Двовимірні динамічні системи з імпульсною дією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Двовимірні динамічні системи з імпульсною дією

Урманчев Віктор Інокентійович

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Шарко Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу топології

Офіційні опоненти:

Член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Перестюк Микола Олексійович Київський Національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

доктор фізико-математичних наук, професор Прикарпатський Анатолій Карольович Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів) завідувач відділу нелінійного математичного аналізу

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Анотація

Урманчев В.І. Двовимірні динамічні системи з імпульсною дією - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук по спеціальності 01.01.02 - диференціальні рівняння та математична фізика. Інститут математики академії наук України, Київ - 2005.

Дисертація присвячена питанням дослідження узагальнення поняття динамічної системи, які були названі динамічними системами з імпульсною дією.

Вперше дано означення абстрактної динамічної системи з імпульсною дією та запропоновані спеціальні методи їх дослідження.

Ці методи були названі методом фактор-множин та методом точкових відображень для абстрактних динамічних систем з імпульсною дією.

За допомогою методу точкових відображень проведено якісне дослідження двовимірних динамічних систем з імпульсною дією загального вигляду. Ці методи можуть бути використані при дослідженні динамічних систем у радіотехніці, біології, хімії.

За допомогою методу фактор-множин досліджений спеціальний клас двовимірних динамічних систем з імпульсною дією - найпростіші динамічні системи з імпульсною дією. Запропоновані спеціальні топологічні та алгебраїчні методи дослідження таких систем.

Ключові слова: динамічна система, імпульсні системи, точкове відображення, стійкість рішень, двовимірний многовид, граф, підстановка.

Аннотация

Урманчев В.И. Двумерные динамические системы с импульсным воздействием - рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ-мат. наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика. Институт математики академии наук Украины, Киев 2005.

Диссертация посвящена вопросам исследования обобщения динамической системы, названного динамической системой с импульсным воздействием.

Впервые дано определение абстрактной динамической системы с импульсным воздействием и предложены общие методы их исследования.

Эти методы были названы методом фактор-множеств и методом точечных отображений для абстрактных динамических систем с импульсным воздействием.

Суть метода фактор-множеств состоит в специальной факторизации фазового пространства исследуемой системы и разбиении полученного фактора таким образом, чтобы получить семейство непрерывных динамических систем. Суть метода точечных отображений для абстрактных динамических систем с импульсным воздействием состоит в определении специального отображения , названного функцией последования для исследуемой системы, и дальнейшем качественном исследовании разностного уравнения , где принадлежит конечному множеству скачков.

Разработанные методы применены к исследованию динамических систем с импульсным воздействием, фазовым пространством которых является плоскость.

С помощью метода точечных отображений проведено качественное исследование двухмерных динамических систем с импульсным воздействием достаточно общего вида.

Введено понятие функции последования для двумерных динамических систем с импульсным воздействием и исследованы свойства этой функции.

На основании результатов исследования функции последования получен аналитический критерий устойчивости n - импульсных циклов, а также оценки числа стоков для двумерных динамических систем с импульсным воздействием достаточно общего вида.

Эти методы могут быть использованы при исследовании динамических систем в радиотехнике, биологии, химии.

Введено понятие простейшей двумерной динамической системы с импульсным воздействием и проведено полное исследование класса этих систем с помощью метода фактормножеств.

Показано, что класс интегральных множеств для таких систем шире класса двумерных многообразий и предложено рассматривать пару специальных вспомогательных объектов - прединтегральное многообразие и граф стягиваний, вложенный в последнее.

Получена формула для вычисления эйлеровой характеристики прединтегрального многообразия простейшей динамической системы с импульсным воздействием по основным комбинаторно-топологическим характеристикам исследуемой системы.

Предложены специальные алгебраические методы исследования простейших динамических систем с импульсным воздействием, основанные на рассмотрении специальных классов подстановок и операций над ними, а также булевых векторов, которые сопоставляются исследуемой системе.

