Асимптотична поведінка розв’язків дисипативної системи рівнянь Захарова

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА

УДК 517.94

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА РОЗВ'ЯЗКІВ ДИСИПАТИВНОЇ СИСТЕМИ РІВНЯНЬ ЗАХАРОВА

01.01.03 - математична фізика

ЩЕРБИНА ОЛЕКСІЙ СЕРГІЙОВИЧ

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

Чуєшов Ігор Дмитрович, доктор фізико-математичних наук, професор, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичної фізики та обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

Гордевський В'ячеслав Дмитрович, доктор фізико-математичних наук, доцент Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичного аналізу.

Тедеєв Анатолій Федорович, доктор фізико-математичних наук, професор, Донецький інститут прикладної математики та механіки, завідувач відділу рівнянь математичної фізики.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ математичної фізики, м. Київ.

Захист відбудеться 8 вересня 2006 року о 15³⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 62.051.11 у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий "13" липня 2006 р.

Секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Система рівнянь Захарова виникла у фізиці плазми і описує колапс так званих ленгмюровських хвиль.

Колапс ленгмюровських хвиль становить собою виникнення у плазмі областей зниженої щільності (каверн) і грає центральну роль в теорії ленгмюровської турбулентності плазми. Ця турбулентність виникає при інтенсивних методах нагріву плазми: наприклад електромагнітним випромінюванням або пучками. Основний процес колапсу описується системою рівнянь для комплексної обгинаючої високочастотного потенціалу і варіації щільності, відомою як система рівнянь Захарова.

У дисертаційній роботі вивчається якісна поведінка розв'язків та глобальні атрактори дисипативної системи рівнянь Захарова.

Математичне дослідження консервативної системи рівнянь Захарова у необмеженій області розпочалося в кінці 70-х років двадцятого сторіччя в основоположній роботі С. Сулема і П. Сулема, а потім було продовжено іншими авторами, у т. ч. Дж. Бургейном, Дж. Дженібром та І. Тсутсумі. Було показано існування локального (за часом) розв'язку для випадку, коли дана область є всім простором , та існування глобального розв'язку для випадку d=1. Ці результати можуть бути формально використані для випадку обмеженої області та періодичних граничних умов. Однак, зауважимо, що у математичній літературі відсутні результати про існування глобального (за часом) розв'язку консервативної системи рівнянь Захарова у багатовимірних обмежених областях для інших граничних умов.

Дисипативна система рівнянь Захарова розглядалась тільки в одновимірному обмеженому інтервалі (І. Флао, О. Гобе). Було доведено існування глобального розв'язку даної системи в енергетичному класі та показано, що відповідна динамічна система є дисипативною та має компактний глобальний атрактор.

З математичної точки зору система рівнянь Захарова являє собою зв'язану систему двох нелінійних рівнянь - хвильового та Шредінгера. Системи подібного типу є мало дослідженими, і тому представляється актуальним вивчення асимптотичних якостей розв'язків системи рівнянь Захарова.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи проводилось на кафедрі математичної фізики та обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в межах держбюджетної науково-дослідної теми "Якісні методи дослідження початково-крайових задач математичної фізики" (номер державної реєстрації 0100U003363).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є опис якісної поведінки розв'язків дисипативної системи рівнянь Захарова в обмеженій області.

Для досягнення цієї мети передбачається розв'язати наступні задачі:

1) довести теорему існування і єдиності гладких розв'язків системи рівнянь Захарова у випадку одновимірної області та встановити, що за цих умов система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор, а також вивчити властивості гладкості елементів атрактора;

2) довести теорему існування і єдиності розв'язку системи рівнянь Захарова у випадку двовимірної області;

3) показати, що двовимірна система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему і встановити існування та властивості її глобального атрактора;

побудувати регуляризацію системи рівнянь Захарова та довести збіжність атрактора регуляризованої системи до атрактора системи Захарова.

Об'єкт дослідження. Початкова-крайова задача для системи рівнянь Захарова.

Предмет дослідження. Коректне розв'язання та асимптотична динаміка розв'язків системи рівнянь Захарова, включаючи існування і властивості глобального атрактора для відповідної динамічної системи.

