Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пряма лінія та її рівняння на площині та в просторі



1. Лінія на площині та її рівняння

рівняння паралельність площина

Поняття про лінію та її рівняння

Розглянемо рівність F (х, у)= 0 (1), яка зв'язує змінні величини х та у.

Означення. Рівність F (х, у)= 0 називають рівнянням з двома змінними х та у. Якщо ця рівність виконується не для всіх пар чисел х, у, і тотожністю, якщо вона справедлива для всіх значень х, у.

Наприклад. Рівність х ? у = 0 і хІ + уІ= 0 є рівняннями, а рівності х+у - (х+у)=0 та (х+у)І-хІ - 2 ху-уІ=0 - є тотожностями.

Означення. Рівняння F (х, у)= 0 називається рівнянням лінії L, яка задана на площині відносно певної системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати х і у точки лінії L і не задовольняють координати х і у жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Коли рівняння (1) є рівнянням лінії L, то кажуть, що це рівняння визначає (або задає) лінію L. Отже, якщо лінія задана рівнянням, то про кожну точку площини можна сказати, чи лежить вона на цій лінії, чи не лежить. Якщо координати точки задовольняють рівняння лінії, то точка лежить на ній, якщо не задовольняють, то не лежить. Лінія, яка задана рівнянням 1

Відносно певної системи координат у площині, є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють задане рівняння.

Змінні х та у в рівнянні (1) лінії L називаються змінними координатами її точок. Якщо вираз F (х, у) в рівнянні (1) є многочленом від змінних х та у, то лінія, що задається цим рівнянням, називається алгебраїчною.

Алгебраїчні лінії розрізняють залежно від їхнього порядку.

Степенем рівняння (1) називається найвищий степінь одночлена, що входить до складу його.

Алгебраїчною лінією n-го порядку називається лінія, що виражається рівнянням n-го степеня.

Порядок алгебраїчної лінії не змінюється при заміні однієї декартової системи на іншу.

Лінія, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

Рівняння Ф (с, ц) = 0 називається рівнянням лінії L в полярних координатах, або полярним рівнянням, якщо його задовольняють полярні координати с і ц будь-якої точки лінії L і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Щоб від полярного рівняння лінії перейти до рівняння 1, потрібно полярні координати в рівнянні Ф (с, ц) = 0 виразити через декартові. Тобто, декартові координати точки прямої виражаються через її полярні координати х= с cos ц, у= с sin ц, де с - полярний радіус, а ц - полярний кут. Формули х= с cos ц, у= с sin ц дають змогу знаходити прямокутні декартові координати точки за її полярними координатами. З цих формул маємо:

хІ + уІ= сІcosІ ц + сІsinІ ц= сІ(cosІ ц + sinІ ц)= сІ і отже, с=

Якщо с?0, то випливають формули для переводу прямокутних декартових координат до її полярних координат:

cos ц= , sin ц= , ц=arctg

Нехай залежність між змінними х і у виражена через третю змінну t, тобто х=х(t) та у=у(t). Змінна t називається параметром і визначає положення точки з координатами (х, у) на площині.

Якщо t змінюється, то точка на площині переміщується, описуючи деяку лінію L. Такий спосіб задавання ліній називається параметричним, а рівняння х=х(t) та у=у(t) називають параметричними рівняннями лінії L.

Лінію можна задати таким векторним рівнянням Їr=r(t), де t - cкалярний змінний параметр. Кожному значенню tо відповідає цілком визначений вектор ro = r (to) площини.

Векторному параметричному рівнянню r=r(t), в прямокутній системі координат Оху відповідають два скалярні рівняння х=х(t) та у=у(t), тобто проекціям на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.

Векторне рівняння та параметричні рівняння лінії мають такий механічний зміст: якщо точка рухається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху точки, а лінія L - проекцією точки; параметром t при цьому є час.

Ми виявили, що одну й ту ж саму лінію можна задати різними рівняннями. Отже, вигляд рівняння лінії залежить від вибору системи координат, або, що те саме. Від розміщення лінії відносно системи координат.

Види рівнянь прямої на площині

Пряма на площині геометрично може бути задана різними способами: точкою і вектором, паралельним даній прямій; двома точками; точкою і вектором, перпендикулярним до даної прямої, загальним рівнянням, тощо.

