Топологічна та символьна складність унімодальних відображень
Умови монотонності топологічної ентропії для одного класу неполіноміальних сімей унімодальних відображень. Нідинг-інваріант і топологічна ентропія для однопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень. Символьна складність підзсувів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 12.08.2014 |
| Размер файла | 131,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Топологічна та символьна складність унімодальних відображень
01.01.02 -- диференціальні рівняння
ВОЛКОВА Оксана Юріївна
Київ--2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук
КОЛЯДА Сергій Федорович,
Інститут математики НАН України,
старший науковий співробітник
відділу теорії динамічних систем.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович,
Київський національний університет імені Тараса Шевченка,
завідувач кафедри математичної фізики;
кандидат фізико-математичних наук
ПОЛУЛЯХ Євген Олександрович,
Інститут математики НАН України,
науковий співробітник відділу топології.
Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Теорія динамічних систем є теоретичним базисом для вивчення різноманітних моделей, що описують події довколишнього світу. За допомогою динамічних систем вдається виявити та вивчити багато нових, раніше не досліджених, властивостей реальних явищ та процесів. Вони привертають увагу науковців різних галузей завдяки поєднанню в них простоти формулювання задачі і широкого спектру типів поведінки.
Сучасна теорія динамічних систем бере початок з книги Анрі Пуанкаре ``Нові методи небесної механіки'' кінця XIX століття. Одним із класичних напрямків теорії динамічних систем є теорія маловимірних (зокрема, одновимірних) відображень. Вони вперше почали досліджуватись А. Данжуа (A. Denjoy) і П. Фату (P. Fatou), та інтенсивно вивчаються з 60-70-х років минулого сторіччя. Вагомий внесок в їх розвиток зробили Д.В. Аносов, В.І. Арнольд, А.Б. Каток, А.М. Степин, О.М. Шарковський, Р. Боуен (R. Bowen), С. Смейл (S. Smale), В. Перрі (W. Parry), та пізніше -- О.М. Блох, С.Ф. Коляда, М.Ю. Любіч, Л. Алседа (L. Alsedб), Л. Блок (L. Block), Х. Браун (H. Bruin), Ф. Хофбауер (F. Hofbauer), Дж. Гукенхеймер (J. Guckenheimer), Дж. Мілнор (J. Milnor), М. Мішюревич (M. Misiurewicz), Я. Смітал (J. Smital), Л. Снога (L. Snoha), С. ван Стрін (S. van Strien), В. Шленк (W. Szlenk), М. Цуджі (M. Tsujii) та інші.
До початку 70-х років минулого століття зусилля дослідників були здебільшого зосереджені на вивченні динаміки гомеоморфізмів (як правило дифеоморфізмів), в той час як необернені (маловимірні) неперервні відображення майже не вивчались. Ситуація істотно змінилась після появи статті -- T.Y. Li, J.A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82(1975), 985-992, де було вперше введено поняття хаосу для відображень. Як виявилося, основний результат роботи Лі та Йорка був лише окремим випадком теореми про співіснування періодів періодичних траєкторій, яку довів більше ніж 10 років до цього О.М. Шарковський (зараз відомої як теорема Шарковського). Слід зазначити, що ця робота стимулювала дослідження одновимірних відображень не тільки відрізка прямої, а також кола, дерев, графів та інших одновимірних континуумів. Сьогодні теорія цих відображень розвинута досить повно в багатьох напрямах.1Однією з центральних проблем теорії одновимірних відображень є проблема монотонності топологічної ентропії для різних класів однопараметричних сімей відображень відрізка. Вона формулюється так: якщо однопараметрична сім'я відображень є монотонною функцією параметра, то чи буде топологічна ентропія також монотонною функцією параметра? Цю проблему почали вивчати з середини 70-х років минулого сторіччя. На сьогодні позитивну відповідь отримано лише для окремих сімей відображень, а також побудовано декілька контрприкладів, які уточнюють формулювання проблеми в загальному випадку. Монотонність ентропії доведена для деяких поліноміальних сімей відображень. Зокрема, довгий час відкритим було питання: чи є топологічна ентропія для сім'ї квадратичних відображень монотонною функцією параметра і багато зусиль було спрямовано на її розв'язання. Повне доведення монотонності ентропії для таких відображень було наведено Мілнором та Тьорстоном у їх спільній роботі.2 Інші доведення знайдено пізніше Дуаді (A. Douady) та Цуджі. В усіх доведеннях використовувалися методи теорії функцій комплексної змінної, які грунтуються на такій ідеї: квадратичне відображення розглядають в комплексній площині і далі використовують структуру комплексних аналітичних відображень. На сьогодні не відомо жодного доведення, яке б використовувало лише методи теорії функцій дійсної змінної. Тому актуальною проблемою є знаходження ``дійсних'' (тобто таких, що не потребують виходу в комплексну площину) властивостей, які необхідні для монотонності ентропії для сімей квадратичних відображень.