Методи дослідження. У даній роботі для дослідження властивостей розв'язків використовуються фундаментальні методи функціонального аналізу і загальної теорії рівнянь у частинних похідних. Існування розв'язку в усіх випадках, що розглядаються, доводиться за допомогою методу компактності. У випадку двох просторових змінних для доведення єдиності розв'язку був використаний метод спектральних апроксимацій, розроблений Седенко. Дисипативність динамічної системи доводилась методом функції Ляпунова. Для доведення асимптотичної компактності був залучений метод Бола. Теорія збурень самоспряжених операторів залучається для доведення збіжності атрактора регуляризованої системи до атрактора системи рівнянь Захарова.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вивчена якісна поведінка розв'язків системи рівнянь Захарова і отримані наступні нові результати:

доведено, що елементи атрактора динамічної системи, яка була породжена системою рівнянь Захарова на одновимірному інтервалі з періодичними граничними умовами, є аналітичними функціями просторової змінної. Це дозволило довести існування двох вузлів, які однозначно визначають асимптотичну динаміку системи;

встановлена глобальна теорема існування і єдиності розв'язків системи рівнянь Захарова в обмеженій двовимірній області. Встановлено, що дисипативна система рівнянь Захарова у двовимірній області має множину початкових даних, які породжують глобальний розв'язок (до цього результати про глобальний розв'язок дисипативної системи рівнянь Захарова були відомі тільки у випадку однієї просторової змінної);

показано, що динамічна система, яка породжена двовимірною системою рівнянь Захарова, за деяких умов на параметри системи має компактний глобальний атрактор (до цього існування глобального компактного атрактора було доведено тільки у просторово-одновимірному випадку);

побудована регуляризація системи рівнянь Захарова та доведена збіжність атрактора регуляризованої системи до атрактора двовимірної системи Захарова, що дає можливість використовувати більш регулярні еволюційні задачі для опису динаміки системи рівнянь Захарова.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Методи, які були розвинуті у цій роботі, можуть стати основою для наступного дослідження системи рівнянь Захарова та інших систем рівнянь, що виникають у фізиці плазми (наприклад, системи рівнянь Шредінгера-Бусинеска). Конкретні нові результати про асимптотичну динаміку, які отримано в дисертації, можуть бути основою для розвитку нових підходів при чисельному дослідженні розв'язків системи рівнянь Захарова.

Особистий внесок здобувача. Усі результати, представлені на захист, отримані автором особисто. У статті [3]постановка задач та ідеї доведення теорем належать науковому керівнику.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "Моделювання динамічних систем та дослідження стабільності" (м. Київ, 2005), на Міжнародній конференції "Конференція з опуклої геометрії та явища великих вимірностей" (м. Відень, 2005), на Міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння в частинних похідних" (м. Алушта, 2005), на семінарі математичного відділення Фізико-технічного інституту низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України (керівник - академік Є.Я. Хруслов), на спільному семінарі відділів математичної фізики та диференціальних рівнянь Київського інституту математики НАН України (керівники - член-кореспондент НАН України М.Л. Горбачук та професор О.Л. Ребенко), на семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (керівник - професор І.Д. Чуєшов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 роботах [1]- [7], з яких 4 статті в наукових виданнях, які включені до переліку ВАК України, та 3 роботи у тезах конференцій, з них 6 робіт без співавторів.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що включає 80 робіт і займає 8 сторінок. Загальний обсяг роботи становить 127 сторінок. Результати роботи, які представлені до захисту, сформульовані та доведені у розділах 2-4.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, ступінь її наукової розробки, мета і задачі, предмет і об'єкт дослідження, наукова новизна, методологічна база роботи.

У першому розділі роботи розкриваються базові визначення, які використані у наступних розділах, та розглядаються близькі за тематикою роботи інших авторів.

Результати дисертаційної роботи наведено у другому, третьому та четвертому розділах.

У другому розділі розглянута система Захарова в обмеженому одновимірному інтервалі з періодичними граничними умовами:

Після введення нової змінної з деяким додатним параметром система стає системою першого ступеня за часом і набуває наступного вигляду:

(1)

з

-періодичними граничними умовами.

