Про зображення співвідношень Темперлі-Ліба

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.986

Про зображення співвідношень Темперлі-Ліба

01.01.01 -- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Власенко Марія Олександрівна

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

* доктор фізико-математичних наук, професор КЛІМИК Анатолій Улянович, Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, завідувач відділу математичних методів у теоретичній фізиці;

* кандидат фізико-математичних наук МУРАТОВ Мустафа Абдурешитович, Таврійський національний університет ім. В. І. Вернадського, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут" МОН України.

Захист відбудеться "29" березня 2005 року о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано "22" лютого 2005 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

темперлі ліб ортогональність афінний

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дисертація присвячена дослідженню сімей проекторів ,... , що задовольняють певним співвідношенням. А саме, для кожних двох ij оператори та або комутують (), або

Із такими співвідношеннями пов'язані три відкриття у математиці другої половини минулого століття: у статистичній механіці, у теорії операторних алгебр та алгебраїчній топології.

У 1971 році Г. Темперлі та Е. Ліб показали, що при певному виборі координат матриці переходу елементарного зв'язку у двох моделях статистичної фізики -- двовимірної моделі льоду та моделі Поттса -- водночас задовольняють співвідношенням такого роду. Цим пояснюється, що при відповідних граничних умовах функція розподілу для моделі льоду така сама, як і для критичної моделі Поттса, якщо зробити у останній заміну змінних.

В 1983 році такі співвідношення були незалежно застосовані В. Джонсом для розв'язання наступної задачі: знайти множину ?? , утворену можливими значеннями індекса [M:N] підфактора N у факторі фон Неймана M типу II.

Відповідь виявилася досить несподіваною, і це стимулювало значний інтерес до алгебр фон Неймана у наступні роки. В доведенні В. Джонса природним чином виникає зростаюча послідовність алгебр із марківським слідом:

Той факт, що у двох наведених прикладах закономірно з'являються одні й ті самі співвідношення , став мотивом для пошуків застосування теорії операторних алгебр у статистичній механіці та квантовій теорії поля. Розв'язки рівняння Янга-Багстера дають приклади розв'язних моделей статистичної механіки, і алгебри фон Неймана нарівні із квантовими групами виявилися хорошим інструментом для побудови таких розв'язків.

У 1985 році, скомбінувавши слід на алгебрах із описом вузлів у на основі груп кіс, даним Е. Артіном, Дж. Алєксандером та А. Марковим, В. Джонс одержав новий поліноміальний інваріант вузлів. Пізніше цей інваріант був узагальнений П. Фрейдом, Д. Ієттером, Дж. Хостом, У. Лікорішем, К. Міллєтом та А. Окнеану до інваріантного полінома від двох змінних, що включає і відомий поліном Алєксандера як частковий випадок.

Класичні алгебри Темперлі-Ліба добре досліджені. Вони є прикладом так званих клітинних алгебр. Клітинна теорія була побудована у 1979 році Д. Кажданом та Дж. Люстігом для груп Кокстера, і значно розширена Дж. Грахамом та Г. Лерером у 1996 році. Співвідношення Темперлі-Ліба пов'язані із співвідношеннями Артіна у групі кіс. У зв'язку з дослідженням узагальнених груп кіс останнім часом розглядаються інші алгебри Темперлі-Ліба, зокрема нескінченновимірні -- афінні. У дисертації досліджено афінну алгебру Темперлі-Ліба серії A. У 1998 році К. Фаном, Р. Гріном, Дж. Грахамом та Г. Лерером було встановлено клітинну структуру цієї алгебри та викладено її теорію зображень. Ми будуємо реалізацію афінної алгебри Темперлі-Ліба у матрицях над кільцем поліномів Лорана від однієї змінної, що у афінному випадку виникає природним чином. Це дозволяє одержати поліноміальні тотожності у афінній алгебрі Темперлі-Ліба та застосувати методи алгебраїчної геометрії для її опису.

У 2002 році Р. Грін запропонував означення табулярної алгебри, яке дещо узагальнює поняття клітинної алгебри і дає можливість викласти теорію зображень у нескінченновимірних випадках аналогічно до скінченновимірних. Афінна алгебра Темперлі-Ліба є табулярною, що, зокрема, випливає із нашої матричної конструкції. Н. Хі довів гіпотезу Дж. Люстіга щодо структури градуйованої версії афінної алгебри Гекке серії A. Нещодавно у препринті “Standard modules for tabular algebras” Р. Грін показав, скориставшись результатами Н. Хі, що афінна алгебра Гекке є табулярною. Запропонований нами підхід можна застосувати до афінної алгебри Гекке серії A.