Крім поліноміальних відображень, монотонність ентропії доведена для деяких класів кусково-лінійних відображень. Цікаво, що серед кусково-лінійних відображень було знайдено приклади як монотонних сімей (приклади Цуджі, Бракс (K. Brucks) ), так і сімей, для яких порушується монотонність ентропії (контрприклад Здунік (A.Zdunik) ). Тому важливим та актуальним є систематичне вивчення класу кусково-лінійних відображень.
Нещодавно доведено монотонність топологічної ентропії для одного спеціального класу однопараметричних сімей відображень інтервалу. Методи доведення для цього класу дають можливість робити узагальнення для неполіноміальних сімей, а також знаходити принципово нові відображення, для яких топологічна ентропія була б монотонною функцією.
Вивчення властивостей монотонності топологічної ентропії є лише одним із способів дослідження складності динамічних систем. Інший спосіб полягає у використанні методів символьної динаміки. Нехай унімодальне відображення, тобто неперервне відображення інтервалу в себе з єдиною точкою екстремуму int Траєкторії довільної точки ставиться у відповідність послідовність символів , де якщо і якщо . Зсув на просторі таких послідовностей відповідає відображенню . Отже, вивчаючи відповідну символьну систему, ми вивчаємо і властивості даної системи . Виявляється, що у випадку унімодальних відображень послідовність, яка відповідає точці (її називають нідинг-послідовністю або нідинг-інваріантом), визначає динаміку всієї символьної системи. Ідея нідинг теорії вперше з'явилася у статті М'юбержа,3 але подальший розвиток цієї теорії належить Мілнору та Тьорстону.
В останні роки теорія символьної динаміки значно розширилася, з'явився новий напрямок -- теорія підстановочних зсувів та зсувів, які породжуються кусково-лінійними ізометріями та полігональними більярдами. Цей напрямок зараз інтенсивно вивчається дослідницькими групами у Франції, Норвегії, Нідерландах, Англії. У зв'язку з цим, дослідження складності динамічної системи може бути здійснене в термінах деякого класу підзсувів, які породжуються відображеннями . Відображення розглядаються на канторових множинах, наприклад, на -граничних множинах критичної точки. Ці канторові системи формують клас мінімальних канторових систем, які можуть бути вивчені за допомогою підзсувів. Мірою складності підзсуву є загальна кількість слів довжини в деякій мові, яка породжується відображенням відрізка Властивості числа як функції, яка залежить від комбінаторики відображення, залишаються не досить вивченими. Також таке питання, як дослідження зв'язку функції з властивостями динамічної системи є не досить вивченим.
Таким чином, викладені факти свідчать про актуальність проблеми.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках наукової теми ``Топологічна динаміка і нескінченновимірні динамічні системи'' (номер держреєстрації 0101U000644).
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження топологічної та символьної складності відображень відрізка, а саме: вивчення властивостей монотонності топологічної ентропії однопараметричних сімей унімодальних відображень та символьної складності підзсувів, які породжуються унімодальними відображеннями з певними комбінаторними властивостями.
Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і основні з них такі:
· Узагальнено умови монотонності топологічної ентропії для одного класу неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові відображення, для яких топологічна ентропія -- монотонна функція параметра.
· Для деяких однопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія -- монотонно зростаючі функції параметра.
· Для сімей барн-відображень знайдено множину параметрів таку, що нідинг-інваріант і топологічна ентропія не є монотонними функціями параметра. Методами теорії динамічних систем дано пояснення, чому такі відображення не можна апроксимувати відображеннями з від'ємним шварціаном.
· Досліджено символьну складність підзсувів, які породжуються відображеннями інтервалу з заданими комбінаторними властивостями. Зокрема, отримано точні формули функції складності для Фібоначчі-подібних нідинг-підзсувів. Доведено, що для Фібоначчі нідинг-підзсувів не існує границі . Встановлено зв'язок між підстановочними зсувами та нідинг-підзсувами Фібоначчі.
