Дослідження розв’язків параметризованих задач з нелінійними крайовими умовами

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517. 9

ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗКІВ

ПАРАМЕТРИЗОВАНИХ ЗАДАЧ З НЕЛІНІЙНИМИ

КРАЙОВИМИ УМОВАМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЩОБАК НАТАЛІЯ МИКОЛАЇВНА

Київ-2006



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ронто Микола Йосипович, Мішкольцський Університет (Угорщина), Інститут математики, завідувач кафедри аналізу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бойчук Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент, Чуйко Сергій Михайлович, проректор Слов'янського державного педагогічного університету

Провідна установа: Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, кафедра диференціальних рівнянь

Захист відбудеться 25 вересня 2006 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26 001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий 6 липня 2006 року.

Учений секретар

cпеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.



АНОТАЦІЯ

Щобак Н.М. Дослідження розв'язків параметризованих задач з нелінійними крайовими умовами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню розв'язків крайових задач з параметрами в нелінійних рівняннях та нелінійних умовах. Обґрунтовується підхід, який базується на побудові еквівалентної крайової задачі з параметрами та лінійними крайовими умовами, що розглядається разом з певною системою визначальних рівнянь. За допомогою розробленої модифікації чисельно-аналітичного методу послідовних наближень отримано необхідні і достатні умови існування розв'язків розглядуваних задач.

В роботі запропоновано також нову схему дослідження розв'язків багатоточкових крайових задач шляхом зведення їх до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію. Питання існування та наближеної побудови розв'язків цих задач вивчаються на основі чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Ключові слова: чисельно-аналітичний метод послідовних наближень, нелінійні крайові умови, параметризована крайова задача, параметр, збурена крайова задача, точне визначальне рівняння, наближене визначальне рівняння. крайовий задача лінійний рівняння



АННОТАЦИЯ

Щобак Н.М. Исследование решений параметризованных задач с нелинейными краевыми условиями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006 г.

В современной науке наблюдается повышенный интерес к процессам, происходящим в нелинейных средах и системах. Математические модели таких явлений часто приводят к исследованию решений разных типов нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь можно указать, например, задачи математической биологии, электротехники, механики. Все это во многом стимулировало стремительное развитие современной математической теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Анализируя монографии и статьи М.А.Красносельського И.Т.Кигурадзе, А.И.Перова, А.М.Самойленка, Д.И.Мартынюка, А.А.Бойчука, Г.М.Вайникко, Н.А.Перестюка, А.Ю.Лучки, С.И.Трофимчука, В.В.Маринца, Х.Б.Келлера, Ж.Мавена, М.Квапиша, С.Станека и многих других, убеждаемся в многообразии подходов к изучению решений краевых задач. Ясно, чем сложнее вид дифференциального уравнения и чем более общие краевые условия надо принимать во внимание, - тем труднее поддаются конструктивному исследованию такие задачи.

В диссертационной работе развивается идея численно-аналитического метода, предложенного А.М.Самойленком для исследования существования и приближенного построения решений периодической краевой задачи. В работах А.М.Самойленка, его учеников и последователей схема этого метода обобщается и используется к различным классам задач. Однако, несмотря на достаточно большое число работ, существует много еще не решенных проблем. Это можно сказать, в частности, о так называемых параметризованных краевых задачах, возникающих, например, в теории управления. Этим и обосновывается проведение дальнейших исследований по тематике, к которой относится представленная работа.

Результаты, полученные в диссертационной работе, определенным образом пополняют совокупность конструктивных приемов исследования параметризованных нелинейных краевых задач.

Так, предложено исследование нелинейных краевых задач первого порядка с параметрами в уравнении и условиях путем построения эквивалентных им параметризованных задач с линейными краевыми условиями, которые рассматриваются вместе с определенной дополнительной алгебраической системой определяющих уравнений. Разработано численно-аналитическую схему последовательных приближений для построения приближенных решений нелинейных краевых задач с параметрами. Получено необходимые и достаточные условия существования решений.

