Математика в музыке и музыка в математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математика в музыке и музыка в математике

Оглавление

Введение

Часть 1. Восприятие музыки и математики

Часть 2. Что общего в математике и музыке?

2.1 Ритм

2.2 Длительность

2.3 Симметрия

2.4 Вариации

2.5 Параллели

2.6 Противоположности

2.7 Математический анализ гармонии в музыке

Заключение

Список литературы

Введение

Тема работы - "Математика в музыке и музыка в математике"

Эта тема актуальна, потому что на сегодняшний день значимость музыкального образования значительно снижается. Люди забывают о том, что музыка и математика - родные сёстры, что они просто созданы помогать друг другу. Родители, задумываясь, почему их ребёнок плохо успевает по математике, не принимают во внимание тот факт, что музыкальное образование значительно повышает способность к математике. Учитывая, что математика становится всё более популярным, но остаётся при этом не менее сложным предметом, ценность музыки и музыкального образования как вспомогательного должна повышаться, но это придёт только с пониманием способности музыки помогать в изучении математики.

Цель работы: Изучение связи музыки и математики.

Задачи: Изучить литературу по теме исследования. Найти, что объединяет музыку и математику; Доказать связь между музыкой и математикой.

Гипотеза: Мы предполагаем, что есть связь между музыкой и математикой.

Часть 1. Восприятие музыки и математики

Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущениям, был ученик Аристотеля Аристоксен. Основателем школы, ставившей во главу угла математические соотношения, был Пифагор. Его же признают создателем первой музыкальной теории.

Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной).

Для своих исследований Пифагор использовал так называемый монохорд (в переводе с греческого - однострунный). Инструмент представлял собой четырехугольный ящик длиной около 1 метра, над верхней декой (доской) располагалась одна струна, ограниченная с двух сторон порожками. Под струной располагалась двигающаяся подставка, которая позволяла изменять высоту звука.

Выяснилось, что приятные слуху созвучия - консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть описаны простыми числами. Вообще говоря, высота звука, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами - длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена, натяжением и т.д. Когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, ее натяжение и плотность материала остаются неизменными. Высота извлекаемого звука изменяется простым смещением подставки.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком, определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самые сильный обертон возникает при колебаниях 1/2 части струны, слабее 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит так: 1:2:3:4:5:6... Это так называемый натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими. Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д'Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа.

В эпоху Средневековья (с конца XII - начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум - начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум - повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики прошлого: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан д'Аламбер, Леонард Эйлер, Даниил Бернулли. Первый труд Рене Декарта - "Compendium Musicae" ("Трактат о музыке"); первая крупная работа Леонарда Эйлера - "Диссертация о звуке".

Часть 2. Что общего в математике и музыке?

музыка математика восприятие ритм

Всякий звук - это колебания обычного воздуха. Когда звучит музыкальный инструмент, колеблются струны. Когда человек поет, у него происходит колебание голосовых связок. Отсюда появляется термин "высота звука". Как измерить эту высоту? Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: каждый день мы слышим какой-нибудь ритм. Дождь ритмично отстукивает по подоконнику, ритм слышен в музыке, ритмичен звук каблуков, а двигатель в машине работает также по особому ритму и т.д. И стоит нам услышать слово "ритм", как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм - один из важнейших элементов музыки.

2.1 Ритм

Ритм - один из важнейших элементов музыки. Ритм - чередование длительностей. Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Посмотрите на эту таблицу. Первые 100 натуральных чисел расположены в виде изящной правильной фигуры - так называемого Пифагорова квадрата.

В этой таблице скрыты ритмы.

У чисел, стоящих в одной строке совпадают первые цифры, у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры.

Каким ритмом обладают числа кратные, например,3? Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Вот что у нас получается 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9| и т.д. Мы пришли к красивому, правильному, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4 . Если ещё раз вглядимся в таблицы, заметим в них правильный равномерный ритм.

Слово "ритм" изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Даже в словаре Ожегова "ритм" определяется как равномерное чередование каких-нибудь элементов. Музыкальный ритм дается как пример, а не как определение. Таким образом, "ритм" можно назвать общим понятием в области науки и искусства.

Окружающий нас мир полон ритмов.

2.2 Длительность

Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты () на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа.

В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота(), половинная(), одна четверная(), одна восьмая(), одна шестнадцатая()…

Есть такой простенький стишок, обозначающий длительности нот:

Если нота белая, это нота целая

Разделим ноту белую на половинки белые

Палочкой отметив, чтоб с той не спутать этих.