Співвідношення Темперлі-Ліба нещодавно з'явилися і в роботах київських математиків С. В. Поповича та Ю. С. Самойленка у зв'язку із дослідженням наборів ортогональних проекторів зі скалярною сумою. Це викликало інтерес до класу алгебр, породжених ідемпотентами , де кожні два та або ортогональні (=0) або для деякого ??C задовольняють принаймні одне із співвідношень: або . Ми розглядаємо такі алгебри у перших трьох розділах дисертації. Вони улаштовані дещо простіше, ніж у випадку співвідношень комутації (). Проте розроблені для них методи, зокрема реалізацію у матрицях над поліномами Лорана, вдалося застосувати і до афінних алгебр Темперлі-Ліба серії A.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація пов'язана із роботою відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ДФФД 01.07/71 "Алгебраїчні питання функціонального аналізу та їх застосування", а також проектом "Застосування клітинної теорії у квантовій алгебрі та теорії чисел", який автор виконує у Інституті Макса Планка у Бонні.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є класифікація та опис різноманітних наборів операторів, які задовольняють співвідношенням Темперлі-Ліба та ортогональності. Такі набори операторів зручно вивчати як оператори зображення відповідних алгебр. Тому ми розглядаємо питання про ізоморфність алгебр, породжених різними співвідношеннями такого типу. При цьому вивчаються такі інваріанти алгебр відносно ізоморфізму, як лінійна розмірність, розмірності незвідних зображень, розмірність Гельфанда-Кирилова, тотожності у алгебрі, особливості центру.

При дослідженні використовувались методи аналізу в гільбертовому просторі, комбінаторні та асимптотичні методи теорії асоціативних алгебр, методи теорії зображень та *-зображень, а також методи теорії кілець та алгебраїчної геометрії.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержано наступні нові результати:

1. Введено новий клас *-алгебр, породжених проекторами, що попарно задовольняють або співвідношенню Темперлі-Ліба або співвідношенню ортогональності. Одержано класифікацію таких алгебр за розмірністю Гельфанда-Кирилова.

2. Для алгебр із попереднього пункту, що мають скінченну розмірність Гельфанда-Кирилова, наведено опис незвідних*-зображень із точністю до унітарної еквівалентності. Ці результати можна інтерпретувати як опис незвідних конфігурацій підпросторів у гільбертовому просторі із фіксованими кутами між ними.

3. Для всіх нескінченновимірних алгебр зазначеного вище класу, які мають скінченну розмірність Гельфанда-Кирилова(для них усіх ця розмірність дорівнює 1), встановлено ізоморфізм із відповідними підалгебрами матриць над поліномами Лорана від однієї змінної.

4. Центри алгебр, що відповідають афінній групі Кокстера серії A, описано як координатні кільця деяких алгебраїчних кривих. Наведено функцію від параметрів у співвідношеннях алгебри, що є інваріантом: при різних її значеннях відповідні алгебри не ізоморфні.

5. Встановлено ізоморфізм афінних алгебр Темперлі-Ліба із підалгебрами матриць над поліномами Лорана. Побудовано просто улаштований ідеал у афінній алгебрі Темперлі-Ліба, що має скінченну корозмірність. Центр афінної алгебри Темперлі-Ліба описано як кільце координат певного алгебраїчного многовиду. Побудовано десингуляризацію та обчислено кількість незвідних компонент центрального многовиду.

Практичне значення одержаних результатів. Результати мають теоретичний характер.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано у статтях [1-4]. Статті [1,2,4] написані автором самостійно. Із результатів спільної статті [3] до дисертації включено лише результати автора. Доведення Леми 4 в дисертації одержано спільно із Н. Д. Поповою в [3].

Апробація результатів дисертації. За результатами дисертації зроблено доповіді на Київському семінарі з функціонального аналізу, семінарі "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" та семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України, на міжнародних конференціях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Київ, червень 2003 року), "Representation theory and its applications" (Уппсала, 22-27 червня 2004 року).