Обосновано новую схему исследования решений многоточечных краевых задач, которая базируется на преобразовании их к семейству подходящих двухточечных задач используя соответствующую параметризацию. На основе численно-аналитических алгоритмов сделано заключения о существовании решений многоточечных нелинейных краевых задач. Теоретические разработки проиллюстрировано на примерах.

Результаты проведенных исследований могут использоваться для решения конкретных прикладных задач, математическими моделями которых служат нелинейные краевые задачи.

Ключевые слова: численно-аналитический метод последовательных приближений, нелинейные краевые условия, параметризированная краевая задача, параметр, возмущенная краевая задача, точное определяющее уравнение, приближенное определяющее уравнение.



ABSTRACT

Shchobak N.N. Investigation of the solutions of parametrized problems with non-linear boundary conditions. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate's of Physical and Mathematical Sciences degree by specialty 01.01.02 - Differential equations. - Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to the investigation of solutions of the boundary value problems with parameters in non-linear equations and non-linear conditions. The approach, which is based on the construction of the equivalent boundary value problem with parameters and linear boundary conditions and is examined together with some determining equations systems, is substantiated. Necessary and sufficient existence conditions of the given boundary problems solutions existences have been received using the modification of numerical-analytic method of successive approximations that was developed.

In the thesis the new scheme for investigation of the multipoint boundary value problems solutions have been propounded. They were transformed into two-point boundary value problems using the appropriate parametrization. The point of existence and approximate construction of these problems solutions were studied on the basis of numerical-analytic method of successive approximations.

Key words: numerical-analytic method of successive approximations, nonlinear boundary conditions, parameterized boundary value problems, parameter, perturbed boundary value problems, exact determining equation, approximate determining equation.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В сучасній науці спостерігається підвищений інтерес до процесів, які проходять в нелінійних системах та середовищах. Математичні моделі таких явищ часто зумовлюють необхідність дослідження розв'язків різних типів нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Тут можна вказати, наприклад, задачі математичної біології, електротехніки, механіки. Це і стимулювало стрімкий розвиток сучасної математичної теорії крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Аналізуючи монографії та статті М.О.Красносельського, І.Т.Кігурадзе, О.І.Перова, А.М.Самойленка, Д.І.Мартинюка, О.А.Бойчука, М.О.Перестюка, А.Ю.Лучки, С.І.Трофімчука, В.В.Маринця, Х.Б.Келлера, Ж.Мавена, Г.М.Вайнікко, М.Квапіша, С.Станека та багатьох інших, переконуємося в існуванні різноманітних підходів до дослідження розв'язків, які дають можливість вивчити питання існування і єдиності, проаналізувати осциляційні властивості, оцінити похибки, побудувати наближені розв'язки. Зрозуміло, що чим складніше диференціальне рівняння і чим більш загальні крайові умови потрібно брати до уваги, тим важче піддаються конструктивному дослідженню такі задачі.

У дисертаційній роботі ми дотримуємося традицій Київської математичної школи. А саме: розвивається ідея чисельно-аналітичного методу, запропонованого А.М.Самойленком для дослідження існування та наближеної побудови розв'язків періодичної крайової задачі. У працях А.М.Самойленка, його учнів та послідовників схема цього методу узагальнюється та використовується для надзвичайно широкого класу задач. Але, незважаючи на достатньо велику кількість робіт, існує багато ще не розв'язаних проблем. Зокрема, це стосується так званих параметризованих крайових задач, які виникають, наприклад, у теорії керування. Цим і обґрунтовується виконання подальших досліджень за тематикою, до якої відноситься пропонована дисертаційна робота.

Без сумніву, науковий інтерес становлять проблеми обґрунтування ефективних підходів до дослідження нелінійних крайових задач з параметрами і нелінійних багатоточкових крайових задач, поширення і подальшого розвитку конструктивних методів для дослідження їх розв'язків.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наукової тематики кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики УжНУ і пов'язана з держбюджетною темою "Модулі над груповими кільцями та їх застосування. Аналітичні та чисельно-аналітичні методи в теорії диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь", що виконувалася на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики УжНУ (номер державної реєстрації № ДР - 0103У007902).