У підрозділі 2.1 наведено функціональні простори, в яких розглядається розв'язок системи (1), та формулюються основні результати другого розділу.

Підрозділ 2.2 присвячений доведенню існування та єдиності глобального розв'язку системи рівнянь Захарова в кожному енергетичному просторі:

,

()

- дійсний та комплексний простір Соболева L-періодичних функцій порядку s відповідно. А саме, доведена наступна

Теорема 2.1. Нехай ,

та належать . Тоді система (1) має єдиний розв'язок , який належить - множині обмежених неперервних функцій зі значеннями в .

Доведення цієї теореми проведено за допомогою метода компактності для апроксимацій за Гальоркіним. Розглянуто систему:

(2)

яка є результатом проекції системи (1) на власний підпростір оператора A, що відповідає першим N власним векторам, а - оператор проектування на цей підпростір. Система (2) є системою звичайних диференціальних рівнянь і тому має єдиний розв'язок з інтервалом існування . З рівномірних за часом апріорних оцінок для цього розв'язку виходить, що час його існування є необмеженим. Також з цих оцінок випливає, що послідовність розв'язків має збіжну підпослідовність, яка збігається в до (m, n, E), а ця трійка, у свою чергу, задовольняє системі (1).

Найбільш складним у цьому методі було доведення рівномірних за часом апріорних оцінок у просторі , які наводяться у наступній лемі.

Лема 2.1 Нехай s - натуральне число,

і належить до . Тоді розв'язок системи (2) належить до обмеженої множини в .

Для доведення цієї леми використано метод математичної індукції. Базою індукції є наступна

Пропозиція 2.1 Якщо

і належить до , то розв'язок системи (2) задовольняє нерівності:

,

де (і) константи залежать від параметрів , , , зовнішніх сил f(x) і g(x), але не залежать від номеру апроксимації N.

(іі) і залежать від початкових умов , але не залежить від них.

(ііі) З нерівності випливає:

,

.

А кроком індукції є:

Пропозиція 2.2. Якщо

і належить до , то розв'язок системи (2) задовольняє нерівність:

,

умовам (і), (іі) з пропозиції 2.1 і з нерівності випливає:

,

.

Доведення неперервності та єдиності розв'язку (m, n, E) завершує доведення теореми 2.1.

Теорема 2.1 означає, що система Захарова породжує динамічну систему , де оператор визначений як:

,

де - значення розв'язку системи (1) з початковими умовами в момент часу t. У підрозділі 2.3 з'ясовано, що ця динамічна система є дисипативною, а саме має місце

Пропозиція 2.3. Існує така обмежена множина , що для будь-якої обмеженої множини знайдеться час такий, що для всіх виконується включення .

Динамічна система має компактний глобальний атрактор, тобто існує замкнена обмежена та інваріантна відносно оператора множина A, яка притягує всі траєкторії рівномірно за обмеженими множинами. Таким чином, маємо наступну теорему.

Теорема 2.2. Якщо та

,

то система рівнянь Захарова (1) з періодичними граничними умовами має компактний глобальний атрактор .

Доведення теореми 2.2 базується на загально відомому факті з теорії динамічних систем, який полягає в тому, що для існування атрактора достатньо дисипативності та асимптотичної компактності динамічної системи. Для доведення асимптотичної компактності розглядається декомпозиція оператора на компактну і спадаючу компоненти. Нехай і . Розглянемо наступну систему:

,

а - момент часу, починаючи з якого . Тоді компонента будується як:

,

а - як різниця між і . Пункти 2.3.2 і 2.3.3 присвячені доведенню коректності цієї декомпозиції, а також вивченню властивостей і . захаров дисипативна рівняння атрактор

Якщо

,

то з теореми 2.2 випливає існування цілої послідовності атракторів . У пункті 2.3.4 доведено, що всі ці атрактори збігаються, а саме:

Теорема 2.3. Нехай

.

Тоді всі атрактори належать простору та збігаються між собою.

З теореми 2.3 випливає, що атрактор є множиною нескінченно гладких функцій, у той час як розв'язок зберігає гладкість початкових умов. Наступним натуральним кроком є доведення аналітичності елементів атрактора.

