Елементи комбінаторики та теорії імовірності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Елементи комбінаторики та теорії імовірності



План

1. Метод математичної індукції

2. Елементи комбінаторики

3. Елементи теорії імовірності

4. Основні теореми ймовірностей

5. Повторення випробувань. Формула Бернуллі

Контрольні запитання



1. Метод математичної індукції

В основі математичних досліджень лежать дедуктивний та індуктивний методи.

- Метод міркувань коли вихідним твердженням є загальний висновок, а заключним твердженням - частковий висновок, називається дедуктивним методом. комбінаторика імовірність бейєнс бернуллі

- Метод міркувань, коли дістають загальні висновки ґрунтуючись на ряді часткових тверджень називають і індуктивним (індукція).

- Якщо загальний висновок роблять з розгляду кількох часткових висновків, які не охоплюють всіх можливих випадків., то такий метод міркувань називається методом неповної індукції. Метод неповної математичної індукції можна застосовувати для відкриття нових математичних тверджень (гіпотез), але цей метод не є методом ї х доведення.

- Якщо під час виведення розглянуто всі можливі випадки, то такий метод називається методом повної індукції.

- Основою методу доведення, який називають методом математичної індукції (повної індукції, досконалої індукції), є одна з основних аксіом арифметичних натуральних чисел, яка називається принципом математичної індукції.

Якщо деяке твердження відносно натурального числа n правильне для n=1 і якщо з припущенням, що воно правильне для довільного натурального числа n=k , випливає, що воно правильне і для наступного числа n=k+1, то це твердження правильне для будь-якого натурального числа n.

Методом математичної індукції можна доводити і такі твердження, які правильні, починаючи з деякого натурального числа p>1. При цьому використовується наслідок з принципу математичної індукції.

- Якщо деяке твердження правильне для n=p , і якщо з припущенням , що воно правильне для довільного натурального числа n=k>p , випливає, що воно правильне і для наступного числа n=k+1 , то це твердження правильне і для будь-якого натурального числа np.

2. Елементи комбінаторики

Задачі, в яких визначають всі можливі різні комбінації, складені з скінченого числа елементів за деяким правилом, називається комбінаторним.

- Розділ математики який вивчає їх розв'язання називається комбінаторикою.

Наприклад.

В групі 20 студентів. Скількома способами можуть бути обрані староста і профорг, при умові що кожен учень може бути обраний тільки на одну з посад?

Розвязок. Нехай спочатку обирався староста. Оскільки старостою може бути кожен студент групи то способів обрання буде 20. Тоді профоргом може бути обраний кожен з 19 студентів. Будь-який з 20 способів обрання старости можливо здійснитись разом з будь-яким з 19 способів обрання профоргів. Тому існує 2019=380 способів обрання старости і профорга .

Означення. Усякий встановлений в скінченній множині порядок називається перестановкою його елементів.

Число перестановок з n елементів називають P_n . Воно дорівнює добутку послідовних натуральних чисел від 1 до n включно, тобто

P_n = 123… (n-1)n

Добуток 123… (n-1)n Прийнято позначати n! (n-факторіал) 0!=1, 1!=1, отже рівність буде P_n = n!

Означення. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів, називається впорядкованою.

Означення. Нехай дано скінчену множину , яка складається з 3 n елементів. Усяка її упорядкована m - елементна підмножина (mn) називається розміщенням розміщення з n по m.

Теорема. Число розміщень з n елементів по m елементів рівно добутку m послідовних натуральних чисел від n до n-k+1 включно, тобто

A_n^m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

Якщо помножимо і поділимо добуток правої частини на (n-m)!, одержимо

A_n^m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)!/ (n-m)! = n!/(n-m)!

Якщо m=0, тоді A_n⁰ = n!/(n-0)! = n!/n! = 1. Якщо m=0 i n=0, тоді A₀⁰ = 0!/0! = 1.

Означення. Розміщення з n елементів по n елементів називається перестановкою з n елементів.

P_n = A_nⁿ = n!/(n-n)! = n!/0! = n!

A_n^m+1 = (n-m)A_n^m.

