Размещено на http://www.allbest.ru/

“Похідна та її застосування”



Похідна. Задачі, які приводять до поняття похідної

Диференціальне числення - розділ математики, в якому розглядаються

дослідження функцій за допомогою похідних та диференціалів.

Деякі задачі диференціального числення розв'язані ще в давнину. Так, Евклід розв'язував задачу про паралелограм найбільшої площі, який можна вписати в даний трикутник; Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я, Апполоній - дотичну до еліпса, гіперболи та параболи.

Загальні методи диференціального числення розроблено Ньютоном і Лейбніцем наприкінці 17 століття, але лише в 19 столітті Коші обґрунтував ці методи на основі теорії границь.

Центральне поняття диференціального числення - похідна - широко використовується при розв'язуванні багатьох задач з математики, фізики, інших наук, а також при вивченні інших процесів.

Якщо перебіг того чи іншого процесу описується деякою функцією, то дослідження даного процесу зводиться до вивчення властивостей цієї функції та її похідної.

Розглянемо деякі задачі, які приводять до поняття похідної.

Задача 1. Задача про швидкість прямолінійного руху. Нехай матеріальна точка рухається нерівномірно вздовж деякої прямої (Рис. 1) ї за час t проходить відстань S, що дорівнює відрізку ОМ. Тоді різним моментам часу t відповідатимуть різні положення точки М, тобто відстань S рухомої точки М є деякою функцією часу t :

S = S (t ). Треба знайти швидкість руху точки М.



О М М₁

(t) S(t)

S(t+t)

Рис. 1

Нехай з моменту t пройшов деякий час (t) S(t) Д t (Д t > 0 - приріст часу). За час Д t рухома точка перейде в положення М1 і пройде шлях, який позначаємо через Д S (Д S - приріст шляху, що дорівнює відрізку ММ1).

Отже, за час t + Д t матеріальна точка пройде шлях

S ( t ) ? Д S = S (t + Д t ), тому Д S = S (t + Д t ) - S ( t )

Середню швидкість хс руху точки за проміжок часу називають відношення приросту шляху до приросту часу:

хс = =

Середня швидкість залежить від значення Д t , причому чим менший проміжок Д t після моменту часу t , тим точніше середня швидкість відображає швидкість руху точки у данай момент часу t . Істинну ж (миттєву) швидкість руху точку дістанемо як границю, до якої прямує середня швидкість хс при Д t > 0. Цю границю називають швидкістю руху точки в момент часу (або миттєвою швидкістю) і позначають

х = lim хс = lim = lim (1)

Д t > 0 Д t > 0 Д t > 0

Задача 2. Задача при силу струму. Нехай Q = Q (t) - кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за час t, треба знайти силу струму в момент часу t. Середню силу струму Эс за проміжок часу називають відношення приросту кількості електрики до приросту часу:

Эс = =

Границя середньої сили струму Эс при Д t > 0 є сила струму в момент часу t:

Э = lim Эс = lim = lim (2)

Д t >0 Д t > 0 Д t > 0

Задача 3. Задача про дотичну до кривої

Відомо, що дотичною до кола називають пряму, яка має з колом одну спільну точку. Це означення дотичної не можна застосовувати до незамкнених кривих. Дійсно, парабола у = х2 має з віссю ОУ лише одну спільну точку А(0;0), але пряма х = 0 не є дотичною до цієї параболи в указаній точці. З іншого боку, пряма у = 1 має безліч спільних точок з кривою у = sin x і є дотичною до цієї кривої.

Дано загальне означення дотичної. Розглянемо криву L і на ній точки Мі М1 (рис.2). Пряма ММ1, що проходить через ці точки, називають січною.

L М1

М

Рис.2

Нехай точка М1, рухаючись вздовж кривої L, наближена до точки М. Тоді січна ММ1 повертатиметься навколо точки М, а довжина відрізка ММ1 прямуватиме до нуля.

Якщо при цьому і величина кута М1МТ прямує до нуля, то пряму МТ називають граничним положенням січної ММ1.

Пряму МТ, яка є граничним положенням січної ММ1, називають дотичною до кривої L в точці М.

З цього означення впливає, що існування дотичної не залежить від того, з якого боку точка М, наближається до точки М. У будь - якому випадку січна ММ1 має наближатись до однієї тієї самої прямої МТ.