У підрозділі 2.4 розглядається випадок, коли зовнішні сили належать до деякого класу Жевре , який визначається як

,

де і - константи (тобто до класу функцій коефіцієнти ряду Фур'є яких спадають з експоненціальною швидкістю). Таким чином зовнішні сили f і g є аналітичними функціями просторової змінної. З'ясовано, що елементи глобального атрактора також є аналітичними функціями просторової змінної.

Теорема 2.4. Припустимо, що

для деякого та . Тоді існує таке, що глобальний атрактор динамічної системи , яка породжена системою (1) з періодичними граничними умовами, належить до

і

Доведення цієї теореми за ідеологією аналогічне теоремі 2.2, але потребує більш складних перетворень.

Як головний наслідок аналітичності елементів атрактора у підрозділі 2.5 доведено існування двох визначальних вузлів. А саме, встановлено існування двох точок на інтервалі таких, що асимптотична динаміка розв'язку повністю визначається його поведінкою у цих двох точках. Таким чином, маємо наступну теорему.

Теорема 2.5. Існує таке, що для кожної пари вузлів з та для двох довільних розв'язків і системи (1) з періодичними граничними умовами та початковими умовами з і зовнішніми силами із рівності випливає:

Основні результати другого розділу опубліковані в роботі [1].

Третій розділ присвячений дослідженню розв'язання початково-граничної задачі для двовимірної системи рівнянь Захарова

(3)

де - обмежена область з гладкою межею, або прямокутник . Система (3) розглянута з трьома типами граничних умов - Діріхле, Неймана і періодичними. Головна проблема, яка була вдало подолана, пов'язана з доведенням єдиності розв'язку. До цього часу питання щодо існування єдиного розв'язку системи рівнянь Захарова в обмежених областях було цілком відкритим.

У підрозділі 3.1 описані функціональні простори, в яких розглядається розв'язок системи (3), формулюються необхідні визначення та основні результати третього розділу.

Підрозділ 3.2 присвячений доведенню єдиності розв'язку в енергетичному просторі

,

де - область визначення оператора з відповідними граничними умовами, а - комплексна версія цього простору. Більш конкретно теорема єдиності має наступний вигляд.

Теорема 3.1. Система (3) на кожному інтервалі має не більш ніж один розв'язок. Нехай , і . Тоді для будь-якого розв'язку задачі (3) на інтервалі (якщо він існує) виконується

і для будь-якого є вірною оцінка

у випадку та

якщо .

При доведенні цієї теореми був використаний метод спектральних апроксимацій, який був запропонований Седенко в теорії гнучких оболонок.

У підрозділі 3.3 розглянуто питання щодо існування розв'язку системи рівнянь Захарова (3). Доведення цього факту проведено за допомогою апроксимацій за Гальоркіним. Результат цього підрозділу у поєднанні з теоремою 3.1 дає можливість отримати наступний і головний результат щодо розв'язання системи (3).

Теорема 3.2. Нехай

і

для деякого . Нехай

,

де - константа з нерівності Соболєва для . Тоді, якщо виконана хоча б одна з двох наступних умов:

і ,

,

і - довільне додатне число, то система (3) має єдиний розв'язок на інтервалі . Цей розв'язок неперервно залежить від початкових умов, а саме

де - розв'язок з початковими умовами і - розв'язок з початковими умовами , такими, що у просторі

при .

З теореми 3.2 маємо наступний

Наслідок 3.1. Припустимо, що або і . Нехай

(4)

де . Тоді система (3) має глобальний розв'язок для будь-яких початкових умов із . Відповідний розв'язок задовольняє для будь-якого

Більш цього, відображення , яке визначено як:

є неперервною групою неперервних відображень у топології, яка індукована на .

Зауважимо, що на відміну від одновимірного випадку неможливо гарантувати існування глобального розв'язку для будь-яких початкових умов з простору . Але наслідок 3.1 гарантує існування деякої інваріантної множини початкових умов, які породжують глобальні (за часом) розв'язки. Таким чином, цілком природно розглянуто звуження динамічної системи з усього енергетичного простору на множину .

У підрозділі 3.3 доводиться наступне твердження щодо існування атрактора динамічної системи .

Теорема 3.3. Припустимо, що і . Нехай

,

і - найменше власне значення оператора . Нехай

.

