Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності

Размещено на http://allbest.ru

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності

Щестюк Наталія Юріївна

Київ -- 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та

математичної статистики Київського національного

університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

МОКЛЯЧУК Михайло Павлович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

КРАСНИТСЬКИЙ Сергій Михайлович,

Київський національний університет технологій

та дизайну МОН України, професор кафедри

інформаційних технологій проектування;

кандидат фізико-математичних наук, старший

науковий співробітник

ПАШКО Анатолій Олексійович, Європейський

університет (м. Київ), доцент кафедри

математики, декан факультету інформаційних систем і технологій

Провідна установа Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України, відділ математичних методів

дослідження операцій, м.Київ

Захист відбудеться “ 26 ” жовтня 2006 р. о 15.30__ годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 в Київському національному

університеті ім. Тараса Шевченка за адресою:

03022, м. Київ - 22 , просп. Академіка Глушкова, 2,

корпус 6, факультет кібернетики.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці

Київського національного університету імені Тараса Шевченка

(01066, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “ 09 ”___09__________ 2006 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради П.М.Зінько

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Серед сучасних напрямків розвитку теорії випадкових полів важливу роль відіграє напрямок, що присвячений задачам оцінювання (інтерполяції, екстраполяції, фільтрації) невідомих значень випадкових полів. Постановка задач інтерполяції та екстраполяції для стаціонарних випадкових послідовностей належить А.М. Колмогорову. За умови відомих кореляційних функцій А.М. Колмогоров знаходить величини середньоквадратичних похибок екстраполяції та інтерполяції та встановлює спектральні умови для можливості інтерполювати та екстраполювати випадкові стаціонарні послідовності з довільною заданою точністю. Щодо безпосереднього знаходження оцінок невідомих значень послідовностей та процесів, то Н.Вінер та А.М. Яглом запропонували два різних підходи до задач екстраполяції та фільтрації таких стаціонарних процесів та послідовностей, які мають раціональну спектральну щільність. Слід відмітити роботи Г. Вольда, Г. Крамера, Ю.А. Розанова, присвячені задачам прогнозу стаціонарних процесів за додатковим припущенням відносно канонічної факторизації спектральної щільності. Проте інтенсивний розвиток сучасної науки і техніки обумовив необхідність розробки методів та алгоритмів для розв'язання аналогічних задач оцінювання невідомих значень випадкових полів. Значний внесок у розвиток теорії оцінювання полів внесли А.Г. Міамі та Х.Ніємі, М.С. Пінскер, Х. Корезліогли та Ф. Лоубатон, Цзян Цзе-пей, М.І. Фортус. Особливе місце у цьому ряду займає наукова творчість М.Й. Ядренка, яким отримано ряд суттєво важливих результатів, що зіграли значну роль у становленні теорії випадкових полів як математичної дисципліни. У своїх роботах М.Й. Ядренко започаткував спектральну теорію та теорію оптимального оцінювання однорідних та ізотропних випадкових полів. Теорія оцінювання однорідних випадкових полів дістала подальший розвиток у роботах його учнів Ю.Д. Попова, М.П. Моклячука та деяких інших.