Нехай пряма проходить через задану точку Мо паралельно заданому ненульовому вектору S, який називається напрямним вектором прямої. Пряма має безліч напрямних векторів, їхні відповідні координати пропорційні. Точка Мо і її напрямний вектор цілком визначають пряму, тому що через точку Мо можна провести лише 1 пряму, паралельну вектору S.

Змінна t у формулі (2) може набувати довільних дійсних значень і називається параметром, а рівняння (2) називається векторним параметричним рівнянням прямої.

Векторне параметричне рівняння прямої має однаковий вигляд і на площині, і в просторі.

Якщо пряма L розглядається на площині і задається точкою Мо (х о, уо) та напрямний вектором S = (m, n), то порівнюючи відповідні координати векторів r та ro + st за формулою (2)

маємо: х= х_о+ mt; у= у_о+ nt (3) звідси

= (4)

Рівняння (3) називають параметричним рівнянням прямої, а рівняння (4) її канонічним рівнянням.

Якщо пряма проходить через точку Мо (х_о, у_о) паралельно осі Ох, то її напрямний вектор S = (m, o), тому рівняння (4) набуває вигляду

=

Розв'язавши його, ми одержимо (у-уо) m=(х-хо) 0; (у-уо) m=0 у=уо - це і є рівняння прямої, яка паралельна осі ОХ.

Аналогічно, якщо пряма проходить через точку Мо (х о, уо) паралельно осі ОУ, то її рівняння буде мати вигляд: х=хо.

Виведемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо пряма не перпендикулярна до осі ОХ, то рівняння (4) можна записати у вигляді

у-у_о= (х-х_о) або у= х+(у_о х_о)

Позначимо к=; в= у_о х, одержимо:

(5) у-у_о= к (х-х_о) або у= кх+в (6)

к = =tgб,



де б - кут утворений прямою з додатним напрямком осі ОХ називається кутовим коефіцієнтом прямої, а величина в=уо- хо ордината точки перетину прямої з віссю ОУ. Якщо пряма проходить через початок координат, то в=0 і рівняння такої прямої має вигляд у=кх (7)

Рівняння (5) називається рівнянням прямої. Яка проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.

Рівняння (6) називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом. Якщо пряма проходить через 2 задані точки М1(х1, у1) та М2(х2, у2) дістанемо з рівняння прямої, що проходить через точку М1 і має напрямний вектор S = М1М2 = (х2-х1; у2-у1)

= (7) - це і є рівняння прямої, що проходить через 2

Якщо пряма проходить через задану точку Мо (х о, уо) перпендикулярно заданому вектору S = (АВ), як показано на рис. 3.

На прямій L візьмемо точку М (х, у) і розглянемо вектор Мо М=(х-хо; у-уо). Вектори ММо та S перпендикулярні, тому їх скалярний добуток дорівнює 0, тобто:

А (х-хо) + В (у-уо) = 0 8

Будь-яка точка прямої з відповідними координатами задовольняють рівняння 8, а координатами точки, що не лежать на цій прямій, не задовольняють рівняння 8. Тому, ц у це рівняння є рівнянням прямої, що проходить через точку Мо (х о, уо) перпендикулярно вектору S = (АВ).

Якщо пряма проходить через точки з координатами А (а, 0) та В (о, в), тобто відтинає на осях відрізки а і в, як показано на рис. 3, то з рівняння (7) маємо:



= або + = 1 (9)

Загальне рівняння прямої та його дослідження

Всі одержані вище рівняння прямої є рівняннями І ступеня відносно змінних х та у, тобто лінійними рівняннями.

Теорема: будь-яке рівняння І ступеня відносно х та у визначає пряму лінію на площині

Доведення:

Розглянемо довільне рівняння 1 ступеня Ах+Ву+С=0 (10)

Дане рівняння (10) має нескінченну кількість розв'язків.

Нехай (х_о, у_о) - один із цих розв'язків, тоді Ах_о+Ву_о+С =0 (11). Віднімаючи почленно від рівняння (10) рівняння (11) дістанемо А (х-х_о) + В (у-у_о) = 0 (12)

Одержане рівняння буде еквівалентне рівнянню (10) і згідно з формулою (8) визначає на площині Оху пряму, яка проходить через точку Мо (х _о, у_о) перпендикулярно до вектора S = (АВ), тобто рівняння (10) також визначає пряму і називається загальним рівнянням прямої. Коефіцієнти А і В при невідомих х та у загального рівняння є координатами її нормального вектора.

Дослідимо загальне рівняння, тобто розглянемо окремі випадки розміщення прямої в системі координат Оху залежно від значень коефіцієнтів.