Публікації. Результати дисертації викладено у чотирьох статтях [1-4], опублікованих у фахових виданнях, препринті [5] та тезах міжнародних конференцій [6,7].

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури, викладених на 110 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 41 найменування.

Я вдячна Юрію Стефановичу Самойленко, чиї наукові інтереси та погляди вплинули на мене значною мірою, а щира підтримка допомагає у роботі. Також дякую Андрію Анатолійовичу Дороговцеву за його увагу, корисні поради та численні математичні заняття.

Основний зміст роботи

У вступі зроблено огляд математичних об'єктів, пов'язаних із тематикою дисертації, пояснено загальні ідеї та підходи, що у ній використовуються, обгрунтовано актуальність та наукову новизну роботи.

У першому розділі введено клас алгебр, які породжені співвідношеннями Темперлі-Ліба та ортогональності, та наведено їх класифікацію за асимптотичними характеристиками, тобто порядком росту або розмірністю Гельфанда-Кирилова. Систему співвідношень зручно задавати за допомогою графа із розстановкою чисел на його ребрах. Нехай Г -- скінченний орієнтований граф із множинами та вершин та ребер відповідно. Нехай у ? немає петель і кожні дві вершини у заданому напрямі сполучені не більше ніж одним ребром. Розглянемо деяку розстановку ненульових чисел на ребрах Г. Тоді, за означенням, є асоціативна алгебра, породжена ідемпотентами , які ортогональні, якщо вершини не сполучено ребром, і задовольняють співвідношенню Темперлі-Ліба із числом, яке написано над ребром графа, у протилежному випадку. Наведемо класифікацію цих алгебр за порядком росту у двох випадках: коли у ? кожні дві вершини сполучені не більше ніж одним ребром, і навпаки, коли кожне ребро має обернене.

Теорема 2. Нехай ? є скінченний зв'язний орієнтований граф без петель, у якому кожні дві вершини сполучені не більше ніж одним ребром. Тоді для будь-якої розстановки ? ненульових чисел на його ребрах ріст алгебри може бути одним із наступних:

[1](скінченновимірна алгебра), коли ? є деревом орієнтованим від кореня;

[n](лінійний ріст), коли ? складається із підграфа вигляду?[r] ? ?[l]

, до кожної вершини якого може бути лише приклеєне за свій корінь орієнтоване від цього кореня дерево;

(квадратичний ріст), коли ? складається із орієнтованого цикла, до кожної вершини якого може бути лише приклеєне за свій корінь орієнтоване від цього кореня дерево;

(експоненційний ріст) інакше; у цих випадках включає вільну підалгебру із двома твірними.

У другому випадку алгебру зручно задавати неорієнтованим графом, замінивши кожну пару протилежно напрямлених ребер одним неорієнтованим ребром.

Теорема 3. Нехай ? неорієнтований зв'язний граф без кратних ребер та петель. Тоді для довільної розстановки ненульових чисел на його ребрах алгебра :

[1] має скінченну лінійну розмірність , де -- кількість вершин, якщо ? не має циклів;

[n] має лінійний ріст, якщо ? має рівно один цикл;

містить вільну підалгебру із двома твірними, якщо ? має більше одного цикла.

У наступних розділах розглядаються лише алгебри із неорієнтованими графами ?, тобто співвідношення Темперлі-Ліба є симетричними. Ми завжди вважаємо, що граф зв'язний.

Зауважимо, що при дійсній розстановці можна ввести інволюцію (тобто антилінійний антиавтоморфізм) * таку, що . Дійсно, таку інволюцію можна ввести на вільній алгебрі , продовживши антилінійно відображення . Далі, система співвідношень зберігається цією інволюцією: і . Отже, породжений ними ідеал також зберігається, і інволюція діє на факторі за цим ідеалом, тобто на .

У другому розділі розглядаються *- зображення алгебр . Ця задача еквівалентна задачі опису конфігурацій підпросторів у гільбертовому просторі із фіксованими кутами між ними. Підпростори відповідають вершинам графа; якщо вершини сполучено ребром із числом ? на ньому, то відповідні підпростори знаходяться під кутом ? із ; в протилежному випадку відповідні підпростори ортогональні. Для графів із не більше ніж одним циклом показано, що всі підпростори у нетривіальній незвідній конфігурації одновимірні (теорема 4). Для доведення цього факту використовуються результати попереднього розділу і ще один алгебраїчний результат: якщо ? є циклом, то алгебра скінченновимірна як модуль над своїм центром (лема 4). Таким чином, опис незвідної конфігурації підпросторів зводиться до опису конфігурації набору векторів, матрицю Грама яких досить просто побудувати за даними (?,?). Дійсно, розглянемо самоспряжену матрицю A(?,?).