Тоді існують такі додатні константи і , які залежать тільки від r і , що залежить тільки від , і, якщо виконані умови

, (5)

(6)

то динамічна система , яка породжена системою (3) з відповідними граничними умовами, має компактний глобальний атрактор. Якщо область

є прямокутником, то .

Доведення цієї теореми розбито на дві частини. У пункті 3.4.1 методом функцій Ляпунова доведено дисипативність динамічної системи . Це доведення базується на двох наступних лемах.

Лема 3.4. Нехай для деякого додатного . Тоді існує така константа , що у разі виконання умови (4), для будь-якої обмеженої множини B з виконується:

з константою , яка залежить тільки від r, та

.

Лема 3.5. Нехай виконані умови леми 3.4. Тоді існує така константа (яка залежить тільки від області ) така, що у разі виконання умови

динамічна система, яка породжена системою (3), є дисипативною у просторі

.

,

.

Після цього, у пункті 3.4.2 за допомогою ідеї Бола доведена асимптотична компактність за Ладиженською цієї системи (тобто той факт, що для довільної обмеженої послідовності та довільної послідовності такої, що , множина є передкомпактною). Згідно з загальною теорією динамічних систем цей факт разом з дисипативністю динамічної системи дає існування глобального компактного атрактора.

У підрозділі 3.5 розглянуто систему (3) у випадку тонкої прямокутної області з періодичними граничними умовами за припущення, що параметр може бути обраний достатньо малим. Основна мета цього підрозділу полягає у доведенні існування більш гладких розв'язків, ніж у випадку загальної (не тонкої) області. Головним результатом є наступна

Теорема 3.4. Існує таке , що для будь-якого з

де - будь-який, менший за , ступінь та - деякі числові константи, для будь-яких початкових умов з

випливає існування єдиного глобального розв'язку системи рівнянь Захарова (3), яке належить

- множині обмежених неперервних функцій на

.

Зауважимо, що під розуміється норма порядку у масштабованій області , яка була отримана з початкової області шляхом заміни тонкої змінної . Доведення існування рішення у теоремі 3.4 проводиться за допомогою апроксимацій за Гальоркіним.

Слід відзначити, якщо переписати умови теореми 3.4 для початкової області, то ступені у правих частинах нерівностей не будуть менші за 1. Тому, якщо вважати, що усі ці функції неперервні та враховуючи той факт, що площа області дорівнює , можна зробити висновок, що максимум модуля цих функцій та їх похідних прямує до нескінченності. Це означає, що множина початкових даних зростає в .

Основні результати третього розділу опубліковані в роботах [2, 3].

У четвертому розділі розглянуто питання апроксимації розв'язків системи рівнянь Захарова (3) більш гладкими розв'язками. Для цього вивчено окремий випадок системи Шредінгера-Бусінеска:

(7)

де у випадку граничних умов Діріхле і у випадку періодичних граничних умов. Зауважимо, що у випадку =0 ця система становиться системою Захарова (3).

У підрозділі 4.1 введені основні визначення та сформульовані основні результати четвертого розділу.

У підрозділі 4.2 розглянуто питання розв'язання системи (7) в енергетичному просторі

,

де простір визначений вище. А саме доведено наступне головне твердження щодо розв'язання системи (7).

Теорема 4.1. Нехай

і

,

, . Тоді задача (6) має єдиний розв'язок на інтервалі , де - довільне число. Більш того, система (6) породжує неперервну динамічну систему , яка у випадку достатньо великого є дисипативною.

Зауважимо, що на відміну від системи Захарова (3), система (7) має глобальний за часом розв'язок для будь-яких початкових умов з . Це зумовлено тим, що завдяки присутності в хвильовому рівнянні позитивного доданку стає можливим використання норм більш високого порядку. Доведення цієї теореми також здійснюється за допомогою апроксимацій за Гальоркіним.

У підрозділі 4.3 розглянуто питання щодо існування глобального атрактора динамічної системи . Головними його результатами є наступні два твердження.