1. Якщо А?0, де В ?0, С?0, то рівняння 10 зводиться до рівняння прямої у відрізках на осях:

+ = 1,



тобто пряма перетинає осі координат в точках з координатами (,0) та (0, )

2. Якщо А=0, то пряма Ву + С= 0 паралельна осі Ох і проходить через точку (0, )

оскільки паралельний вектор S = (0, В) прямої перпендикулярної до осі Ох, а координати даної точки задовольняють рівняння прямої.

3. Аналогічно попередньому, якщо В =0, то пряма Ах+С=0 паралельна осі ОУ і проходить через точку (,0).

4. Якщо С=0, то пряма Ах + Ву = 0 проходить через початок координат, тому, що координати точки О (0,0) задовольняють рівняння прямої.

5. Якщо А=С=О, то згідно з попереднім рівнянням Ву = 0, або у=0 визначає вісь Ох

6. Якщо В=С=О, то рівняння Ах=0, або х=0 визначає вісь Оу.

Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності прямих

Кут між двома прямими вимірюється кутом між їхніми напрямними векторами. При цьому слід зазначити, що, вибравши на одній з прямих напрямний вектор, напрямлений в протилежну сторону, дістанемо другий кут, який доповнює до р.

а) Нехай прямі L1 і L2задано канонічними рівняннями

і кут ц між цими прямими: (рис. 4) ц= (L1, L2), 0 <ц<р. Оскільки вектори S1= (m1, n1) і S2=(m2, n2) є напрямними векторами даних прямих і ц=(S1, S2), то за формулою:



cos ц =

Якщо прямі L1 і L2 паралельні, то вектори S1 і S2 теж паралельні, тому їх координати пропорційні, тобто:

(14)

це умова паралельності двох прямих.

Якщо прямі L1 і L2 перпендикулярні, то вектори S1 і S2 теж перпендикулярні, їхній скалярний добуток дорівнює нулю, отже, m₁m₂ + n₁n₂ = 0 (15)

Це умова перпендикулярності двох прямих.

б) нехай тепер прямі L₁ і L₂ задані загальним рівнянням А₁х+В₁у+С₁=0 і А₂х+В₂у+С₂=0, тоді кут ц між ними дорівнює куту між їхніми нормальними векторами n₁=(А₁, В₁) і n₂= (А₂, В₂), тому аналогічно попередньому випадку а дістанемо:

cos ц = (16)

- умова перпендикулярності прямих L1 і L2:

А₁А₂+В₁В₂=0 або А₁А₂=-В₁В₂ (18)

в) Нехай прямі задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами: у=к₁х+в₁; у=к₂х+в₂,

к₁=tgб₁ і к₂= tgб₂ - кутові коефіцієнти

tgц =tg(б₂ -б₁)=

tg ц = (19)

соs ц = (20)

sin ц = (21)

- якщо прямі L1 і L2 паралельні, то ц= 0 і tg ц = 0. Тому з формули (19) маємо к₂-к₁=0. Отже умова паралельності двох прямих є рівність їхніх кутових коефіцієнтів к₁=к₂ (22)

- якщо прямі L1 і L2 перпендикулярні, то ц= 90? і tg ц не існує, тому що знаменник дробу (19) дорівнює 0. Таким чином, умова перпендикулярності прямих має вигляд:

к₁к₂+1=0, або к₂= - (23)

Віддаль між двома точками та між точкою і прямою

- Нехай задані дві точки М1 (х₁, у₁) та М₂(х₂, у₂), то відстань між ними визначається за формулою: d= v(х₂-х₁)І +(у₂-у₁)І 24.

Нехай задано пряму L рівнянням Ах+Ву+С=0 і точку Мо (х_о, у_о), (рис. 7). тоді відстань від прямої L до точки Мо дорівнює модулю проекції вектора М₁М₀, де М₁ (х₁, у₁) - довільна точка прямої L, на напрям нормального вектора n=(А, В), отже

d=| пр - М1М0 | =

Оскільки Ах₁+Ву₁+С=0, то - Ах₁ - Ву₁ =С, тому d= (25)

2. Площина в просторі

Загальне рівняння площини та його дослідження

На рисунку 8 відображено в прямокутній системі координат Охуz площину П, точкою Мо (х_о, у_о, z_о) і вектором n =(А, В, С), перпендикулярним до цієї площини.