Означення. Нехай дано скінченну множину яка складається з n елементів, усяка її m-елементна підмножина (mn) називається сполученням з n елементів по m. Число сполучень з n елементів по m називається C_n^m (це із n по m).

В загальному випадку число сполучень з n елементів по m елементів визначають за формулою.

C_n^m = A_n^m/ P_m =n!/m!(n-m)!.



Якщо скоротити чисельник і знаменник правої частини на (n-m)!, одержимо:

C_n^m = n(n-1)(n-2)…(n-m+1)/m!.

Крім цих формул, при розв'язуванні задач користуються формулами, що виражають основні властивості сполучень.

1) C_n^m = C_n^n-m; коли 0mn

2) C_n+1^m+1 = C_n^m C_n^m+1; коли mn.

Теорема: Формула Ньютона для степеня бінома.

Формула добутку біномів, які відрізняються тільки другими членами, має вигляд:

(x+a₁) (x+a₂) (x+a₃)… (x+a_n-1) (x+a_n) = xⁿ + S₁X^n-2 + … + Sn-₁X + S_n

деS₁ = a₁+a₂+… +a_n-1+a_n

S₁ = a₁ a₂ +a₁a₃ +… +a_n-2 a_n + a_n-1a_n

S₁ = a₁ a₂ a₃+a₁ a₂ a₄ +… +a_n-1 a_n-2a_n

… … … … … … … … …

S₁ = a₁ a₂ a₃… a_n-1+…+ a₂a₃ a₄ … a_n

S₁ = a₁a₂a₃ … a_n-1a_n

Теорема. Для довільних чисел а і b довільного натурального числа n справедлива формула.

(a+b)ⁿ = c_n⁰ aⁿ+ c_n¹a^n-1b +…+ c_n^ka^n-kb^k +…+ c_nⁿbⁿ

або

(a+b)ⁿ =_k=0ⁿ c_n^ka^n-kb^k



Доведення:

Якщо n=1, тоді формула матиме вигляд (a+b)¹ = c⁰a + c₁¹ b і так, як c₁⁰ = =c₁¹ = 1 , тоді вона вірна.

Нехай, що ця формула вірна і для тобто,

(a+b)^m =_k=0^m c_m^ka^m-kb^k

тоді (a+b)^m+1 =(a+b)_k=0^m c_m^ka^m-kb^k = _k=0^m c_m^ka^m-k+1b^k + =_k=0^m c_m^ka^m-kb^k+1 = c_m⁰a^m+1 + _k=1^mc_m^ka^m-k+1b^k + _k=1^mc_m^k-1a^m-k+1b^k + c_m^mb^m+1 = c_m⁰a^m+1 + _k=1^m(c_m^k-1 + c_m^k) a^m-k+1b^k + c_m^mb^m+1.

Враховуючи, що

c_m⁰=c_m+1⁰; c_m^k+c_m^k+1 = c_m+1^k; c_m^m = c_m+1^m+1

одержимо:

(a+b)^m+1 = _k=0^m+1 c_m+1^ka^m-k+1b^k.

Таким чином, з справедливості формули для n=m слідує і справедливість для n=m+1, так так як формула вірна і при n=1, то на основі принципу математичної індукції її справедливість встановлена для всіх натуральних значеннях n.

Формула:

(a+b)ⁿ = c_n⁰ aⁿ+ c_n¹a^n-1b +…+ c_n^ka^n-kb^k +…+ c_nⁿbⁿ

носить ім'я англійського фізика і математика Ньютона.

Права її частина називається розкладом натурального степеня бінома.

Коефіцієнт c_n^k називається біноміальним коефіцієнтом.

З формули Ньютона випливають основні наслідки:

1) Розклад n-го степеня має (n+1) додаток.

2) Розклад бінома - це однорідний многочлен відносно a i b , тобто всі додатки розкладу мають один і той самий степінь n відносно a i b . При цьому показники a поступово спадають від n до 0 , а показники b послідовно зростають від 0 до n.

