Моделювання випадкових процесів та полів із даною точністю та надійністю

Размещено на http://allbest.ru

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.01.05 - Теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Моделювання випадкових процесів та полів із даною точністю та надійністю

Розора Ірина Василівна

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики.

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, професор

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Міжнародний християнський університет (м. Київ),

завідувач кафедри загальноекономічних дисциплін.

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ПАШКО Анатолій Олексійович,

Європейський університет (м. Київ),

декан факультету інформаційних систем і технологій.

Провідна установа:Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова

НАН України,м. Київ.

Захист відбудеться 26.09.2005 р. о 1400_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).

Автореферат розісланий 25.08.2005 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої радиМоклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з актуальних задач теорії випадкових процесів є побудова математичної моделі випадкових процесів, дослідження її загальних властивостей. На сьогоднішній день інтенсивно розробляються різні методи стохастичного моделювання, зокрема, чисельного моделювання випадкових процесів, зростає також сфера застосування стохастичних моделей в різних областях природничих та соціальних наук, таких як радіотехніка, електроніка, соціологія, океанологія, фінансова математика, метеорологія, теорія масового обслуговування тощо.

Над розробкою теорії моделювання випадкових процесів та полів працювало багато науковців, серед них Михайлов Г.О., Єрмаков С.М., Ядренко М.Й., Козаченко Ю.В., Пашко А.О., Войтишек А.В., Палагін Ю.І., Шалигін О.С. та ін.

Найбільш широко розроблені методи моделювання гауссових випадкових процесів і полів. Традиційними для них є методи лінійного перетворення, ковзаючого підсумовування, авторегресії та ковзаючого середнього, метод канонічних представлень, метод подвійної рандомізації, неканонічного розкладу. В більшості робіт, присвячених комп'ютерному моделюванню випадкових процесів, не вивчаються питання про точність та надійність побудованих моделей. Вперше такі питання досліджувались у роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф., Пашка А.О.

В роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф. розглядались методи моделювання випадкових гауссових процесів, при яких модель наближує процес із даною точністю та надійністю в просторі L2([0,T]). В книзі Козаченка Ю.В. та Пашка А.О. вичаються субгауссові випадкові процеси, для них будуються моделі, які наближають процес з даною точністю та надійністю в різних банахових просторах.

Але, фактично, не вивчались моделі, що наближають з даною точністю та надійністю випадкові процеси, що не є гауссовими або субгауссовими. Крім того, взагалі не будувались моделі, що наближають задані процеси та деякі функціонали від них, такі, наприклад, як похідна, з заданою точністю та надійністю. Зрозуміло, що побудова таких моделей є актуальною задачею.

Основним завданням дисертаційної роботи є детально розглянути моделювання -субгауссових i субгауссових випадкових процесів та полів, побудувати моделі, що в рівномірній метриці наближають процес і функціонал від нього, такий як, наприклад, похідна, з даною точністю та надійністю, що і визначає актуальність роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 „Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми „Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії -субгауссових випадкових процесів, розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач моделювання випадкових процесів та полів з даною точністю та надійністю. В роботі вивчаються наступні задачі:

вивчення розподілу супремумів -субгауссових випадкових процесів і побудова та дослідження точності та надійності моделі -субгауссового стаціонарного випадкового процесу з дискретним спектром в просторі C([0,T]);

вивчення розподілу норми строго -субгауссових випадкових процесів в просторі L2([0,T]) і побудова та дослідження точності та надійності моделі строго -субгауссового стаціонарного випадкового процесу з дискретним спектром в просторі L2([0,T]);

дослідження оцінки розподілу супремумів для квадратично-гауссових випадкових процесів та застосування отриманих результатів до моделювання гауссового випадкового процесу так, що певні функціонали від процесу наближують функціонали від моделі з даною точністю та надійністю;

застосування отриманих результатів до побудови моделі ізотропного гауссового випадкового поля на одиничній сфері Sd.

Методика дослідження. В роботі використовується методи теорії моделювання випадкових процесів та полів, аналітичний апарат теорії випадкових процесів з просторів Sub() випадкових величин.

Наукова новизна одержаних результатів.

Знайдено оцінки розподілів супремумів -субгауссових випадкових процесів, що покращують відомі оцінки. Побудовано модель, яка апроксимує -субгауссовий стаціонарний випадковий процес з дискретним спектром з даною точністю та надійністю в просторі C([0,T]).

