Диференціальні рівняння

Размещено на http://www.allbest.ru/

“Диференціальні рівняння”



План

Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння з відокремленими змінними

Однорідні диференціальні рівняння

Лінійні диференціальні рівняння

Рівняння, які зводяться до лінійних. Рівняння Бернуллі та Ріккаті

Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник

Завдання для самоконтролю



1. Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівнянням виду F (х,у,у¹) = 0, (1) яке зв'язує незалежну змінну х, невідому функцію у = у (х) та її похідну у¹.

Диференціальне рівняння (1) , не розв'язане відносно похідної у¹ називають наявним диференціальним рівнянням. Якщо рівняння (1) можна розв'язати відносно у¹, то його записують у вигляді

у¹ = f (х, у) (2)

і називають рівнянням першого порядку, розв2язаним відносно похідної, або рівнянням в нормальній формі.

Рівняння (2) можна Записати ще й у такому вигляді:

= а (х; у) або - f (x; y) dx + dy = 0

Помноживши останнє рівняння на деяку функцію Q (x; y) ? 0, дістанемо рівняння першого порядку, записане в диференціальній формі:

Р (x; у) dx ? Q (x; у) dy = 0. (3)

де Р (x; у) і Q (x; у) - відомі функції.

Розв'язком диференціального рівняння (2) на деякому інтервалі

(а; в) називається диференційована на цьому інтервалі функція у = ц (х), яка при підстановці в рівняння (2) обертає його в тотожність по х на (а; в), тобто : диференціальний рівняння бернуллі інтегруючий

х є (а; в) : ц¹ (х) f (х, ц (х))

Графік розв'язку диференціального рівняння називається інтегрованою кривою цього рівняння.

Теорема 1 ( про існування і єдність розв'язку). Нехай функція

f (x; y) і її частинна похідна fу¹(x; y) визначені і неперервні у відкритій області є площини Оху, і точка (х₀; у₀) є Є. Тоді існує єдиний розв'язок

у = ц (х) рівняння (2) , який задовольняє умову у = у₀ при х = х₀, тобто

ц (х₀) = у₀ (4) . Цю теорему називають теоремою Коші і вона дає достатні умови існування єдиного розв'язку рівняння (2) . Геометрично теорема Коші стверджує, що через кожну точку (х₀; у₀) є Є проходить єдина інтегрована крива.

Умову (4) , згідно з якою розв'язку у = ц (х) набуває наперед задане значення у₀ в заданій точці х₀, називають початковою умовою розв'язку і записують так:

ух = х₀ або у (х₀) = у₀ (5)

Задача знаходження розв'язку рівняння (2) , який задовольняє початкову умову (5) , називається задачею Коші.

Розв'язок диференціального рівняння, в кожній точці якого порушується умова єдності, називають особливою інтегральною кривою.

Нехай задано рівняння

Ф (х; у, Є) = 0 (6)

де х; у - змінні декартові координати, а С - параметр. Це рівняння (6) визначає сім'ю кривих, які залежать від одного параметра, або, як часто кажуть, однопараметричну сім'ю кривих.

Лінія 4 називається обвідною однопараметричної сім'ї кривих (6) , якщо вона в кожній точці своїй дотикається до однієї з кривих і якщо в різних точках вона дотикається до різниці кривих (Рис.1)



у

х

LО у=0

Нехай права частина рівняння (2) задовольняє в області Є умови теореми Коші.

Функція у = ц (х; с) , яка залежить від аргументу х, і довільної сталої С, називається загальним розв'язком рівняння (2) в області Є, якщо вона задовольняє такі умови:

функція ц (х; с) є розв'язком рівняння будь - якому значенні сталої с з деякої множини;

для довільної точки (х₀; у₀) є Є можна знайти таке значення с = с₀, що функція у = ц (х, с₀) задовольняє початкову умову:

ц (х₀, с₀) = у₀

Частинним розв'язком рівняння (2) називається функція

у = ц (х; с₀) , яка утворюється із загального розв'язку у = ц (х, с₀), яка утворюється із загального розв'язку у = ц (х, с) при повному значенні сталої с = с₀.

Якщо загальний розв'язок диференціального рівняння знайдемо в неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння Ф (х; у, с) = 0 , то такий розв'язок називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Рівність Ф (х; у, с₀) = 0 у цьому випадку називають частинним інтегралом рівняння розв'язків диференціального рівняння вдається звести обчислення скінченого числа інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операціях, то кажуть, що диференціальне рівняння інтегрується в квадратурах (або зводиться до квадратур).

