Шкали просторів як апарат лінійного і нелінійного аналізу в локально опуклих просторах

ВИСНОВКИ

1. Теорема Хана-Банаха перенесена на лінійні індуктивні шкали ТВП, разом з основними наслідками. Впродовж дисертації розглянуті численні застосування як в лінійному, так і в нелінійному аналізі.

2. Теореми про гомоморфізм, відкрите відображення і замкнутий графік перенесені на оператори в індуктивних шкалах ЛОП. Розглянуті застосування до операторів у спряжених і оператор них просторах над ЛОП.

3. Вивчені нормальні розклади просторів, спряжених до ЛОП, другий нормально спряжений простір, нормально рефлексивні простори. Розглянуті застосування до спряжених просторів з індуктивною топологією.

4. Досліджено нормальні розклади просторів лінійних і білінійних неперервних операторів над ЛОП. Доведено теореми про канонічні ізоморфізми для нормальних розкладів. Розглянуто застосування до квадратичних форм в ЛОП. Знайдено критерій додатної означеності, одержані достатні умови додатної означеності в добутку ядерних ЛОП.

5. Побудовано основи загальної теорії двоїстості шкал ЛВП. Для двоїстості шкал просторів одержані узагальнені теореми Банаха (про слабку рефлексивність), Банана-Гротендіка і Маккі-Аренса. Як застосування, одержано посилення класичної теореми Банана-Гротендіка в ЛОП.

6. Побудован розклад простору вимірних функцій в індуктивну шкалу ЛОП (шкалу збіжності майже скрізь), збіжність в якій рівносильна секвенціальній збіжності майже скрізь. Досліджені властивості побудованої шкали. Введено простір з проективною шкалою мір і досліджен його розклад в шкалу збіжності майже скрізь.

7. Досліджена задача про неперервність рівномірної границі неперервних відображень в шкали просторів. Введені і вивчені індуктивні шкали рівномірних просторів. Знайдено умови, що гарантують неперервність рівномірної границі. Як застосування, доведені теореми про неперервність по параметру суми ряду вимірних функцій з параметром і суми ряду лінійних операторів з параметром.

8. Доведена узагальнена формула Лагранжа для відображень в ЛОП і лінійні індуктивні шкали ЛОП з незліченною "винятковою множиною", одержана відповідна узагальнена формула Тейлора. У випадку нелінійних шкал одержано аналог формули Лагранжа з функціонально віддільною оцінкою. Для однорідно диференційовних відображень в нелінійні шкали ЛОП доведено збереження формули Лагранжа із замкнутою опуклою оцінкою. Для широкого класу мір узагальнена формула Лагранжа перенесена на похідні по мірі.

9. Побудована теорія нормально диференційовних відображень в ЛОП. Доведена нормальна форма теореми про середнє, її основні наслідки. Поняття нормальної диференційовності перенесено на відображення в індуктивні шкали ЛОП. Як застосування, знайдені критерії диференційовності щодо слабких топологій в банахових просторах.

10. Доведені теореми Юнга і Шварца для других нормальних похідних, теорема про почленне диференціювання, формула Тейлора в ЛОП. Як застосування, доведені теореми про почленне диференціювання по параметру рядів вимірних функцій з параметром і лінійних неперервних операторів з параметром.

11. Побудовано теорію локальних екстремумів нормально диференційовних функціоналів в ЛОП. Одержані достатні умови екстремуму в термінах других похідних, а у разі добутку ядерних ЛОП -- в термінах других частинних похідних. Розглянуто застосування до інтегральних функціоналів.

12. Побудовано теорію компактно-нормально диференційованих (K-диференційовних) відображень в ЛОП і відповідну теорію K-экстремумів. Одержані достатні умови K-экстремуму в термінах K-похідних.

13. Встановлена повторна K-диференційовність функціонала Ейлера-Лагранжа. Доведено, що додатна означеність другої нормальної похідної підінтегральної функції гарантує K-мінімум. У разі ядерного ЛОП одержано умову екстремуму в термінах других частинних похідних підінтегральної функції.