Знайдено оцінки розподілів норм строго -субгауссових випадкових процесів в просторі L2([0,T]) та побудовано модель, яка апроксимує строго -субгауссовий стаціонарний випадковий процес з дискретним спектром з даною точністю та надійністю в просторі L2([0,T]).

Для квадратично-гауссових випадкових процесів знайдено нові оцінки розподілу супремумів, що покращують відомі.

Запропоновано метод моделювання гауссового випадкового процесу, який розглядається як сигнал „на вході” деякої системи (фільтра), для нього побудовано модель, яка забезпечує надійність та точність „входу” та „виходу” системи. розподіл супремум гауссовий випадковий

Для ізотропного гауссового випадкового поля на одиничній сфері Sd знайдено модель, яка наближає поле з даною точністю та надійністю в просторі C[0,T].

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в різних областях природничих та соціальних наук, таких як фінансова математика, теорія масового обслуговування, соціологія, метеорологія та інших галузях, в яких використовуються методи стохастичного моделювання.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував п'ять робіт, з них чотири разом з науковим керівником проф. Козаченком Ю.В., в яких Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Одна робота є авторською.

Апробація результатів.

Результати дисертації доповідались та обговорювались на конференціях і наукових семінарах:

сьомій міжнародній школі „Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні” (Ласпі (Крим), 2003р.);

другій міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених „Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики'” (м. Донецьк, 2004);

третій Всеукраїнській конференції з фінансового аналізу студентів та аспірантів (м. Львів, 2004р.);

десятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 2004р.);

восьмій міжнародній школі „Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні” (Форос, 2004р.);

на другій конференції „Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці” присвяченій пам'яті А.Я. Дороговцева (м. Київ, 2004р.);

засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2004р., 2005р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано чотири статті [1]-[4] в фахових виданнях, що входять до переліку, затвердженого ВАК України, та одна стаття [5] у журналі „Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика” i шість тез доповідей на конференціях [6]-[11].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Основний текст дисертації складає 126 сторінок, список використаних джерел займає 19 сторінок і включає в себе 133 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та спорідненими питаннями, окреслено основні етапи розвитку теорії випадкових процесів з просторів -субгауссових випадкових величин, висвітлено деякі результати щодо схожих проблем моделювання випадкових процесів, які отримані іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню випадкових процесів з просторів Sub() i SSub(), вивченню властивостей квадратично-гауссових випадкових величин та процесів, стаціонарних процесів з дискретним спектром. В ньому наведено всі необхідні означення та нерівності для подальшого розгляду.

Наведемо відомі означення та властивості з теорії просторів Sub() випадкових величин.

Означення 2.1. Функція називається N-функцією Орлича, якщо - неперервна парна опукла функція, монотонно зростає при і виконуються умови:

Означення 2.2. Нехай - N-функція. Перетворенням Юнга-Фенхеля функції або функцією, спряженою до , називається функція яка визначається рівністю

Означення 2.4. Нехай така N - функція Орлича, що при для деяких та Центрована випадкова величина належить простору -субгауссових випадкових величин, якщо для всіх існує константа , для якої має місце співвідношення

Позначимо простір -субгауссових випадкових величин, визначених на ймовірнісному просторі через Sub().

Простір Sub() є банаховим простором з нормою, де - функція, обернена до .

Нехай - деякий параметричний простір.

Означення 2.5. Випадковий процес називається -субгауссовим (або з простору Sub()), якщо для всіх

Якщо при цьому то такі процеси називаються субгауссовими.

Означення 2.11. Сім'я випадкових величин з простору Sub() називається строго -субгауссовою, якщо існує визначальна стала така, що для довільної скінченної множини та довільних виконується нерівність

Відомо, якщо є строго -субгауссовою сім'єю випадкових величин, то лінійне замикання в просторі теж буде строго -субгауссовою сім'єю випадкових величин. Позначимо його через SSub().

Означення 2.12. Випадковий процес називається строго -субгауссовим (або процесом з простору SSub()), якщо відповідна сім'я випадкових величин належить простору SSub().

Означення 2.13. Нехай - сім'я сумісно гауссових випадкових величин, (наприклад, нехай є гауссовим випадковим процесом). Простір є простором квадратично-гауссових випадкових величин, якщо будь-який елемент можна подати у вигляді

Означення 2.14. Випадковий процес називається квадратично-гауссовим, якщо для кожного фіксованого випадкова величина належить простору .

В другому розділі також наведено означення стаціонарного випадкового процесу з дискретним спектром.

В третьому розділі знайдено оцінки розподілу супремуму -субгауссового випадкового процесу, вивчені умови, за яких побудована модель наближує стаціонарний -субгауссовий випадковий процес з дискретним спектром в просторах з даною точністю та надійністю.