Особливо актуальними в останні роки є задачі оцінювання полів в умовах спектральної невизначеності, коли кореляційні функції або спектральні щільності полів є невідомими, а відомо лише деякі їх статистичні характеристики або обмеження на них. Такі задачі оцінювання виникають, наприклад, при вивченні проблем обробки сигналів у радіо- та гідролокаційних системах супроводження цілей, у демодуляторах аналогових систем зв'язку, у медицинських системах обробки зображень. Характеристики оптимальних процедур обробки сигналів можуть різко погіршуватись навіть при порівняно невеликих відхиленнях від початкових припущень щодо характеристик сигналів. Щоб подолати це ускладнення, доцільно використовувати мінімаксні (робастні) алгоритми, тобто ті, які мають високу ефективність за номінальних умов та задовільну за умов, коли властивості сигналу та шуму можуть змінюватись у деяких допустимих границях. Такий мінімаксний підхід мінімізує максимальну похибку одночасно для всіх щільностей із заданого класу. Вперше мінімаксний підхід до задач екстраполяції стаціонарного процесу, що спостерігається без шуму, було запропоновано У.Гренандером у термінах теорії ігор. Г. Пур, Дж. Хосойа, П. Масані вивчали деякі непараметричні класи спектральної невизначенності для стаціонарних процесів. У роботах Дж. Франке проблема мінімаксної екстраполяції досліджена за допомогою методів субдиференціального числення. Зокрема, як показав Дж. Франке, у багатьох задачах мінімаксне оцінювання лише одного невідомого значення процесу приводить до того, що найменш сприятливою щільністю буде щільність “білого шуму”. Дослідження саме функціоналів від випадкового поля дає нові результати. Дещо інший напрямок мають роботи О.Б. Куржанського, О.Г. Наконечного, Ю.К. Подлипенка, В.О. Капустяна, що стосуються теорії гарантованого (мінімаксного) оцінювання із детермінованими та стохастичними збуреннями для задач спостереження та керування в умовах неповної інформації. Проте інша постановка задач в цих роботах зумовила використання інших методів мінімаксного дослідження. Основні результати робіт М.П. Моклячука та С.В. Татарінова, що присвячені задачам мінімаксного оцінювання полів базуються на використанні факторизації спектральних щільностей та стосуються проблем визначення максимального значення величини похибки за спостереженнями поля разом з “білим” шумом у задачах екстраполяції та розв'язання задачі інтерполяції для випадку, коли поле спостерігається разом з некорельованим шумом в області , . Водночас, з технічної точки зору, є також важливими задачі інтерполяції полів для довільної області та задачі екстраполяції і фільтрації полів, на які накладені шуми, які не можна трактувати як “білі”. Отже, широкий клас важливих (з точки зору прикладних застосувань) задач оцінювання лінійних функціоналів від однорідного поля, що спостерігається з шумом, до теперішнього часу вивчений недостатньо. Дана робота присвячена вирішенню саме цих проблем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 010U002472).

Мета та завдання дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії оцінювання випадкових полів, а саме знаходження оптимальних оцінок функціоналів від невідомих значень однорідного поля, що спостерігається з шумом та мінімаксних оцінок у випадку, коли точні значення спектральних щільностей не відомо, але відомо їх належність до деяких класів спектральних щільностей.

Відповідно до сформульованої мети були визначені такі основні завдання:

- знайти оптимальні оцінки інтерполяції функціоналів від невідомих значень однорідного поля дискретних аргументів, що спостерігається з шумом у точках площини за винятком деякої області та дослідити залежність інтерполяційних оцінок від вигляду цієї області;

- у тому випадку, коли точні значення спектральних щільностей полів є невідомими, використати широко вживані у технічній літературі по обробці сигналів моделі (класи) спектральної невизначеності процесів та застосувати мінімаксний підхід до знаходження оцінок інтерполяції функціоналів від однорідного поля, що спостерігається з шумом; окремо розглянути випадок неперервного у середньо квадратичному поля та неперервного поля, що спостерігається лише у цілочисельних точках;

- розв'язати задачу екстраполяції функціоналів від однорідного поля дискретних аргументів, що спостерігається з шумом та знайти оптимальні і мінімаксні оцінки функціоналів від невідомих значень поля за спостереженнями у півплощині та у трьох чвертях площини методом без традиційного припущення про канонічну факторизацію спектральної щільності;

- знайти оптимальні та мінімаксні оцінки екстраполяціі для неперервного у середньо квадратичному поля, що спостерігається лише у цілочисельних точках; екстраполяція квадратичний поле невизначеність

- розв'язати задачу фільтрації функціоналів від однорідних полів дискретних та неперервних аргументів за спостереженнями у півплощині; знайти оптимальні та мінімаксні оцінки фільтрації.

Об'єкт дослідження. Випадкові однорідні поля.

Предмет дослідження. Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності.

Методи дослідження. Для розв'язання сформульованих задач в дисертаційній роботі використані основні положення спектральної теорії однорідних випадкових полів та властивості операторів у гільбертових просторах для знаходження оптимальних оцінок, методи опуклої оптимізації та методи субдиференційного числення для знаходження мінімаксних оцінок.

Наукова новизна одержаних результатів. У більшості задач мінімаксного дослідження задача оцінювання лише одного невідомого значення поля приводить до того, що найменш сприятливою щільністю буде щільність “білого шуму”. Дослідження саме функціоналів від випадкового поля дає нові результати. Основні результати дисертаційної роботи такі:

Узагальнено формули для знаходження спектральної характеристики та середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень однорідного випадкового поля за спостереженнями на фоні шуму на випадок, коли поле та шум - однорідні та однорідно зв'язані поля, а область, де спостереження недосяжні, має довільний вигляд;

Досліджено вигляд інтерполяційних оцінок в залежності від області спостережень; як часткові випадки розглянуто інтерполяційну область у вигляді скінченної та нескінченної смуги певної ширини; для нескінченної смуги додатково досліджено випадки, коли спектральні щільності мають вигляд,.

