Размещено на http://www.allbest.ru/

“Криві другого порядку”



Поняття про лінії другого порядку

Раніше було досліджено загальне рівняння першого порядку з двома змінними, тобто рівняння виду:, де (1)

і було встановлено, що множиною всіх точок площини, координати яких і задовольняють рівняння =1= , є пряма. Лінія другого порядку - це множина точок, координати яких задовольняють рівняння виду

(2)

в якому коефіцієнти - дійсні числа, причому хоча б одне з них відмінне від нуля, тобто .

Виникає питання, що являє собою множина точок площини, координати яких задовольняють рівняння (2). Інакше кажучи, які множини точок площини можна задавати цим рівнянням?

Щоб відповісти на це питання, яке геометричне місце точок визначається рівнянням (2), треба підібрати таку систему координат, в якій це рівняння скоротилось би.

Відомо, що для всякої лінії другого порядку існує прямокутна система координат (її називають канонічною), в якій рівняння (2) має найпростіший або канонічний вигляд. Лінії другого порядку називають також канонічними перерізами через те, що можна дістати як лінії перетину кругового конуса з площиною.

Існує вісім типів ліній другого порядку, які представляються множиною точок, а саме:

1). Позначимо в рівнянні (2) дістанемо

. Отже, рівняння (2) може бути рівнянням еліпса.



2). Позначимо в рівнянні (2) одержимо

. Отже, рівняння (2) може бути рівнянням гіперболи.

3). Якщо в рівнянні (2) то дістанемо: .

Отже, рівняння (2) може бути рівнянням параболи.

4). Якщо в рівнянні (2) то воно набере вигляду

Оскільки то це рівняння є рівнянням двох прямих та Отже, рівняння (2) задає пару прямих, що перетинаються.

5). Візьмемо в рівнянні (2) дістанемо тобто рівняння двох прямих і . Отже, рівняння (2) може бути рівнянням двох паралельних прямих.

6). Нехай в рівнянні (2) тоді . Це рівняння вважають рівнянням пари збіжних прямих.

7). Якщо в рівнянні (2) тоді Це рівняння задовольняють координатами тільки однієї точки площини, а саме точки (0;0). Звідси маємо, що рівняння (2) може задавати точку.

8). Поклавши в рівняння (2) тоді . Це рівняння не задовольняють координати жодної точки площини. І якщо буде теж саме. Отже, це рівняння (2) є рівнянням порожнини.

Як було сказано, що лінії другого порядку утворюються внаслідок перетину кругового конуса з площиною.

Так, коло утворюється як після перетину площини, яка перпендикулярна до осі конуса і не проходить через його вершину;

- Еліпс - лінія перетину площини, яка перетинає всі твірні конуса, не перпендикулярна до осі конуса і не проходить через його вершину.

- Якщо перетнути двопорожнинний конус площиною, паралельною двом твірним, дістанемо гіперболу, а одній твірній - параболу.

Ці криві мають велике значення для космонавтики, астрономії, механіки, архітектури. Вони були відомі ще стародавнім грекам. Грецькі математики не знали ні методу координат, ні рівнянь, проте їм були добре відомі всі властивості гіперболи і параболи. Вони вже їх розглядали як плоскі перерізи конічної поверхні. З тих часів еліпс, гіпербола і парабола називаються канонічними перерізами. Є у еліпса, гіперболи і параболи також і друга спільна назва - криві другого порядку.

Протягом історії розвитку науки і техніки криві другого порядку привертали до себе увагу багатьох дослідників і вчених. Це пояснюється тим, що еліпс, гіпербола і парабола дуже часто зустрічаються в навколишньому середовищі і людській діяльності.

Наприклад, камінь або снаряд, випущений під гострим кутом до горизонту, летить по кривій, близькій до параболи. Як складову частину різноманітних протекторів і антен використовують так звані „параболічні дзеркала”. На виробництві в деяких механізмах застосовують „еліптичні зубчатки”. Часто дві величини бувають пов'язані між собою обернено пропорційною залежністю. Графіком такої залежності є гіпербола. Особливо великого наукового значення криві другого порядку набули після відкриттів німецького астронома Йогана Кеплера (1571-1630) і англійського фізика і математика Ісаака Ньютона (1643-1727). Кеплер, спостерігаючи за видимим переміщенням планет на небесній сфері, відкрив три закони, один з яких встановлює, що кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Ньютон не тільки теоретично обґрунтував закони руху планет, а й довів, що кожне тіло під дією притягання другого тіла може рухатися тільки або по еліпсу, або по параболі, або по гіперболі. Зокрема, по цих кривих відбувається рух всіх комет Сонячної системи.