3) Коефіцієнти розкладу складають за таким законом:

c_n⁰=1; c_n¹; c_n²; c_n³…

Тобто коефіцієнти (k-1)- го члена дорівнює c_n^k.

4) Загальний член розкладу обчислюють за формулою

T_k+1 = c_n^ka^n-kb^k = n(n-1)…[n-(1-k)]/123…k a^n-kb^k

5) Біномні коефіцієнти, рівновіддалені від кінців розкладу, рівні між собою.

6) - Якщо показник степеня бінома парний, то біном середнього доданка розкладу найбільший;

- Якщо показник степеня непарний, то в розкладі є два середні доданки з однаковими найбільшими коефіцієнтом.

7) Сума всіх біномних коефіцієнтів дорівнює 2ⁿ, де n показник бінома.

8) Сума біномних коефіцієнтів, які стоять на парних місцях, дорівнюють сумі коефіцієнтів, які стоять на парних місцях, дорівнюють сумі коефіцієнтів, які стоять на непарних місцях.

Для швидкості обчислення біномних коефіцієнтів користуються трикутником Паскаля:



1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Формула C_n+1^m+1 = C_n^m C_n^m+1 (mn) дає можливість послідовно знаходити числа C_n^m

Нехай n=1 i m=1, тоді

C₂¹=C₁¹+C₁⁰=2

n=1 i m=0

C₃¹=C₂¹+C₂⁰=2+1=3

n=2 i m=1

C₃²=C₂²+C₂¹=2+1=3

Якщо n=3 i m=0;1;2, одержимо

C₄¹=C₃¹+C₃⁰=3+1=4

C₄²=C₃²+C₃¹=3+3=6

C₄³=C₃³+C₃²=1+3=4

Числа C_n^m розмістяться у вигляді трикутника.

Визначаючи C_n^m одержимо трикутник який називається трикутником Паскаля.

3. Елементи теорії імовірності

1. Поняття про випадкову подію та операцію над ними.

2.Означення імовірності та підрахунок її.

1) Вивчення кожного явища в порядку спостереження або проведення досліду

пов'язаного з виконанням деякого комплексу умов. Усякий результат або наслідок випробування називається подією.

Якщо подія при поданих умовах може відбутися або не відбутися, то вона називається випадковою.

Коли подія обов'язково має відбутися, її називають вірогідною, а тоді, коливона напевне не може відбутися - неможливою.

Події називаються несумісними, якщо кожного разу може відбутися тільки одна з них.

Події називаються сумісними, якщо за даних умов поява однієї з цих подій не виключає появу іншої при тому самому випробуванні.

Події називаються протилежними, якщо в умовах випробування вони, будучи єдиними його наслідками, несумісні.

Число M появ деякої події A при N випробуваннях називають частотою (абсолютною частотою) а відношення M/N - частістю (відносною частотою),

тобто

W (A) =M/N

Наприклад: Французький вчений Буфон, вивчаючи випадкові події, провів дослід з підкиданням монети 4040 раз. Герб випав в 2048 випадках.

Отже, частота події „випадання герба” рівна в цьому експерименті

2048/4040 0,5070,5

Імовірність події розглядається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

Ймовірністю P(A) події A , зв'язаного з дослідом із рівновірними вихідними, називається відношення числа вихідних, що підтверджує подію A до числа всіх вихідних.

P(A) = k/n

n- число всіх вихідних

к-число вихідних, що підтверджують подію А.

Р(А) - ймовірність події

Класичне означення ймовірності

Означення: Ймовірністю події А називається відношення числа наслідків К, які сприяють настанню даної події А до числа n усіх наслідків (несумісних, єдино можливих і рівно можливих).

Р(А) = k/n

Статистичне означення ймовірності.

Означення: За ймовірність появи події беруть сталу величину, біля якої групуються спостережувані значення частоти.

Ймовірність будь-якої події не може бути менша від нуля і більша за одиницю, тобто

ОР(А)1

Неможливій події відповідає ймовірність Р(А) = 0,а вірогідній - ймовірність Р(А) = 1.