Візьмемо на площині точку М (х, у, z) і знайдемо вектор Мо М = (х-хо, у-уо, z-zo)/

При будь-якому положенні точки М на площині П вектори n і Мо М взаємно перпендикулярні, тому їхній скалярний добуток дорівнює нулю, тобто:

А (х-хо)+В (у-уо)+С (z-zo)=0 (26) або Ах+Ву+Сz+D=0 (27), де D= - Ах_о-Ву₀-Сz₀.

Рівняння (26) називають рівнянням площини, яка проходить через точку Мо (х_о, у_о, z_о) перпендикулярно до вектора n =(А, В, С), а рівняння 27 - загальне рівняння площини.

Вектор n =(А, В, С) називають нормальним вектором площини.

Кожна площина має безліч нормальних векторів. Усі вони паралельні між собою, а їхні координати пропорційні. Отже, всяка площина в прямокутній системі координат визначається рівнянням першого степеня.

Дослідимо загальне рівняння площини.

1. Якщо в рівнянні (27) D=0, то воно набуває вигляду Ах+Ву+Сz=0. Це рівняння задовольняє точка О (О, О, О). Отже, якщо в загальному рівнянні площини відсутній вільний член, то така площина проходить через початок координат.

2. Якщо в рівнянні (27) А=0, то воно набуває вигляду Ву+Сz+D= 0 і визначає площину, нормальний вектор n=(O, В, С) перпендикулярний до осі Ох. Отже, якщо в загальному рівнянні площини коефіцієнт при змінних дорівнює нулю, то таке рівняння визначає площину, що паралельна осі ОХ.

Аналогічно рівняння Ах+Сz+D=0 визначає площину, паралельно осі ОУ, а рівняння Ах+ Ву+С=0 - площину, паралельну осі ОZ.

3. Якщо А=0, В=0, С? 0, D?0, то рівняння (27) набуває вигляду:

Сz+D=0, або z=-

з випадку два випливає, що це рівняння визначає площину, яка паралельна осям ОХ

(коефіцієнти при х та у дорівнюють 0), тобто площину, паралельну площині ОХУ.

Аналогічно площина Ву+D=0 паралельна площині ОХZ, а площина Ах+D=0 паралельна площині ОУZ.

4. Якщо в рівнянні (27) А=D=0, то площина Ву+Сz=0 проходить через вісь ОХ.

Аналогічно площина Ах+Сz=0 проходить через вісь ОУ, а площина Ах+Ву= 0 - проходить через вісь ОZ.

5. Якщо в рівнянні площини А=В=D=0, то площина Сz=0 або z=0 збігається з площиною ОХУ.

Аналогічно площина Ах=0 або х=0 збігається з площиною ОХZ.

Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях

Нехай на площині П задано три точки М1 (х₁, у₁.z₁); М₂ (х₂, у₂, z₂); М₃ (х₃, у₃, z₃), які не лежать на одній прямій. Ці точки одночасно визначають площину. Знайдемо її рівняння.

Візьмемо на площині П довільну точку М (х, у, z) і знайдемо вектори



М1М3=(х₃-х₁, у₃-у₁, z₃-z₁)

М1М =(х-х₁, у-у₁, z-z₁)

М1М2=(х₂-х₁, у₂-у₁, z₂-z₁)

Ці вектори лежать в площині П1 тобто вони компланарні. Оскільки мішаний добуток компленарних векторів дорівнює нулю, то М₁М М₁М₂ М₁М₃= 0 або

х-х₁ у-у₁ z-z₁

х₂-х₁ у₂-у₁ z₂-z₁ =0 (28)

х₃-х₁ у₃-у₁ z₃-z₁

Це рівняння називають рівнянням площини, що проходить через три точки.

Зокрема, нехай площина відтинає на осях ОХ, ОУ, ОZ відрізки а, в, с, тобто проходить через точки А (а, 0,0), В (0, в, 0), С (0,0, с). підставляючи координати цих точок у формулу (28) і розкриваючи визначник, дістанемо:хвс+уас+zав-авс=0 або =1 (29)

Це рівняння називається рівнянням площини у відрізках на осях.

Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Нехай задано дві площини П1 і П2 відповідно рівняннями:

А1х+В1у+С1z+Д1=0 та А2х+В2у+С2 z+Д2=0

Двогранний кут між площинами вимірюється лінійним кутом, який дорівнює куту між нормальними векторами n1=(А1; В1; С1) та n2=(А2; В2; С2) цих площин.