Мета і завдання дисертаційної роботи. Основною метою роботи є дослідження проблем існування та наближеного відшукання розв'язків крайових задач для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь першого порядку із скалярними та векторними параметрами. Розробка нового підходу параметризації багатоточкових крайових задач та чисельно-аналітичного алгоритму їх вивчення.

Об'єктом дослідження є нелінійні крайові задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Предметом дослідження є вивчення існування та побудова розв'язків нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами в рівняннях і умовах та багатоточкових нелінійних крайових задач.

Методика дослідження. Ґрунтується на ідеях чисельно-аналітичного методу послідовних періодичних наближень, запропонованого А.М.Самойленком для періодичної крайової задачі, а також на його узагальненнях, розроблених А.М.Самойленком та М.Й.Ронто для більш широких класів крайових задач.

Наукова новизна одержаних результатів.

1). Обґрунтовано підхід до вивчення параметризованих крайових задач з нелінійними рівняннями та нелінійними умовами, який базується на побудові еквівалентної параметризованої задачі з лінійними крайовими умовами, що розглядається разом з певною системою визначальних алгебраїчних рівнянь.

2). Розроблено чисельно-аналітичну схему послідовних наближень для побудови розв'язків нелінійних крайових задач з параметрами.

3). Отримано необхідні й достатні умови існування розв'язків параметризованих нелінійних крайових задач.

4). Запропоновано нову схему дослідження розв'язків багатоточкових крайових задач шляхом їх зведення до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію.

5). На основі обґрунтованих чисельно-аналітичних алгоритмів зроблено висновки про існування розв'язків багатоточкових нелінійних крайових задач.

Практична цінність. Отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичний характер, вони узагальнюють та доповнюють попередні дослідження в якісній теорії крайових задач та теорії чисельно-аналітичних методів. Запропоновані алгоритми можуть бути застосовані до розв'язання прикладних задач науки і техніки, математичними моделями яких є нелінійні крайові задачі.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації є новими і належать автору. З 12 публікацій, що відображають зміст дисертації, 7 написані у співавторстві. Загальний план роботи та постановка задач визначені науковим керівником М.Й.Ронто, обговорення результатів спільних праць належить всім авторам. В дисертацію включено та на захист виносяться лише результати, одержані автором самостійно.

Апробація роботи. Основні результати і положення дисертації доповідалися й обговорювалися на:

Міжнародній науковій конференції "Seventh Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations" (Szeged, 14. 07. - 18. 07. 2003 р.);

на Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 26--30 серпня 2003 р.);

Міжнародній математичній конференції ім. В.Я.Скоробогатька (м. Дрогобич, 27 вересня -- 1 жовтня 2004 р.);

конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С.Підстригача (м. Львів, 24-27 травня 2005 р.);

Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, 6-9 червня 2005 р.);

Міжнародній конференції "Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІ)" присвяченій пам'яті акад. В.С.Михалевича (смт. Кацивелі (Крим), 19-23 вересня 2005 р.);

засіданні наукового семінару кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, 2005 р.);

59-ій та 60-ій підсумкових наукових конференціях професорсько-викладацького складу Ужгородського національного університету (секція математичних наук) (м. Ужгород, 22-23 лютого 2005- 2006 рр.);

засіданнях наукового семінару кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2004 -- 2006 рр.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 12 праць. Серед них - 6 статей у провідних фахових періодичних наукових журналах, при цьому 3 статті у наукових виданнях, що входять до переліку № 1 ВАК України від 9. 06. 1999 р., та 2 статті у науковому виданні, що входить до переліку № 17 ВАК України від 19. 01. 2006 р. Шість праць опубліковано у збірниках тез Міжнародних наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку використаних літературних джерел, який налічує 209 найменувань. Роботу викладено на 162 сторінках, вона містить 22 графіки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість одержаних результатів, наведено інформацію про апробацію роботи, вказано особистий внесок здобувача.

У першому розділі проведено огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями.

Другий розділ присвячений викладенню одного способу дослідження двоточкових нелінійних крайових задач, які містять параметри і в рівнянні, і в крайових умовах. Так, в підрозділі 2.1 розглядається нелінійна двоточкова параметризована крайова задача яка містить скалярний параметр і в рівнянні (1), і в умовах (2), (3).