Наприклад: В урні 3 білих і 4 чорних шарики. З урни навмання виймають один шарик. Яка ймовірність того, що вийнятий шарик буде чорним

Р(А) = k/n = 9/12 = 3/4

4. Основні теореми ймовірностей

1.Теореми додавання ймовірностей.

2.Теореми множення ймовірностей

3.Формула нової ймовірності. Формула Бейєса.

1 Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р (A+B) = Р(А) + Р(В)

Р(А₁+ А₂ ...+А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) +…+Р(А_n).

Доведення:

Нехай n - загальне число рівносильних несумісних елементарних подій випробування, в результаті якого можна знайти одно із подій А або В,

m_a - число елементарних подій. які сприяють події В, тоді, так як події А і

В не сумісні, маємо

Р(А + В) = m_a+m_b/n = m_a/n+m_b/n = Р(А) + Р(В)

що і треба було довести.

З цієї теореми слідують наслідки:

1. Ймовірність суми декількох несумісних подій А₁, А₂...А_n - рівно сумі імовірностей цих подій.

Р (А₁+А₂ +…+ А_n) = Р(А₁)+Р(А₂) +…+ Р(А_n)

2.Якщо події А₁, А₂...А_n не сумісні і утворюють нову групу, то сума цих імовірностей рівна одиниці.

Р(А₁)+Р(А₂) +....+ Р(А_n) =1

3.Сума імовірностей протилежних подій рівна одиниці.

Р(А) + Р(А) = 1

бо протилежні події утворюють одну групу.

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Імовірність появи хоч би однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Доведення

Нехай m - число рівно можливих елементарних подій, що сприяють події А

к - число рівно можливих елементарних подій, що сприяють події В.

Припустимо, що серед (m + к) елементарних подій міститься е таких, які сприяють як події А, так і події В.

Тоді, якщо n - загальне число рівно можливих елементарних подій буде



Р(А) = m/n; P(B) = k/n; P(AB) = e/n

Так як події А+ В містяться в тому, що відбулася подія А або В, або ж разом А і В, то йому сприяють (m + к - е) елементарних подій, тому

Р(А + В) = m+k-e/n = m/n+ k/n-e/n або Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А В),

що й треба було довести.

Для трьох сумісних подій справджується формула:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)

2.Події А₁В₁С₁.... називаються незалежними в сукупності, якщо ймовірність кожної з них не змінюється в зв'язку з настанням інших подій окремо або в будь-якій їх комбінації.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій:

Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює Р добутку ймовірностей цих подій.

Р(АВ)=Р(А) Р(В).

Доведення.

Нехай n₁ - число рівно можливих елементарних подій випробування, в результаті якого подія В може бути, або може не бути.

m₁ - число елементарних подій, що сприяють події А(m₁ n₁)

n₂ - число рівноможливих елементарних подій випробування, в результаті якого може відбутися подія В.

m₂ - число елементарних подій, що сприяють події В(m₂n₂).

Загальне число елементарних подій АВ - рівно n₁ n₂

Так як події А і В незалежні, то число елементарних подій, що сприяють події АВ рівна m₁m₂

Тому Р(АВ)=m₁m₂/n₁n₂=m₁/n₁m₂/m₂=Р(А) Р(В) що і треба було довести.

Ймовірність появи кількох подій, незалежних у сукупності, обчислюються

Р(А₁А₂...А_n)=Р(А₁) Р(А₂)....Р(А_n).

Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Імовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку однієї з них на умовну ймовірність другої.

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А).

Якщо є n довільних полій А₁А₂...А_n то

Р(А₁А₂...А_n)=Р(А₁) Р_А2(А₁) Р_А3(А₁А₂)_Х

х...хР_Аn(А₁А₂...А_n-1).

3.Нехай події В₁, В₂...В_n утворюють повну групу подій і при настанні кожної з них, наприклад В_і, подія А може настати з деякою умовною ймовірністю Р_ВІ(А).

Тоді ймовірність настання події А дорівнює сумі добутків імовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А.

P(A)=P(B₁) P_B1(A)+P(B₂) P_B2(A)+…+P(B_n) P_Bn(A).