Розвинуто метод одержання мінімаксних оцінок інтерполяції функціоналів від однорідного поля, що спостерігається з некорельованим шумом для деяких широко вживаних при обробці сигналів та полів класів спектральної невизначеності;

Запропоновано новий підхід до задач знаходження оптимальних оцінок екстраполяції полів (без традиційного припущення про канонічну факторизацію спектральної щільності), що базується на методі Колмогорова А.М. для інтерполяції стаціонарних процесів, використовує властивості ортогонального проектування у гільбертовому просторі, основні положення теорії функцій та перетворення Фур'є; на підставі оптимальних оцінок знайдено мінімаксні оцінки для випадку некорельованих полів дискретних та неперервних аргументів за спостереженнями у півплощині та у трьох чвертях площини;

Розвинуто метод (без традиційного припущення про канонічну факторизацію спектральної щільності) розв'язання задач оптимального та мінімаксного оцінювання неперервного у середньо квадратичному поля на фоні шуму на випадок дискретних спостережень за одним чи двома аргументами;

Розвинуто метод, що використовує канонічну факторизацію спектральних щільностей та результати У.Гренандера відносно можливості зображення оптимальної середньоквадратичної похибки у вигляді деякого оператора, визначеного через коефіцієнти функціонала на випадок оцінювання функціоналів за спостереженнями однорідного поля на фоні однорідного шуму у півплощині у задачах знаходження оптимальних та мінімаксних оцінок фільтрації; зокрема для спектральних щільностей,.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані результати мають теоретичне та практичне значення для теорії лінійного прогнозу випадкових полів в умовах невизначеності та можуть використовуватись у задачах розпізнавання, оцінювання та кодування полів, які виникають при обробці зображень, в теорії автоматичного управління, океанографії, метрології.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. У статтях опублікованих у співавторстві з науковим керівником М.П. Моклячуком, вся робота по доведенню теорем, знаходженню оптимальних та мінімаксних оцінок проводилась самостійно. Керівнику належить постановка задачі та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на

міжнародній конференції, присвяченій 90 - річчю з дня народження

Б.В. Гнєденка (3-7 червня 2002р., м.Київ),

міжнародній конференції “Стохастичні динамічні системи” (30 травня -

3 червня 2003р., м.Судак),

на Сьомій міжнародній школі з математичних та статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні (8-13 вересня 2003р., Ласпі (Крим)),

на ІІІ Всеукраїнської конференції з фінансового аналізу студентів та аспірантів (19-21 квітня 2004р., м.Львів),

на другій міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених із сучасних задач прикладної статистики, актуарної та фінансової математики (22-28 квітня 2004р., м.Донецьк),

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (25 травня 2004р., м. Київ),

на Восьмій міжнародній школі з математичних та статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні (20-27 червня 2004р., Форос (Крим )),

на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005р., м.Львів),

на міжнародній конференції “Сучасні проблеми та нові тенденції в теорії ймовірностей”(19-26 червня 2005р., м.Чернівці),

на міжнародній конференції “Проблеми прийняття рішень в умовах невизначенності” (12-17 вересня 2005р., м.Бердянськ).

на XII Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (4-6 жовтня 2005р., м.Львів),

засіданні наукового семінару з системного аналізу при кафедрі системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (21 грудня 2005р., м.Київ),

Публікації. Матеріали дисертації опубліковано у 12 статтях, 10 з яких є статтями у фахових періодичних виданнях, затверджених ВАК України та у тезах доповідей 7 наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, основної частини із трьох розділів, розподілених на підрозділи, висновків, списку використаних джерел та додатків. Повний обсяг дисертаційної роботи становить 207 сторінок, з них - 158 основного змісту. Список використаних джерел займає 13 сторінок та включає 153 найменування. Додатки становлять 36 сторінок.

ОСНОВНА ЧАСТИНА

У вступі обгрунтовано актуальність роботи, зроблено короткий огляд літератури за тематикою дослідження, аналіз сучасного стану проблем, які розглядаються у дисертаційній роботі; визначено мету та завдання дослідження; висвітлено методи, наукову новизну, теоретичне та практичне значення дисертаційної роботи, наведено огляд її основних результатів.