Припускається, що функції, неперервні, де - замкнена зв'язна область, - невідомий скалярний параметр, і - задані коефіцієнти.

Означення 2.1.1. Під розв'язком задачі (1)-(3) на інтервалі розумітимемо неперервно-диференційовну вектор-функцію, при, і таке значення параметра, тобто пару, яка задовольняє наступні умови: для всіх, , і деякої невід'ємної сталої матриці.

При цьому, а нерівності між векторами, тут і надалі, розуміються покомпонентно.

Означення 2.1.2. Для довільного невід'ємного вектора під -околом вектора розумітимемо множину, яка складається з тих, для яких виконуються покомпонентні нерівності Зауваження 2.1.1. Покомпонентні оцінки типу (4), (5), як правило, точніші ніж відповідні нерівності в термінах норм, оскільки повніше використовують алгебраїчну структуру простору .

Використовуючи заміну змінних де - замкнена зв'язна підобласть області , - невідомий параметр, , показано, що нелінійна задача (1)-(3) з нелінійними крайовими умовами є еквівалентною сім'ї двоточкових параметризованих крайових задач з невідомим вектором, яка розглядається разом з нелінійною системою визначальних алгебраїчних рівнянь де- фіксовані -матриці,

Суттєва перевага отриманої задачі полягає в тому, що крайові умови (8) є вже лінійними.

Означення 2.1.3. Під розв'язком задачі (7)-(9), (10) на інтервалі розумітимемо неперервно-диференційовну вектор-функцію, при, і такі значення параметрів, тобто сукупність, яка в області задовольняє рівняння (7) та умови (8)-(10).

Для дослідження отриманої сім'ї крайових задач (7)-(9) розроблена модифікація чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Нехай задана параметризована крайова задача (1)-(3) є такою, що підмножина непорожня: - n-вимірна одинична матриця.

Крім того, припускається, що спектральний радіус матриці в умові (4) задовольняє нерівність. Визначимо підмножину таким чином Розглядається послідовність функцій залежна від штучно введених параметрів та від параметра , який міститься в задачі (1)-( 3).

Зазначимо, що для початкового значення функції справедлива рівність для всіх та довільних.

Доведено таке твердження.

Теорема 2.1.1. Нехай функції, є неперервними та виконуються умови (4), (11), (12).

Тоді:

1) послідовність функцій вигляду (14), яка задовольняє крайові умови (8), (9) для всіх та, рівномірно збігається при в області до граничної функції

2) гранична функція, з початковим значенням заданим рівністю (13), є єдиним розв'язком інтегрального рівняння тобто, є розв'язком модифікованого (відносно (7)) інтегро-диференціального рівняння та задовольняє крайові умови (8), (9);

Встановлено, що в праву частину рівняння (7) завжди можна так ввести додатковий параметр , щоб розв'язок збуреного рівняння з початковим значенням де, , , є параметрами, задовольняв крайові умови (8), (9).

Наступне твердження показує зв'язок між збуреною задачею (15), (8), (9) та крайовою задачею (7)-(9).

Теорема 2.1.3. Нехай виконуються умови теореми 2.1.1. Тоді сукупність задовольняє параметризовану крайову задачу з параметром (7)-(9) тоді і тільки тоді, коли триплет задовольняє систему визначальних рівнянь де задається рівністю (13), а розглядається як параметр.

Теорема 2.1.4. Якщо виконуються умови теореми 2.1.1, то для того, щоб пара, де, була розв'язком заданої крайової задачі з параметром (1)-(3) необхідно і достатньо, щоб триплет задовольняв систему алгебраїчних визначальних рівнянь і пара є розв'язком системи (16), параметризованої за .

Наслідок 2.1.1. Нехай виконуються умови теореми 2.1.1. Пара буде розв'язком крайової задачі з параметром (1)-(3) тоді і тільки тоді, коли триплет задовольняє систему визначальних рівнянь яка містить 2n скалярних алгебраїчних рівнянь.

На практиці фіксується m та замість останньої системи розглядається наближена визначальна система.