Зрозуміло, що далеко не всяке диференціальне рівняння, яке інтегрується в квадратурах, має розв'язок, який виражається через елементарні функції. Більше того, дуже часто диференціальне рівняння не можна проінтегрувати не тільки в елементарних функціях, а й у квадратах. Проте існують окремі жили диференціальних рівнянь, для яких це можливо.

2. Диференційовані рівняння з відокремленими змінними

Рівняння виду у¹ = f(x) ц (y) (7) де f(x) і ц (y) - задані і неперервні на деякому інтервалі функції, називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння (7) являє собою добуток двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної.

Щоб розв'язати рівняння (7) , треба відокремити змінні. Для цього замінимо у¹ на , поділимо обидві частини рівняння (7) на (ц (y) ? 0) і помножимо на dx, тоді рівняння (7) матиме вигляд:

= f (x) dx (8)

Диференціальне рівняння (8) , в якому множник при dx є функцією, яка залежить лише від х, множник при dу є функцією, яка залежить яка залежить від у, називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Оскільки рівняння (8) містить тотожно рівні диференціали, то відповідні невизначені інтеграли відрізняються між собою на сталу величину, тобто:

= dx + c

Отже, рівняння (7) розв'язано в квадратурах.

Диференціальне рівняння (7) є окремим випадком рівняння виду

f₁ (x) ц₁ (y) dx + f₂ (x) ц₂ (y) dy = 0 (9)

Для відокремлення змінних у цьому рівнянні досить обидві його частини поділити на функцію ц₁ (y) f₂ (x).

Наприклад:

Розв'язати рівняння

(х + ху²) dx - (y + yx²) dy = 0

x (1 + y²) dx - e (1 + x²) dy = 0

Це рівняння буде з відокремлюваними змінними. Поділимо його на

(1 + y²) (1 + x²) ? 0 і дістанемо рівняння виду:

або

Інтегруючи останнє рівняння, матимемо:

еn (1 + x²) = en (1 + у²) + en с, с ? 0



Потенціюючи, дістанемо загальний інтеграл заданого рівняння:

= с, с ? 0

Приклад 2. Знайти частинний розв'язок рівняння (1+ х²) dy + уdy = 0, який задовольняє початкову умову у (0) = 1

Відокремимо змінні і проінтегруємо дане рівняння. Для цього рівняння поділимо на (1 + х)² у, одержимо:

= 0

= 0

en

Дістанемо загальний розв'язок, тобто загальний інтеграл. Використовуючи початкову умову, знайдемо сталу с:

еn1+, с = 0.

Підставивши знайдену сталу в загальний інтеграл, дістанемо шуканий частинний розв'язок:

en , звідки у = е ^-arctgx

Розглянемо тепер рівняння

у¹ = f (ax + ву + с) (10)



де а, в, с -задані числа, і покажемо, що заміною u = ах + ву + с (11)

рівня (10) зводиться до рівняння з відокремленими змінними.

Справді, диференціюючи рівність (11) по х, дістанемо , тому згідно з (10) маємо рівняння , у якому при а + в f(u) ? 0 відокремлюються змінні:

= dx

Інтегруючи це рівняння і змінюючи u на ах + ву + с, дістанемо загальний інтеграл рівняння (10)

Якщо а + вf (x) = 0, або, що те ж саме, = 0, то, згідно з рівністю (11) , рівняння (10) може мати розв'язки ах + ву + с = с

3. Однорідні диференціальні рівняння

Функція f (x,y) називається однорідною функцією n-го виміру відносно змінних х та у, якщо для довільного числа t ? 0 виконується тотожністю:

F (tx, ty) = tⁿ f (x, y)

Диференціальне рівняння

у¹ = f (x,у) (12)

називається однорідним, якщо функція f(x;y) є однорідною функцією кульового виміру.

Рівняння виду:

P(x;y) dy+Q(x;y) dy=0 (13)

буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції Р (х, у) і Q (х, у) будуть однорідними функціями одного й того самого виміру.