Перший розділ “Задачі інтерполяції полів” містить основні теоретичні положення щодо задач інтерполяції функціоналів від випадкових однорідних полів і включає дослідження оптимальних та мінімаксних оцінок. Розділ складається з двох підрозділів. Підрозділ 1.1 присвячено задачам інтерполяції полів дискретних аргументів, підрозділ 1.2 - задачам інтерполяції полів неперервних аргументів. Кожен з тих підрозділів містить пункти та підпункти, в яких висвітлено постановку задач та методи знаходження оптимальних та мінімаксних лінійних оцінок.

Задача інтерполяції полів дискретного аргументу полягає у тому, що за даними спостережень поля при оцінюється функціонал, де - задана послідовність коефіцієнтів, та - однорідні та однорідно зв'язані (у широкому розумінні) випадкові поля, структура яких визначається матрицею спектральних щільностей

У наслідках 1.1, 1.2 з теореми 1.1 досліджено шляхи знаходження оцінок інтерполяції в залежності від вигляду області. Наслідки 1.3- 1.5 присвячені оцінюванню функціонала за даними спостережень суми некорельованих полів та, що мають спектральні щільності та відповідно при,. Показано, що формули для знаходження оптимальної спектральної характеристики та середньоквадратичної похибки у цьому випадку суттєво спрощуються для спектральних щільностей некорельованих полів вигляду,.

У підрозділі 1.1.4. сформульовано результати, що стосуються мінімаксних оцінок полів. В умовах спектральної невизначеності задача знаходження оцінки для поля розглядається як антагоністична гра, у якій функціоналом виграшу є середньоквадратичне відхилення, простором стратегій першого гравця, який намагається максимізувати є множина допустимих спектральних щільностей, а простором стратегій другого гравця, який намагається мінімізувати, є множина спектральних характеристик оптимальної оцінки функціонала. Найменш сприятлива матриця з опуклої множини матриць спектральних щільностей та мiнiмаксна спектральна характеристика утворюють сiдлову точку функції на множині.

Теорема 1.3. Нехай щільності, задовольняють умову мінімальності (2) для некорельованих полів і функції, , що визначені формулами (8), (9) обмежені.

Для однорідного поля неперервного аргументу задача полягає у тому, щоб за даними спостережень поля при, знайти таку лінійну оцінку функціонала, де, щоб мінімізувати величину середньоквадратичної похибки. Методом, що узагальнює метод Колмогорова А.М. знайдено аналогічні формули для обчислення спектральної характеристики та величини середньоквадратичної похибки оптимальної лінійної оцінки функціонала у випадку. коли поле спостерігається на фоні однорідного та однорідно зв'язаного шуму (теорема 1.5). Використовуючи методи субдиференціонального числення знайдено мінімаксні оцінки функціонала, для класів спектральних щільностей, ,. Леми 1.8, 1.9, 1.10 описують вигляд субдиференціала для класів, відповідно. Теореми 1.6, 1.7, 1.8 визначають найменш сприятливі спектральні щільності в класах, ,.

Спектральну характеристику та величину середньоквадратичної похибки оптимальної лінійної оцінки функціонала від невідомих значень поля неперервних аргументів за дискретними спостереженнями

Знайдено вигляд найменш сприятливих щільностей та мінімаксних спектральних характеристик в класах спектральних щільностей, , (теореми 1.10, 1.11, 1.12).

Другий розділ “Задачі екстраполяції полів” складається з двох підрозділів. У підрозділі 2.1 “Задачі екстраполяції полів дискретних аргументів” розглянуто задачі оптимального лінійного оцінювання функціоналів від невідомих значень однорідного випадкового поля, де півплощина або чверть площини за даними спостережень поля при. У п.2.1.1 без традиційного припущення про канонічну факторизацію спектральної щільності розв'язано задачу оптимального оцінювання функціонала від невідомих значень однорідного випадкового поля, за умови, що матриця спектральних щільностей відома.

Теорема 2.1. Нехай - суміш однорідних та однорідно з'вязаних випадкових полів. Спектральну характеристику та величину середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень поля за даними спостережень

Показано, що для однорідного випадкового поля із спектральною щільністю, що спостерігається без шуму (), спектральну характеристику та середньоквадратичну похибку оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень однорідного поля за даними спостережень поля при можна обчислити двома способами

Дослідження, аналогічні викладеним у теоремі 2.1 та її наслідкам проведено для функціонала від невідомих значень однорідного випадкового поля за даними спостережень поля при, що відображено у теоремі 2.2 та її наслідках.