Теорема 4.2. Нехай

,

і . Тоді існують такі позитивні , і що, з

випливає:

· динамічна система має глобальний атрактор ;

· для будь-якого множина , де визначено у (3), є позитивно інваріантною, а звуження динамічної системи на має компактний глобальний атрактор , який співпадає з при .

Твердження про існування атрактора в теоремі 4.2 відноситься до випадку всього простору або множини при довільних . Якщо обрати , то твердження про існування атрактора вдається сформулювати в наступному вигляді.

Теорема 4.3. Нехай виконані умови (4), (5) і (6). Тоді динамічна система має компактний глобальний атрактор. Більш того, для траєкторій, які належать атрактору, виконується наступна рівномірна за оцінка:

де не залежить від .

Як наслідок теореми 4.3 у підрозділі 4.4 доведено наступне твердження щодо близькості атракторів систем (3) і (7).

Теорема 4.4. Нехай виконані умови (4), (5) і (6). Тоді

де - компактний глобальний атрактор системи (2), а - відстань від елементу до множини A у просторі для довільного .

Основні результати четвертого розділу опубліковані в роботі [4].

ВИСНОВКИ

У висновках підбиваються підсумки проведеного дослідження, наведено отримані у роботі нові результати про якісну поведінку розв'язків системи рівнянь Захарова в різних обмежених областях, а саме:

1. Доведена теорема існування і єдиності гладких розв'язків системи рівнянь Захарова у випадку одновимірної області. Встановлено, що у цьому випадку система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор. Більш того, доведено, що якщо зовнішні сили є аналітичними функціями, то елементи атрактора є аналітичними функціями просторової змінної.

2. Доведена теорема існування і єдиності розв'язків у випадку двовимірної області.

3. Показано, що двовимірна система рівнянь Захарова породжує дисипативну динамічну систему, яка має компактний глобальний атрактор.

4. Побудована регуляризація системи рівнянь Захарова за допомогою бігармонічного оператора з малим коефіцієнтом та доведена збіжність атрактора регуляризованої задачі до атрактора системи Захарова.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Shcherbina A.S. Gevrey regularity of the global attractor for the dissipative Zakharov system // Dynamical Systems. - 2003. - Vol. 18, No 3, - P. 201-225.

2. Shcherbina A.S. Dissipative Zakharov system in two-dimensional thin domain // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - 2005. - Vol. 12. - No 2. - P. 230-245.

3. Chueshov I.D. and Shcherbina A S. On 2D Zakharov system in a bounded domain // Differential and Integral Equations. - 2005. - Vol. 18, No 7, - P. 781-812.

4. Щербина А.С. Глобальный аттрактор сингулярно возмущенной системы Захарова // Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, серія "Математика, прикладна математика і механіка". - 2005. - No 711. - С. 55-67.

5. Щербина А.С. Гладкость решений диссипативной системы Захарова // Dynamical system modelling and stability investigation. - Thesis of conferences reports. - Kyiv, 2005. - P. 358.

6. Shcherbina A.S. Solutions of dissipative Zakharov system // Conference on Convex Geometry and High Dimensional Phenomena. - Wien (Austria), 2005. - P. 26-27.

7. Shcherbina A.S. Dissipative Zakharov system in bounded domain // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations", Book of abstracts. - Donetsk, 2005. - P. 91.

АНОТАЦІЯ

Щербина О.С. Асимптотична поведінка розв'язків дисипативної системи рівнянь Захарова. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню дисипативної системи рівнянь Захарова у різних обмежених областях. Ця система була запропонована для опису колапсу ленгмюровських хвиль у плазмі.

У випадку одновимірної області та періодичних граничних умов було доведено існування глобального розв'язку та встановлено, що відповідна динамічна система є дисипативною і має компактний глобальний атрактор. У випадку, коли зовнішні сили є аналітичними функціями, доведено, що елементами глобального атрактора є аналітичні функції просторової змінної.

У двовимірному випадку доведено існування і єдиність глобального (за часом) розв'язку. У дисипативному випадку показано існування інваріантної множини початкових умов, що породжують глобальний (за часом) розв'язок. Встановлено дисипативність та існування глобального атрактора відповідної динамічної системи.

Побудована регуляризація системи рівнянь Захарова та доведена збіжність атрактора регуляризованої системи до атрактора системи Захарова.

