похідна

Множину значень позначають E (f) або E. Значення функції в точці М₀ (х₀; у₀) позначають z₀ = f(x₀; y₀) або z₀ = f(M₀), або . Лінію, що обмежує область Д, називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки, називається відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Функцію двох змінних можна задавати різними способами: аналітичним, коли функція задається за допомогою формули; графічно у вигляді деякої поверхні.

Графіком функції в прямокутній системі OXYZ називають геометричне місце точок M(x;y; f(x,y)), проекції яких (х;у) належать області Д. Це геометричне місце точок утворює в тривимірному просторі R₃ певну поверхню, проекцією якої на площину OXY є множина Д. (Рис.1).

Рис.1

Побудова графіків функцій двох змінних часто пов'язано із значними труднощами. Тому для зображення функцій двох змінних користуються методом перерізів, який полягає у тому, що поверхню перетинають площинами х = х₀ та у = у₀ і за графіками кривих z =f(x₀,y) та z = f(y₀,x) визначають графік функції . Можна фіксувати не х чи у, а саму функцію , тобто перетинати поверхню площинами z = c, де c - довільне число взяте з множини E(f) значень даної функції. При цьому одержимо криву f(x, y) = c, яку називають лінією рівня (або ізокривою) функції.

Інакше кажучи, лінія рівня на площині OXY - це проекція кривої, яка утворюється при перетині поверхні площиною z = c.

Лінії і поверхні рівня часто зустрічаються на практиці. Наприклад, сполучивши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньодобовою температурою або з однаковим середньодобовим тиском, дістанемо відповідні ізотерми та ізобари, які є важливими даними для прогнозу погоди.

Введено поняття д-околу заданої точки М₀ (х₀; у₀) і поняття збіжності точок площини.

Множина всіх точок М (х;у), координати яких задовольняють нерівність , де - відстань від точки М до М₀ , називається д - околом точки М₀ (х₀; у₀).

Розглянемо послідовність точок М₁(х₁;у₁), М₂ (х₂;у₂),..., М_n(x_n; y_n), яку позначаємо символом . Послідовність точок називається збіжною до точки М_0, якщо для довільного числа > 0 існує номер такий, що при n > N виконується нерівність . При цьому точку М₀ називають границею послідовності і записують так:

або при

Розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі однієї змінної.

Означення. Число А називають границею функції у = f(x) в точці х₀ (або при , якщо для довільної збіжної до х₀ послідовності , де , , послідовність має границю, яка дорівнює числу А, і записують:

Нехай функція задана в деякій області Д і точка М₀ (х₀; у₀) Д або М₀ (х₀; у₀) Д, але має таку властивість, що в довільному д-околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Д , відмінна від М_0. Число А називається границею функції z = f(M) в точці М₀,якщо для довільної збіжної до М₀ послідовності точок M₁, M₂,, …, M_n…(M_n Д, M_n M₀), f(M₁), f(M₂),…, f(M_n)… збігається до числа А. При цьому пишуть:



, або

Це означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням на мові послідовностей.

Є ще означення границі функції за Комі або означення „на мові ”.

Число А називається границею функції z = f(M) в точці М_0, якщо для кожного числа > 0 знайдеться число таке, що для всіх точок M(x;y) Д, які задовольняють умову , виконується нерівність .

Теорема. Нехай функції f(M) і g(M) визначені на одній і тій самій множині Д; мають в точці М₀ границі В і С. Тоді функції , f(M)*g(M), , , мають в точці М₀ границі, які відповідно дорівнюють , B* C, , .

Розглянемо неперервність функції багатьох змінних. Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою границі.

Нехай функція z = f(M) визначена на множині Д , точка М₀ Д і довільний д-окіл точки М₀ містить точки множини Д.

Функція z = f(M) називається неперервною в точці М_0, якщо границя:

(1)

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки. В яких неперервність порушується - точками розриву цієї функції.

Умові (1) неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо ?х = х - х_0, ?у = у - у_0, ?z = f(x,y) - f(x₀,y₀). Величини ?х, ?у, ?z - називаються приростами аргументів х і у, а ?z - повним приростом функції f(x,y) в точці (х₀; у₀). З рівності (1) маємо:

(2)

Рівність (2) дає ще одне означення неперервності.

Функція f(x,y) називається неперервною в точці М₀ (х₀; у₀), якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів х та у прямують до нуля.

Функція f(x,y) називається неперервною на множині Д якщо вона неперервна в кожній точці (х; у) цієї множини.

Властивості функції z = f(M) неперервної в замкненій області аналогічні властивостям неперервної на відрізку функції однієї змінної.

Точка М називається внутрішньою точкою множини Д, якщо існує д-окіл цієї точки, який цілком міститься у множині Д.

Множина Д точок площини називається зв'язною, якщо будь-які її дві точки можна сполучити неперервною лінією, яка цілком належить множині Д.

Множину Д називають відкритою, якщо кожна її точка внутрішня.

Областю (або відкритою областю) називають зв'язну відкриту множину точок.

Точку М називають межовою точкою множини Д, якщо будь-який її окіл містить як точки, що належать Д, так і точки, що не належать множині Д.

Множину всіх межових точок області називають межею області.

Область разом з її межею називають замкненою. Якщо існує круг скінченого радіуса, який цілком містить область, то вона називається обмеженою.

Основні властивості неперервних функцій двох змінних= в замкненій обмеженій області:

1. Якщо функція z = f(M) неперервна в замкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує таке число C >0, що для всіх точок області виконується нерівність .