С помощью этих методов получены такие результаты:

1) Дано алгебраическое описание импульсной сепаратрисы с помощью специальных классов подстановок, которые названы определяющими подстановками для импульсной сепаратрисы.

2) Получена формула для вычисления эйлеровой характеристики прединтегрального многообразия по комбинаторно-алгебраическим свойствам определяющей подстановки для импульсной сепаратрисы.

3) Для реализации алгебраических аспектов идеи рассмотрения последовательности стягиваний исследуемого прединтегрального многообразия введено понятие субпостановки и проведено исследование субподстановочного строения подстановок.

4) Предложены методы исследования особенностей вложения импульсных сепаратрис простейших двумерных динамических систем с импульсным воздействием в плоскость с помощью исследования свойств некоторых подстановок, которые определяются исследуемой системой.

5) Исследована структура устойчивых и неустойчивых интегральных множеств и прединтегральных многообразий для случая, когда определяющая подстановка является элементом группы диэдра. Показано, что они являются "строительными блоками" для прединтегрального многообразия простейшей двумерной динамической системы с импульсным воздействием общего вида.

Ключевые слова: динамическая система, импульсные системы, точечное отображение, устойчивость решений, двумерное многообразие, граф, подстановка.

Annotation

Urmanchev V.I. Twodimensional dynamical systems with impulse - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.02 - differential equations and mathematical physics. Institute for mathematics, Ukrainian Academy of Science, Kiev, 2005.

The dissertation is devoted to the investigation of the generalization of the dynamical systems - dynamical systems with impulse.

The main class of this systems which is investigated - twodimentional dynamical systems with impulse.

The special topological and algebraic methods of the investigation are proposed. This methods may be used for the investigation of the radio engineering, biological and chemical systems.

Key words: dynamical system, impulsive systems, point mappings, stability of solution, twodimentional manifolds, count, permutation.

1. Загальна характеристика роботи

двовимірний імпульсний стійкість послідування

Актуальність теми. В останні роки зросла цікавість до систем з імпульсною дією. Це пов'язано з запитами найновішої техніки, де імпульсні системи автоматичного регулювання зайняли велике місце.

Важливим аспектом у дослідженні імпульсних систем є якісні методи. Вони ґрунтуються на прямих аналогіях з якісною теорією неперервних систем. Інший підхід був запропонований в класичній монографії А.А. Андронова та ін. “Теорія коливань”. Цей метод зводить задачу якісного дослідження імпульсної динамічної системи до дослідження неперервної динамічної системи на основі спеціальної факторизації фазового простору. Але він не одержав належного розвитку.

Одним із важливих методів якісного дослідження розривних систем є метод точкових відображень. Використання цього методу у якісному дослідженні імпульсних систем обмежувалось розглядом або конкретних прикладів (Гаушус, Неймарк) або розглядом вузьких класів систем загального вигляду (Аматов, Аматова та ін.).

Важливим моментом у дослідженні динамічних систем є підвищення рівня абстракцій. Це дозволяє ширше використовувати топологічні та операторні методи.

Тому актуальним є розв'язання таких задач:

1) Створення основ теорії абстрактних динамічних систем, що мають відносно топології фазового простору розривні характеристики;

2) Розвиток методу зведення дослідження розривних динамічних систем до неперервних динамічних систем та розгляд застосування цього методу до двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, фазовий простір яких є площина.

3) Розвиток застосування методу точкових відображень до дослідження систем з розривними характеристиками та розгляд застосування цього методу до двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, фазовий простір яких є площина.

Вибір випадку, коли фазовий простір є площина, обумовлений тим, що він найбільш часто зустрічається в практичних задачах.

Вказані проблеми і розглядаються в дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у відділі топології Інституту математики НАН України в рамках теми „Функції, функціонали та динамічні системи на многовидах: геометричні, топологічні та категорні методи дослідження” (номер держреєстрації 0101U000659).

Мета роботи. Узагальнити поняття неперервної абстрактної динамічної системи на системи з розривними характеристиками, запропонувати загальні методи їх дослідження.