Теоретичне та практичне значення одержаних результатів. Одержані результати і методика досліджень мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані у подальших дослідженнях проблеми монотонності топологічної ентропії відображень відрізка, вивченні символьної складності підзсувів, породжених унімодальними відображеннями, а також зв'язку зсувів з теорією чисел.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. Професору Х. Брауну належить постановка задач підрозділу 3.3 та обговорення можливих шляхів їх розв'язання.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися неодноразово на семінарі відділу теорії динамічних систем Інституту математики НАН України (керівник: член-кор. НАН України О.М.Шарковський) та семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету ім.Тараса Шевченка (керівник: член-кор. НАН України М.О.Перестюк). Основні результати роботи доповідалися на міжнародних наукових форумах: IX міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2002); ``6th Czech-Slovak Workshop on Discrete dynamical systems'' (Прадед, Чеська республіка, 2002); ``Symposium on Real and Complex One-Dimensional Dynamics'' (Уорвік, Англія, 2002); ``International Conference in Dynamical Systems, in memory of W. Szlenk'' (Варшава, Польща, 2005).
Публікації. Результати дисертації опубліковано у статтях [1-6] в наукових фахових виданнях та тезах конференції [7].
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та бібліоґрафії, яка містить 73 найменування. Повний обсяг роботи складає 114 сторінок, з них бібліоґрафія займає 7 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі міститься коротка історія проблеми та огляд результатів, пов'язаних з темою дисертації. Описано зміст окремих розділів та наводяться основні результати роботи.
Перший розділ присвячено огляду літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому висвітлено також і сучасну точку зору на основні підходи до вивчення топологічної та символьної складності відображень відрізка прямої. Наводяться основні поняття та факти з даної проблеми, крім того, розглядаються ключові ідеї та методи, які використовуються в подальшому для доведення результатів.
У першому підрозділі розглядаються основні поняття теорії унімодальних відображень. Подано основні означення та властивості цих відображень, зокрема властивості відображень з від'ємним шварціаном.
Другий підрозділ присвячено топологічній ентропії -- одному з центральних об'єктів теорії динамічних систем, зокрема, проблемі монотонності топологічної ентропії як функції на просторі неперервних відображень відрізка. Наводиться стислий огляд результатів з даної проблеми, а також окреслено ряд питань, що залишаються нерозв'язаними.
У третьому підрозділі розглядаються основні поняття та факти теорії символьної динаміки, зокрема, теорії нідингів. Подано основні твердження, які стосуються комбінаторних властивостей унімодальних відображень. Також, стисло окреслюється ряд проблем, пов'язаних з новим напрямком символьної динаміки -- теорією символьної складності.
Другий розділ присвячено дослідженню властивостей монотонності топологічної ентропії для деяких класів відображень відрізка в себе.
У підрозділі 2.1 досліджуються властивості монотонності топологічної ентропії для спеціальної однопараметричної сім'ї унімодальних відображень.
Нехай -- замкнений відрізок прямої і -- однопараметрична сім'я унімодальних відображень, тобто неперервних відображень інтервалу в себе з єдиною точкою екстремуму , яка належить int (надалі будемо називати її критичною точкою). У випадку, коли -- сім'я кусково-монотонних (таких, що мають скінчене число інтервалів монотонності) і, зокрема, унімодальних відображень існує зручна формула обчислення топологічної ентропії для довільного де -- число інтервалів монотонності відображення. В дисертаційній роботі топологічна ентропія розглядається як дійснозначна функція на просторі всіх неперервних відображень інтервалу в себе з топологією рівномірної збіжності.
Проблема монотонності топологічної ентропії формулюється так: якщо сім'я відображення є монотонною функцією параметра, то чи вірно, що топологічна ентропія буде монотонною функцією параметра? Позитивна відповідь на цю проблему відома лише для декількох сімей поліноміальних відображень, а також деяких класів кусково-лінійних відображень. Тому природно виникає питання: чи існують інші класи унімодальних відображень, для яких топологічна ентропія була б монотонною функцією параметра?
У першому параграфі сформульовано результат Цуджі, який відіграє важливу роль в наших дослідженнях. Нехай деяка однопараметрична сім'я унімодальних відображень. Цуджі4 довів, що топологічна ентропія сім'ї відображень - монотонно зростаюча функція параметра, якщо задовольняє такі умови.
(C1) Відображення мають одну й ту ж саму критичну точку для всіх
(C2) Сім'я відображень належить до класу -гладких відображень по x та t.
(C3) Відображення є S-унімодальним (тобто унімодальним з від'ємним шварціаном) на відкритому околі одиничного інтервалу для кожного t.