14. Доведені теореми про перестановку індуктивної і проективної границь в ЛОП і його спряженому. Одержано теорему про ядро для повторних границь ядерних ЛОП. Як застосування, вивчені простори узагальнених функцій з індуктивно-проективною топологією; одержано узагальнення теореми Крейна-Шмульяна про досконалу повноту.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Орлов И. В. Теорема Лагранжа в топологических и псевдотопологических векторных пространствах // Ученые записки Симферопольского государственного университета. Математика, физика, химия. -- 1995. -- № 1-2(40-41). -- С. 113-122.

2. Орлов И. В. Теорема Хана-Банаха в индуктивных шкалах пространств // Доповiдi НАН України. -- 1997. -- № 9. -- С. 32-36.

3. Орлов И. В. Теорема Макки-Аренса для шкал пространств // Динамические системы. -- 2000. -- Вып.16. -- С. 165-171.

4. Орлов И. В. Принципы функционального анализа в шкалах пространств: Теорема Хана-Банаха // Ученые записки ТНУ. -- 2000. -- Т. 2. -- № 13. -- C. 88-95.

5. Орлов И. В. Сходимость почти всюду как сходимость в нелинейной индуктивной шкале локально выпуклых пространств // Ученые записки Таврического нац. ун-та. Математика. -- 2001. -- Т. 14(53). -- № 1. -- C. 75-80.

6. Орлов И. В. Формула конечных приращений для отображений в индуктивные шкалы пространств // Математическая физика, анализ, геометрия. -- 2001. -- Т. 8. -- № 4. -- С. 419-439.

7. Орлов И. В. Квадратичные формы в локально выпуклых пространствах // Динамические системы. -- 2001. -- Вып.17. -- С. 196-205.

8. Орлов И. В. Нормальные индексы и шкалы операторных пространств // Функцiональний аналiз: Працi Українського математичного конгрессу-2001. -- К.: Iнститут математики НАН України. -- 2002. -- С. 193-208.

9. Орлов И. В. Нормальные индексы и нормальное дифференцирование в локально выпуклых пространствах // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. -- 2002. -- Т. 15(54). -- № 1. -- C. 112-121.

10. Орлов И. В. Теорема Юнга для нормальных производных и экстремумы функционалов в произведениях ядерных пространств // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. -- 2002. -- Т. 15(54). -- № 2. -- С. 65-74.

11. Orlov I. V. Normal functional indices and normal duality // Methods of Functional Analysis and Topology. -- 2002. -- Vol.8. -- № 3. -- P. 61-71.

12. Орлов И. В. Нормальные разложения операторных пространств над ЛВП // Функциональный анализ и его приложения. -- 2002. -- Т. 36. -- № 4. -- С. 78-80. локальний опуклий простір індуктивний

13. Орлов I. В. Канонiчний iзоморфiзм лiнiйних i бiлiнiйних операторiв у локально опуклих просторах // Доповiдi НАН України. -- 2003. -- № 1. -- С. 28-32.

14. Орлов I. В. K-диференцiйовнiсть функцiоналу Ейлера-Лагранжа // Доповiдi НАН України. -- 2003. -- № 9. -- С. 29-33.

15. Орлов И. В. Обобщенная формула конечных приращений для производных по мере // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. -- 2003. -- Т. 16(55). -- № 1. -- C. 158-168.

16. Орлов И. В. Теоремы о гомоморфизме, открытом отображении и замкнутом графике в индуктивных шкалах пространств // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. -- 2003. -- Т. 16(55). -- № 2. -- C. 49-62.

17. Орлов I. В. Умова "подвiйної щiльностi" i класифікація узагальнених функцiй // Доповiдi НАН України. -- 2004. -- № 1. -- С. 22-26.

18. Orlov I. V. Iterated limit theorem for inductively-projective topologies and its application // Methods of Functional Analysis and Topology. -- 2004. -- Vol.10. -- № 1. -- P. 54-62.

19. Орлов И. В. Теорема Макки-Аренса для проективно-индуктивной двойственности // Динамические системы. -- 2004. -- Вып.18. -- C. 175-185.

20. Orlov I. V. Banach homomorphism theorem in inductive scales of spaces and its applications // Methods of Functional Analysis and Topology. -- 2004. -- Vol.10. -- № 4. -- P. 74-85.

21. Орлов И. В. Достаточные условия экстремума и K-экстремума в произведении двух ядерных ЛВП (общий случай) // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. -- 2004. -- Т. 17(56). -- № 1. -- C. 68-77.