Застосувати ці методи до двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, фазовий простір яких є площина, а саме:

1) розвинути ідеї використання методу точкових відображень у дослідженні двовимірних динамічних систем з імпульсною дією.

2) розвинути ідеї використання методу зведення дослідження двовимірних розривних динамічних систем на площині до двовимірних неперервних динамічних систем на двовимірних многовидах.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використовуються метод точкових відображень, топологічні методи дослідження двовимірних многовидів, теорія графів, теорія підстановок.

Наукова новизна результатів полягає в тому, що:

1) узагальнене поняття неперервної абстрактної динамічної системи на системи з розривними характеристиками та запропоновані загальні методи їх дослідження;

2) на основі розвитку ідей використання методу точкових відображень до дослідження двовимірних динамічних систем з імпульсною дією отримано такі результати:

а) отримано аналітичний критерій стійкості n-імпульсних циклів двовимірної динамічної системи з імпульсною дією на площині;

б) дана оцінка кількості атракторів для спеціального класу двовимірних динамічних систем з імпульсною дією;

в) досліджені властивості функції послідування для двовимірних динамічних систем з імпульсною дією на площині.

3) за допомогою спеціальних геометричних та алгебраїчних методів, розроблених автором, проведено повне дослідження спеціального класу двовимірних динамічних систем з імпульсною дією на площині.

Практичне значення одержаних результатів

Результати розділу 2 можуть бути використані при дослідженні динамічних систем у радіотехніці, біології, хімії.

Результати інших розділів мають теоретичний характер.

Особистий внесок здобувача

Всі результати дисертації отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації

Робота в цілому обговорювалась на таких семінарах та конференціях:

На засіданнях семінару відділу топології Інституту математики НАН України (керівник - доктор фізико-математичних наук В.В. Шарко) (1989-1991, 2002-2004 р.);

На засіданнях семінару кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2003-2004 р.) (керівник - член-кореспондент НАН України, професор М.О. Перестюк);

На засіданні семінару кафедри алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (1991 р.) (керівник доктор фіз.-мат. наук, професор Сущанський В.І.);

На міжнародній науковій конференції: ІХ Международная конференция по топологии и ее приложениям (1992 р.);

На міжнародній науковій конференції: Міжнародна конференція, присвячена пам'яті академіка М.П. Кравчука (1992 р.).

Публікації

Результати дисертації викладено у 3 статтях, опублікованих у фахових виданнях, препринті, 2 статтях, опублікованих у збірнику праць Інституту математики НАН України та у 3 тезах міжнародних конференцій.

Структура і обсяг роботи

Дисертація складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку з 94 використаних літературних джерел з та додатків.

Дисертація у повному обсязі складається зі 150 сторінок, обсяг додатків 100 сторінок.

2. Основний зміст

У вступі дається огляд літератури за темою дисертації, обґрунтовано необхідність дослідження, його актуальність та наукова новизна.

У Розділі 1 дано узагальнення поняття неперервної абстрактної динамічної системи, яке було названо абстрактною динамічною системою з імпульсною дією та запропоновані загальні методи їх дослідження:

Наведено основні поняття теорії таких систем і запропоновано спеціальні методи їх дослідження. Ці методи названі автором методом фактор-множин та методом абстрактних точкових відображень.

Ідея методу фактор-множин полягає у співставленні системі з імпульсною дією деякої неперервної динамічної системи шляхом факторизації її фазового простору за допомогою оператора стрибка і у подальшому дослідженні цієї неперервної системи та особливостей перетину її траєкторій з деякою спеціальною підмножиною фазового простору цієї системи.

Фазовий простір цієї допоміжної системи названий інтегральною множиною динамічної системи з імпульсною дією, а фактор об'єднання початкової та кінцевої множини стрибків -- фактор-сепаратрисою.