Теорема 5. Нехай ? -- дерево. Нетривіальні зображення алгебри існують тоді і тільки тоді коли матриця A(?,?) невід'ємно визначена. Незвідне нетривіальне зображення єдине з точністю до унітарної еквівалентності, і його розмірність дорівнює рангу матриці A(?,?).

Аналогічно, коли ? -- зв'язний граф із одним циклом. Нехай і нехай для визначеності вершини та є сусідніми вершинами цикла. Розглянемо самоспряжену матрицю .

Теорема 6. Нехай ? -- зв'язний граф із одним циклом. Нетривіальні зображення існують тоді і тільки тоді, коли для деякого ??[0;2?) матриця невід'ємно визначена. Кожному такому ? відповідає єдине нетривіальне зображення, його розмірність дорівнює rank, і при різних ? ці зображення унітарно не еквівалентні.

У другому розділі також розглянуто приклад графа із двома циклами, розмірності незвідних конфігурацій для якого не обмежені (теорема 7).

У третьому розділі побудовано структурну теорію алгебр . Розглянемо алгебру , яка є фактором алгебри некомутативних поліномів без вільного члена за тими самими співвідношеннями, що і .

Нехай , R = , і N -- кількість твірних-ідемпотентів у алгебрі R. Розглянемо підалгебру алгебри R. Зауважимо, що є одиничним елементом у K. Виявляється, підалгебри та ізоморфні при будь-яких 1?i,j?N (твердження 1). Більше того,

Твердження 2. K=C, якщо ? -- дерево; K=, якщо ? має точно один цикл; в усіх інших випадках K містить вільну підалгебру з двома твірними.

Позначимо Ann. Розглядаючи ліву дію R та праву дію на , ми отримуємо гомоморфізм із R у алгебру матриць над K.

Твердження 4. Існує гомоморфізм з ядром Ker?= Ann.

Як наслідок одержуємо, що в виконуються поліноміальні тотожності тоді і тільки тоді, коли ? містить не більше одного цикла (наслідок 1). Наступне твердження описує образ гомоморфізма ? із твердження 4.

Твердження 5. Комутант ?(R) у є підмножина множини діагональних матриць, всі елементи яких спряжені у K.

Звідси можна вивести просту необхідну і достатню умову для того, щоб алгебра R була матричною алгеброю над K.

Твердження 6. тоді і тільки тоді, коли у R є одиниця.

Далі ми розглядаємо лише випадок, коли граф містить не більше одного цикла. Тоді маємо наступне твердження.

Твердження 7. Якщо алгебра K -- комутативна, то центр Z=Z(R/ Ann ізоморфний ідеалу в K, і має місце вкладення Ann. Більше того, або це вкладення є власним, або Z=K та R/ Ann.

Коли K=C, нетривіальних ідеалів у K немає. Звідси, використовуючи Твердження 7 та 6, дістаємо такий критерій напівпростоти.

Теорема 8. Якщо граф ? є дерево із N вершинами, тоді алгебра R або ізоморфна , або її центр є .

Існує поліном Q від змінних такий, що тоді і тільки тоді, коли . Поліном Q залежить лише від графа ?.

У випадку графа із одним циклом можна описати центр алгебри R/ Ann більш конкретно.

Теорема 9. Якщо ? є довільний зв'язний граф із точно одним циклом, то існує поліном P(x) такий, що центр алгебри R/ Ann ізоморфний головному ідеалу у , породженому P(x). Мають місце вкладення

Ann R/ Ann ,

які є власними, якщо тільки P -- не константа.

Розглянемо приклад, коли ? є граф-цикл із N вершинами.

Теорема 10. Якщо ? є цикл, тоді центр алгебри ізоморфний до головного ідеала у , породженого або , або x+1. Друга альтернатива має місце тоді і тільки тоді, коли ?=?(?)=?2 і ranksign =N-2.