Тепер, коли навколо Землі рухаються по еліптичних орбітах тисячі штучних супутників, коли на Місяць, Венеру, Марс відправлено десятки космічних станцій, криві другого порядку використовуються ще більш інтенсивніше, ніж раніше.

Коло та його рівняння

Колом називається множина точок площини, відстані яких від заданої точки (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу кола).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Візьмемо прямокутну систему координат . Позначимо точку - центр кола, через - довільну точку площини і через - радіус кола. Точка лежить на колі тоді і тільки тоді, коли , або . (1)

Рівняння (1) є рівнянням кола, але зручніше користуватися рівнянням, яке дістанемо після піднесення до степеня обох його частин до квадрата, тобто: . (2)

Оскільки рівняння (2) випливає з рівняння (1), то координати всякої точки, які задовольняють рівняння (1), задовольнятимуть також рівняння (2).

Якщо центр кола міститься в початку координат, то і рівняння (2) набере вигляду: . (3)

Рівняння =3= називається канонічним рівнянням кола. Якщо в рівнянні розкрити дужки, то дістанемо загальне рівняння кола (4)

(4)

де

Рівняння кола має такі властивості

1. Коефіцієнти при і рівні між собою.

2. У рівнянні відсутній член з добутком .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай в прямокутній системі координат задано коло . Розглянемо його довільну точку , як показано на рис. 2. Нехай радіус-вектор точки утворює кут величини з додатнім напрямом осі , тоді абсциса і ордината точки змінюється залежно від . Виражаючи через координати точки та , знайдемо . (5)

Рівняння (5) називається параметричним рівнянням кола з центром у початку координат.



Еліпс та його рівняння

Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума відстаней яких від двох даних точок цієї площини, які називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами.

Візьмемо на площині дві точки і - фокуси еліпса і розмістимо прямокутну систему координат так, щоб вісь проходила через фокуси, а початок координат ділив відрізок навпіл, покажемо на рисунку 3.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Позначимо відстань між фокусами, яку називають фокальною, через ; тобто =, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів - через . Тоді фокуси мають такі координати: За означенням >, тобто >. Нехай - довільна точка площини. Ця точка лежить на еліпсі тоді, коли або . (6)

Це і буде рівнянням еліпса. Але ж його можна спростити. Перенесемо один радикал у праву частину, піднесемо обидві частини до квадрата і подібні члени і матимемо: Позбудемося в цьому рівнянні радикала, піднісши обидві рівняння до квадрата, потім спростивши вираз, дістанемо:

Оскільки >, то >0, тому можна позначити: (7), тоді рівняння (6) набуде вигляду: . В цьому рівнянні поділимо його кожний елемент на і одержимо: . (8)

Одержали спрощене канонічне рівняння еліпса.

Властивості еліпса

1. Рівняння (8) містить змінні та лише у парних степенях, тому, якщо точка належить еліпсу, то йому також належать точки; ;. Тому еліпс симетричний відносно осей та , а також відносно точки (0;0), яку називають центром еліпса.

Отже, для встановлення форми еліпса достатньо дослідити ту його частину, яка розміщена в одному координатному куті.

2. В першому координатному куті ?0, ?0, тому з рівності (8) маємо . (9)

Звідси випливає, що точки та належать еліпсу, причому, якщо збільшується до , то зменшується від до . Крім того, не існує точок еліпса, у яких >, бо вираз (9) при > немає змісту.

Таким чином, частина еліпса, розміщена в першому координатному куті, має форму дуги . Відобразивши цю дугу симетрично відносно осей та дістанемо увесь еліпс. Він вміщається в прямокутник із сторонами і . Сторони прямокутника дотикаються до еліпса в точках перетину його з осями і . Це можна показати на рисунку 4.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Еліпс перетинає осі координат, як показано на рисунку, в точках Ці точки називаються вершинами еліпса. Величини та називаються відповідно великою та малою осями еліпса.