22. Orlov I. V. A termwise differentiation in the inductive scales of the locally convex spaces // Operator Theory: Advances & Appl. V.118. -- Basel-Boston-Berlin: Birkhдuser. -- 2000. -- P. 321-333.

23. Orlov I. V. Extreme Problems and Scales of the Operator Spaces // North-Holland Math Studies. Vol.197. -- Functional Analysis and its Applications. -- Amsterdam-Boston-...: Elsevier. -- 2004. -- P. 209-228.

24. Орлов И. В. Теорема Лагранжа и ее обобщение в современной математике // Математика сегодня'87. -- К.: Вища школа. -- 1987. -- С. 169-188.

25. Орлов И. В. Дифференциальное исчисление в бесконечномерных пространствах // Математика сегодня'92. -- К.: Вища школа, 1992. -- С. 45-75.

26. Orlov I. V. Mean Value Theorem for the Homogeneously Differentiable Mappings // Spectral and Evolutional Problems: Proceedings of the Fourth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.4 -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1995. -- P. 185-190.

27. Orlov I. V. An Uniform Limit Continuity in a Pseudotopological Vector Space // Spectral and Evolutional Problems: Proceedings of the Fifth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.5. -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1996. -- P. 58-65.

28. Orlov I. V. A Termwise Differentiation in Linear and Nonlinear Scales of Locally Convex Spaces. I. The Case of Scalar Argument // Spectral and Evolutional Problems: Proceedings of the Fifth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.5. -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1996. -- P. 116-124.

29. Orlov I. V. Differentiability and Homogeneous Differentiability in Pseudotopological Vector Spaces // Spectral and Evolutional Problems: Proceedings of the Sixth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.6. -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1996. -- P. 292-302.

30. Orlov I. V. A Termwise Differentiation in Linear and Nonlinear Scales of Locally Convex Spaces. II. General Case // Spectral and Evolutional Problems: Proceedings of the Sixth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.6. -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1996. -- P. 303-314.

31. Orlov I. V. Hahn-Banach Theorem in Linear and Nonlinear Scales of the Topological Vector Spaces // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.7 -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1997. -- P. 27-31.

32. Orlov I. V. The Space of Measurable Functions with Almost Everywhere Convergence is a Nonlinear Scale of the Locally Convex Spaces // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.8. -- Simferopol: Tavria. -- 1998. -- P. 37-42.

33. Orlov I. V. Banach-Grothendieck theorem for the scales of spaces // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Tenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.10. -- Simferopol. -- 2000. -- P. 35-39.

34. Орлов И. В. Нормальные индексы линейных и нелинейных отображений в локально выпуклых пространствах и шкалах пространств // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. -- 2001. -- Vol.11 -- P. 18-29.

35. Орлов И. В. Нормальная дифференцируемость и экстремумы функционалов в локально выпуклом пространстве // Кибернетика и системный анализ. -- 2002. -- № 4. -- С. 24-35.

36. Орлов И. В. Теорема Банаха-Гротендика для проективных шкал пространств // Таврический вестник информатики и математики. -- 2003. -- № 1. -- С. 105-117.

37. Орлов И. В. Шкалы равномерных пространств и равномерная сходимость // Таврический вестник информатики и математики. -- 2003. -- № 2. -- С. 71-88.

38. Орлов И. В. Обобщенная формула конечных приращений и ее приложения // XI Всесоюзн. школа по теории операторов в функц. пространствах. Тезисы докладов. Часть II. -- Челябинск. -- 1986. -- С. 95.

39. Орлов И. В. Об определении производной в бесконечномерных пространствах // XIV Всесоюзн. школа по теории операторов в функц. пространствах. Тезисы докладов. Часть II. -- Новгород. -- 1989. -- С. 93.

40. Орлов I. В. Порiвняння вектор-функциiй на фiльтрах // Спектральнi i еволюцiйнi задачi: Тези доповiдей. -- Київ: УМК ВО. -- 1991. -- С. 39-40.

41. Orlov I. V. Separable Convex Estimation in the Mean Value Theorem // Spectral and Evolutional Problems: Summaries of lectures and papers of the Third Crimean Fall Mathematical School-Symposium. Vol.3. -- Simferopol: Simferopol State University. -- 1993. -- P. 103-104.