Відмітимо, що будь-які N-2 послідовні стовпчики матриці A(x) лінійно незалежні для будь-якого x. Тому ранг A(x) не менший ніж N-2.

У першому випадку центр R, доповнений одиницею 1, буде ізоморфний координатному кільцю афінного алгебраїчного многовиду, що задається рівнянням

Ці многовиди не ізоморфні при (твердження 9), отже, |?(?)| є інваріантом алгебри . В іншому випадку центр R, доповнений одиницею 1, буде ізоморфний , тобто координатному кільцю многовиду yz=1. На відміну від многовиду (2), який має особливу точку y=z=0, многовид yz=1 не має особливих точок: він є регулярним. Це питання ми розглядаємо більш детально у наступному розділі.

Побудоване вкладення у матриці та центральний многовид дають нам можливість розрізняти алгебри для графа-циклу:

Наслідок 2. Якщо ? -- цикл, то

(i) алгебра не ізоморфна до матричної алгебри над комутативною алгеброю;

(ii) стандартна тотожність (-тотож-ність) виконується у ;

(iii) алгебри, що відповідають циклам різної довжини , не ізоморфні;

(iv) алгебри , що відповідають різним відображенням ?, не ізоморфні, якщо числа ?(?) відрізняються одне від одного за модулем;

(v) алгебри із ?(?)=?2 і

Rank

sign

не ізоморфні до алгебр із

rank

sign.

У четвертому розділі розроблені методи застосовуються до афінної алгебри Темперлі-Ліба типу . Центр є скінченно-породжена алгебра без нільпотентних елементів, а отже, є кільцем координат деякого афінного алгебраїчного многовиду . У дисертації описано цей многовид.

Висновки

У дисертації досліджено конфігурації підпросторів у гільбертовому просторі із фіксованими кутами між ними. Такі конфігурації розглядаються як зображення *-алгебр, породжених співвідношеннями Темперлі-Ліба та ортогональності.

Проведено класифікацію таких конфігурацій за асимптотичними характеристиками відповідних алгебр. У випадках скінченної розмірності Гельфанда-Кирилова описано такі набори кутів, за яких конфігурації існують. Для кожного набору кутів наведено опис всіх незвідних конфігурацій з точністю до унітарної еквівалентності. Побудовано структурну теорію відповідних алгебр. Простір параметрів, якими для заданого набору кутів індексуються класи унітарної еквівалентності незвідних конфігурацій, пов'язано із будовою алгебри.

Наведено конкретні функції від набору кутів, що є інваріантами: при різних їх значеннях відповідні алгебри не є ізоморфними. Вони дозволяють розрізняти конфігурації при однакових асимптотичних характеристиках.

Розроблені у дисертації методи, зокрема матричної реалізації та параметризації множини зображень, застосовано до афінних алгебр Темперлі-Ліба серії A.

Список опублікованих праць здобувача

1. Vlasenko M. On the growth of an algebra generated by a system of projections with fixed angles // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2004. - v.10, № 1 - P. 98-104.

2. Vlasenko M. On certain quotient of the Temperley-Lieb algebra // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. - 2004. - v.50, Part 3 - P.1214-1218.

3. Власенко М. А., Попова Н. Д. О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с фиксированными углами между ними// Укр. мат. журн. - 2004. - т.56, № 5 - С.606-615.

4. Vlasenko M. Description of the center of the certain quotient of the affine Temperley-Lieb algebra // Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - № 3. - P.21-34.

5. Vlasenko M. Description of the center of the affine Temperley-Lieb algebra.- Bonn, 2004. - P.1-13. - (Preprint / Max-Planck-Institut fur Mathematik; 2004-94).

6. Popova N., Vlasenko M., Representations of the algebras ofTemperley-Lieb type // Thesis of the conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics", Kyiv, June 23-29, 2003

7. Vlasenko M., Description of the center of the affine Temperley-Lieb algebra // Thesis of the conference "Representation theory and its applications", Uppsala, June 22-27, 2004

Анотації

Власенко М.О. Про зображення співвідношень Темперлі-Ліба. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню наборів проекторів, що задовольняють співвідношення Темперлі-Ліба та ортогональності.

Система співвідношень Темперлі-Ліба та ортогональності алгебраїчно описує конфігурацію підпросторів у гільбертовому просторі із попарно фіксованими кутами між ними. У дисертації наведено опис різноманітних таких конфігурацій, а також описано породжені ними алгебри. Одержано результати про структуру афінних алгебр Темперлі-Ліба серії A.