У п.2.1.4 для оцінювання функціоналу знайдено найменш сприятливі щільності в класах (Теорема 2.3) та (Теорема 2.4). Додатково розглянуто випадок оцінки однорідного випадкового поля, що має спектральну щільність, де - фіксована, , . Тоді найменш сприятливою щільністю в класі при оптимальному лінійному оцінюванні функціонала за даними спостережень поля при буде, де - власний елемент оператора, що відповідає найбільшому власному значенню і задовольняє умові. Спектральну характеристику та середньоквадратичну похибку оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень однорідного поля за даними спостережень поля при можна обчислити за формулами (19), (20). У п.2.1.5 для задачі оцінювання функціонала знайдено найменш сприятливі щільності в класах, , (теореми 2.5, 2.6, 2.7).

У підрозділі 2.2 “Задачі екстраполяції полів неперервних аргументів” розв'язано задачі оптимального лінійного оцінювання функціоналів та від невідомих значень однорідного випадкового поля за даними спостережень поля, де - середньоквадратично неперервні однорідні та однорідно зв'язані випадкові поля (Теореми 2.8, 2.9). Знайдено спектральну характеристику та величину середньоквадратичної похибки оптимальної лінійної оцінки функціонала від невідомих значень поля за дискретними спостереженнями поля в точках (Теореми 2.10). При знаходженні мінімаксних оцінок функціоналів, , методами субдиференціонального числення розв'язана задача опуклого програмування для певних класів спектральної невизначенності.

Третій розділ “Задачі фільтрації полів” складається з двох підрозділів: 3.1.“Задачі фільтрації дискретних аргументів” та 3.2. “Задачі фільтрації неперервних аргументів”. В п.3.1.2. узагальнюється задача оптимальної лінійної фільтрації полів за спостереженнями поля в усіх точках площини на випадок оцінки функціоналів При цьому та - однорідні та однорідно зв'язані (у широкому розумінні) випадкові поля (теорема 3.1) В пункті 3.1.3 розглядається задача лінійного середньоквадратично оптимального оцінювання функціонала від невідомих значень однорідного випадкового поля, за даними спостережень поля при. Припускаємо, що випадкове поле допускає канонiчний розклад рухомого середнього де - стандартне випадкове поле з некорельованими значеннями.

Теорема 3.2. Якщо щiльностi допускають факторизацiї (21), (23), то спектральну характеристику та середньоквадратичну похибку оптимальної лiнiйної оцiнки функціонала від випадкового поля за спостереженнями поля

У наслідку 3.2.1 наведено середньоквадратичну похибку та спектральну характеристику оптимальної лінійної оцінки функціонала від випадкового поля для полів, що мають спектральнi щiльностi, якi допускають факторизацiю або , де , ,.

Мінімаксний підхід в умовах невизначеності приводить до наступної леми

Лема 3.1. Спектральнi щiльностi, якi допускають канонiчнi факторизацiї (21)-(23), будуть найменш сприятливими в при оптимальному оцiнюваннi функціоналу, якщо функцiї, , , якi задають ці факторизацiї, будуть розв'язком задачi на умовний екстремум

У тому випадку, коли одна iз щiльностей є відома, задачі (28), (29) - це задачі на умовний екстремум лише за змiнною. При знаходженні мінімаксної оцінки функціонала в умовах невизначеності розв'язано задачі для класів, (Теореми 3.3, 3.4). У п.3.2.2 знайдено оцінку, , середньоквадратично неперервного поля для довільної точки площини за спостереженнями значень неперервного поля з шумом у всіх цілочисельних точках (Теорема 3.5). У п.3.2.3. досліджено задачу лінійного середньоквадратично оптимального оцінювання функціоналу від невідомих значень однорідного випадкового поля за даними спостережень поля при, де- некорельовані однорідні випадкові поля (Теорема 3.6). У випадку невідомих спектральних шільностей полів застосовується мінімаксний підхід до задач оцінки функціоналів від невідомих значень поля та знаходяться найменш сприятливі щільності в класі (Теорема 3.7).

Приклади застосування одержаних у роботі формул для інтерполяції, екстраполяції та фільтрації функціоналів від однорідних випадкових полів, а також алгоритм та комп'ютерну реалізацію знаходження оцінок наведено у додатках.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розвинуто метод розв'язання задач оцінювання функціоналів від невідомих значень однорідних випадкових полів за даними спостережень поля на фоні адитивного шуму. Цей метод використовує властивості ортогонального проектування у гільбертовому просторі, основні положення теорії функцій та перетворення Фур'є і дає змогу знайти формули для обчислення середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оцінки у тому випадку, коли відомо спектральні щільності полів. При цьому не вимагається знаходження коефіцієнтів канонічної факторизації спектральної щільності. В умовах невизначеності (спектральні щільності невідомо, проте задано класи можливих щільностей) розвинуто мінімаксний підхід до задач оцінювання функціоналів від випадкових полів, що дає нові результати.