В п. п. 2.1.4. доведено достатні умови існування розв'язку крайової задачі (1)-(3), що дозволяє робити висновки щодо існування розв'язку задачі на підставі аналізу послідовних наближень (14), не знаходячи їх граничної функції.

Теорема 2.1.5. Нехай виконуються умови теореми 2.1.1 і, крім того, існує випукла замкнена область така, що для деякого наближена визначальна система має в цій області єдиний розв'язок, індекс якого відмінний від нуля; на границі області виконується нерівність

Більш детально вивчаються властивості граничної функції та точної визначальної функції. Так, доведено лему, в якій оцінюється відхилення функцій і для точок з області, лему про неперервну залежність визначальної функції від та оцінку відхилення від.

Крім того, одержано необхідні умови існування розв'язку крайової задачі (1)-(3), тобто умови, необхідні для того, щоб деяка підобласть містила триплет даного розв'язку вихідної задачі.

В підрозділі 2.2. розглядається нелінійна параметризована двоточкова задача з більш загальними крайовими умовами.

Припускаємо, що функції неперервні, де - замкнені обмежені області і невідомий скалярний параметр (область вибираємо таким чином, щоб ).

За допомогою заміни змінних крайова задача (17)-(19) зводиться до еквівалентної їй сім'ї крайових задач з лінійними умовами (21), яка розглядається разом з нелінійною системою визначальних алгебраїчних рівнянь.

Припускаємо, для заданої параметризованої крайової задачі (17)(19) виконуються умови (4), (11), (12).

Будується послідовність функцій вигляду (14), залежна від штучно введених параметрів і від параметра , який міститься в задачі (17)-(19), де множина та вектор вигляду (24), (25) відповідно. Функції цієї послідовності задовольняють лінійні однорідні двоточкові крайові умови (21), додаткову умову (22), а також виконується рівність для довільних , .

Доведено теорему про рівномірну збіжність послідовності функцій (14) до граничної функції , яка є розв'язком певної збуреної задачі, встановлено відношення цього розв'язку до розв'язку задачі (17)-(19).

Приклади, наведені в п. п. 2. 1. 5. та 2. 2. 1. дають наглядну ілюстрацію застосування розробленого алгоритму до нелінійних крайових задач з параметрами. Для конкретних крайових задач за допомогою пакета символьної математики Maple знайдено в аналітичному вигляді послідовні наближення вищих порядків до точного розв'язку системи, а також чисельно знайдено наближення до точних значень параметрів та початкового значення.

В третьому розділі "Крайові задачі з векторними параметрами" поширено застосування описаної в розділі 2 схеми редукції нелінійної крайової задачі з векторними параметрами де, до сім'ї параметризованих задач з лінійними умовами яка розглядається разом з додатковою системою алгебраїчних рівнянь.

Означення 3.1.1. Під розв'язком задачі (26)-(28) на інтервалі розумітимемо неперервно-диференційовну вектор-функцію , при , і такі значення параметрів, тобто сукупність .

Під розв'язком задачі (29)-(32) на інтервалі розуміємо неперервно-диференційовну вектор-функцію, при , і такі значення параметрів, тобто сукупність, яка в області задовольняє рівняння (29) та умови (30)-(32).

Припускаємо, що функції є неперервними, де, множини - замкнені обмежені області. Для всіх і функція задовольняє умову Ліпшиця.

В підрозділі 3.3 узагальнено модифікацію методу А.М.Самойленка на випадок нелінійних задач з векторними параметрами.

При зроблених припущеннях доведено теорему про рівномірну збіжність послідовності функцій (33) при в області до граничної функції знайдено оцінки збіжності.

Обґрунтовано, що пара, де, , буде розв'язком параметризованої задачі (26)-(28) тоді і тільки тоді, коли четвірка задовольняє систему визначальних рівнянь яка містить скалярних алгебраїчних рівнянь.

Розроблені у розділі 3 алгоритми проілюстровано на прикладі.

У четвертому розділі "Параметризація багатоточкових крайових задач" пропонується досліджувати багатоточкові нелінійні крайові задачі шляхом зведення їх до двоточкових, використовуючи відповідну параметризацію. Існування розв'язків обґрунтовується з використанням прийомів чисельно-аналітичного методу послідовних наближень. Спочатку досліджується триточкова задача, а в кінці розділу теоретичні викладки узагальнюються для багатоточкового випадку.