Ідея методу абстрактних точкових відображень полягає у співставленні системі з імпульсною дією деякої дискретної динамічної системи і подальшому дослідженні цієї дискретної системи. Для цього введено відображення L, яке співставляє точці кінцевої множини стрибків точку першого перетину півтраєкторії досліджуваної системи з кінцевою множиною стрибків. Якщо , тоді якісне дослідження

імпульсної динаміки може бути зведене до дослідження різницевого рівняння .

Виділено спеціальний клас двовимірних динамічних систем з імпульсною дією, що має властивості: а) фазовий простір яких є площина; б) початкова множина стрибків -- М гомеоморфна колу; в) оператор стрибка є гомеоморфізмом; г) топологічна група є група і дія цієї групи визначається парою систем звичайних диференціальних рівнянь, заданих на компонентах зв'язку множини . Цей клас названо найпростіші двовимірні динамічні системи з імпульсною дією.

Розділ 2 присвячений розвитку методу дослідження двовимірних динамічних систем з імпульсною дією за допомогою методу точкових відображень.

Щодо властивостей досліджуваної системи вважається, що відображення F можна підняти до відображення прямої в пряму.

Введені допоміжні відображення прямої в пряму , які породжуються відповідно відображеннями L, A, F для досліджуваної системи, а також параметризаціями початкової та кінцевої множин стрибків. Обчислені перші три похідні цих функцій. Доведена теорема, яка дозволяє позбавитися введення допоміжних параметризацій.

Для досліджуваного класу динамічних систем з імпульсною дією отримано такі результати:

1) досліджено основні локальні властивості відображення F.

2) отримано аналітичний критерій стійкості n-імпульсних циклів:

3) отримана оцінка кількості стоків для досліджуваної системи.

У Розділі 3 досліджено особливості векторних полів, що породжують клас найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією, а також розроблені спеціальні геометричні методи дослідження інтегральних множин найпростіших двовимірних динамічних систем з імпульсною дією.

В § 3.1 доведені теореми про особливості векторних полів, що породжують клас найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією.

У 3.2 показано, що множина інтегральних множин двовимірних динамічних систем з імпульсною дією ширше, ніж множина всіх двовимірних многовидів. Таким чином, добре розроблені методи дослідження топологічної структури двовимірних многовидів не можуть бути використані. Для вирішення цієї проблеми запропоновано розглядати спеціальний допоміжний геометричний об'єкт (двовимірний многовид D з вкладенимb у нього графами Г і L), який в деякому розумінні може бути стягнутий на інтегральну множину досліджуваної системи:

Многовид D названо передінтегральним многовидом, граф Г - передфактор-сепаратрисою, а граф L - графом стягувань.

На основі аналізу особливостей топологічної структури інтегральних множин двовимірних систем з імпульсною дією у випадку, коли , показано, що визначальну роль мають особливості їх структури, які породжуються вершинами М_A, в яких М і А(М) нетрансверсальні. Наведена класифікація вершин М_A у відповідності з типами цих особливостей, відповідні класи вершин позначені через і . Множина не породжує особливості стійкої інтегральної множини, а породжує.

У 3.3 сформульовано та доведено теорему, яка дозволяє по комбінаторно-топологічним властивостям двовимірної динамічної системи з імпульсною дією обчислити Ейлереву характеристику її передінтегрального многовиду:

Теорема 3.3.1. Нехай -- найпростіша двовимірна динамічна система з імпульсною дією, яка задовольняє умови:

1) ;

2) кількість компонент зв'язку множини дорівнює m ( -- симетрична різниця множин), де D₁ -- двовимірний диск, обмежений М, а D₂--- двовимірний диск, обмежений А(М);

3) ;

4) М стійке відносно Н.

Нехай D -- її стійкий предінтегральний многовид.

Тоді Ейлерева характеристика цього многовиду може бути знайдена з формули:

.

В 3.4 сформульована та доведена теорема, яка є аналогом теореми Пуанкаре--Бендиксона для найпростіших двовимірних динамічних систем з імпульсною дією.