Основні наукові результати роботи:

1.Узагальнено формули для знаходження спектральної характеристики та середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень однорідного поля за спостереженнями поля на фоні шуму на випадок, коли поле та шум - однорідні та однорідно зв'язані поля, а область, де спостереження недосяжні, має довільний вигляд;

2. Досліджено залежність способів знаходження інтерполяційних оцінок від вигляду області; як часткові випадки розглянуто інтерполяційну область у вигляді скінченної та нескінченної смуги певної ширини; для нескінченної смуги, як наслідки, знайдено оцінки в тому випадку, коли спектральні щільності мають вигляд,;

Розвинуто метод одержання мінімаксних оцінок інтерполяції функціоналів від однорідного поля, яке спостерігається з некорельованим шумом для певних класів спектральної невизначеності полів, що широко використовуються при обробці сигналів та полів; розроблено алгоритм та здійснено комп'ютерну реалізацію знаходження інтерполяційних оцінок;

Наведено нове розв'язання задачі знаходження оптимальних оцінок екстраполяції для функціоналів однорідного поля, що використовує метод , який не вимагає канонічної факторизації спектральної щільності; знайдено мінімаксні оцінки для випадку некорельованих полів дискретних та неперервних аргументів за спостереженнями у півплощині та у трьох чвертях площини;

Розвинуто метод (без традиційного допущення про канонічну факторизацію спектральної щільності) розв'язання задач оптимального та мінімаксного оцінювання неперервного у середньо квадратичному поля на фоні шуму на випадок дискретних спостережень за одним чи двома аргументами;

Розвинуто метод, що використовує канонічну факторизацію спектральних щільностей та результати У.Гренандера відносно можливості зображення оптимальної середньоквадратичної похибки у вигляді деякого оператора, визначеного через коефіцієнти функціонала на випадок оцінювання функціоналів за спостереженнями однорідного поля на фоні однорідного шуму у півплощині у задачах знаходження оптимальних та мінімаксних оцінок фільтрації; зокрема для спектральних щільностей,.

Всі отримані результати мають теоретичне та практичне значення при вивченні теорії лінійного прогнозу випадкових полів в умовах невизначеності та можуть використовуватись у задачах розпізнавання, оцінювання та кодування полів, які виникають при обробці зображень, в теорії автоматичного управління, океанографії, метрології.

Для розв'язання сформульованих задач в дисертаційній роботі використані основні положення спектральної теорії однорідних випадкових полів, властивості операторів у гільбертових просторах, методи опуклої оптимізації, субдиференційне числення. Достовірність отриманих результатів обгрунтована задовільним узгодженням результатів змодельованих полів із даними розрахунків та співпаданням для часткових випадків результатів оцінок, одержаних іншими авторами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Мінімаксна екстраполяція неперервних випадкових полів //Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.- мат. науки, - 2002, вип.№ 1, с. 47- 58.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Робастні оцінки функціоналів від випадкових полів // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: серія фіз.- мат. науки, - 2002, вип.№ 5, с. 106- 116.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про задачу фільтрації випадкових полів// Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.- мат. науки, - 2002, вип.№ 5, с. 116- 126.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Екстраполяція однорідних випадкових полів, що спостерігаються з шумом // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: математика і механіка, - 2002, вип.№ 7-8, с. 94- 101.

Щестюк Н.Ю. Про задачу інтерполяції випадкових полів// Вісник Київського університету, серія фіз.- мат. науки, - 2003, вип.№ 2, с.54- 61.

Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Robust estimates of functionals of homogeneous random fields.// Theory of Stochastic Processes. - 2003. - N 3-4. p.101-114.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Екстраполяція випадкових полів, що спостерігаються з шумом // ДАН України, - 2003, вип.№ 4, с. 12- 18.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про фільтрацію випадкових полів дискретного аргументу // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: математика і механіка, - 2003, вип. № 9-10, с. 117- 123.

Моклячук М.П., Щестюк Н.Ю. Про робастні оцінки випадкових полів// Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка, серія: фіз.- мат. науки, - 2003, вип.№ 1, с. 32- 42.

Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Estimation problems for random fields from observations in discrete moments of time.//Theory of Stochastic Processes. - 2004. - N 1-2. p.141-154.

Щестюк Н.Ю. Класичний метод лінійної інтерполяції для випадкового поля.// Вісник Східноукраїнського національного університету, - 2001, № 2(36), с.74- 77, Луганськ.