При дослідженні використовувались методи аналізу у гільбертовому просторі, комбінаторні та асимптотичні методи теорії асоціативних алгебр, методи теорії зображень та *-зображень, а також методи теорії кілець та алгебраїчної геометрії.

Ключові слова: розмірність Гельфанда-Кирилова, *-зображення, кільце ендоморфізмів, поліноміальні тотожності, алгебраїчний многовид, кільце координат, особливість, десингуляризація, афінна алгебра Темперлі-Ліба.

Власенко М.А. О представлении соотношений Темперли-Либа. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени кандидита физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена исследованию наборов проекторов, которые удовлетворяют соотношениям Темперли-Либа и ортогональности.

Система соотношений Темперли-Либа и ортогональности алгебраически описывает конфигурацию подпространств в гильбертовом пространстве с попарно фиксированными углами между ними. В диссертации приведено описание разнообразных таких конфигураций, а также описаны порожденные ими алгебры. Получены результаты о структуре афинных алгебр Темперли-Либа серии A.

При исследовании использовались методы анализа в гильбертовом пространстве, комбинаторные и ассимптотические методы теории ассоциативных алгебр, методы теории представлений и *-предс-тавлений, а также методы теории колец и алгебраической геометрии.

Ключевые слова: размерность Гельфанда-Кириллова, *-представление, кольцо эндоморфизмов, полиномиальные тождества, алгебраическое многообразие, кольцо координат, особенность, десингуляризация, афинная алгебра Темперли-Либа.

Vlasenko М. O. On representation of Temperley-Lieb relations. - Manuscript. - Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree thesis in speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. - Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2005.

In the thesis we consider collections of projection operators satisfying Temperley-Lieb and orthogonality relations.

The system of Temperley-Lieb and orthogonality relations algebraically describes the configuration of subspaces in Hilbert space with fixed angles between each two of them. The configuration is described by the graph with nonzero numbering on its edges: subspaces correspond to the vertices of the graph; if two vertices are connected by an edge then the angle between correspondent subspaces is defined by the number on this edge; otherwise subspaces are orthogonal. So, orthogonal projections on this subspaces satisfy Temperley-Lieb and orthogonality relations correspondingly.

We classify the systems of Temperley-Lieb and orthogonality relations up to isomorphisms of the associative algebras generated by them. In the first chapter of the thesis we consider asymptotical characteristics of this algebras and classify them by Gelfand-Kirillov dimension. In particular, algebra has finite Gelfand-Kirillov dimension if and only if there is no two cycles in one connected component of the graph and it has finite linear dimension if and only if each connected component is a tree, i. e. there is no cycles in each connected component.

In the second chapter we consider *-representations of this algebras. In case of finite Gelfand-Kirillov dimension we describe the set of admissible values of parameters (collection of angles) for given graph, and give description of all nontrivial irreducible configurations of subspaces with given values of angles up to unitary transformation.

In the third chapter we build structural theory of the algebras generated by the Temperley-Lieb and orthogonality relations. It suffices to consider connected graphs only. We consider a special subalgebra related to the homotopic group of the graph. Then the whole algebra appears to be a free module of finite rank over this subalgebra, thus we obtain an inclusion of the algebra itself into the endomorphism ring of this module, i.e. the ring of matrices over given subalgebra. And this subalgebra is isomorphic to the basic field for all algebras of finite linear dimension and it is isomorphic to the ring of Laurent polynomials for all other algebras of finite Gelfand-Kirillov dimension in our class. As a consequence we obtain polynomial relations in our algebras and describe their centers as a coordinate rings of irreducible (for a connected graph) algebraic curves.

In the last chapter we apply our technique to the affine Temperley-Lieb algebra of type A. We obtain its realization as a subring of multimatrix ring over Laurent polynomials, construct an ideal of finite codimension in this algebra and show that its center is a coordinate ring of the affine 1-dimensional algebraic variety. We construct a certain desingularization of this variety and describe its irreducible components.

Key words: Gelfand-Kirillov dimension, *-representation, endomorphism ring, polynomial identitities, algebraic variety, coordinate ring, singularity, resolution of singularity, affine Temperley-Lieb algebra.

Размещено на Allbest.ru