В каждой ноте половинке

По две черных четвертинки,

А в каждой четвертушке

По две восьмушке.

2.3 Симметрия

Всем известное понятие симметрия встречается не только в математике, но и в музыке. Ряд музыкальных форм строятся симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (от фр. rond - круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды - в других тональностях.

Виды симметрии:

1. Ракоходное отражение. В этом случае зеркальная плоскость ориентирована перпендикулярно к нотным линейкам.

2. Обращение интервала. Если мелодия (звуковой ряд) оригинала повышается, то в обращении - понижается на такой же интервал, и наоборот.

3. Ракоходное обращение. При этом в зеркальной части снова меняется направленность звукового ряда по высоте. Понижающаяся мелодия ракохода становится повышающейся, и наоборот.

4. Трансляционный вид. В этом случае музыкальная фраза (мелодия или более крупные отрывки музыкального произведения) повторяется, оставаясь неизменной. Но в некоторых случаях возможна асимметрия, то есть отступление от оригинала, для красоты звучания.

5. Секвенция. Многократное повторение небольшого мотива разных ступеней лада, как в восходящем, так и в нисходящем направлении.

6. Ракоходное обращении с зеркальным отражением. При этом нотный лист с написанной мелодией можно повернуть на 180°, но мелодия останется неизменной.

2.4 Вариации

Вариации - это форма музыкального произведения, состоящего из нескольких частей, каждая из которых звучит с изменениями.

Существуют 3 типа вариации:

1. Ритмические

2. Гармонические

3. Мелодические

Композитор, разрабатывая избранную им тему, может варьировать ее мелодический рисунок, видоизменять ритм и гармонию, т.е. созвучия. Разумеется, он может варьировать одновременно 2 или даже 3 элемента, с каждой вариацией всё более уходя от начальной темы.

Можно записать число 100 при помощи цифр от 1 до 9, используя каждую цифру один и только один раз. Например:

100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8*9 = 123 + 45 - 67 + 8 - 9

100 = (1+ 2 + 3 + 4)2 =13+ 23+ 33+ 43

2.5 Параллели

Параллели во множестве встречаются в природе. Например, траектории каплей дождя параллельны, В твореньях, созданных человеком тоже много параллелей. В геометрии, параллельность является одним из базовых понятий. Вспомним аксиому параллельных прямых: "Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной". Перейдем к музыке. Поразмыслим, почему ноты приходится располагать на параллельных прямых? Слово параллельный происходит от греческого параллелос - идти рядом. В древности музыканты записывали музыку по-разному: и при помощи букв, и графическими знаками - невмами, передававшими общее направление интонации, но не позволявшими выразить длительность звучания или его изменение по высоте вверх или вниз. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой: ему требуется знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки. Параллельные линии можно увидеть не только в нотах, но и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов: струны арф или органные трубы.

Прежде всего, это 5 прямых, образующих нотный стан. Параллели можно обнаружить не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки. Сравните, что получится, если одна и та же мелодия будет исполнена различными голосами, т.е. одновременно, будут петь 2 голоса. Голоса поют одинаковую мелодию, только женский голос будет звучать в верхнем регистре, а мужской - в нижнем, а звучат они параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву. Параллельно будут звучать голоса туристов при исполнении песен у воды и в хоре при условии исполнения произведений в унисон. В музыке есть, также, параллельные тональности. Параллельные тональности, мажор и минор, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются.

2.6 Противоположности

В математике существуют противоположности, такие как:

Плюс - минус;

Больше - меньше;

Деление - умножение;

Отрицательное число - положительное число;

Четное число - нечетное число;

Простое число - составное число;

Сложение - вычитание;

Четное число - нечетное число;

Половина - вдвое больше;

Делитель - кратное;

Простое число - составное число;

Прямая - кривая;

Параллельно - перпендикулярно.

В музыке тоже существуют противоположности, такие как: медленно - быстро. Эта пара играет самую важную роль в музыке. Характер песни во многом определяется ее темпом. И искажая темпы, можно исказить и всё произведение. Ещё одна противоположность в музыке - высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Некоторые инструменты устроены так, что из них можно извлекать либо только высокие звуки или же наоборот, только низкие звуки. (Например: флейты, скрипки, контрабасы и т.д.)

Противоположностей в музыке много:

Громкий - тихий;

быстрый - медленный;

длинный - короткий;

вокальная музыка - инструментальная музыка;

многоголосие - одноголосие и т.д.

