Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Елементи теорії матриць та визначників



1. Визначники

Визначники, види визначників, їх обчислення

Вираз ? = = а₁₁ • а₂₂ - а₁₂ • а₂₁

матриця визначник ранг

називається визначником (детермінантом) другого порядку.

Поняття «визначник» (від латинського слова determine - визначаю)

ввів В. Лейбніц.

Вираз ? = = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ - а₁₂

а₂₁ а₃₃ - а₂₃ а₃₂ а₁₁

називається визначником (детермінантом) третього порядку.

Визначники складаються з відповідних елементів а іj; в якому індекс і показує номер рядка, а другий індекс у - показує номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент визначника.

Наприклад: елемент а₁₂ - стоїть у першому рядку і в другому стовпчику, а₃₁ - стоїть у третьому рядку і першому стовпчику.

Визначник (1) має головну діагональ, що складається з елементів а₁₁ а₂₂ та побічну діагональ, що складається з елементів а₁₂ а₂₁.

Щоб обчислити значення визначника (1) другого порядку потрібно від добутку елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі.

Для обчислення визначника (2) третього порядку використовують правило трикутника:



? = + + - - -

Перші три доданки в правій частині формули (2) є добутками елементів, що стоять на головній діагоналі і в вершинах двох трикутників, у яких одна сторона паралельна головній діагоналі. Аналогічно утворюються додатки зі знаком мінус, де за основу береться побічна діагональ. Ця ж схема обчислення визначника третього порядку називається правилом Саріуса.

Слід пам'ятати, що елементами у визначниках можуть бути не тільки числа, а й алгебраїчні, тригонометричні вирази, різні функції тощо.

Властивості визначників

Визначник не зміниться, якщо рядки замінити відповідними стовпцями:

=

Якщо переставити місцями два рядки (стовпці), то визначник поміняє знак:

= -

Якщо один з рядків (стовпців) визначника складається тільки з одних кутів, то визначник дорівнює нулю:



= = 0

Визначник має два однакових рядки (стовпці), то він дорівняє нулю:

= = 0

Спільний множник, що міститься в усіх елементах одного рядка (стовпця), можна винести за знак визначника:

= к

Якщо у визначнику елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Якщо кожен елемент n - го рядка (n - го стовпця) є сума двох додатків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у одного з яких n - й рядок (n - й стовпець) складається з перших додатків, а у другого - 3 других; інші елементи усіх трьох визначників однакові:

= +



Визначник не зміниться, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число:

=

Розклад визначника за елементами рядка або стовпця.

Для обчислення визначників більш ніж третього порядку використовують мінори та алгебраїчні доповнення.

Означення 1. Мінором Mij елемента а іj визначника називається визначник, який утворюється з даного визначника в результаті викреслення і - го рядка та

j - го стовпця.

Наприклад:

? = ? =

Знайти мінор визначника для елементів а₂₃ та а₃₂

М₂₃ = ; М₃₂ =

М₂₃ = = 2 • 1 - 3 (-3) = 2 + 9 = 11

М₃₂ = = 2 • 2 - (-1) • 1 = 4 + 1 = 5



Алгебраїчним доповненням Аіj елемента аіj визначника називають мінор цього елемента, взятий зі знаком

(-1)^і+j тобто

А іj = (-1) ^{і + у} Міj (3)

Наприклад:

Знайти алгебраїчне доповнення визначника ? = до елементів а₂₃ та а₃₂, а₃₃

А₂₃ = (-1) ²⁺³ М₂₃ = (-1)⁵ = -11

А₃₂ = (-1) ³⁺² М₃₂ = (-1)⁵ = -5

А₃₃ = (-1)³⁺³ М₃₃ = (-1)⁶ = 2 • 4 - 3 • 1 = 5

Тепер сформулюємо і доведемо теореми про розклад визначника за елементами рядка (стовпця).

Теорема 1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого - не будь рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Покажемо, що до визначника

? = використовуються такі рівності:

? = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃

? = а₁₁ А₁₁ + а₂₁ А₂₁ + а₃₁ А₃₁

? = а₂₁ А₂₁ + а₂₂ А₂₂ + а₂₃ А₂₃

? = а₁₂ А₁₂ + а₂₂ А₂₂ + а₃₂ А₃₂

? = а₁₃ А₁₃ + а₂₃ А₂₃ + а₃₃ А₃₃

? = а₃₁ А₃₁ + а₃₂ А₃₂ + а₃₃ А₃₃

Доведемо одну з них, наприклад

? = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃

Розкриємо даний визначник за формулою (2) і групуючи додатки, що містять елементи першого порядку, маємо:

? = а₁₁ (а₂₂ а₃₃ - а₃₂ + а₂₃) + а₁₂ (а₃₁ а₂₃ - а₂₁ а₃₃) + а₁₃ (а₂₁ а₃₂ - а₂₂ а₃₁).