(C4) Функції де відповідають гілкам відображення задовольняють умови:
(B1) і
(B2) для будь-якого
Як приклад, Цуджі розглянув сім'ю відображень, для якої топологічна ентропія -- монотонна функція параметра:
Використовуючи результат Цуджі, в підрозділі 2.1 ми знаходимо принципово новий клас однопараметричних сімей унімодальних відображень, для якого топологічна ентропія є монотонно зростаючою функцією параметра.
Teoрeма 2.2
Нехай функція така: де функції, які задовольняють умови:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) та для всіх (якщо то умови (3)-(5) аналогічні, тільки аргументом функцій та є )
Тоді топологічна ентропія однопараметричної сім'ї унімодальних відображень
є монотонно зростаючою функцією параметра t.
Теорема 2.2 дає можливість знаходити нові класи неполіноміальних унімодальних відображень, для яких топологічна ентропія -- монотонна функція параметра. Нагадаємо, що всі відомі відображення, для яких доведено монотонність топологічної ентропії, стосуються поліноміальних та деяких кусково-лінійних відображень.
Наведемо декілька прикладів відображень з властивостями із теореми 2.2. топологічний ентропія унімодальне відображення
Приклад 2.3
Якщо то для відображення -- це відображення вигляду 2.1.
Сім'я вигляду (2.1) є однопараметричною сім'єю дробово-лінійних відображень з нульовою похідною Шварца. Наскільки нам відомо, на сьогодні вказана сім'я є єдиною сім'єю дробово-лінійних відображень, для якої доведена монотонність топологічної ентропії.
Приклад 2.4
Нехай де числові параметри такі, що задовольняють систему нерівностей:
Тоді для відображення -- це відображення вигляду:
Приклад 2.5
Нехай Тоді для відображення-- це відображення вигляду:
Слід зауважити, що в даних прикладах відображення не диференційоване в критичній точці c.
У другому підрозділі вивчається клас кусково-лінійних унімодальних відображень і досліджуються властивості монотонності топологічної ентропії для однопараметричних сімей таких відображень.
Відомо, що для сімей кусково-лінійних унімодальних відображень, що складаються з двох лінійних кусків (так званих симетричних тент-відображень) топологічна ентропія -- строго монотонна функція параметра для . В цьому випадку відоме точне значення топологічної ентропії. В першому параграфі підрозділу 2.2 наводиться нове доведення монотонності топологічної ентропії для тент-відображень. Ми подаємо це доведення, оскільки ідея та метод доведення використовуються в наступних параграфах.
Нехай -- сім'я унімодальних відображень. Нідинг-інваріантом відображення називається нескінченна послідовність символів 0, C, 1, яка визначається так:
Для послідовностей символів 0,C,1 існує лексикографічний порядок, який визначається так: якщо і K' співпадають до n-1 символу і (де ), то якщо кількість символів “1” в парне (непарне).
Згідно з результатами Мілнора та Тьорстона, топологічна ентропія унімодального відображення залежить лише від нідинг-інваріанта і ця залежність монотонна в сенсі лексикографічного порядку, визначеного для нідинг-послідовностей. Тому для доведення монотонності ентропії достатньо довести монотонність нідинг-інваріанту. Як показав Цуджі,2.5 нідинг-інваріант монотонно залежить від параметра для сім'ї відображень (яка -гладко залежить від t), якщо критична точка c відображення є періодичною періоду n, тоді
Як вже зазначалося, топологічна ентропія сім'ї тент-відображень є монотонною функцією. Наступний результат (з якого, зокрема, випливає цей факт) використовується при доведенні властивості монотонності ентропії для інших сімей.
Teoрeма 2.5 Нехай -- симетричне тент-відображення. Тоді для всіх і для всіх має місце нерівність
Зокрема, для a і n таких, що і для
Відомо, що для деяких класів відображень було знайдено контрприклади до проблеми монотонності топологічної ентропії. Один із таких прикладів належить Здунік.2.6 Вона побудувала клас кусково-лінійних унімодальних відображень на відрізку [0,1], що складаються з восьми лінійних кусків, які опуклі, симетричні та такі, що їх не можна апроксимувати в -топології відображеннями з від'ємним шварціаном.
В другому параграфі підрозділу 2.2 ми посилюємо результат Здунік. Доведено, що топологічна ентропія може бути немонотонною функцією для кусково-лінійних унімодальних відображень, які опуклі, симетричні, але складаються з чотирьох лінійних кусків.