3. .Якщо , то рівняння (8) набирає вигляду , тобто дістанемо рівняння кола. Міра відхилення еліпса від кола характеризується величиною , яка називається ексцентриситетом еліпса і дорівнює відношенню половини його фокальної відстані до довжини більшої півосі: (10) причому ?<1, оскільки ?<.

З формул (7) та (10) дістанемо: . (11)

4. Нехай - довільна точка еліпса з фокусами і (Рис. 5). Відстані і називаються фокальними радіусами точки . Очевидно . Прямі (12) називаються директрисами еліпса.

Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки від відповідних директрис є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса, тобто . (13)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Еліпс може бути заданий параметричними рівняннями: ? < 2. (14)

Гіпербола та її рівняння

Гіперболою називається множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней яких від двох даних точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина стала і менша відстані між фокусами.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай і - фокуси гіперболи (Рис. 6), відстань між ними - , а модуль різниці відстаней від довільної точки гіперболи до фокусів - . За означенням<. Вісь проходить через фокуси і початок координат ділить відрізок навпіл. Точка площини лежить на гіперболі тоді і лише тоді, коли або Виконавши всі перетворення даного рівняння, що і при дослідженні еліпса, дістанемо канонічне рівняння гіперболи:

(15); (16)

Властивості гіперболи.

1). Гіпербола симетрична осям ,і початку координат.

2). Для частини гіперболи, яка лежить у першому координатному куті, з рівняння (15) дістанемо: . (17)

З рівності (17) випливає, що ?.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай на рисунку 7 т. належить гіперболі і є точкою перетину гіперболи з віссю . Гіпербола не перетинає вісь . Якщо >, то >, причому якщо збільшується, то також збільшується, тобто якщо , то

Покажемо, що, віддаляючись у нескінченність, змінна точка гіперболи необмежено наближається до прямої, що задана рівняннями (17) і

(18)

Звідси випливає, що якщо , то знаменник теж прямує до , а , бо чисельник є сталою величиною. Отже, точка гіперболи, віддаляючись від точки у нескінченність, необмежено наближається до прямої (18), тобто ця пряма є асимптотою.

Таким чином, частина гіперболи, розміщена у першому координатному куті, має вигляд дуги, як показано на рис. 7.

Відобразивши цю дугу симетрично відносно координатних осей, дістанемо вигляд всієї гіперболи.

Гіпербола складається з двох віток (лівої і правої) і має дві асимптоти:

Осі симетрії називаються осями гіперболи, а точки перетину осей - її центром.

Вісь перетинає гіперболу в двох точках і , які називаються вершинами гіперболи. Ця вісь називається дійсною віссю гіперболи, а вісь, яка не має спільних точок з гіперболою - уявною віссю.

Відрізки Величини і відповідно називаються дійсною і уявною півосями гіперболи.

Прямокутник із сторонами і називається основним прямокутником гіперболи.

При побудові гіперболи (15) доцільно спочатку побудувати основний прямокутник (Рис. 8), провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника - асимптоти гіперболи і визначитиі гіперболи.

Якщо рівняння гіперболи буде мати вигляд: (19), то воно визначає спряжену гіперболу до гіперболи (15).

Якщо в гіперболі півосі рівні , то така гіпербола називається рівносторонньою і її канонічне рівняння матиме вигляд: (20)

3). Ексцентриситет гіперболи визначається як відношення половини фокальної відстані до довжини її дійсної півосі: (21). Оскільки >, то >1, крім того випливає з формул (16) та (21), що (22)

Отже, ексцентриситет гіперболи характеризує її форму: чим більший він, тим більше відношення , тобто тим більше основний прямокутник розтягується в напрямі осі , а гіпербола відхиляється від осі ; чим ближче ексцентриситет до одиниці, тим більше основний прямокутник розтягується в напрямі осі , а гіпербола наближається до цієї осі.

4). Прямі , де - дійсна піввісь гіперболи, а - її ексцентриситет, називаються директрисами гіперболи.

Парабола та її рівняння. Властивості параболи

Параболою називається множина всіх точок площини, кожна з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки, яка називається директрисою і не проходить через фокус.