Доведено теорему про розподіл супремуму сепарабельного -субгауссового процесу.

Теорема 3.1. Нехай - сепарабельний -субгауссовий випадковий процес.

Доведено уточнюючий наслідок у випадку, коли процес є субгауссоввий.

В третьому розділі також знаходяться умови, при яких побудована модель наближує випадковий процес з даною точністю та надійністю.

Розглянемо -субгауссовий стаціонарний випадковий процес другого порядку з дискретним спектром

Існує багато -субгаауссових процесів з одними і тими ж нормами. Ми обмежимось лише такими процесами, у яких - такі незалежні -субгауссові випадкові величини

Доведена загальна теорема для наближення сепарабельного -субгауссового випадкового процесу з дискретним спектром з даною точністю та надійністю в просторі. Одним з часткових випадків є така теорема.

Третій підрозділ третього розділу присвячений моделюванню субгауссових випадкових процесів з дискретним спектром, що є частковим випадком -субгауссових випадкових процесів.

В четвертому підрозділі третього розділу розглядаються строго -субгауссові випадкові процеси. Для них знаходяться оцінки розподілу норми процесу в просторі і будується модель, яка наближує процес з даною точністю та надійністю в просторі .

Розглянемо строго -субгауссовий стаціонарний випадковий процес з дискретним спектром. Наступна теорема дає умови, при яких модель наближує строго -субгауссовий стаціонарний процес з дискретним спектром з даною точністю та надійністю в просторі

Теорема 3.7. Випадковий процес є моделлю, що наближує строго -субгауссовий стаціонарний сепарабельний процес з даною надійністю та точністю в просторі

У четвертому розділі розглядаються гауссові випадкові процеси та поля. В першому підрозділі цього розділу були отримані оцінки розподілу супремуму для квадратично-гауссового процесу, що покращують відомі.

Нехай- квадратично-гауссовий випадковий процес, де простір

Функція є монотонно зростаючою, неперервною

Зробимо наступні позначення:

У випадку, коли та доведені теореми про розподіл супремумів квадратично-гауссових випадкових процесів. Для першого випадку має місце теорема.

Теорема 4.1. Нехай - сепарабельний квадратично-гауссовий випадковий процес.

Аналізувалась також ситуація одновимірного простору, тобто .

У другому підрозділі четвертого розділу вивчаються гауссові випадкові процеси, які можуть бути представлені у вигляді ряду.

Нехай - центрований гауссовий випадковий процес вигляду

Розглядається ситуація, коли на деяку систему (фільтр) надходить випадковий сигнал на виході системи отримується процес вигляду Припускаємо, що для всіх .

Означення 4.1. Моделлю процесу будемо називати процес вигляду

Досліджуються умови, за яких модель наближує процес із даною точністю та надійністю в банаховому просторі з урахуванням процесу, тобто процесу на виході системи. Для цього розглядається додатно-визначена квадратична форма

Означення 4.2. Будемо говорити, що модель наближує випадковий процес на вході системи з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю в банаховому просторі

Як приклад, розглядається випадок, коли процес. Доводяться теореми про наближення моделлю в рівномірній метриці випадкового процесу і похідної із даною точністю та надійністю.

В третьому підрозділі четвертого розділу розглядаються гауссові випадкові поля на одиничній сфері . Нехай - центроване гауссове випадкове поле на .

Через позначимо сферичні координати точки t, де при , а

Означення 4.3. Випадкове поле на сфері називається ізотропним у широкому сенсі, якщо

залежить тільки від кутової відстані між

Гауссове ізотропне поле допускає зображення

де - незалежні у сукупності гауссові випадкові величини, - сферичні гармоніки степеня m, які утворюють повну систему в, - кількість таких гармонік.

Розглядається задача про фільтр з лінійним перетворенням. На вході система отримує випадковий сигнал вигляду а на виході маємо

Означення 4.4. Моделлю випадкового ізотропного поля на сфері будемо називати процес вигляду

Досліджено умови, за яких модель наближує поле з урахуванням виходу із даною точністю та надійністю в банаховому просторі

Знайдено оцінки розподілу супремуму процесу Зокрема, доведено теорему.

Теорема 4.8. Нехай - випадкове сепарабельне гауссове ізотропне поле на одиничній сфері Припустимо, що ряди збігаються.

Означення 4.5. Будемо говорити, що модель наближує випадкове гауссове поле на вході системи з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю в банаховому просторі

З теореми 4.8. та означення 4.5. випливає наслідок.