Означення 2.1 Сім'я кусково-лінійних унімодальних відображень називається сім'єю барн-відображень, якщо де a -- параметр монотонності, а -- опукле, симетричне відображення, графік якого складається з 4 лінійних кусків і таке, що де c -- єдина точка максимуму В силу симетричності та опуклості відображення , параметр A можна однозначно співставити з однією з точок монотонності графіка відображення, де порушується його лінійність. Тобто можна вважати, що A -- це фіксована точка, яка належить множині.
Доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія однопараметричних сімей барн-відображень можуть бути немонотонними функціями для деяких значень параметра a.
Teoрeма 2.6 Якщо сім'я барн-відображень має наступні властивості:
1) така, що де нерухома точка відображення
Тоді існує такий параметрщо для всіх виконується співвідношення
Теорема 2.6 показує механізм та причину порушення монотонності ентропії для сімей барн-відображень. Крім цього, в третьому параграфі підрозділу 2.2 методами теорії динамічних систем дається пояснення, чому такі відображення не можна апроксимувати гладкими відображеннями з від'ємним шварціаном.
Наслідок 2.2 Для унімодального відображення з і нерухомою точкоюне існує параметра a, для якого і була б не відштовхуючою.
Подібна теорема про порушення монотонності ентропії має місце для сім'ї кусково-лінійних відображень з довільною кількістю лінійних кусків.
На завершення другого параграфу підрозділу 2.2, розглядається приклад.
Приклад 2.6 Нехай -- сім'я барн-відображень, означена вище. Тоді для відкритої області
теорема 2.6 має місце. Область F відповідає умовам з теореми 2.6.
Останній параграф підрозділу 2.2. присвячено проблемі знаходження ``дійсних'' (тобто таких, що не потребують виходу в комплексну площину) властивостей, які необхідні для монотонності ентропії для сімей квадратичних відображень. Для цього вивчаються питання, які поставили К. Бракс та Х. Браун. Нехай -- однопараметрична сім'я барн-відображень і множина неспадаюча функція відносно параметра a:
1) описати множину параметрів
2) чи можливо, використовуючи властивості монотонності барн-відображень, отримати монотонність топологічної ентропії для квадратичних відображень (наприклад, шляхом апроксимації в деякій топології)?
В цьому параграфі дається часткова відповідь на перше питання.
Нехай, а Покладемо
Teoрeма 2.7
Нехай -- сім'я барн-відображень. Тоді існує принаймні одне таке, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія -- монотонно зростаючі функції параметра де
Третій розділ дисертації присвячено дослідженню символьної складності одного класу мінімальних підзсувів, що виникають з відображень відрізка з заданими комбінаторними властивостями.
В першому підрозділі містяться необхідні для цієї частини роботи означення та факти.
В другому підрозділі розглядаються властивості мінімальних Фібоначчі-подібних відображень відрізка, які розглядаються на (притягуючих) канторових множинах (більш точно, на омега-граничних множинах критичної точки).
Нехай -- унімодальне відображення з критичною точкою с. Число називають числом відтинання, якщо (де -- образ центральної гілки відображення ). Вивчаються такі унімодальні відображення, числа відтинання яких задовольняють співвідношенню:
Для d=1 числа відтинання а відповідне унімодальне відображення називають відображенням Фейгенбаума. Якщо покласти d=2, то -- послідовність чисел Фібоначчі, тому відповідне унімодальне відображення називають відображенням Фібоначчі. Зазначимо також, що для будь-якого існує унімодальне відображення , яке задовольняє (3.1). Зокрема, для однопараметричної сім'ї унімодальних відображень, для якої відома монотонність топологічної ентропії, для кожного d таке відображення єдине.
Відображення, які задовольняють (3.1) називають Фібоначчі-подібними відображеннями. Відомо, що для таких відображень -гранична множина критичної точки (тобто множина) є канторовою мінімальною множиною: канторова множина і (додатна) орбіта кожної точки є щільною в . Вивчаються відображення, обмежені на . Динамічну систему досліджують через її важливі комбінаторні та ергодичні властивості. Відомо, наприклад, що відображення є однозначно ергодичним і топологічна ентропія дорівнює нулю. Крім того, при деяких умовах, накладених на відображення, може бути атрактором всієї системи.
В третьому підрозділі вивчається символьна складність підзсувів, що виникають з Фібоначчі-подібних унімодальних відображень. Отримані точні формули функції складності таких підзсувів. Досліджено також їх зв'язок з підстановочними зсувами Фібоначчі.