В підрозділі 4.1 розглядаємо триточкову крайову задачу з невідокремлюваними лінійними крайовими умовами вигляду де, - компактна область в , - - матриці з дійсними коефіцієнтами, .

Припускаємо, що функція неперервна і, крім того, знайдеться така стала матриця з невід'ємними компонентами, що при довільних справедлива нерівність.

Обмежимося розглядом класу крайових задач вигляду (34), (35), для яких максимальне власне значення невід'ємної матриці в умові Ліпшиця задовольняє умову.

Замінюємо значення шуканого розв'язку задачі (34), (35) в точці вектором параметрів , який приймає значення в деякій множині :

Множина розв'язків початкової триточкової задачі (34), (35) співпадає з множиною тих розв'язків -параметричної сім'ї двоточкових задач які задовольняють додаткову умову (38).

При таких припущеннях побудовано послідовність неперервних функцій де, яка задовольняє двоточкову умову (40).

Вказано умови, достатні для рівномірної збіжності рекурентної послідовності функцій (42) і встановлено зв'язок її границі з множинами розв'язків задач (34), (35) і (39), (40).

Теорема 4.1.1. Припустимо, що для неперервної функції виконуються умови (36), (37), (41). Тоді послідовність (42) рівномірно збіжна по при всіх; гранична функція послідовності (42) при всіх є єдиним розв'язком інтегрального рівняння тобто, єдиним розв'язком інтегро-диференціального рівняння для та задовольняє крайові умови (40); для всіх справедлива оцінка.

Зауваження 4.1.6. Нерівність (37), зі збереженням усіх встановлених в дисертаційній роботі тверджень, можна замінити менш обмежувальною умовою, де. При цьому зміняться деякі технічні деталі (наприклад, вигляд оцінки в теоремах 2.1.1, 3.1.1, 4.1.1).

Параметризовану крайову задачу (39), (40) можна інтерпретувати, як сімю задач Коші. Доведено твердження.

Теорема 4.1.2. Припустимо, що виконуються умови теореми 4.1.1. Нехай і. Тоді для того, щоб деякий розв'язок задачі Коші задовольняв також і двоточкові умови (40), необхідно і достатньо, щоб параметр в (43) був заданий рівністю, де.

Встановлено зв'язок функції з множиною розв'язків двоточкової задачі (39), (40), яка містить параметр .

Теорема 4.1.2. Нехай виконуються умови теореми 4.1.1. Тоді залежна від параметрів функція є розв'язком двоточкової задачі (39), (40) з параметром тоді і тільки тоді, коли і задовольняють співвідношення.

Функція є розв'язком вихідної триточкової задачі (34), (35) тоді і тільки тоді, коли пара задовольняє умову (45).

При практичній реалізації розглянутої чисельно-аналітичної схеми фіксуємо деякий номер ітерації в (42) і використовуємо в якості наближення до невідомої функції, існування якої стверджується в теоремі 4.1.1. При цьому замість (45), (46) виникають наближені визначальні рівняння.

Отримаємо 2n рівнянь відносно 2n невідомих, з яких знаходимо потрібні значення параметрів.

В підрозділі 4. 2 обґрунтовано розроблений підхід для -точкової крайової задачі з невідокремлюваними лінійними крайовими умовами вигляду де є неперервною та задовольняє умову Ліпшиця (36), - компактна область в , , -- матриці з дійсними коефіцієнтами

Замінюємо значення шуканого розв'язку цієї задачі в точках векторами, кожен із яких складається з параметрів, які набувають значення в деяких множинах:

Множина розв'язків вихідної -точкової задачі (47), (48) збігається з множиною тих розв'язків параметричної сім'ї двоточкових задач (47), (50), які задовольняють додаткову умову (49).

Доведено рівномірну збіжність послідовності функцій де, до деякої граничної функції , яка є єдиним розв'язком збуреної задачі, де, та задовольняє крайові умови (50).

Обґрунтовано необхідну та достатню умови існування розв'язку вихідної задачі (47), (48).