Наслідок 4.7. Нехай виконуються умови теореми 4.8.

Модель наближує випадкове гауссове поле на вході системи з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю в банаховому просторі якщо для N виконуються нерівності

В останньому підрозділі четвертого розділу розглядаються гауссові стаціонарні випадкові процеси з дискретним спектром вигляду

Розглядається ситуація, коли на вхід деякої системи надходить процес, а на виході із системи отримуємо інший процес, а саме,

Припускаємо, що ряди є збіжними.

Досліджені умови, за яких модель наближує процес із даною точністю та надійністю в банаховому просторі з урахуванням процесу.

З теореми 4.10 випливає наслідок про наближення сепарабельного гауссового стаціонарного процесу на вході системи з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю в просторі

Модель наближує сепарабельний гауссовий процес з дискретним спектром з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю якщо для N виконуються нерівності

Проаналізовано випадок, коли процесом „на виході” є похідна процесу. Доведені теореми про наближення в рівномірній метриці гауссового випадкового процесу з дискретним спектром і його похідної із даною точністю та надійністю.

У висновках сформульовано основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії -субгауссових та субгауссових випадкових процесів і застосуванню цієї теорії до задач моделювання випадкових процесів з даною точністю та надійністю.

Знайдені оцінки розподілів супремумів для -субгауссових випадкових процесів. Для стаціонарних -субгауссових та субгауссових випадкових процесів з дискретним спектром побудовані моделі та доведені теореми, які дозволяють знаходити модель, що наближує процес із даною точністю та надійністю в банаховому просторі

Для стаціонарних строго -субгауссових випадкових процесів доведені теореми про наближення моделлю випадкового процесу із даною точністю та надійністю в банаховому просторі

Отримано оцінки розподілів супремумів квадратично-гауссових випадкових процесів, які покращують вже існуючі.

Розглядається ситуація, коли на деяку систему (фільтр) надходить випадковий сигнал (гауссовий випадковий процес на ). Для цього процесу будується модель. Доводяться теореми про наближення моделлю гауссового випадкового процесу з урахуванням процесу на виході системи із даною точністю та надійністю. Для цього використовуються нерівності для квадратично-гауссових випадкових процесів. Як частковий випадок, розглядаються процеси на і доводяться теореми про наближення в рівномірній метриці процесу і похідної від нього з даною точністю та надійністю.

Аналізуються ізотропні гауссові випадкові поля на одиничній сфері Для них будуються моделі і знаходяться умови, при яких побудована модель наближує ізотропне гауссове випадкове поле з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю.

Окремо вивчаються стаціонарні гауссові випадкові процеси з дискретним спектром.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Kozachenko, Yu., Rozora, I. Simulation of Gaussian stochastic processes. // Random Operators and Stochastic Equations.- 2003.- Vol. 11, № 3.- P. 275-296.

Kozachenko Yu., Rozora I. Simulation of Gaussian Stochastic Fields.// Theory of Stochastic Processes. - 2004.- Vol.10 (26), №.1-2.- P.48-60.

Розора І.В. Точність моделювання гауссових випадкових процесів з дискретним спектром.// Вісник Київського університету, Серія: фізико-математичні науки. - 2004.- № 1. - C.65-70.

Козаченко Ю.В., Розора І.В. Точність та надійність моделювання випадкових процесів з простору Sub().// Теорія Ймовірностей та Математична Статистика.- 2004.- Вип. 71.- C.93-105.

Kozachenko Yu., Rozora I. On simulation of stochastic processes from the space Sub().// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. - 2004.- № 1.- С. 72-79.

Kozachenko Yu., Rozora I. Sequences of Gaussian Random Variables // Abstract of VII International school on Mathematical and Statistical Methods in Economics, Finance and Insurance. - 8-13 September, 2003. - Laspi, Crimea, Ukraine. - P.27.

Розора І.В., Козаченко Ю.В. Точність та надійність моделювання гауссових стаціонарних процесів з дискретним спектром.//Тези конференції "Сучасні проблеми в прикладній статистиці, промисловій, актуарій та фінансовій математиці".- Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика.- 2003.- №1-2.- С.231.

Розора І. Побудова моделі для гауссових стаціонарних процесів з дискретним спектром // III Всеукраїнська конференція з фінансового аналізу студентів та аспірантів.- 19-21 квітня, 2004.- Львів. -С.72-74.

Розора І.В. Моделювання стаціонарних гауссових процесів з простору Sub(). // Матеріали Десятої міжнародної конференції імені академіка Михайла Кравчука. - Травень, 2004.-Київ.- С.632.