Другие противоположности затрагивают уже не форму, а содержание музыки. (Легкая музыка - тяжелый рок, скорбная музыка - веселая музыка и т.д.)

2.7 Математический анализ гармонии в музыке

Очень давно, начиная с Пифагора, а может быть и еще ранее, математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки - временную и частотную шкалы. Однако, механизмы, воспроизводящие музыку по программе, появились раньше, чем механизмы-калькуляторы. Впрочем, и в письменном наследии древних культур, пожалуй, только нотные записи, как описание временного процесса, ближе всего к текстам программ. Как в партитурах, так и в текстах программ есть блоки, условия, циклы и метки, только не многие программисты и музыканты знают об этих параллелях. Правда, музыканты не могли относить машинную музыку к настоящей, возможно потому, что в ней не было ничего, кроме мертвых звуков. Да и сам машинный звук был крайне далек от звучания акустических инструментов. Видимо поэтому следующим периодом в развитии музыкальных компьютерных технологий стали исследования и разработки методов звука.

Инженеры обратились к анализу спектров акустических инструментов и к алгоритмам синтеза электронных тембров. В начале расчет звуковых колебаний выполнялся центральным процессором и крайне редко в реальном времени. Надо было закодировать ноты и назначить тембры, затем запустить программу для расчета звуковой волны и подождать несколько часов, чтобы послушать результат. Если музыкант, а точнее программист-оператор, вносил какое-то изменение в партитуру-программу, то ему приходилось снова ждать несколько часов до прослушивания. Понятно, что такая музыкальная практика не могла быть массовой. Но исследователям феномена музыки хотелось пойти дальше, чем применение машины в виде электронной музыкальной шкатулки. Так возникло другое, вполне естественное направление в музыкальном использовании ЭВМ - порождение, генерация самого нотного текста. Если в музыке действительно есть законы и человек-композитор пишет ее по правилам, то, наверное, и машину, умеющую думать, можно попытаться заставить сочинять музыку?...

Таким образом, связь музыки и математики - тема довольно емкая. Мне еще предстоит постичь многие тайны обеих, рассмотренных в данной работе, сфер человеческого творчества - математики и музыки. Однако материал, с которым я познакомилась, убедил меня в том, что "математика и музыка - сестры", которые не могут существовать отдельно. И если "математика ум в порядок приводит", то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает нам понять окружающий мир и научиться более тонко его чувствовать. В этом и состоит величайшая сила музыки и математики.

Заключение

На протяжении многих веков судьбы математики и музыки переплетались, а на сегодняшний день музыка уже даже имеет связь с информатикой. Теперь можно не только слушать "неживую" музыку с диска, но и самому сочинять музыку с помощью программ в интернете. Компьютеры могут оформлять, создавать и даже придумывать музыку, добавлять голоса к основной мелодии и многое другое. Но никому так и не удалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Что же в действительности происходит в голове композитора, создающего шедевр…

Математика и музыка - два полюса человеческой культуры, два школьных предмета, две системы мышления, тесно связанные между собой.

Решая задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел, а слушая музыку, мы погружаемся в различное пространство звуков. И мы не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел очень давно связаны друг с другом. Не смотря на то, что математика - самая абстрактная и в то же время не самая лёгкая из наук, а музыка - наиболее отвлечённый вид искусства, однако связь математики и музыки обусловлена, как исторически, так и внутренне.

Занимаясь музыкой, человек для себя развивает множество математических способностей.

О взаимосвязях музыки и математики можно говорить вечно, открывая всё новые и новые, неожиданные и скорее странные понятия и смыслы. Данное исследование доказывает, что математика и музыка имеют много общего и между ними существует связь.

Список литературы

1. Математический энциклопедический словарь. - М., 1988.

2. "Язык, музыка, математика", Б. Варга. Ю. Дюмень, Э. Лопариц., 1993.

3. А.В. Волошинов. Математика и искусство. - М., "Просвещение", 2000.

4. http://www.scienceforum.ru/2014/480/2249

5. http://vp-ch.ru/muzyka-i-matematika

6. http://videouroki.net/filecom.php?fileid=98680704

7. http://poyom.ru/Muzyka-i-matematika

8. http://www.braykovsky.com.ua/2009/01/20/math-music-and-pr/

9. http://www.pandia.ru/text/78/059/95966.php

10. http://simgeomyz.narod.ru/myz.html

Размещено на Allbest.ru