Щестюк Н.Ю., Моклячук М.П. Задачі оцінки функціоналів від стаціонарного випадкового поля, яке спостерігається з корельованим шумом.// Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, - 2003, № 1-2, с.239- 241, Донецьк -2004.

Щестюк Н.Ю. Інтерполяція функціоналів від стаціонарного випадкового поля, яке спостерігається з корельованим шумом.// Матеріали ІІІ Всеукраїнської конференції з фінансового аналізу студентів та аспірантів, - 2004, с.86- 90, Львів, 19-21 квітня.

Щестюк Н.Ю. Про задачу фільтрації однорідних випадкових корельованих полів.// Тези доповідей конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача, - 2005, с.220- 221, Львів, 24-27 травня.

Щестюк Н.Ю. Екстраполяція функціоналів від однорідного випадкового поля, що спостерігається у півплощині.// Матеріали XII Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”, - 2005, с.165- 168, Львів, 4-6 жовтня.

Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. Extrapolation problem for random fields from observations with noise.//International Gnedenko conference. Abstracts.. - 2002, p.141 ,Kyiv.June 3-7.

Moklyachuk M.P.,Shchestyuk N.Yu. On extrapolation problem for random fields from observations with noise.//ISS “Stochachastic Dinamical Systems - 2003” Abstracts, p.57, Sudak, Crimea. May 30 - June 3.

Shchestyuk Nataliya. Interpolation problems for homogeneous random fields from observations with noise.//International Conference “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”. Abstracts. - 2005, p.135, Chernivtci,June 19-26.

Shchestyuk Nataliya. The Estimates of homogeneous random fields //International Conference “Problems of Decision Making Under Uncertainties”. Abstracts.. - 2005, p.252-254 , Berdyansk, September 12-17.

АНОТАЦІЯ

Щестюк Н.Ю. Оцінки функціоналів від випадкових однорідних полів в умовах невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 -- системний аналіз і теорія оптимальних рішень.-- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена задачам інтерполяції, екстраполяції та фільтрації функціоналів від однорідних випадкових полів в умовах невизначеності. Розвинуто метод розв'язання задач оцінювання функціоналів від невідомих значень однорідних випадкових полів за даними спостережень поля на фоні адитивного шуму. Цей метод використовує властивості ортогонального проектування у гільбертовому просторі, основні положення теорії функцій та перетворення Фур'є і дає змогу знайти формули для обчислення середньоквадратичної похибки та спектральної характеристики оцінки у тому випадку, коли відомо спектральні щільності полів. Як наслідки побудовано оцінки для спектральних щільностей вигляду,. В умовах невизначеності (точні значення спектральних щільностей є невідомими, проте задано класи можливих щільностей) розвинуто мінімаксний (робастний) підхід до задач оцінювання функціоналів від випадкових полів. Знайдено найменш сприятливі спектральні щільності та мінімаксні спектральні характеристики для різних класів спектральних щільностей. Розроблено алгоритм та здійснено комп'ютерну реалізацію знаходження інтерполяційних оцінок. Формули для найменш сприятливих щільностей та мінімаксних спектральних характеристик отримано для оцінки полів дискретних аргументів, неперервних аргументів та для полів неперервних аргументів за дискретними спостереженнями.

Ключові слова: випадкове однорідне поле, оптимальна лінійна оцінка, середньоквадратична похибка, найменш сприятлива спектральна щільність, мінімаксна спектральна характеристика.

ANNOTATION

Nataly U.Shchestuk Estimation of functionals of homogeneous random fields under uncertainties.- Manuscript.

This is the thesis for the candidate of physical and mathematical science degree in specialty 01.05.04 - system analysis and optimal decisions theory. - Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2006.

The dissertation is devoted to the interpolation, extrapolation and filtration problems of functionals of homogeneous random fields under uncertainties. It is developed method of Kolmogorov for the problem of optimal linear estimation of the unknown values of homogeneous random fields from observations of the field with additive noise. This method is based on the properties of Hilbert space projections and Fourier transformations. The spectral characteristics and the mean square error of the optimal estimate of functionals on the unknown values of homogeneous random fields may be calculated by this method under conditions that spectral densities are known exactly. In the case where spectral densities are not known exactly, but sets of possible spectral densities are given, the minimax (robust) approach to estimate unknown values of the fields is applied. With the help of this approach the least favorable spectral densities and the minimax spectral characteristic of the optimal linear estimates for some classes of random fields are found. Estimates are found in the case where spectral densities are of the form, are researched. Algorithm and computer realization for interpolation problem is represented. Estimation problems are investigated for homogeneous random fields of discrete argument, mean square continuous fields and for continuous fields from observations at discrete points.