Rozora. I. On simulation of stochastic processes from the space Sub(). // VIII International School on Mathematical and Statistical Methods in Economics, Finance and Insurance.-21-26 July, 2004.- Foros.- P.14.

Rozora.I. Simulation of stochastic stationary Gaussian Processes with continuous spectrum. // Conference "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II", dedicated to the memory of A.Ya. Dorogovtsev.--1-5 October, 2004.- Kyiv.- Р.104.

АНОТАЦІЯ

Розора І.В. Моделювання випадкових процесів та полів з даною точністю та надійністю. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню -субгауссових i субгауссових випадкових процесів та полів в різних банахових просторах. Зокрема, отримано умови, при яких побудована модель наближує -субгауссовий випадковий процес із даною точністю та надійністю в просторах і Знайдено оцінки розподілів супремумів квадратичо-гауссових випадкових процесів. Отримані результати застосовуються для моделювання гауссового випадкового процесу так, що певні функціонали від процесу, наприклад, такий як, похідна, наближають функціонали від моделі з даною точністю та надійністю в просторі . Також для ізотропних гаауссових полів знайдено умови, при яких побудована модель наближує поле з урахуванням виходу з даною точністю та надійністю.

Ключові слова: простір -субгауссових випадкових величин, стаціонарний випадковий процес з дискретним спектром, моделювання, розподіл хвостів випадкових процесів, квадратично-гауссовий випадковий процес.

Розора И.В. Моделирование случайных процессов и полей с данной точностью и надежностью. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Одной из актуальных задач теории случайных процессов является построение модели случайных процессов, изучение их общих свойств. Это вызвано тем, что полученные результаты часто используются при решении различных задач возникающих в финансовой математике, теории массового обслуживания, биологии, радиотехнике и других отраслях науки.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории -субгауссовских и субгауссовских случайных процессов и возможному применению этой теории к задачам моделирования случайных процессов с данной точностью и надежностью.

Найдены оценки распределения супремумов для -субгауссовских случайных процессов. Для стационарных -субгауссовских и субгауссовских процессов с дискретным спектром построены модели и доказаны теоремы, которые позволяют найти модель, что приближает процесс с данной точностью и надежностью в банаховом пространстве .

Для стационарных строго -субгауссовских случайных процессов доказаны теоремы о приближении моделью случайного процесса с заданной точностью и надежностью в банаховом пространстве .

В диссертации получены оценки для распределений супремумов квадратично-гауссовских случайных процессов, которые улучшают существующие.

Рассматривается ситуация, когда на некоторую систему (фильтр) поступает случайный сигнал (гауссовский случайный процесс на ). Для этого процесса строится модель. Доказываются теоремы о приближении моделью гауссовского случайного процесса с учетом процесса на выходе системы с данной точностью и надежностью. Для полученных результатов используются неравенства для квадратично-гауссовских случайных процессов. В качестве частичного случая рассматриваются случайные процессы на и доказываются теоремы о приближении в равномерной метрике процесса и производной от него с данной точностью и надежностью.

Анализируются изотропные гауссовские случайные поля на единичной сфере Для них построены модели и находятся условия, при которых построенная модель приближает гауссовское случайное поле с учетом процесса на выходе с данной точностью и надежностью.

Отдельно изучаются стационарные случайные гауссовские процессы с дискретным спектром.

Ключевые слова: пространство -субгауссовких случайных величин, стационарный случайный процесс с дискретным спектром, моделирование, распределение хвостов случайных процессов, квадратично-гауссовский процесс.

Rozora I.V. Simulation of Stochastic Processes and Fields with given accuracy and reliability. - Manuscript.

The thesis is for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, 2004.

The thesis is devoted to the simulation of -Sub-Gaussian and Sub-Gaussian stochastic processes and fields in different Banach spaces. The conditions are obtained under which constructed model approximates -Sub-Gaussian stochastic process with given reliability and accuracy in spaces and . Supremum of Square-Gaussian stochastic processes are found. The obtained results are applied for simulation of Gaussian stochastic process such that a functional from the process for example, derivative, approximates a functional from the model with given reliability and accuracy in . The conditions for isotropic Gaussian stochastic fields are found under which the constructed model approximates stochastic fields with an allowance for output process with given reliability and accuracy.

Key words: the space of -Sub-Gaussian random variables, a stationary stochastic process with discrete spectrum, simulation, the tail distribution of stochastic processes, Square-Gaussian stochastic process.

Размещено на Allbest.ru

...