Покажемо, що однорідні рівняння зводяться до рівнянь з відокремленими змінними підставкою:

у = ux (14)

де u - невідома функція: u = u (х)

Якщо функція (14) є розв'язком диференціального рівняння (12)

і , то u + x = f (x, u, x) (15)

За умовою f (x, y) - однорідна функція нульового виміру, тобто f (tx, ty) ? f (x, y). Поклавши в цій тотожності у = ux і • t , дістанемо f (x, ux) =

f (1, u), тому рівняння (15) набирає вигляду:

u + x = f (1, u) (16)

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Якщо f (1, u) - u ? 0 , то, відокремлюючи змінні, дістанемо:

проінтегрувавши, знайдемо:

en + c

Підставимо після інтегрування замість u відношення і дістанемо інтеграл - рівняння (12) . Якщо f (1, u) - u = 0? то рівняння (16) запишеться у вигляді:

х = 0

У цьому випадку рівняння (12) і (13) можуть мати ще розв'язки:

у = сх (с ? 0) та х = 0 (у ? 0).

Приклад:

у² =

Права частина даного рівняння є однорідною функцією нульового виміру, тому що:

f (tx, ty) = = f (x, y)

Отже, диференціальне рівняння є однорідним застосуємо підстановку

у = ux, дістанемо загальний інтеграл даного рівняння:

xu¹ + u = ; xu¹ = - u;



xu¹ = ; x = ;

= ; = ;

- en ; cx = e ;

Розглянемо рівняння, які можна звести до однорідних.

Нехай маємо рівняння виду:

у¹ = f (17)

де а₁, в₁, с₁, а₂, в₂, с₂ - задані сталі

Якщо ? = а₁ в₂ - а₂ в₁ = 0, то підставкою = а₁х + в₁у + с₁ рівняння (17)

Зводяться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Якщо ? ? 0, то можна зробити таку заміну змінних: х = u + б,

у = х + в, що в лінійних функціях зникнуть вільні члени, тобто виконуються рівності:

а_і х + в_і у + с_і = аі u + віх, і = 1,2

Після такої зміни рівняння буде однорідним.

4. Лінійні диференціальні рівняння

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння рівнянням першого порядку називається рівняння виду

у¹ + Р (х) у = f (х) (18)



Є кілька методів інтегрування рівняння (18) . Один з них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв'язок цього рівняння шукають у вигляді добутку

у = u х (19)

де u = u (х), х (х) - невідомі функції х, причому одна з цих функцій довільна.

Знаходячи похідну у¹ = u¹ u + u х¹ і підставляючи значення у та у¹ в рівняння (18) , дістанемо:

u¹х + u (х¹ + р (х) х) = f (x)

Користуючись довільністю у виборі функції х (х), доберемо її так, щоб

х¹ + р (х) х = 0 (20)

тоді u х¹ = f (x) (21)

Розв'яжемо ці рівняння. Відокремлюючи в рівняння (20) змінні та інтегруючи, знайдемо його загальний розв'язок:

en = c₁ e -^sр(x)dx, c₁ ? 0

Візьмемо за х який - набудь частинний розв'язок рівняння (20) , наприклад,

х = e - ^sр(х)dx (22)



Знаючи функцію х, з рівняння (21) знаходимо функцію u:

du = f (x) e ^{sр(x) dx} dx = c (23)

Підставляючи функції (22)і (23) в (19) , знаходимо загальний розв'язок рівняння

у = u х = e - ^{sр(x) dx} (f (x) e ^sр(x)dx dx + c)

Наприклад

Знайти загальний розв'язок рівняння

у¹ +

Це лінійне рівняння виду (18) , в якому

Р(х) = , f (x) =

Нехай у = u х, тоді у¹ = u¹ х + u х¹ . Маємо:

u¹ х + u х¹ + = ;

u¹ х + u (х¹ + ) =

Доберемо функцію х так, щоб х¹ + = 0;

тоді u¹ х = . Інтегруючи перше з цих рівнянь, дістанемо:



en = - en ; х =

Підставимо значення х у друге рівняння, дістанемо:

u¹ = ; du = sin 2 x dx;

u = - + c

Після чого знайдемо загальний розв'язок:

у = u х = (с - сos 2x)

5. Рівняння, які зводяться до лінійних. Рівняння Бернуллі та Ріккажі

Розглянемо класи рівнянь, які за допомогою певних перетворень можна звести до лінійних.