В розділі 4 розглядаються алгебраїчні методи дослідження двовимірних динамічних систем з імпульсною дією.

В 4.1 сформульовано задачі пов'язані з алгебраїчним дослідженням двовимірних систем з імпульсною дією.

В 4.2 імпульсна сепаратриса двовимірної динамічної системи з імпульсною дією розглядається як деякий орієнтований граф. Показано, що цей граф можна описати за допомогою деяких класів підстановок на скінчених множинах. На основі аналізу структури цього графу і алгоритму співставлення йому підстановки дано означення геометричної реалізації підстановки:

Доведено теорему про критерій геометричної еквівалентності підстановок.

Множину всіх неізоморфних геометричних реалізацій підстановок із S_n позначаємо Г_n. Досліджено множини Г₂, Г₃, Г₃, Г₄, Г₅ та відповідні визначальні підстановки для їх елементів. Розглянуто найбільш важливі елементи з Г₆ і Г₇ та їх властивості.

4.3 є допоміжним, в ньому наведені деякі базові означення та дана мотивація їх розгляду.

Вони вводяться з метою опису результатів § 4.4, а також дослідження особливостей вкладень геометричних реалізацій планарних підстановок у площину, які розглянуті в § 4.6.

Ці поняття описують деякі допоміжні графи, які є підграфами геометричних реалізацій, а також ряд алгебраїчних об'єктів, пов'язаних з цими підграфами.

Основними допоміжними графами є спеціальні орієнтовані цикли в геометричній реалізації підстановки Р, які визначаються наступним чином: починаючи з довільної вершини, ми у відповідності з орієнтацією переміщуємося то по циклу М₁(Р), то по циклу М₂(Р), поки ми не зациклимось. Таким чином можна розбити Г(Р) на скінчену сукупність підграфів, кожен з яких є деяким (можливо непростим) орієнтованим циклом. Ці цикли названі спеціальними орієнтованими циклами.

Показано, що дослідження структури особливостей розбиття Г(Р) на спеціальні орієнтовані цикли, де P S_n , можна дослідити за допомогою спеціальної підстановки (цю підстановку названо характеристичною підстановкою підстановки Р і позначено ).

Також дано означення спеціального графу, який показує структуру відносного розміщення циклів довільної підстановки в межах цієї ж підстановки, цей граф названо графом суміжностей циклів і позначено (Р).

В § 4.4 формулюється і доводиться теорема, яка дозволяє по комбінаторно-алгебраїчним властивостям характеристичних підстановок для визначальної та переорієнтованої визначальної підстановок для імпульсної сепаратриси досліджуваної найпростішої динамічної системи з імпульсною дією визначити топологічну структуру її передінтегрального многовиду.

Теорема 4.4.1 Нехай -- найпростіша динамічна система з імпульсною дією така, що трансверсально і нехай:

-- двовимірний диск, обмежений ;

-- двовимірний диск, обмежений ;

--- множина компонент зв'язку множини;

-- множина компонент зв'язку множини;

Р -- деяка визначальна підстановка для .

Тоді,

1) якщо А не змінює орієнтацію, то , ;

2) якщо А змінює орієнтацію, то , ;

де C(q) -- множина циклів підстановки q.

Наслідок 4.4.1 Нехай -- найпростіша динамічна система з імпульсною дією така, що трансверсально і нехай Р - деяка визначальна підстановка для .

Тоді

1) у випадку, якщо, стійкий передінтегральний многовид орієнтований, то його ейлерева характеристика дорівнює , а ейлерева характеристика замикання нестійкого передінтегрального многовиду (замість розглядається сфера з однією виключеною точкою, яка гомеоморфна ) дорівнює ;

2) у випадку, коли стійкий предінтегральний многовид неорієнтований, то його ейлерева характеристика дорівнює , а ейлерева характеристика замикання нестійкого предінтегрального многовиду (замість розглядається сфера з однією виключеною точкою, яка гомеоморфна ) дорівнює .