Підрозділ 4.3 містить модельну триточкову задачу, що ілюструє застосування запропонованого в даному розділі алгоритму.

У кінці кожного розділу наведені висновки.

Користуючись нагодою, автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Миколі Йосиповичу Ронто за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач, постійну увагу, цінні поради та підтримку в роботі.



ВИСНОВКИ

Результати, отримані в дисертаційній роботі, певним чином доповнюють сукупність конструктивних засобів дослідження задач із параметрами в нелінійному диференціальному рівнянні і в нелінійних крайових умовах та багатоточкових крайових задач. У дисертації наведено нове вирішення наукової проблеми, що виявляється в обґрунтуванні алгоритмів зведення розглядуваних класів задач до більш зручних щодо дослідження та розробка для них модифікацій чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

Отримані такі основні результати.

1. Запропоновано дослідження нелінійних крайових задач першого порядку з параметрами в рівнянні і умовах шляхом побудови еквівалентних їм параметризованих задач із лінійними крайовими умовами, які розглядаються разом із певною додатковою алгебраїчною системою визначальних рівнянь.

2. Обґрунтовано вивчення нелінійних багатоточкових крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за допомогою їх зведення до двоточкових, застосовуючи відповідну параметризацію.

3. Розроблено для побудови послідовних апроксимацій розв'язків розглядуваних типів крайових задач модифікації чисельно-аналітичного алгоритму послідовних наближень.

4. Встановлено необхідні та достатні умови існування розв'язків нелінійних параметризованих та багатоточкових крайових задач.

5. Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розв'язання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.



CПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ АВТОРА З ТЕМИ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ronto M., Shchobak N. On the numerical-analytic investigation of parametrized problems with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Oscillations. - 2003. - 6, №4. - P. 482-510.

2. Ронто А.Н., Rontо M., Щобак Н.М. О параметризации трехточечных нелинейных краевых задач // Нелінійні коливання. - 2004. - Т.7, №3. - P. 395-413.

3. Щобак Н.М. Про розв'язність нелінійних крайових задач з параметрами // Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз.-мат. науки. - 2005. - №4. - С. 106-115.

4. Ronto M., Shchobak N. On parametrized problems with non-linear boundary conditions // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. Proc. 7^th Coll. QTDE. - 2004. - №20. - Р. 1-25. - http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/7/720.html.

5. Щобак Н.М. Дослідження існування розв'язків деяких нелінійних параметризованих крайових задач // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2003. - Вип. 8. - С. 141-148.

6. Щобак Н.М. Дослідження деяких нелінійних крайових задач з параметрами // Наук. вісн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 85-99.

7. Ronto M., Shchobak N. On a non-linear boundary value problem with parameters // Seventh Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, 14-18 July 2003: Book of abstracts. - Szeged, 2003. - Р. 45.

8. Ronto M., Shchobak N. On the investigation of some parametrized non-linear boundary value problems // Шості Боголюбовські читання: Тез. допов. конф. Чернівці, 26-30 серп. 2003 р. - К., 2003 - С. 295.

9. Щобак Н.М. Дослідження нелінійних крайових задач з параметрами // Тези доповідей Міжнародної математичної конференції ім. В.Я. Скоробогатька. Дрогобич, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р. - Львів, 2004. - 248 с.

10. Щобак Н.М. Про дослідження деяких триточкових крайових задач з параметром // Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, Львів, 24-27 травня 2005 р. - Львів, 2005. - С. 181-182.

11. Ронто М., Щобак Н. Про деякі багатоточкові нелінійні крайові задачі з параметром // Диференціальні рівняння та їх застосування: Тези доповідей Міжнародної конференції, присвяченої 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Київ, 6-9 червня 2005 р. - Київ, 2005. - С. 94.

12. Ронто М.Й., Щобак Н.М. Параметризація багатоточкових нелінійних крайових задач // Міжнар. конф. "Питання оптиміз. обчисл. (ПОО-ХХХІІ)" присвяч. пам'яті акад. В.С.Михалевича, смт. Кацивелі (Крим), 19-23 вересня 2005 р. Праці конф. - К., 2005. - С.182.

Размещено на Allbest.ru

...