42. Orlov I. V. Termwise differentiation in the scales of locally convex spaces (pseudotopological approach) // Mark Krein Intern. Conference. Operator Theory and Appl. August 18-22, 1997, Odessa (Ukraine). Book of Abstracts. -- Odessa. -- 1997. -- P. 80-81.

43. Orlov I. V. Duality of the inductive scales of the spaces // International Akhiezer Centenary Conference: Theory of Functions and Mathematical Physics, Kharkiv, August 13-17, 2001. Book of abstracts. -- Kharkiv. -- 2001. -- P. 72-73.

44. Orlov I. V. Projective indices and dual scales of the spaces // International Conference on Functional Analysis, Kyiv, Ukraine, August 22-26, 2001. Abstracts. -- Kyiv. -- 2001. -- P. 73.

45. Орлов И. В. Нормальные разложения операторных пространств над ЛВП // Воронежская зимняя математическая школа-2002. -- Воронеж: ВорГУ. -- 2002. -- С. 62-63.

46. Орлов И. В. Шкалы пространств как аппарат нелинейного анализа в ЛВП // Воронежская зимняя математическая школа-2002. -- Воронеж: ВорГУ. -- 2002. -- С. 63-64.

47. Orlov I. Euler variational equation in locally convex space // International Conference on Functional Analysis and its Applications, May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. Book of abstracts. -- Lviv. -- 2002. -- P. 152-153.

48. Орлов И. В. Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике в индуктивных шкалах пространств // Международная конференция, посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (XXI совместное заседание ММО и семинара им. И. Г. Петровского): Тезисы докладов. -- М.: Изд-во МГУ. -- 2004. -- С. 152.

49. Орлов И. В. Теорема Хана-Банаха в индуктивных шкалах пространств и ее приложения // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня-3 липня 2004, Чернівці, Україна). Тези доповідей. -- Чернівці: Чернівецький націон. ун-т. -- 2004. -- C. 82.

50. Orlov I. V. Compact extremums of integral functionals // Operator Theory and Applications in Mathematical Physics. July 6-11, 2004 (OTAMP 2004). Book of abstracts. -- Poland: Bedlewo Mathematical Conference Center. -- 2004. -- P. 24.

Орлов І. В.

Шкали просторів як апарат лінійного і нелінійного аналізу в локально опуклих просторах. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертація присвячена формуванню і застосуванню апарату аналізу в шкалах ЛОП до задач лінійного і нелінійного аналізу в ЛОП. У роботі розвинений новий науковий напрям -- застосування розкладань операторних просторів над ЛОП в шкали ЛОП до дослідження проблем власне в ЛОП.

На індуктивні шкали ЛОП перенесений ряд основних принципів функціонального аналізу. Вивчені нормальні розклади спряжених і операторних просторів над ЛОП, додатно означені квадратичні форми в ЛОП. Побудовані основи теорії двоїстості шкал ЛОП. Доведені нові теореми про перестановку індуктивної і проективної границь. Збіжність майже скрізь описана як збіжність в індуктивній шкалі ЛОП. Знайдено умови неперервності рівномірної границі неперервних відображень в індуктивну шкалу просторів.

Знайдені нові форми теореми Лагранжа для відображень в ЛОП і шкали ЛОП. На основі методу нормальних розкладів істотно модифіковане диференціальне числення в ЛОП. Побудовано теорію екстремумів в ЛОП у випадках однієї і багатьох змінних. Побудовано теорію K-диференційовних відображень і K-екстремумів у ЛОП. Доведена повторна K-диференційовність і знайдені умови K-екстремума функціонала Ейлера-Лагранжа в ЛОП.

Ключові слова: локально опуклий простір, шкала локально опуклих просторів, індуктивні і проективні границі, нормальні розклади, нормальні похідні, K-похідні, функціонал Ейлера-Лагранжа.

Орлов И. В.

Шкалы пространств как аппарат линейного и нелинейного анализа в локально выпуклых пространствах. -- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена формированию и применению аппарата анализа в шкалах ЛВП к ряду важных задач линейного и нелинейного анализа в ЛВП. В работе развито новое научное направление в функциональном анализе -- применение разложений операторных и функциональных пространств над ЛВП в индуктивные шкалы ЛВП к исследованию линейных и нелинейных проблем собственно в ЛВП.