де P(B₁)+ P(B₂) +…+P(B_n)=1.



Це і є формула повної ймовірності або

P(A)=_i=1ⁿ P(B_і)_VР(В_і) Р(В_і).

Доведення

Так як подія А може виникнути тільки з однією подією з В₁, В₂....В_n, що утворюють повну групу, то

А=АВ₁+АВ₂+...+АВ_n

З несумісності подій В₁, В₂...В_n слідує несумісність подій АВ₁;АВ₂;...АВ_n,тому

Р(А)=Р(АВ₁)+Р(АВ₂)+...+Р(АВ_n)

Примінивши до кожного доданку рівності правило множення імовірностей, одержуємо:

Р(АВ_і)=П(В_і) Р_А(В_і), одержимо дану формулу

Р(А)= _і=1ⁿ Р(В_і) Р_А(В_і).

Нехай подія А може настати лише за умови появи однієї з несумісних подій В₁,В₂,В₃...В_n, які утворюють повну групу подій. Якщо подія А вже відбулася то ймовірність гіпотези можуть бути переоцінені за формулою Бейєса (формулою ймовірності гіпотез)

Р_А(В_і)=Р(В_і) Р_Ві(А)/Р(А).

де Р_А(В_і) - ймовірність кожної з гіпотез після випробування, в результаті якого настала подія А.

Р_Ві(А) -умовна ймовірність події А після настання події В_і.

Р(А) знаходять за формулою повної ймовірності.

5. Повторення випробувань. Формула Бернуллі

1) Випадкові величини. Закон розподілу.

2) Математичне чекання.

3) Дисперсія випадкової величини.

4) Закон великих чисел.

Повторення випробувань, Формула Бернуллі.

Випробування при яких імовірність появи події A в кожному випробуванні не залежить від наслідків інших випробувань, називається незалежними випробуваннями події A.

Нехай проводиться (n) незалежних випробувань в кожному з яких імовірність того, що відбудеться подія A, рівна p, а звідси і імовірність того що вона не відбудеться, рівна q = 1-p/

Потрібно знайти імовірність того що при (n) повторних випробуваннях подія A пройде (m) разів.

Шукану імовірність позначимо через P_m,n. Подія A відбудеться при кожному з (m) перших випробувань і не проходить при останніх n-m випробувань, це можна записати у вигляді

(AA…A) - m (BB…B) - n-m

Так як всі випробування, за умовою незалежні, то можна примінити правило обчислення ймовірності добутку незалежних подій, тобто

P(AA…BB…B) = p^mq^n-m .



Подія A може відбутися (m) раз при (n) випробуваннях, але при цьому можливе одержання і іншої послідовності чергування події A i B₁ , але чи кожний раз одержимо одну і ту імовірність p^mq^n-m .

Очевидно, що число чергувань події A i B₁ рівно числу комбінацій C_n^m, тому по теоремі додавання імовірностей для несумісних подій шукана імовірність обчислюватиметься за формулою:

P_m,n = C_n^m p^mq^n-m Формула Бернуллі.

Цю формулу можна записати в такому вигляді:

P_m,n = n!/m!(n-m)! p^mq^n-m

Наприклад. Імовірність влучення в ціль з одного пострілу становить 0,8. Знайти імовірність семи влучень при 10 пострілах.

Розв'язання:

n=10; m=7; p=0,8; q=0,2

P_m,n = n!/m!(n-m)! p^mq^n-m = 10!/7!(10-7)!(0,8)⁷(0,2)^10-7 = 0,2.

1.Випадкова величина називається змінна X, яка в результаті випробувань може прийняти одно і тільки одно значення, яке не відоме наперед і залежить від результатів випробувань.

Наприклад. Число народжених хлопчиків з 100 новонароджених є випадкова величина X, можливими значеннями якої можуть бути 1,2,3...100.

Величина X називається дискретною випадковою величиною, якщо множина її можливих значень представляє собою скінченну або безскінченну послідовність чисел x₁,x₂…x_n і якщо кожне співвідношення x=x_i (тобто величина X приймає значення x_i) (при = 1,2...) являється елементарною випадковою подією і має певну ймовірність

Р_і=Р(Х=Х_і).