1). Рівняння виду

у¹ = (24)

де Р(у), Q (y), R(у) - задані функції, R(у) ? 0, можна звести до лінійних, якщо х вважати функцією, а у - аргументом: х = х(у); тоді з рівностей (24)

і у¹_х х¹_у = 1 дістанемо лінійне рівняння відносно х:

, де , f (y) =



Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді х = u (у) х(у)

2). Рівняння виду:

f¹_y (y) y¹ + Р(х) f (y) = g (x) (25)

де f, Р, g - задані функції, заміною Z = f (y) зводиться до лінійного відносно змінної Z:

Z¹ + Р(х) Z = g (x) (26)

Справді, якщо Z = f (y), де у = у (х) - невідома функція, то:

¹_у (у) у¹,

тому рівняння (25) набирає вигляду (26)

30. Рівняння Бернуллі називається рівнянням виду:

у¹ + Р (х) у = g (х) у², б Є R , б ? 0; 1 (27)

це рівняння запропонував Яку Бернуллі у 1695 р., а в 1697 р. його брат Йоганн Бернуллі це рівняння розв'язав.

Очевидно, при б = 0 це рівняння буде лінійним, а при б = 1 - з відокремлюваними змінними. Припускаючи у ? 0, б ? 0, б = 1, поділимо рівняння (27) на у², тоді матимемо рівняння (25)

у ^-б у¹ + Р (х) у ^{1 - б} = g (х)

Таким чином, заміною Z = y^{1 - б} рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння. Проте на практиці розв'язок рівняння Бернуллі зручніше шукати методом Бернуллі у вигляді у = u х, не зводячи його до лінійного рівняння. Слід зазначити, що при б > 0, крім розв'язку у = u х ? 0, рівняння Бернуллі має розв'язок у ? 0.

4). Рівняння виду:

у¹ + Р(х)у + g (x) y² = r (x) (28)

де Р(х), g (x), r (x) - задані функції, називається рівнянням Ріккаті.

Якщо Р, g, r - сталі числа, то це рівняння інтегрується відокремленням змінних: = х + с

Коли g (x) = 0, рівняння (28) стає лінійним, а у випадку r (x) = 0 - рівнянням Бернуллі. У загальному випадку рівняння (28) не інтегрується у квадратурах. Проте якщо відомий його один частинний розв'язок у₁ = у₁ (х), то заміною у = у₁ + z рівняння Ріккаті зводиться до рівняння Бернуллі.

6.Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник

Рівняння виду

Р (х, у)dx + Q (x, y) dy = 0 (29)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції u (х, у) тобто

Р (х, у)dx + Q (x, y) dy = du (x, y) =

У цьому випадку загальний інтеграл рівняння (29) має вигляд

u (х, у) = с, де с - довільна стала. Для того щоб рівняння (29) було

рівнянням в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб

(30)

З'ясуємо методику інтегрування рівнянь в повних диференціалах. Якщо для рівняння (29) умови (30) виконується, то невідома функція

u (х, у) задовольняє рівності:

Р (х, у) (31)

= Q (x, y) (32)

Інтегруючи рівність (31) по х, визначимо функцію u (х, у) з тотожністю до довільної диференційованої функції ц (у):

u (x, y) = x, y) (33)

де F (x; y) - первісна функція Р (х; у) по Х.

Диференціюючи рівність (33) по у і враховуючи (32) , дістанемо рівняння для знаходження функції ц (у):

= Q (x; y)

Таким чином, рівняння в повних диференціалах інтегрується досить просто.

У зв'язку з цим виникає питання, чи не можна множенням на певний множник. (х; у) довільне рівняння в диференціальній формі (3) звести до рівняння в нових диференціалах? Виявляється, що за певних умов це можливо.

Функція(х; у) називається інтегральним множником рівняння (29) ,

якщо після домножування на неї цього рівняння воно стає рівнянням у повних диференціалах.



Завдання для самоконтролю

Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

Що називається розв'язком диференціальним рівнянням?

Сформулювати теорему Коші про існування та єдність розв'язку рівняння першого порядку.

Дати означення загального рівняння першого порядку.

Дати означення рівняння з відокремленими змінними.

Який порядок розв'язку рівнянь з відокремленими змінними.

Дати означення і описати інтегрування однорідного рівняння першого порядку.

Дати означення лінійного рівняння першого порядку та викласти метод його інтегрування.

Дати означення рівняння Бернуллі.

Дати означення рівняння Ріккаті.

Що називається рівнянням в повних диференціалах?

Що називається інтегруванням множником?

Размещено на Allbest.ru

...