За формулою (3) вирази, що стоять в дужках, відповідно дорівнюють алгебраїчним доповненням А₁₁, А₁₂, А₁₃ і тому ? = а₁₁ А₁₁ + а₁₂ А₁₂ + а₁₃ А₁₃, що і треба було довести.

Всі інші рівності доводяться таким же способом.

Наприклад:

Обчислити визначник ? = , розкладаючи його за елементами третього рядка.

Використовуємо формулу (4) і маємо

? = 3 • (-1)³⁺¹ + (-1) • (-1) ³⁺² + 4 • (-1)³⁺³ = 9

Теорема 2 Сума добутків елементів будь - якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Нехай дано визначник

? =

Розглянемо суму добутків елементів першого рядка цього визначника на алгебраїчні доповнення елементів другого рядка:

а₁₁ А₂₁ + а₁₂ А₂₂ + а₁₃ А₂₃ = - а₁₁ + а₁₂ - а₁₃ = - а₁₁ (а₁₂ а₃₃ - а₁₃ а₃₂) + а₁₂ (а₁₁ а₃₃ - а₁₃ а₃₁) - а₁₃ (а₁₁ а₃₂ - а₁₂ а₃₁) = 0

Визначники вищих порядків

Теорема 1 дає змогу ввести означення визначника довільного порядку. За означенням визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь - якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

? = = а_і1 • А_і1 + а_і2 А_{і2 …} + а_ік А_ік + … + а_іп А_іn

Рівність (5) називають розкладом визначника за елементами і - го рядка. Визначник можна розкласти і за елементами к - го стовпця (к = 1,2…, n).

Отже, обчислення визначника n - го порядку зводиться до обчислення визначників (n-1) порядку шляхом розкладу визначника за елементами будь - якого рядка або стовпця.

Слід зауважить, що такий спосіб обчислення громіздкий: якщо для знаходження визначника четвертого порядку треба обчислити чотири визначники третього порядку, то для знаходження визначника п'ятого порядку вже прийдеться обчислювати двадцять визначників третього порядку.

Тому на практиці спочатку за допомогою властивості (8) перетворюють визначник так, щоб у деякому рядку чи стовпці всі елементи, крім одного, стали нулями. Розкладаючи тоді визначник згідно з теоремою за елементами цього рядка, дістанемо тільки один додаток, тому всі інші додатки є добутками алгебраїчних доповнень на нуль.

Наприклад:

Обчислити визначник

? =

Зробимо елементарні перетворення, У першому рядку перетворимо всі елементи, крім першого, на нулі. Для цього, залишаючи перший і другий стовпці без змін, до третього додано перший, а до четвертого - перший, помножений на (-2) і одержимо:

? =

Розкладемо цей визначник за елементами першого рядка, дістанемо:

? = 1 • (-1)¹⁺¹ = -21



2. Матриці

Поняття матриці. Різновиди матриць.

Означення Матрицею називають прямокутну таблицю упорядкованих чисел або будь - яких інших об'єктів

а_іj (і = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n), розташованих в m рядках та n стовпцях і записана у вигляді:

А = або А =

Матриці позначають великими латинськими літерами.

Матрицю коротко позначають ще так:

А = (а_іj) або А =

де а_іу - елемент матриці, причому індекс і в елементі а_іj означає номер рядка; а індекс j - номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають mxn або А_mxn.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною.

А = або А =

Матриця, в якої всього один рядок, називається матрицею-рядком або вектором - рядком. розмір її 1 * n.

Матриця, в якої всього один стовпець, називається матрицею-стовпцем або вектором - стовпцем.

Розмір її m * 1.

Дві матриці А_m*n = (а_іу) та В_mxn = (в_іj) називається рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: а_{і j} = в_іj.

Нульовою матрицею називаються таку, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Ця матриця позначається буквою О.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, у якій кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Будь - якій квадратній матриці

А =

можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det A або (А)

det A = = а₁₁ М₁₁ - а₁₂ М₁₂ + … +(-1)^n-1 а_1n М_1n

Прямокутна матриця розміром m*n (де m ? n) визначника немає.

Якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх порядку, то одержана матриця називається транспонованою і позначається А^т, а вказана операція перетворення матриці А називається транспонуванням матриці А.

Наприклад:

А = , тоді А^т =

Матриці широко використовуються в плануванні виробництва та транспортних перевезень. Вони дозволяють розробляти різні варіанти плану, полегшують дослідження залежності між різними економічними показниками

Властивості матриць

Для квадратної матриці вводиться поняття - визначник матриці.

Різновиди визначників матриці є такі:

визначник матриці першого порядку;

визначник матриці третього порядку;

визначник матриці другого порядку;

визначник матриці n-го порядку.

Порядок обчислення визначників матриці такий самий, як і порядок визначення визначників.

Визначники матриці мають ряд властивостей.

Властивість 1. При перестановці рядків матриці на місце стовпців і навпаки визначник матриці не зміниться.

Властивість 2. При перестановці двох стовпців або рядків абсолютне значення визначника матриці не змінюється, а його знак змінюється на протилежний.

Властивість 3. Якщо матриця має два одинакові стовпці (рядки), тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 4. Якщо всі елементи будь - якого стовпця (рядка) матриці помножити на одне і те саме число, тоді визначник матриці виявиться помноженим на те саме число.

Властивість 5. Якщо всі елементи будь - якого стовпця (рядка) матриці дорівнює нулю, тоді визначник матриці дорівнює нулю.

Властивість 6. Нехай всі елементи будь - якого стовпця (рядка) матриці А є сумою двох елементів і відповідні стовпці матриці А₁ і А₂ складаються з таких елементів:

А = А₁ = А₁ =

тоді det А = det А₁ + det А₂

Властивість 7. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь - якого стовпця (рядка) матриці додати величини, пропорційні елементам другого стовпця (рядка).

Дії над матрицями

Додавання

Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру.

Означення: Сумою С = А + В двох матриць

А _m*n = (а_іj) і В _m*n = (в_іj) називається матриця С_m*n = С_(cj) = (а_{іj +} в_іj)

Наприклад:

А = В =

С = А + В = =



Віднімання

Означення. Різницю С = А - В двох матриць А_m*n = (а_іу) і В _m*n = (в_іу) називається матриця С_m*n = С_іу = а_іу - в_іу

Наприклад

А = В =

С = А - В = =

Примітка: Різницю А - В можна визначити як сума матриці А і матриці В помноженої на (-1) тобто С = А - В = А + (-1) * В

Множення

а) Добуток матриці А_m*n = (а_іj) на число к (або число к на матриця А_m*n) називається матриця В_m*n = (к*а_іj)

Наприклад:

А = , * к = 2 С = А* к = =

б) Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць.

Означення, Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо кількість стовпців матриці А не відповідає кількості рядків матриці В, то вони не узгоджені.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Означення. Добутком С = А * В матриці

А _m*n = (а_іj) на матрицю В _m*n = (в_іj) називається така матриця, у якої елемент



С_{і j} дорівнює сумі добутків елементів і - го рядка матриці А на відповідні елементи у-го стовпця матриці В:

С_{і j} = а_{і1 *} в_1j + а_{і2 *} в_2j + … + а_іn* в_nj

С = С_m*k = С_іj, де і = 1,2,…, m; j = 1,2,…, к.

Це правило називають правило множення рядка на стовпець.

Наприклад:

А = В = С = А • В = А_2х2 • В_2х3

С = =

А = В = (12) С = А* В = А_2*1 • В_1*2

С = =

Слід пам'ятати, що при множенні матриць А • В не можна міняти місцями множники:

А * В ? В * А

Обернена матриця

Означення. Нехай А - квадратна матриця. Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова А • А^-1 = А^-1 • А = Е

Означення. Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А = О, і не виродженою, якщо det А ? О.

Теорема 3 Для існування оберненої матриці А^-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була не виродженою.

Необхідність. Нехай матриця А^-1 існує, тоді А • А^-1 = Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det А • det А^-1 = 1, тому det А ? 0.

Достатність Нехай det А ? 0, тоді матриця А має обернену матрицю А^-1, причому

А^-1 = (1)

де А_іу - алгебраїчні доповнення елементів а_іу визначника матриці.