Для символьного опису класу підзсувів, які породжуються Фібоначчі-подібними відображеннями, використовується теорія нідингів. Нагадаємо, що маршрут критичної точки c, який позначають через K називають нідинг-послідовністю відображення
Мінімальним підзсувом, який відповідає послідовності K є підзсув де -- правий зсув. Підзсув називається Фібоначчі-подібним нідинг-підзсувом.
Мова підзсуву -- це набір всіх скінчених слів (включаючи і порожнє слово ), які є словами деяких (і таким чином всіх) послідовностей K. Складність мови -- це функція
де -- довжина слова.
Teoрeма 3.6 Функція складності підзсуву Фейгенбаума така, що , , і дляі такого, що
Teoрeма 3.7 Функція складності підзсуву Фібоначчі така, що , , , і якщо , то:
Теореми 3.6 та 3.7 є окремими випадками наступного результату.
Teoрeма 3.5 Нехай -- підзсув, який відповідає, тоді дляфункція складності задовольняє співвідношення:
для , де -- залишок з множини при діленні на d.
Наслідок 3.1 Підзсув має сублінійну складність, більш точно:
Наслідок 3.3
Якщо , то підзсув не є неперервним фактором підзсуву .
ВИСНОВКИ
Дисертацію присвячено дослідженню топологічної та символьної складності (дискретних) динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на відрізку. Вивчаються властивості монотонності топологічної ентропії для відображень відрізка прямої, а також досліджується символьна складність підзсувів, які породжуються відображеннями відрізка з заданими комбінаторними властивостями. Наукова новизна дисертації полягає в отриманні таких результатів:
-- Узагальнено умови монотонності топологічної ентропії для деяких неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові класи відображень, для яких топологічна ентропія -- монотонна функція параметра.
-- Для окремих однопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень (так званих барн-відображень) доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія -- монотонно зростаючі функції параметра.
-- Для сімей барн-відображень знайдено множину параметрів таку, що нідинг-інваріант і топологічна ентропія -- не монотонні функції параметра. Методами теорії динамічних систем встановлено причину, чому така схема порушення монотонності топологічної ентропії не може бути реалізована відображеннями з від'ємним шварціаном.
-- Досліджено символьну складність підзсувів, які породжуються відображеннями відрізка з заданими комбінаторними властивостями. Отримані точні формули функції складності для Фібоначчі-подібних нідинг-підзсувів. Встановлено зв'язок між підзсувами, які виникають з теорії нідингів та з підстановочними зсувами Фібоначчі.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Волкова О.Ю. Монотонность топологической энтропии для однопараметрических семейств унимодальных отображений // Укр. мат. журн. -- 2003. -- Т.55,11. -- C. 1443-1449. (English translation 2003. - Vol.55,No.11. -- P. 1733-1741.)
2. Браун Х., Волкова О.Ю. Символьна складність Фібоначчі-подібних підзсувів // Допов. НАН України. -- 2005. -- 4. -- C. 7-11.
3. Волкова О. Монотонні властивості нідинг інваріанту барн-відображень // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук. -- 2005. -- 1. -- C. 83-89.
4. Volkova O. Monotonicity of kneading invariant for some family of unimodal maps // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-мат. наук. -- 2003. -- 4. -- С. 71-75.
5. Bruin H., Volkova O. The complexity of Fibonaci-like kneading sequences // Theor. Computer Science. -- 2005. -- Vol.337. -- P. 379-389.
6. Volkova O. Non-monotonicity of kneading invariants in the family of kinked maps // Нелінійні коливання. -- 2005. - T.8,2. -- С. 159-164.
7. Волкова О. Об исследовании монотонности топологической энтропии для специального семейства унимодальных отображений // Дев'ята Міжнар. наукова конференція ім. акад. М.Кравчука: Тези доп. конф. (Київ, 16-19 травня 2002р.) -- Київ, 2002. -- С. 240.
АНОТАЦІЇ
Волкова О.Ю. Топологічна та символьна складність унімодальних відображень. -- Рукопис. -- Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.
Дисертацію присвячено дослідженню властивостей монотонності топологічної ентропії відображень відрізка прямої, а також дослідженню символьної складності класу підзсувів, які породжуються відображеннями відрізка з певними комбінаторними властивостями.
Для деяких одопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень (так званих барн-відображень) доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія -- монотонно зростаючі функції параметра. Для сімей барн-відображень знайдено множину параметрів таку, що нідинг-інваріант і топологічна ентропія можуть бути не монотонними функціями параметра. Досліджено причину, чому знайдена схема порушення монотонності топологічної ентропії не може бути реалізована відображеннями з від'ємним шварціаном.