На случай индуктивных шкал ЛВП перенесена теорема Хана-Банаха и ее основные следствия, теоремы о гомоморфизме, открытом отображении и замкнутом графике. Изучены нормальные разложения пространств, сопряженных к ЛВП, в индуктивные шкалы банаховых пространств, второе нормально сопряженное пространство, нормально рефлексивные пространства. Изучены нормальные разложения операторных пространств над ЛВП в индуктивные шкалы ЛВП. Найдены условия положительной определенности квадратичных форм в ЛВП и в произведении ядерных ЛВП.

Построены основы теории двойственности индуктивных и проективних шкал ЛВП на базе понятия проективного оснащения шкалы ЛВП. Получены аналоги теорем Банаха о слабой рефлексивности, Банана-Гротендика, Макки-Аренса. Доказаны новые теоремы о перестановке индуктивного и проективного пределов. Изучены пространства обобщенных функций с индуктивно-проективной топологией, получены обобщения теоремы Крейна-Шмульяна.

Сходимость почти всюду описана как сходимость в индуктивной шкале ЛВП, получен аналог для пространства с проективной шкалой мер. Найдены условия непрерывности равномерного предела непрерывных отображений в индуктивную шкалу пространств.

Доказана обобщенная формула Лагранжа для отображений в ЛВП и линейные индуктивные шкалы ЛВП с несчетным "исключительным множеством", получена соответствующая обобщенная формула Тейлора. В случае нелинейных шкал получен аналог формулы Лагранжа с функционально отделимой оценкой. Для однородно дифференцируемых отображений в нелинейные шкалы ЛВП доказано сохранение формулы Лагранжа с замкнутой выпуклой оценкой. Для широкого класса мер обобщенная формула Лагранжа перенесена на производные по мере.

На основе метода нормальных разложений и нормальных индексов существенно модифицировано дифференциальное исчисление в ЛВП, уровень алгоритмичности приближен к случаю банаховых пространств. Получена нормальная форма теоремы о среднем, ее основне следствия, теоремы Юнга и Шварца для вторых нормальних производных, формула Тейлора в ЛВП. Построена теория локальних экстремумов нормально дифференцируемых функционалов в ЛВП и в произведении ядерных ЛВП.

Построена теория компактно-нормально дифференцируемых (K-дифференцируемых) отображений в ЛВП и соответствующая теорія K-экстремумов. Установлена повторная K-дифференцируемость функционала Ейлера-Лагранжа в пространстве Соболева над ЛВП. Получены условия K-экстремума функционала Ейлера-Лагранжа в случае одной и многих переменных.

На протяжении диссертации рассмотрены многочисленные конкретне примеры и приложения полученных результатов.

Ключевые слова: локально выпуклое пространство, шкала локально выпуклых пространств, индуктивные и проективные пределы, нормальные разложения, нормальные производные, K-производные, функционал Ейлера-Лагранжа.

Orlov I. V.

Scales of spaces as a means of linear and nonlinear analysis in locally convex spaces. -- Manuscript.

Thesis for a doctor's degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2005.

Thesis deals with the formation and application of the means of analysis in the scales of LCS to the problems of linear and nonlinear analysis in LCS. A new scientific approach is developed in the work, namely, application to the investigation of the problems in LCS as such of the decompositions of operator spaces over the LCS into the scales of LCS.

A number of main principles of functional analysis is transferred over the inductive scales of LCS. The normal decompositions of the dual spaces and operator spaces over LCS, the positive definite quadratic forms in LCS are studied. The base of the duality theory for the scales of LCS is constructed. The new theorems concerning permutation of the inductive and projective limits are proved. The almost everywhere convergence is described as convergence in an inductive scale of LCS. The continuity conditions for a uniform limit of the continuous mappings into an inductive scale of spaces are founded.

The new forms of the Lagrange's theorem for the mappings into LCS and inductive scales of LCS are founded. The differential calculus in LCS is essentially modified by means of the method of normal decompositions. A theory of extremums in LCS, both in the cases of one and several variables, is constructed. A theory of K-differentiable mappins and K-extremums in LCS is constructed. The repeated K-differentiability of the Euler-Lagrange functional is proved and ones K-extremum conditions are founded.

Keywords: locally convex space, scale of locally convex spaces, inductive and projective limits, normal decompositions, normal derivatives, K-derivatives, Euler-Lagrange functional.

Размещено на Allbest.ru