Нехай на площині задані фокус та директриса, причому відстань фокуса від директриси рівна. Візьмемо прямокутну систему координат так, щоб вісь проходила через фокус, перпендикулярно до директриси, а вісь ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл (Рис. 9)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тоді фокус має координати , а рівняння директриси має вигляд нехай - довільна точка площини, а відрізки і - відстані цієї точки від директриси та фокуса. Точка тоді лежить на параболі, коли або (23) це і є рівняння параболи. Після спрощення це рівняння буде мати вигляд (24). Рівняння (24) називається канонічним рівнянням параболи.

Дослідимо форму параболи. Оскільки рівняння (24) містить змінну в першому степені, то парабола симетрична відносно осі . Тому достатньо розглянути лише ту її частину, яка лежить у верхній півплощині. Для цієї частини тому з рівняння (24) дістанемо: (25).

З цієї рівності випливає, що парабола розміщена справа від осі , тому що при < вираз (25) не має змісту. Значення = і = задовольняють рівняння (25), тобто парабола проходить через початок координат. Із зростанням значення також зростає. Отже, змінна точка параболи, виходячи з початку координат із зростанням , рухається по ній вправо і вверх.

Виконавши симетричне відображення розглянутої частини параболи відносно осі , матимемо параболу всю (Рис. 10).

Вісь симетрії параболи називається її віссю; точка перетину осі з параболою - вершиною параболи; число, яке дорівнює відстані фокуса від директриси, - параметром параболи.

Рівняння у яких параметр >, визначають види параболи.

Полярні та параметричні рівняння кривих другого порядку

1). Нехай у прямокутній системі координат рівнянням задано коло. Якщо ввести полярні координати і так що тоді дане рівняння запишеться у вигляді або (26).

Це і є полярне рівняння кола з центром у полюсі і радіусом .

Щоб записати його в параметричній формі, то позначають через кут між віссю і радіусом- вектором довільної точки кола. (Рис. 11)

Точка лежить на колі тоді і тільки тоді, коли ? < (27). Це і є параметричні рівняння кола.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2). Розглянемо криву (якщо - еліпс, то - його лівий фокус), - відповідна до цього фокуса директриса, - довжина хорди, яка проходить через фокус паралельно директрисі, і - ексцентриситет кривої . Введемо полярну систему координат так, щоб її полюс збігався з , а полярна вісь була перпендикулярною до директриси і напрямлена в бік, протилежний від неї. Тоді згідно з загальним означенням кривої другого порядку матимемо:

(28)

Оскільки, то . З рівності (28) дістанемо: (29). Це і є загальне полярне рівняння кривої .

При 0<<1, рівняння (29) визначає еліпс; при =1 - параболу; при >1 - праву вітку гіперболи. Рівняння лівої вітки гіперболи в обраній полярній системі має вигляд:

Число в полярних рівняннях називається полярним параметром кривої.

Параметричні рівняння

задають еліпс з центром у точці і з півосями і . Параметричні рівняння гіперболи з центром у точці і півосями і мають вигляд:



, де і -

гіперболічний косинус та гіперболічний синус.



Завдання для самоконтролю

крива порядок рівняння полярний

1. Що називається лінією другого порядку?

2. Що називається колом?

3. Вивести рівняння кола з центром у точці і радіусом .

4. Вивести полярне і параметричне рівняння кола.

5. Що називається еліпсом?

6. Вивести канонічне рівняння еліпса?

7. Дослідити форму еліпса, заданого канонічним рівнянням.

8. Записати полярні і параметричні рівняння еліпса.

9. Що називається гіперболою?

10. Вивести канонічне рівняння гіперболи.

11. Дослідити форму гіперболи, заданої канонічним рівнянням.

12. Записати полярні і параметричні рівняння гіперболи.

13. Що собою являє асимптота гіперболи?

14. Що називається фокальним радіусом,

ексцентриситетом і директрисою еліпса, гіперболи?

15. Що називається параболою?

16. Вивести канонічне рівняння параболи.

17. Записати полярне рівняння параболи.

18. У чому характерна особливість директриси еліпса, гіперболи і параболи?

Размещено на Allbest.ru

...