Ключові слова: система рівнянь Захарова, глобальний атрактор, регулярність за Жере, аналітичність атрактора, визначальні вузли, регуляризація.

АННОТАЦИЯ

Щербина А.С. Асимптотическое поведение решений диссипативной системы уравнений Захарова. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2006.

Диссертация посвящена исследованию диссипативной системы уравнений Захарова в ограниченных одномерных и двумерных областях. Консервативный вариант данной системы был предложен Захаровым для описания основного процесса коллапса лэнгмюровских волн в плазме, который возникает при интенсивных методах ее нагрева.

Доказано, что диссипативная система уравнений Захарова на интервале [0, L] система порождает диссипативную динамическую систему. Эта система обладает компактным глобальным аттрактором. Изучены свойства элементов аттрактора в зависимости от гладкости внешних возмущений. В частности показано, что если внешние возмущения принадлежат некоторому классу Жевре (классу функций, коэффициенты ряда Фурье которых убывают с экспоненциальной скоростью), то аттрактор состоит из аналитических функций пространственной переменной. Основным следствием аналитичности элементов аттрактора является доказательство существования двух определяющих узлов, то есть таких двух точек в интервале, что асимптотическая динамика решения полностью определяется его поведением в этих двух точках.

В случае двумерной области система уравнений Захарова рассмотрена с тремя типами граничных условий: Дирихле, Неймана и периодическими. Первым результатом в двумерном случае является доказательство единственности решения в энергетическом классе. До этого подобные результаты в двумерном случае были неизвестны. Следующий результат касается существования решения. Доказано, что система уравнений Захарова обладает решением, время существования которого обратно пропорционально норме внешней силы. В диссипативном случае показано, что существует инвариантное множество начальных данных, определяющих глобальное решение. Это позволило ввести динамическую систему, которая определена на этом инвариантном множестве. При некоторых дополнительных условиях на параметры системы данная динамическая система оказывается диссипативной и обладает компактным глобальным аттрактором.

В связи с тем, что существование аттрактора двумерной системы уравнений Захарова получено при некоторых ограничениях на параметры системы, представляет интерес вопрос аппроксимаций решений системы уравнений Захарова решениями более регулярных систем. Для этого рассматривается регуляризация системы Захарова на основе возмущения волнового уравнения бигармоническим оператором с малым положительным коэффициентом. Доказано, что регуляризированная система имеет глобальное решение для любых начальных условий из энергетического пространства, а также порождает диссипативную динамическую систему, которая обладает компактным глобальным аттрактором. Более того, аттрактор регуляризированной системы стремится к аттрактору системы уравнений Захарова при стремлении к нулю параметра при бигармоническом операторе.

Ключевые слова: система уравнений Захарова, глобальный аттрактор, регулярность по Жевре, аналитичность аттрактора, определяющие узлы, регуляризация.

ABSTRACT

Shcherbina A.S. The asymptotic behavior of solutions of the dissipative Zakharov system. - Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics by specialty 01.01.03 - mathematical physics. Karazin Kharkiv Nathional University, Kharkiv, 2006.

The thesis is devoted to the analysis of the dissipative Zakharov system in bounded domains. This system was proposed by Zakharov to describe the propagation Langmuir's waves in plasma.

In the case of one spatial variable and periodic boundary conditions it is proved that the dissipative Zakharov system generates a dissipative dynamical system possessing a global compact attractor. In the case of analytic external forces it is shown that the elements of the attractor are analytic functions of a spatial variable. As a corollary of the analyticity of the attractor the result on the existence of two determining nodes is obtained.

In the case of two-dimensional domains it is shown that Zakharov system is globally well-posed. Moreover, it is proved that in the dissipative case there exists an invariant set of initial conditions, which provide the existence of the global (in time) solution. It is also shown that the dissipative Zakharov system generates a dissipative dynamical system on the invariant set and possesses a compact global attractor.

Besides, the regularization of the Zakharov system is constructed and it is proved that the attractor of the regularized system tends to the attractor of the dissipative Zakharov system.

Key words: Zakharov system, the global attractor, Gevrey regularity, the analyticity of the attractor, determining nodes, regularization.

Размещено на Allbest.ru

...