Комплексні числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Комплексні числа»

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв'язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від'ємних чисел.

Але чисел, які при піднесенні до квадрата дають від'ємні числа, тоді не знали і тому вважали, що квадратні корені у від'ємних чисел не існують. Зокрема, так було під час розв'язку квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом, наприклад: х- 4х + 10 = 0. х = 2 ±

Тому природно постало питання про розширення множини дійсних чисел, приєднанням до неї нових так, щоб у розширеній множині, крім чотирьох дій (додавання, віднімання, множення і ділення), можна було виконувати дію добування кореня. Це питання було успішно розв'язане у ХІХ столітті.

Відповідно до прийнятих у математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1. Означення нових чисел мусять спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2. Для нових чисел повинні використовуватися п'ять законів прямих арифметичних дій;

3. У новій числовій множині мусять мати розв'язок рівняння х = -1.

Оскільки існує вимога. Щоб у новій числовій множині рівняння х= 1 мало розв'язок, необхідно ввести деяке нове число, вважаючи його розв'язком цього рівняння. Позначимо його символом “ і „ . Отже, для числа “ і „ справедлива рівність і+ 1 = 0 або, і = -1. Цю одиницю “ і „ називають уявною.

Далі потрібно поповнити множину дійсних чисел новими числами „ ві “ , їх називають уявними, і вважають добутками дійсних чисел “ в „ на число “ і „ .Уявна одиниця дозволяє ввести числа нового виду, які називають комплексними. Нова множина чисел повинна містити всі числа виду а + ві , де а і в - довільні дійсні числа , а і - уявна одиниця, називають комплексними. Слово «комплексний» означає складений. Число а називають дійсною частиною комплексного числа а + ві, а вираз ві - уявною. Число в називають коефіцієнтом при уявній частині.

Комплекс6ними числами називають вирази виду а + ві, для яких поняття рівності та операції додавання і множення вводяться так :

- два комплексні числа а + ві та а+ ві рівні тоді і тільки тоді, коли а=а та

в= в. Комплексні числа часто позначають однією літерою Ж або щ. Тоді комплексне число записуватиметься Ж= а + ві. Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не визначено. Комплексне число Ж = о + іоназивають нулем і позначається «о», комплексне число Ж = а + іо ототожнюється з дійсним числом а ; комплексне число Ж = о + ів називають чисто уявним і позначають ів. Число «о» є єдиним числом, яке одночасно є дійсним і чисто уявне.

Комплексні числа а + ві та а - ві називаються спряженими назначаються Ж та

Множину комплексних чисел прийнято позначати буквою С. Запис комплексного числа у вигляді Ж = а + ві називається алгебраїчною формою комплексного числа.

Додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі виконують за правилами відповідних дій над многочленами.

Сумою двох комплексних чисел Ж = а+ ві та Ж = а+ ві називається комплексне число Ж + Ж= (а+ ві) + (а+ ві) = а+ а+ (в+в)і

Різницею двох комплексних чисел Ж= а+ ві та Ж= а+ві називається комплексне число Ж- Ж= (а+ ві) - (а+ ві)=(а-а)+(в-в)і.

Добутком двох комплексних чисел Ж = а+ ві та Ж = а+ ві називається комплексне число Ж• Ж = (а а- в в) + (а в+ а в)і.

Частка двох комплексних чисел Ж = а+ ві та Ж = а+ ві , за умови, що дільник відмінний від нуля, завжди існує і називається комплексне число

=

Дії з комплексними числами мають такі властивості :

ь Комутативність додавання : Ж + Ж = Ж + Ж

ь Асоціативність додавання: (Ж + Ж) + Ж = (Ж + Ж)

ь Для будь-яких комплексних чисел Ж та Ж існує таке комплексне число Ж, що Ж + Ж = Ж

ь Комутативність множення: Ж Ж= Ж Ж

ь Асоціативність множення: (Ж Ж) Ж= (Ж Ж)

ь Для будь-яких комплексних чисел Ж0 +0і та Ж, що Ж• Ж= Ж , тобто Ж=. Ділення на комплексне число 0+0і, яке називається нулем, неможливе.