В 4.5 вводиться ряд спеціальних понять, які стосуються множини всіх підстановок на скінчених множинах, які є аналогами понять теорії множин, а саме: підмножина, різниця множин, а також перетин і об'єднання множин. В якості аналога основної множини будемо розглядати деяку фіксовану підстановку Р.

Аналогом поняття підмножина є поняття верхньої та нижньої субпідстановок для довільної підстановки.

Введено аналоги теоретико-множинних операцій для субпідстановок.

Введено спеціальні операції над підстановками, які названо редукцією, та операцією приведення до редукованого виду.

Доведено такі теореми про субпідстановочну будову довільних підстановок і її зв'язок з планарністю їх геометричних реалізацій. Основною теоремою є теорема, яка дає критерій планарності підстановок.

Ці теореми у наступних параграфах використовуються для дослідження будови як імпульсних сепаратрис, так і предінтегральних многовидів найпростіших динамічних систем з імпульсною дією.

Наведено приклади, які показують, що операцію редукції можна ітерувати і в результаті одержати деяку підстановку, до якої або вже не можна застосувати операцію редукції і її порядок більше 1, або підстановку на одноелементній множині, яка названа тривіальною підстановкою.

Показано, що послідовно застосовуючи операції редукції та операції зведення підстановки до редукованої, можна одержати послідовність підстановок, яка починається з Р і закінчується тривіальною підстановкою, тобто підстановкою на одноелементній множині. Цю послідовність названо (R, Q) спрощуючою послідовністю для підстановки Р. Описаній послідовності поставлений у відповідність деякий граф, який описує “динаміку” спрощення підстановки Р до тривіальної підстановки. Цей граф названий структурним графом підстановки Р.

Дано означення спеціальної композиції впорядкованих множин і на їх базі даються означення спеціальних операцій над підстановками, які в деякому сенсі є оберненими до операцій спрощення підстановок.

§ 4.6 присвячений побудові спеціальної (R,Q) спрощуючої послідовності для планарних підстановок, яка, в свою чергу, дозволяє ефективно вирішувати задачі дослідження предінтегральних множин для найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією.

Виявилося, що для цього необхідно дослідити задачу про деякі особливості вкладень геометричних реалізацій планарних підстановок у площину.

Доведений ряд теорем які присвячені дослідженню особливостей вкладень геометричних реалізацій планарних підстановок у площину.

Досліджена будова геометричних реалізацій планарних підстановок, які належать .

Доведений ряд теорем, які для планарної підстановки, до якої неможливо застосувати операцію редукції, дозволяють “обчислювати” мінімальну множину, "видалення" якої з отриманої підстановки дає підстановку, до якої можливо застосувати операцію редукції, причому отримана підстановка також буде планарною.

Така операція дозволяє визначити стандартну (R,Q) спрощуючу послідовність для планарних підстановок, причому кожен елемент цієї послідовності буде планарною підстановкою.

У 4.7 розглядаються алгебраїчні властивості оператора стрибка для випадку, коли топологічна структура імпульсної сепаратриси фіксована.

Даються означення спеціальних топологічних інваріантів оператора стрибка, які названі типом та числом повороту для оператора стрибка, а також допоміжних інваріантів, які визначаються деякими субпідстановками визначальної підстановки для імпульсної сепаратриси.

Дається означення спеціального булевського вектора, який дає повний опис вкладення імпульсної сепаратриси найпростішої двовимірної системи з імпульсною дією у площину. Цей вектор названий вектором трансверсальностей.

Доведена теорема, яка дає опис спрощення вектора трансверсальностей і відповідає операціям R та Q.

У 4.8 досліджується структура графів суміжностей циклів підстановок для елементів з груп діедра і за допомогою отриманих результатів досліджуються топологічна структура стійких та нестійких інтегральних та предінтегральних многовидів відповідних найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією та опис вкладення факторсепаратриси в них.