Узагальнено умови монотонності топологічної ентропії для окремих неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові класи відображень, для яких топологічна ентропія -- монотонна функція параметра.
Досліджено символьну складність підзсувів, які породжуються Фібоначчі-подібними унімодальними відображеннями. Отримано точні формули функції складності для Фібоначчі-подібних нідинг-підзсувів. Встановлено зв'язок між підзсувами, які виникають з теорії нідингів та з підстановочними зсувами Фібоначчі.
Ключові слова: унімодальне відображення, топологічна ентропія, нідинг-інваріант, монотонність, підзсуви, символьна складність.
Волкова О.Ю. Топологическая и символьная сложность унимодальных отображений. -- Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.
Диссертационная работа посвящена важной и актуальной на современном этапе развития теории динамических систем теме, а именно: исследованию топологической и символьной сложности (дискретных) динамических систем, заданных непрерывными отображениями на отрезке.
На основании анализа современного состояния проблем теории одномерных отображений было обнаружено, что на сегодняшний день в общем случае остается нерешенной важная проблема монотонности топологической энтропии для разных классов отображений отрезка в себя. Монотонность топологической энтропии доказана только для некоторых полиномиальных отображений отрезка прямой, а также для некоторых классов кусочно-линейных отображений. Причем, все известные доказательства монотонности топологической энтропии для полиномиальных отображений (и в частности, для квадратичных отображений) используют методы теории функций комплексного переменного и на сегодняшний день остается открытой проблема нахождения доказательства методами действительного анализа. Для получения результатов в этом направлении изучают кусочно-линейные унимодальные отображения (так называемые барн-отображения) и исследуют свойства монотонности топологической энтропии таких отображений.
В диссертации исследована монотонность энтропии для некоторых однопараметрических семейств барн-отображений. Для отдельных семейств барн-отображений доказано, что топологическая энтропия является монотонно возрастающей функцией параметра. Однако для семейств барн-отображений найдено множество параметров, для которых может нарушаться монотонность энтропии, и кроме того, установлена причина нарушения монотонности. Методами теории динамических систем доказано, что барн-отображения нельзя аппроксимировать гладкими отображениями с отрицательным шварцианом. В работе обобщены условия монотонности топологической энтропии для одного специального семейства неполиномиальных унимодальних отображений и найдены принципиально новые классы унимодальных отображений, для которых топологическая энтропия -- монотонно возрастающая функция параметра.
С позиции символьной динамики исследована символьная сложность одномерных динамических систем в терминах субсдвигов. Исследована сложность субсдвигов, которые порождаются Фибоначчи-подобными унимодальными отображениями. Получены точные формулы символьной сложности для Фибоначчи-подобных нидинг-субсдвигов. Исследована связь Фибоначчи нидинг-субсдвигов со сдвигами подстановок Фибоначчи.
Ключевые слова: унимодальное отображение, топологическая энтропия, нидинг-инвариант, монотонность, субсдвиги, символьная сложность.
Volkova O.Yu. Topological and symbolic complexity of unimodal maps. -- Manuscript. -- The thesis for degree of Candidate in physics and mathematics by the speciality 01.01.02 -- differential equations. Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv, 2005.
We study topological and symbolic complexity of interval maps. In particular, the problem of monotonicity topological entropy for families of unimodal maps is investigated. Some special conditions for monotonicity of entropy for a non-polynomial families were generalized and a new classes of one-parameter families of unimodal maps were found for which topological entropy is monotone with respect to the parameter. It was proved that for some families of piecewise-linear maps (so called barn maps) the kneading invariant and topological entropy were monotone increasing. It was shown that the kneading invariant and topological entropy of some families of barn maps were non-monotone as a function of the parameter. We gave a dynamical argument why our scheme of getting non-monotonicity of kneading invariants is not possible for maps with negative Schwarzian derivative.
We investigated symbolic complexity of subshifts generated by interval maps with specific combinatorial properties. The word-complexity of Fibonacci-like kneading subshifts was obtained exactly. It was shown that these subshifts were no counter-example to the problem raised by Heinis.
Key words: unimodal map, topological entropy, kneading invariant, monotonicity, subshifts, symbolic complexity.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Елементи диференціального і інтегрального числення в лінійних нормованих просторах: диференціал і похідна Фреше, теореми (про диференційовність композиції відображень, про скінченні прирости), похідна Гато. Похідні Фреше та Гато в прикладах і задачах.