ь Дистрибутивність: Ж(Ж + Ж) = Ж Ж+ Ж Ж

Піднесення комплексного числа до степеня здійснюється згідно формул піднесення до степеня. При цьому слід враховувати, що і=1; і=-1; і= і, тобто і= і= •і, де

к = 0,1,2,3.

Кожному комплексному числу Ж = а + ві поставити у відповідність впорядковану пару дійсних чисел (а ; в) і навпаки. Така впорядкована пара дійсних чисел визначає точку або вектор на площині. Звідси виходить, що комплексне число Ж= а + ві зображається координатній площині точкою М(а;в) або вектором, початок якого співпадає з початком координат, а кінець з точкою М

Сама координатна площина називається при цьому комплексною площиною, вісь абсцис - дійсною віссю, вісь ординат - уявною віссю.

в Z(a,b)

0 а х

Представлення комплексного числа як вектора на площині дозволяє ввести поняття модуля та аргументу комплексного числа. Модулем комплексного числа називають довжину вектора, що відповідає даному числу і позначають буквою ч.

Аргументом комплексного числа (Ж0) називають величину кута між додатнім напрямком дійсної осі і вектора, що відповідає даному комплексному числу.

(Рисунок 2)

у

в Ж(а;в)

а х

На рисунку 2 показано модуль (ч) та аргумент () комплексного числа Ж= а + ві .

Щоб визначити величину модуля потрібно використати теорему Піфагора і отримаємо ч =

Аргумент легко визначити, якщо комплексне число розміщено в І чверті (Рисунок 2)

Згідно з тригонометричним співвідношенням в прямокутному трикутнику маємо:

=; =

Якщо комплексні числа розміщені в ІІ чверті, то аргумент визначається за формулою:

;

Якщо в ІІІ чверті - то за формулою: ;

Якщо в ІV чверті, то за формулою: або

Аргумент можна ще визначати через: та

Розглядаючи рисунок 2 видно, що з тригонометричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику числа (а) і (в) можна використати через (r) та () таким чином. ; . Підставивши значення а і в в алгебраїчну форму комплексного числа, одержимо: .

Даний запис називається тригонометричною формулою комплексного числа. Звідси виходить, щоб перейти від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної, достатньо знайти його модуль та аргумент.

В тригонометричній формі запису комплексних чисел виконують дії множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня п-ого степеня.

Нехай дано Ж = та Ж = , тоді

; Ж Ж= .

Для піднесення до степеня комплексного числа маємо:

Отримана формула називається формулою Муавра.

Для добування кореня п-ого степеня з комплексного числа використовують формулу:

де - арифметичний корінь, к=0,1,2…

V Розглядаючи функцію для комплексного числа, відомий математик Л.Ейлер встановив співвідношення . Ця формула одержала назву ФОРМУЛА ЕЙЛЕРА.

З даної формули слідує, що кожне комплексне число Ж0 можна записати у вигляді , який називають показниковою формулою запису. Над комплексними числами в показниковій формі виконують слідуючі дії:

Якщо та , то

, де =0,1,….

Завдання для самоконтролю

комплексний число геометричний алгебраїчний

1. Що собою представляють комплексні числа?

2. Як можна геометрично інтерпретувати комплексні числа?

3. Дати означення модуля комплексного числа

4. Що таке аргумент комплексного числа?

5. Як подати комплексне число в алгебраїчній формі його запису?

6. Які дії можна виконувати з комплексними числами записаними в алгебраїчній формі? Які формули для їх використовуються?

7. Як подати комплексне число виду Ж = а + ві в тригонометричній формі?

8. Як перейти від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної?

9. Показати за якими формулами виконуються основні дії з комплексними числами, записаними в тригонометричній формі?

10. Що собою представляють комплексні числа, записані в показниковій формі?

11. Знайти аргумент та модуль комплексних чисел: ; ; ;

12. Записати комплексні числа в тригонометричній формі їх запису: ; ;

13. Представити комплексні числа в алгебраїчній формі їх запису: ; ; ;

14. Записати комплексні числа в показниковій формі: ; ; ; ;

15. Записати комплексні числа в алгебраїчній та тригонометричній формі: ; ; ;

Размещено на Allbest.ru