Якщо січна ММ1 наближається до різних прямих (рис.3), або взагалі не наближається ні до якої прямої, то вважають, що в точці М дотичної не існує.

М м₁

м₁

Рис. 3

У М1

у+ Ду

Ду

у=f(х) м

у Дх А

б х

О х х+ Дх

Рис. 4

Розглянемо випадок, коли крива в прямокутній системі координат (рис. 4) задана рівнянням у = f ( x ) і має в точці М (х; у) не вертикальну дотичну. Розглянемо задачу про знаходження кутового коефіцієнта цієї дотичної. Надамо аргументу х приросту ? х; тоді значенню х + ? х відповідатимуть значення функції у + ? у = f (x + ? х) і точка М1 (х + ? х; у + ? у) на кривій.

Проведемо січну ММ1 і позначимо через г кут, утворений цією січною з додатним напрямом осі ОХ. З графіка видно, що кутовий коефіцієнт січної ММ1 дорівнює

tg г = = =

Якщо ? х > 0, то точка М1 прямує до т. М вздовж кривої у = f (x), а січна ММ1 повертаючись навколо точки М 1 переходить в дотичну МТ. Кут г при цьому прямує до деякого граничного значення б . Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює:

tg б = lim tg г = lim = lim

Д х >0 Д х >0 Д х >0

Всі три розглянуті задачі, не зважаючи на різний зміст, приводять нас до знаходження границь одного й того самого виду - границі відношення приросту функції до приросту аргументу. Цю границю називають похідною.

Означення похідної. Механічний, фізичний та геометричний зміст похідної

Нехай на деякому проміжку (а; в) задано функцію у = f (x). Візьмемо будь - яку точку х є (а; в) і надамо х довільного приросту ? х такого, щоб точка х + ? х також належала проміжку (а; в). Знайдемо приріст функції:

? у = f (х + ? х ) - f (х)

Похідною функції у = f (х) в точці х називається границя відношення приросту функції ? у в цій точці до приросту аргументу ? х, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна функції у = f (х) в точці х позначається одним із таких символів:

У1 ; ; ; у1х ; f 1 (х)

Таким чином, за означенням

f1(x) = lim = lim

Д х >0 Д х >0

Якщо в деякій точці х границя

lim = , то похідну f 1 (x) в цій точці називають нескінченною.

Д х >0

- Якщо границя lim в деякій точці не існує, то не існує в цій точці і

Д х >0

і похідна f1 (х)

Значення похідної функції у = f (х) в точці х = х0 позначається одним із таких символів:

f1 (x0) ; f1 (x) х = х0 ;

З означення похідної випливає такий спосіб її знаходження. Щоб знайти похідну функції у = f (х) в деякій точці х, треба:

надати значенню х довільного приросту Д х і знайти відповідний приріст функції Д у = f (x + Д х ) - f (х);

Знайти відношення

= ;

Знайти границю цього відношення:

у1 = lim = lim

Д х >0 Д х >0

Якщо ця границя існує, то вона й дорівнює похідній f 1 (x).

Операція знаходження похідної від функції f (x) називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, розв'язки задач 1 - 3 можна тлумачити так:

Швидкість в даний момент часу - це похідна від пройденого шляху S (t) за часом = S1 (t).

Це механічний зміст похідної. Узагальнюючи, можна, сказати: якщо функція

у = f (х) описує деякий фізичний процес, то похідна у1 = f 1 (х) є швидкістю зміни цього процесу. В цьому полягає фізичний зміст похідної. Інакше кажучи, яку б залежність не відображала функція у = f (х), відношення можна розглянути як середню швидкість зміни функції у відносно аргументу х, а похідну f1 (х) - миттєву швидкість змінної функції.

Сила струму - це похідна від кількості електрики Q (t) за часом t: Э = Q 1 (t)

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у = f (х) в точці Мо (хо;уо) або тангенс кута б, що утворює дотична до кривої в даній точці з дотичним напрямом осі ОХ1 - це похідна f1 (xo) в цій точці:

к = tg б = f1 (xo)

У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної до кривої у = f (x) в точці Мо (хо;уо) буде мати вигляд:

у - уо = f1 (xo) (х -хо).

Рівняння нормалі до кривої у = f (x) в точці Мо (хо;уо) має вигляд:

у - уо = - (х - хо)

Односторонні похідні. Неперервність і диференційованість

Односторонні похідні визначаються за допомогою односторонніх границь.