Key Words: homogeneous random field, optimal linear estimation, mean square error, least favorable spectral densities, spectral characteristics, minimax-robust spectral characteristics.

АННОТАЦИЯ

Щестюк Н.Ю. Оценки функционалов от случайных однородных полей в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 -- системный анализ и теория оптимальных решений.-- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Интерес к задачам оценки случайных однородных полей объясняется тем, что с одной стороны эти задачи являются естественным обобщением задач оценки для случайных последовательностей и процессов, с другой стороны такие задачи возникают в океанографии, метеорологии, радиосвязи. Постановка задачи интерполяции и экстраполяции стационарных случайных последовательностей при известных корреляционных функциях принадлежит А.Н. Колмогорову. Развитию теории оценок для стационарных последовательностей и процессов посвящены работы таких выдающихся ученых как Н.Винера, А.М. Яглома, Ю.А. Розанова. Значительный вклад в развитие теории оценки полей внесли М.С. Пинскер, А.Г. Миами и Х.Ниеми, Х. Корезлиогли, Ф.Лоубатон, Цзян Цзе-пей. Особое место в этом ряду занимает М.И. Ядренко, который по праву считается создателем спектральной теории случайных полей. Теория оценки однородных случайных полей получила дальнейшее развитие в работах его учеников Ю.Д. Попова, М.П. Моклячука. Особенно актуальны в последние годы задачи оценки полей в условиях спектральной неопределенности, когда кореляционные функции (спектральные плотности) полей не известны, а известны только некоторые их статистические характеристики или ограничения на них. Такие задачи оценки возникают при изучении проблем теории автоматического управления, кодирования и обработки сигналов в радио- и гидролокации, проблем распознавания образов речевых сигналов и изображений. Впервые задача подобного класса встречается в работе У. Гренадера, где в терминах теории игр решена задача прогнозирования стационарного случайного процесса, наблюдавшегося без шумов, о котором известна лишь его дисперсия. Несколько иное направление имеют работы О.Б. Куржанского, А.Г. Наконечного, Ю.К. Подлипенка, В.О. Капустяна, в которых разрабатывается теория гарантированного (минимаксного) оценивания с детерминированными и стохастическими возмущениями для задач набдюдения и управления в условиях неполной информации.

В диссертационной работе получил развитие метод решения задач оценки функционалов от неизвестных значений однородных случайных полей по данным наблюдениям поля на фоне аддитивного шума. Этот метод основан на свойствах ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве, основних положеннях теории функций и преобразования Фурье и дает возможность найти формулы для вычисления среднеквадратической погрешности и спектральной характеристики оценки в том случае, когда спектральные плотности полей известны. При этом не требуется нахождения коэффициентов канонической факторизации спектральной плотности. Предложено обобщение формулы для нахождения среднеквадратической погрешности и спектральной характеристики оптимальных оценок функционалов на случай, когда поле и шум - однородные и однородно связанные поля, а область, где наблюдения невозможны имеет произвольный вид. Исследована зависимость вида интерполяционных оценок от области наблюдения; как частные случаи рассмотрена интерполяционная область в виде конечной и бесконечной полосы определенной ширины; для бесконечной полосы рассмотрены оценки в том случае, когда спектральные плотности имеют вид,. Получил развитие минимаксный метод нахождения оценок интерполяции функционалов однородного поля по наблюдениям на фоне некорелированного шума для конкретных классов спектральной неопределенности; розработан алгоритм и выполнена компьютерная реализация нахождения интерполяционных оценок. Приведено новое решение задачи нахождения оптимальных оценок экстраполяции для функционалов однородного поля на основе метода, не требующего традиционной канонической факторизации спектральной плотности; найдены минимаксные оценки для случая некорелированных полей дискретных и непрерывных аргументов по наблюдениям в полуплоскости и в трех четвертях плоскости; выведены формулы для оптимальных и минимаксных оценок экстраполяции для функционалов от поля, непрерывного в среднеквадратическом по наблюдениям в целочисельных точках. Найдены оптимальные и минимаксные оценки фильтрации для функционалов от однородных полей по наблюдениям в полуплоскости на фоне шума.

Ключевые слова: случайное однородное поле, оптимальная линейная оценка, среднеквадратическая погрешность, наименее благоприятная спектральная плотность, минимаксная спектральная характеристика.

Размещено на Allbest.ru

...