2. Якщо функція z = f(M) неперервна в замкненій обмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуває найбільшого і найменшого значень.

3. Якщо функція z = f(M) неперервна в замкненій обмеженій області Д і f(M₁) <C< f(M₂), де M₁, M₂ Д , то існує точка М₀ (х₀; у₀), в якій f(M₀)=C. Зокрема, якщо f(M₁)<0, а f(M₂)<0, то в області Д існує точка М₀, в якій f(M₀)=0

2.Похідна та диференціали функцій багатьох змінних

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(х;у). Надамо змінній х приросту , залишаючи змінну у незмінною, так, щоб належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції f(x,y) по змінній х.

Аналогічно вводиться частинний приріст функції по змінній у:

Якщо існує границя:

,

то вона називається частинною похідною функції f(x,y) в точці М(х;у) по змінній х і позначається одним із таких символів:

; ; ; ; - частинні похідні по х в точці М₀ (х₀; у₀).

Аналогічно частинна похідна функції f(x,y) по у визначається як границя:

і позначається одним із символів

; ; ; .

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють звичайну похідну функції однієї змінної х, вважаючи змінну у сталою, а при знаходженні похідної сталою вважають змінну х. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної. Якщо існує частинна похідна по х від функції , то її називають частинною похідною другого порядку від функції f(x,y) по змінній х і позначають або

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(х;у). Виберемо прирости ?х і ?у так, щоб точка лежала в розглядуваному околу і знайдемо певний приріст функції в точці М(х;у)

Функція f(x,y) називається диференційованою в точці М, якщо її повний приріст в цій точці можна подати у вигляді:

(3)

Де А і Б - дійсні числа, які не залежать від ?х та ?у, , - нескінченно малі при і функції.

Теорема 1. (неперервність диференційованої функції) Якщо функція z = f(M) диференційована в точці М, то вона неперервна в цій точці.

Якщо функція диференційована в точці М, то з рівності (3) випливає, що . Це означає, що функція неперервна в точці М.

Теорема 2. (існування частинних похідних диференційованої функції). Якщо функція z = f(M) диференційована в точці М(х;у), то вона має в цій точці похідні: = (х,у), та = (х,у) та .

Оскільки f(x,y) диференційована в точці М(х;у), то справджується рівність (3).

Теорема 3. (достатні умови диференційованості). Якщо функція f(x,y) має частинні похідні в деякому околі точки М і ці похідні неперервні в точці М, то функція f(x,y) диференційована в точці М.

З теореми 2 і 3 випливає такий наслідок: щоб функція f(x,y) була диференційована в точці, необхідно, щоб вона мала в цій точці неперервні частинні похідні.

Слід пам'ятати, що коли функція z = f(M) диференційована в точці М, то її повний приріст у цій точці можна подати у вигляді:

.

Повним диференціалом dz диференційованої в точці М функції z = f(M) називається лінійна відносно ?х та ?у частина повного приросту цієї функції в точці М, тобто:

(4)

Диференціали незалежних змінних х та у назвемо прирости змінних dx = ?х, dy = ?у. Тоді з урахуванням теореми (2) рівність (4) можна записати у вигляді:

(5)

Аналогічна формула має місце для диференційованої функції трьох змінних: u = f(x;y;z)

(6)

Диференціали другого порядку визначають за формулою:

або (7)

Нехай функція двох змінних х та у, кожна з яких, в свою чергу, є функцією незалежної змінної t: x = x(t), y = y(t), тоді функція f(x(t), y(t)) є складеною функцією змінної t.

Теорема. Якщо функція x = x(t) і y = y(t) диференційовані в точці t, а функція диференційована в точці М(х;у), то складена функція z = f(x(t),y(t)) також диференційована в точці t. Похідну цієї функції знаходять за формулою:

(8)

Для знаходження повної похідної використовують формулу:

(9)

Якщо функції та в точці , а функція диференційована в точці , то складена функція диференційована в точці M₁(u; ) і її частинні похідні знаходяться за формулами:

; (10)

для знаходження диференціала складеної функції користуються формулою (10)

(11)

в якій ;

Нехай задано рівняння

F(x,y)=0 (12)

Де F(x,y) - функція двох змінних.

Коли кожному значенню х з деякої множини Д відповідає єдине значення у, яке разом з х задовольняє рівняння (12), то кажуть, що це рівняння задає на множині Д неявну функцію .

Для неявної функції , х Д, заданої рівнянням (12), має місце тотожність:

, х Д

Для знаходження похідної неявної функції однієї змінної використовують формулу:

(13)



Завдання для самоконтролю

1. Що називається функцією двох змінних?

2. Що називається областю визначення функції і який її геометричний зміст?

3. Що собою являє графік функції ?

4. Дати означення функції трьох змінних, n-змінних.

5. Що називається границею функції z = f(M) при М > М₀?

6. Дати означення неперервної функції двох змінних в точці і на множині точок.

7. Що називається замкненою обмеженою областю?

8. Дати означення частинної похідної функції двох змінних по одній з них.

9. Як визначають частинні похідні другого і третього порядку від функції двох змінних?

10. Сформулювати теорему рівність других мішаних похідних.

11. Дати означення диференційованості функції .

12. Дати означення повного диференціала функції двох змінних і вказати формулу для його застосування.

13. Як визначають диференціал n-го порядку?

14. Як знайти похідну складеної функції z = f(x(t),y(t))?

15. Що називається повною похідною?

16. Як знаходиться частинна похідна функції?

17. Як знайти похідну неявної функції?

Размещено на Allbest.ru

...