Нехай функція f (x) визначена в околі точки х. Якщо в формулі

передбачається, що Д х > 0 і Д х > 0 , то відповідну границю називають правою похідною від f (х) в точці х і позначають

f1t (x) = lim = lim

Д х > 0 Д х > 0

Д х > 0 Д х > 0

Аналогічно визначається і ліва похідна:

f1- (x) = lim = lim

Д х > 0 Д х > 0

Д х > 0 Д х > 0

Якщо функція f(x) задана на відрізку , то під похідною в точці а розуміють праву похідну, а в точці в - ліву.

Слід пам'ятати що похідна може бути як скінченою, так і нескінченою, залежно від значення границі.

похідна диференційованість порядок функція

lim = f ' (x)

Д х > 0

Функція f (x) називається диференційованою в точці х0, якщо в цій точці вона має похідну f ' (x).

Функцію f (x) називають диференційованою на проміжку, якщо вона диференційована в кожній точці цього проміжку.

Зв'язок між неперервністю функції в точці і диференційованість її в цій точці встановлює така теорема:

Теорема. Якщо функція у = f (x) диференційована в точці х0, то вона в цій точці неперервна.

Диференціювання функцій

Теорема 1. Якщо функція u = u (х), х = (х)диференційовані в точці х, різниця, сума, добуток і частка цих функцій також диференційовані в цій точці і справедливі такі формули:

(u х )1 = u1 х1

(u х)1 = u1х + u х1

=

Теорема 2. Якщо у = f (x) = с, де с - стале число, то f1 (x) = с1 = 0

Теорема 3. Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто:

(сu)1 = сu1

Теорема 4. Похідну степеневої функції у = хб, де б - довільне число, знаходять за формулою:

(хб )1 = б * хб - 1

Теорема 5. Похідні тригонометричних функцій знаходять за формулами:

(sin x )1 = cos x (tg x)1 =

(cos x) 1 = - sin x (ctg x)1 = -

Теорема 6. Похідну показникової функції у = а х (0 < а ? 1) знаходять за формулою:

(а х ) = а х lna

(е х)1 = е х

Теорема 7. Похідну логарифмічної функції у = log a x (0 < a ? 1) знаходять за формулою:

log a x = log a е

Теорема 8. Якщо функція u = (х) має похідну u1 x в точці х, а функція

у =f (u) має похідну x1 u у відповідній точці u, то складена функція у = f ( (x)) має похідну у1х = у1u u1х

Теорема 9. Якщо функція у = f (x) строго монотонна на інтервалі (а;в) і має відмінну від нуля похідну f1(х) в довільній точці цього інтервалу, то існує обернена функція х = (у), яка також має похідну1(у), причому:

1(х) =

Теорема 10. Похідні від обернених тригонометричних функцій знаходять за формулами:

(arc sin x)1 = ; (arc cos x)1 = - ;

(arc tg x)1 = ; (arc tg x)1 = -

Похідні вищих порядків явно заданої функції

Нехай на інтервалі (а; в) задана диференційована функція у = f (х), тоді її похідна f1 (х) (похідна першого порядку), також є функцією від х.

Якщо функція f1 (х) має похідну на інтервалі (а; в) або в деякий точці х є (а; в), т похідна f11 (х) буде похідна другого порядку.

Похідні другого порядку позначають одним з таких способів:

у11; f 11; ; ; ;

Друга похідна має такий механічний зміст. Якщо рух матеріальної точки відбувся за законом S = f (t), то похідна S1, як було сказано при дослідженні похідної раніше, дорівнює швидкості точки в даний момент часу: х = S1 = f1 (t).

Оскільки прискорення - це похідна від швидкості, то а = х1 = f11 (t) = S11

Отже, друга похідна це величина, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Похідною n - го порядку функції у = f (x) називають першу похідну, якщо вона існує, від похідної (n-го) порядку:

у (n) = (у (n-1)) або f ( n)(x) = (f (n-1) (x) )1

=

Похідні порядку вище першого називають похідними вищого порядку.