А = (2)

Дійсно добутки А * А^-1 і А^-1 * А вказаних матриць (2) та (1) дорівнюють матриці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи - дорівнюють нулю (за теоремою 2).Отже, А^-1 * А = А * А^-1 = Е

Наприклад

Знайти матрицю А^-1, обернену до матриці А =

Знайдемо визначник матриці А

? = det А = = 15

Матриця А^-1 = 

Для цього знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:

А₁₁= (-1)¹⁺¹ = 1; А₁₂ = (-1)¹⁺² = 7; А₁₃ = (-1)¹⁺³ = -3

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -2; А₂₂ = (-1)²⁺² = 1; А₂₃ = (-1)²⁺³ = 6

А₃₁ = (-1)³⁺¹ = 4; А₃₂ = (-1)³⁺² = -2; А₃₃ = (-1)³⁺³ = 3

Складаємо обернену матрицю:

А^-1 = =

Ранг матриці

Нехай задано матрицю А_{m* n} = А. Виділимо в матриці А будь - які к рядків і стільки ж стовпців, де (к) - число, не більше чисел (m) i (n), тобто к min (m, n).

Визначник порядку к, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором к - го порядку матриці А.

Означення. Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

З означення випливає, що:

Ранг існує для будь - якої матриці А_{m* n,} причому 0 = r (А) min (m, n);

r(А) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

Для квадратної матриці n - го порядку ранг дорівнює (n) тоді і тільки тоді, коли матриця не вироджена.

Ранг матриці можна знайти так:

Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0.

Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r = 1.

Якщо є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінор третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку к дорівнюють нулю, або мінорів порядку к не існує, тоді

r = к - 1.

Але цей спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов'язаний з обчисленням значного числа визначників. Простіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не замінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення.

переставити місцями два рядки (стовпці);

помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Наприклад:

а) Знайти ранг матриці

А = 

Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля, тобто r (А) 1.

Оскільки один з мінорів другого порядку

= 6 ? 0

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2.

Зауваження. Якщо матриця А квадратна другого порядку

А = , визначник det A ? 0, то обернену до неї матрицю А^-1 можна знайти за формулою:

А^-1 =

Тобто, треба елементи головної діагоналі матриці А поміняти місцями, а елементи неголовної діагоналі помножити на (-1) і одержану матрицю помножити на .

Наприклад:

Знайти обернену матрицю А^-1 до матриці А =

det A = = 8

А^-1 = = =



Задача Таблицею задані показники взаємних потреб пропозицій між різними галузями промисловості:

Галузі промисловості	Галузі потреби	Потреби інших галузей	Кількість усіх пропозицій
	1	2	3
1	20	48	18	14	100
2	30	12	54	24	120
3	30	36	36	72	180
Витрати праці	20	24	72

а) Визначити матрицю потреб - пропозицій А;

б) Припустимо, що через три роки потреби галузей зростуть до 24, 33, 75 показників для галузей 1,2,3, відмінно. Скільки продукції повинна виробити кожна галузь, щоб задовольнити ці потреби?

Розв'язування:

а) Елементи шуканої матриці А дорівнюють відношенню потребі і-тої галузі до загальної кількості пропозицій цієї галузі. Тому для знаходження елементів і того стовпця (і = 1,2,3) матриці А треба поділити потреби і-тої галузі, вказані в таблиці, на загальну кількість пропозицій цієї галузі.

Таким чином, ми одержимо матрицю потреб - пропозицій вигляду

А = =

в) Нехай Е - одинична матриця третього порядку. Позначимо

Д = - матриця - стовпець нових потреб

Х - матриця нових пропозицій, що відповідають новим потребам:

В = Е - А = =

Тоді Х = В^-1 * Д

Знайдемо В^-1

? = det В = = 0,336

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці В:

В₁₁ = 0,63; В₁₂ = 0,33; В₁₃ = 0,36;

В₂₁ = 0,35; В₂₂ = 0,61; В₂₃ = 0,36;

В₃₁ = 0,21; В₃₂ = 0,27; В₃₃ = 0,6.

Отже, обернена матриця буде В^-1 =

Підставимо значення Д та В^-1 * Д, одержимо

Х = =

Таким чином, першій галузі треба виробити 126,25 одиниць продукції, другій - 143,75; третій - 195 одиниць продукції через три роки.

в) Знайти ранг матриці



А =

Виконаємо елементарні перетворення:

Отже, r (А) = 3

Размещено на Allbest.ru

...