дипломная работа [456,6 K], добавлен 20.08.2010Поняття диференційованості, похідної, диференціала. Теореми про диференційованість деяких відображень. Частинні похідні вищих порядків та матриця Якобі. Достатні умови диференційованості. Теореми про "скінченні прирости". Диференціали вищих порядків.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 08.10.2011Поняття дискретної метрики. Аксiоматичне означення вiдстанi. Метричні простори та аксіоми зліченності. Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність. Гомеоморфізм та ізоморфізм. Повні та нормовані простори. Принцип стискаючих відображень Банаха.
контрольная работа [533,3 K], добавлен 29.01.2014Використання методу Монтгомері як ефективний шлях багаторазового зведення за модулем. Складність операцій з многочленами та обчислення їх значень. Алгоритм Руфіні-Горнера. Визначення рекурсивного процесу для множення. Доведення алгоритму Тоома-Кука.
контрольная работа [103,8 K], добавлен 07.02.2011Використання методу Полларда для вирішення проблеми дискретного логарифмування, його складність і час обчислення рішення ECDLP. Аномальні криві й криві над розширеннями малого поля. MOV-атака та суперсингулярні криві над полем F. Метод спуску Вейля.
реферат [269,5 K], добавлен 21.02.2011Основні засади комбінаторики та теорії множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля і використання правила суми й добутку. Знаходження кусково-постійних конфігурацій множин засобами мови програмування IDE C++ Builder з допомогою вбудованого GUI.
контрольная работа [539,5 K], добавлен 27.11.2010Методика проведення операції в розширених полях. Сліди і базиси розширеного поля. Двійкове подання елементів у поліноміальному і нормальному базисах. Подання точок кривої у різних координатних системах. Складність арифметичних операцій у групах точок ЕК.
реферат [133,7 K], добавлен 05.02.2011Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Скалярне множення або експоненціювання точки кривої у криптографічних алгоритмах. Методи вікон з алгоритмом подвоєння – додавання – віднімання. Метод еспоненціювання Монтгомері. Методи експоненціювання при фіксованій точці. Алгоритм максимальної пам'яті.
контрольная работа [130,4 K], добавлен 07.02.2011Математична постановка задач пошуку умов повної керованості в лінійних стаціонарних динамічних системах керування. Представлення систем диференційних рівнянь управління в просторі станів. Достатні умови в критеріях повної керованості Е. Гільберта.
дипломная работа [2,0 M], добавлен 16.06.2013Теоретичні основи розв’язування рівнянь з параметрами. Функція пряма пропорційність. Загальне поняття про аналітичний та графічний метод. Дробово-раціональні рівняння з параметрами, що зводяться до лінійних. Система розв’язування задач для 9 класу.
курсовая работа [596,8 K], добавлен 21.03.2013Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Сутність симплекс-методу у вирішенні задач лінійного програмування. Рішення задачі на відшукання максимуму або мінімуму лінійної функції за умови, що її змінні приймають невід'ємні значення і задовольняють деякій системі лінійних рівнянь або нерівностей.
реферат [28,5 K], добавлен 26.02.2012Означення і найпростіші властивості лінійних операторів. Контрольний приклад отримання власних значень. Матриця лінійного оператора. Опис та текст програми. Власні вектори й значення лінійного оператора. Теорія лінійних просторів та її застосування.
курсовая работа [74,8 K], добавлен 28.03.2009Визначення системи лінійних рівнянь та її розв’язання. Поняття рангу матриці, правило Крамера та види перетворень з матрицею. Способи знайдення оберненої матриці А–1 до невиродженої матриці А. Контрольні запитання та приклади розв’язування задач.
задача [73,5 K], добавлен 25.03.2011Поняття математичного моделювання. Форми завдання моделей: інваріантна; алгоритмічна; графічна (схематична); аналітична. Метод ітерацій для розв’язку систем лінійних рівнянь, блок-схема. Інструкція до користування програмою, контрольні приклади.
курсовая работа [128,6 K], добавлен 24.04.2011Характеристика основних класів математичних функцій. Роль задачі про апроксимацію (наближення) більш складніших об’єктів менш складнішими. Особливості встановлення та розрахунку асимптотичні рівності відхилень найкращих наближень лінійних комбінацій.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 20.10.2013Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Лінійні діофантові рівняння. Невизначені рівняння вищих порядків. Невизначене рівняння Ферма. Приклади розв’язання лінійних діофантових рівнянь та системи лінійних діофантових рівнянь. Алгоритми знаходження всіх цілочисельних розв’язків рівнянь.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 29.12.2010Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013