Похідні вищих порядків неявно заданої функції та параметрично заданої функції

Нехай функція у = f (x) задана неявно рівністю F (х; у) = 0. Диференціюючи цю рівність по х і розв'язуючи одержане рівняння відносно у1, знайдемо першу похідну. Щоб знайти другу похідну, потрібно про диференціювати по х першу похідну і в одержане співвідношення підставити її значення. Продовжуючи диференціювання можна знайти одну за одною послідовно похідні будь - якого порядку. Всі вони будуть виражені через незалежну змінну х, та саму функцію у.

Нехай функція у = f (x) задана параметрично рівняннями

x = х (t), у = у (t), де t є (L;Я)

Якщо функції х (t) та y = (t) мають перші похідні, причому х1 (t) ? 0, х (t) строго монотонна функція, то першу похідну знаходять за формулою:

=

Якщо функції х (t) та у (t) мають похідні другого порядку, то можна знайти другу похідну від у по х:

= 1t =

Похідна будь - якого порядку n > 2 знаходять за формулою:

= 1t *

Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Нехай функція f (x) неперервна на інтервалі (а; в) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді, якщо в точці с існує похідна f 1 (с), то f 1 (с) = 0.

Теорема Ролля. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі (а; в) і на кінцях відрізка набуває однакових значень f (а) = f (в), то знайдеться хоча б одна точка с є (а; в), в якій f1 (с) =0

Теорема Коші. Якщо функція f (x) і ц (х) неперервні на відрізку , диференційовані в інтервалі (а; в) , причому ц1(х) ? 0, х є (а; в), то існує така точка с є (а; в), що

=

Теорема Лагранжа. Якщо функція f (x), неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі (а; в), то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка с є (а; в), в якій

f (в) - f (a) = f1(c) (в - а)

Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай функція f (x) ,ц (х) визначені і диференційовані в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

lim f (x) = lim ц (х) = 0,

x > x0 x > x0

і у вказаному околі ц1 (х) = 0. Тоді якщо існує границя відношення похідних

lim , то існує і границя відношення функцій lim

x > x0 x > x0

Теорема 2. Нехай функція f (x) і ц (х) визначені і диференційовані в околі точки х0 і в цьому околі

lim f (x) = lim (x) = , 1 (x) ? 0.

x > x0 x > x0

Тоді якщо існує границя lim , то існує границя lim і

x > x0 x > x0

lim = lim .

x > x0 x > x0

Формула Тейлора

Дана формула являється однією з основних формул математичного аналізу.

Раніше було розглянуто, що заміна приросту функції її диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апарат для обчислення значень функції у = f (x) , які відповідають заданим значенням незалежної змінної х.

Формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї формули пов'язане з обробкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту одержимо масив значень (х і; уі), то спочатку будують графік залежності у = f (x), а потім цю залежність описують аналітично причому, як правило. У вигляді многочлена.

Теорема. Нехай функція f (x) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1) - го порядку включно, і нехай х - довільне значення аргументу із вказаного околу (х ? х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива формула:

f (x) = f (x0) + (x - x0) + (x - x0)2 +…+ (x - x0)n + (x - x0)n + 1

(Де с = х0 + Q (х - х0), 0 < Q < 1)

Якщо у формулі Тейлора х0 = 0, тоді вона буде формулою Маклорена:

f (x) = f (0) + x + x2 +…+ xn + * x n+1



Завдання для самоконтролю

Дати означення похідної заданої функції.

Який геометричний механічний і фізичний зміст похідної?

Як знайти похідну, виходячи із її означення?

Довести користуючись означенням похідної, що (х n)1 = n x n - 1

Дати означення правої і лівої похідних функцій в точці.

Дати означення диференційованої функції в точці і на проміжку.

Назвати основні правила диференціювання суми, різниці, добутку і частки.

Назвати основні формули похідних тригонометричних функцій.

Вивести привило диференціювання складної функції. Навести приклад.

Який порядок диференціювання параметрично заданої функції?

Як диференціювати неявно задану функцію?

Вивести формули похідних всіх основних елементарних функцій.

Що собою представляє похідні вищих порядків?

Що називається похідною n - го порядку?

Як знайти похідні заданих явно, параметрично? Навести приклад.

Сформулювати основні теореми диференціального числення.

Що собою представляє правило Лопіталя?

Формула Тейлора і її застосування в математиці.

В чому відмінність формули Тейлора від формули Маклорена? Написати формулу Маклорена.

Размещено на Allbest.ru

...