У 4.9 доводиться, що предінтегральні многовиди найпростішої двовимірної динамічної системи можна розбити на блоки, кожен з котрих є стійким чи нестійким предінтегральним многовидом систем, описаних у теоремах 4.8 з вкладеними відповідним чином факторсепаратрисами і з яких виключені деякі двовимірні диски.

Висновки

У дисертації отримані такі основні результати:

- дано означення і запропоновані загальні топологічні методи дослідження абстрактних динамічних систем з імпульсною дією. Ці методи названі: метод фактор-множин і метод точкових відображень.

Суть методу фактор-множин полягає в тому, що досліджуваній імпульсній системі зіставляється деяка неперервна динамічна система і на основі її дослідження робляться висновки відносно поведінки імпульсної системи.

Суть методу точкових відображень полягає в тому, що досліджуваній імпульсній системі зіставляється деяка дискретна динамічна система і на основі її дослідження робляться висновки відносно поведінки імпульсної системи:

- за допомогою метода точкових відображень отримані аналітичні критерії стійкості та нестійкості періодичних розв'язків двовимірних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією;

- досліджені особливості векторних полів, які породжують спеціальний клас двовимірних систем з імпульсною дією - найпростіші двовимірні системи з імпульсною дією;

- за допомогою методу фактор-множин отримані конструктивні алгоритми, які дозволяють геометричними методами досліджувати топологічну структуру їх інтегральних множин і на цій основі за допомогою відомих результатів якісної теорії неперервних динамічних систем на двовимірних многовидах представлено повний опис можливої поведінки траєкторій спеціального класу двовимірних імпульсних систем;

- розроблені спеціальні алгебраїчні та теоретико-графові методи дослідження двовимірних систем з імпульсною дією дають можливість обчислювати деякі якісні характеристики найпростіших двовимірних систем з імпульсною дією.

Отримані при цьому алгебраїчні та теоретико-графові результати мають самостійний інтерес і можуть бути основою для подальших досліджень.

Список опублікованих праць

1. Урманчев В.И. Методы исследования динамических систем с импульсным воздействием и “смертных динамических систем” // Укр. мат. журн. - 1992 - т. 44 № 11. - С. 1605-1613.

2. Урманчев В.И. Критерий устойчивости периодических решений двумерных разрывных динамических систем // Укр. мат. журн. - 1999 - т. 51 № 9. - С. 1262-1266.

3. Урманчев В.И. Качественное исследование разрывных динамических систем на плоскости с помощью метода точечных отображений. // Укр. матем. журнал - 2004 - т. 56 № 1. - С. 108-118.

4. Урманчев В.И. Динамические системы с импульсным воздействием на сфере. - Препринт / Ин-т матем. Украины. -Киев, 1990. -33 с . (Препр./АН УССР, Ин-т математики 90.15).

5. Урманчев В.И. Субподстановочное строение подстановок // Некоторые вопросы современной математики - Праці Інституту математики НАН України Київ 1998. С. 356-367.

6. Урманчев В.И. Исследование вложений геометрических реализаций планарных подстановок в плоскость// Некоторые вопросы современной математики - Праці Інституту математики НАН України, Київ 1998. С. 368-384.

7. Урманчев В.И. Критерий планарности геометрических интерпретаций перестановок // Тезисы докладов ІХ Международной конференции по топологии и ее приложениям. - Киев Ин-т матем. АН Украины, 1992 - С. 43.

8. Урманчев В.И. Исследование абстрактных динамических систем с импульсным воздействием с помощью метода фактормножеств // Тези доповідей Міжнародної конференції, присвяченої пам'яті академіка М.П. Кравчука , - Київ-Луцьк: Ін-т математики АН України, 1992. - С. 200.

9. Урманчев В.И. Эйлерова характеристика интегрального многообразия простейшей двумерной динамической системы с импульсным воздействием//Тезисы международной конференции по топологии и ее приложениям. Киев: Институт математики НАН Украины, Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, 1995. - С. 49.

Размещено на Allbest.ru

...