Законом розподілу дискретної випадкової величини Х називається відповідність між можливими значеннями Х_і і їх імовірностями Р_і.

Даний закон можна представити у вигляді таблиці, аналітично або графічно.

Якщо випадкова величина Х може приймати лише кінцеві числа різних значень Х₁,Х₂...Х_n, то елементарні події Х=Х₁; Х=Х₂; Х=Х_n утворюють повну групу і тому сума їх імовірностей рівна одиниці, тобто

Р₁+Р₂+...+Р_n=1.

Таблично даний закон зображується так

X	X1	X2	…	Xi	…	Xn
P	P1	P2	…	Pi	…	Pn

2. Математичне чекання М(Х) дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх її можливих значень Х_і на їх імовірність Р_і

М(Х)=Х₁Р₁+Х₂Р₂+...+Х_nР_n

Математичне чекання має такі властивості.

1).Математичне чекання постійної величини С рівне самій постійній -

М(С)=С

2).Математичне чекання суми випадкових величин рівно сумі математичних чекань доданків.



М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3).Математичне чекання добутку незалежних випадкових величин рівне добутку математичних чекань цих величин

М(ХУ)=М(Х)_*М(У)

4).Постійний множник можна виносити за знак математичного чекання

М(СХ)=С_*М(Х)

3.Основною числовою характеристикою розсіяння можливих значень випадкової величини Х являється дисперсія D(Х).

Дисперсією випадкової величини називається математичне чекання квадрату відхилення випадкової величини від його математичного чекання.

Дисперсія визначається за формулою.

D(Х)=М(Х-М(Х))²=М(Х²)-М²(Х)

q= (D(Х))^1/2 називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х.

D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=n²p²-np²+np-n²p²=np(1-p)

Наприклад: Дискретна випадкова величина розподілена по закону

X	-1	0	1	2
P	0,2	0,1	0,3	0,4



Знайти D(X)

М(Х)=10,2+00,1+10,3+20,4=0,9

М(Х²)=10,2+00,1+10,3+40,4=2,1

D(Х)=М(Х²)-М²(Х)=2,1-0,81=1,29

4.Закон великих чисел.

Основна особливість випадкової величини буде в тому, що не можна передбачити, яке з можливих значень вона прийме в результаті випробувань.

Але при досить великому числі випробувань сумарна поведінка випадкових величин майже втрачає випадковий характер і становиться закономірним. Важливим при цьому являється знання умов виникнення закономірностей випадкової величини. Ці умови складають зміст ряду теорем, одержавши загальну назву закону великих чисел.

Вперше цей закон був сформульований Яковом Бернуллі у вигляді теореми, що встановлює зв'язок між ймовірністю випадковою подією і його відносною частотою.

Теорема Бернуллі. З імовірністю, як завгодно близької до одиниці, можна твердити, що при досить великому числі незалежних випробувань відносна частота випадкової подія як завгодно мало відрізняється від його імовірності при окремому випробуванні.

Теорема Чебишева. Якщо Х₁,Х₂...Х _n - незалежні випадкові величини, причому дисперсії їх рівномірно обмежені (не перевищують постійного числа С), то послідовність

{Х_n-М(Х_n)} сходиться по імовірності до нуля при n тобто

{Х_n-М(Х_n)} 0



Суть даної теореми в тому, що середнє арифметичне достатньо великого числа незалежних випадкових величин з рівномірно обмеженими дисперсіями втрачають характер випадково величини.



Контрольні запитання

1. Розповісти про випадкову подію та можливі операції над ними операцію над ними.

2. Що таке імовірність та як вона обчислюється.

3. Назвати основні теореми ймовірностей.

4. Теореми додавання ймовірностей.

5. Теореми множення ймовірностей

6. Формула нової ймовірності. Формула Бейєса та її застосування.

7. Випадкові величини. Закон розподілу.

8. Математичне чекання.

9. Дисперсія випадкової величини.

10. Закон великих чисел.

Размещено на Allbest.ru

...