Користуючись формулою знаходження кута між двома векторами

cos ц =

Одержимо:

cos ц= (30)

П1 та П2 Якщо площини П1 та П2 перпендикулярні, то скалярний добуток їхніх нормальних векторів дорівнює нулю, тобто рівність А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0 (31) є умовою перпендикулярності площин.

Якщо площини П1 та П2 паралельні, то координати нормальних векторів пропорційні, тобто умовою паралельності площин є рівність відношень:

(32)

Відстань від точки до площини

Якщо задане рівняння Ах+Ву+Сz+D=0 площини П і точка М_о (х_о, у_о, z_о), що не лежить на цій площині, то відстань d від точки М_о до площини П знаходиться за формулою:

d= (33)



3. Пряма лінія в просторі

Види рівнянь прямої в просторі

Як вже було відмічено раніше, коли пряма задана точкою і напрямним вектором, то її векторне параметричне рівняння (як на площині, так і в просторі) має вигляд: r = +st, де r - радіус-вектор змінної точки М прямої, ro - радіус-вектор заданої точки Мо, s - ненульовий напрямний вектор прямої, t - параметр.

Нехай у просторі в прямокутній системі координат задано пряму точкою Мо (хо, уо, zо) і напрямним вектором s=(m, n, p). Візьмемо довільну точку М (х, у, z) цієї прямої.

Тоді аналогічно тому, як було знайдено формули раніше (3), (4), (7) дістанемо:

а) параметричне рівняння прямої в просторі х = хо+mt, y=yo+nt, z=zo+pt 34

б) канонічне рівняння прямої в просторі6

(35)

в) рівняння прямої в просторі, що проходять через дві задані точки М1 (х1, у1, x1), М2 (х2, у2, z2)

Аналізуючи рівняння (34), (35), (36), можуть бути випадки, що одна або дві координати напрямного вектора можуть дорівнювати нулю, отже,

якщо m=0, n? 0, р?0, то напрямний вектор S перпендикулярний до осі ОХ, тому рівняння:



визначає пряму, перпендикулярну осі ОХ.

Аналогічно рівняння, в яких лише n=0, або р=0, визначають прямі, перпендикулярні до осі ОУ або ОZ.

Якщо m=n=0, р?0, або m=p=0, n? 0, або n=p=0, а m?0 то рівняння (35 визначають прямі, відповідно паралельні осям ОХ, ОУ, ОZ.

Якщо пряма в просторі задається перетином двох площин, тобто площини перетинаються по прямій лінії.

Отже, система рівнянь двох площин визначають в просторі пряму лінію, причому їх нормальні вектори n1=(А1, В1, С1) і n2=(А2, В2, С2) не колінеарні.

Система {А1х+В1у+С1z+D1=0 (37)

A2x+B2y+C2z+D2=0

Представляє загальне рівняння прямої в просторі.

Кут між двома прямими. Умови паралельності, перпендикулярності прямих

Нехай прямі L1 та L2 задано рівняннями:

;

На рисунку 11 відобразимо кутц між їхніми напрямними векторами S1=(m1, n1, p1) і S2=(m2, n2, p2), то аналогічно визначення кута між прямими, що лежать на площині, дістанемо:

формулу кута ц між прямими L1 та L2:



cos ц =

2) умову паралельності прямих L1 та L2:

(39)

3) умову перпендикулярності прямих L1 та L2:

m1m2+n1n2+p1p2= 0 (40)

Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Кут між прямою L і площиною П за означенням є кут між прямою L і її проекцією на площину П.

Нехай площина П і пряма задані рівняннями Ах+Ву+Сz+D=0 і

Відобразимо пряму та площину на рис. 12. Позначило гострий кут між прямою L та її проекцією L1 на площину П через ц, а кут між нормальним вектором n= (А, В, С) площини П і напрямним вектором n=(m, n, p) прямої L через в. Якщо ц?90°, то ц=90° - в, тому sin ц=sin в. Якщо ж в>90°, то ц=в-90° і sinц= - cosв. Отже в будь-якому випадку sinц= | cosв|, але

cosв=



тому кут між прямою і площиною знаходиться за формулою:

sinц= = (41)

Якщо пряма L паралельна площині П, то вектори n і S перпендикулярні, тому n s=0, тобто

Аm+Bn+Cp =0 (42),

це і буде умовою паралельності прямої і площини.

Якщо пряма L перпендикулярна до площини П, то вектори n і s паралельні, тому співвідношення

(43)

буде умовою перпендикулярності прямої і площини.

Размещено на Allbest.ru

...